Introducción a los valores propios y vectores propios

siempre que tenemos una transformación lineal te lleva de rn nm resulte interesante estudiar los vectores que no cambian mucho bajo t en particular los que son más interesantes son los que no cambian de dirección cuando les aplicamos la transformación es decir los ves tales que te debe es igual a múltiples escalar del vector original a un lambda b bien un ejemplo concreto de esto hace algunos vídeos estábamos estudiando una transformación de r 2 en r2 del plano en sí mismo y esta transformación consistía en reflejar las cosas con respecto a una recta teníamos un vector de 1 víctor b 1 quiere el vector 12 del vector 12 y este vector me genera una recta simplemente con todos los vectores que son múltiplos escalares desde 1 genera una recta ahí a esta recta lo voy a llamar l así que mi transformación de r2 en r2 consistía en palabras en reflejar con respecto respecto d a él bien como se veía esto pues si teníamos un vector x aquí vamos este entonces la transformación lo llevaba a su imagen espejo ponemos que éste su imagen espejo con respecto de él esto sería de x simplemente estos dos son simétricos con respecto a la recta él y bueno para encontrar la matriz que representaba esta transformación de r 12m r2 fue muy útil considerar una base en la que los vectores que la conformaban no cambiaban mucho bajo la transformación por ejemplo vimos que si teníamos a b1 y le aplicamos la transformación t como de 1 como ve uno está sobre la recta l su imagen era el mismo de 91 era de uno o dicho de otro modo tve-1 es igual a 1 por de 1 así que la dirección no cambiaba también nos interesa mucho otro vector que era un vector perpendicular a la recta l nos interesa el vector de 2 que estaba dado por el vector dos menos uno y lo que pasaba era que como este vector era perpendicular a la recta l su imagen simplemente consistía en pasar lo del otro lado de la recta r esto sería de db2 entonces vimos que tv2 menos de 2 lo que es lo mismo tv2 pero igual a menos 1 por de 2 bien y en esta base no recuerdo cuál era la matriz de la transformación de hecho creo que de 2 y de 1 estaban intercambiados pero obtuvimos una matriz que representaba esta transformación que tenía una forma muy sencilla así que era fácil calcular con ella así que estos dos vectores fueron vectores interesantes que satisfacían esta condición les doy otro ejemplo supongamos que tenemos un plano en r3 tengo un plano en el espacio que está generado por dos vectores y considerar la transformación que consiste en reflejar las cosas ahora con respecto a este plano un vector que esté acá arriba lo mando a su imagen simétrica con respecto a este plano para ser un vector que está acá abajo bien entonces una base interesante para esta transformación sería la compuesta una base interesante de r3 sería la conformada por estos dos vectores y el vector que es ortogonal al plano el vector normal al plano en ese caso de nuevo la matriz que representa esta transformación con esta base de representada por estos tres vectores toma una forma muy interesante así que en realidad lo que nos estamos interesando en son los vectores vectores b que no cambian de dirección digamos este vector se va a un múltiplo del mismo quizás se podría invertir el sentido pero la dirección que da igual no todos los vectores son así por ejemplo el vector x se transforma en un vector que no tiene nada que ver con el vector original la la dirección cambió completamente muy bien y como decía trabajar con estos vectores que se transforman en vectores con la misma dirección en múltiplos escalares del vector original es mucho más natural las bases son muchísimo más naturales así que tiene sentido darles un nombre especial y vamos a decir que b es un vector propio doctor propio l vector propio de t irlanda blanda va a ser un lambda es un valor propio flor propio de d bien por ejemplo en este caso de 1 v 1 que es el vector 1 2 vector propio de tema producción dt donde t es la reflexión con respecto de él con valor propio valor propio 1 y del mismo modo b2 b2 dado por el vector 2 - 1 es un vector propio del nuevo dt director propio con valor propio un valor propio en este caso ya no es uno ahora es menos uno pero en si es claro que la dirección se preserva ah pero también nosotros sabemos que las transformaciones lineales se pueden representar mediante el producto con una matriz a es la matriz que representa a la transformación t así que si tengo un vector propio dt se debe pues por un lado significa que tiene la forma planta de pero también lo puede escribir como por el vector b así que en este caso en este caso os digo que ven vector propio todo el propio de a y que lambda lambda de nuevo es un valor propio propio de b y de hecho en vídeos posteriores vamos a aprender a calcular esta lambda a partir de la matriz a pero bueno lo que es muy importante es que entiendan que los vectores propios sencillamente son aquellos que bajo una transformación no cambian su dirección pueden cambiar de sentido pueden cambiar de sentido pero la dirección del vector no cambia así que esencialmente los vectores propios son aquellos que no cambian mucho bajo la transformación t