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Mostrar que las bases propias son buenas para formar sistemas de coordenadas

Transcripción del video

en vídeos anteriores he comentado que los vectores propios de alguna transformación de una matriz en general forman bases interesantes para esa transformación o esa matriz es decir son son vectores sectores básicos interesantes forman bases interesantes todos básicos bien esto qué quiere decir pues sí tengo una transformación lineal t que va de rn en rn y yo supongo que te se puede representar mediante una matriz a es decir que la transformación aplicada al vector x es lo mismo que multiplicar la matriz a por dicho vector x donde a es una matriz de n por n bien pues ahora supongamos supongamos supongamos que ah la matriz a tiene tiene n vectores propios n vectores propios que son linealmente independientes es decir el conjunto de vectores propios vamos a suponer que son de 1 b 2 así hasta bn que este conjunto es un conjunto de vectores linealmente independientes y que todos son vectores propios de a ahora como son n de ellos y son linealmente independientes esto también formó una base para rn y ahora vamos a ver que esa base es particularmente interesante en cuanto a cómo se comporta o cómo se representa la transformación t respecto a esta base bien entonces como se ve por ejemplo la transformación del primer vector de esta base la transformación aplicada al vector de uno pues como es un vector propio de la matriz de la transformación y de la matriz en consecuencias 3 d v 1 es lo mismo que a por b 1 qué es lo mismo que alguna escalar lambda 1 por el vector de 1 porque de 1 es un vector propio de la matriz a bien y que hay de b2 pues la transformación aplicada al vector b 2 es lo mismo que la matriz a por el vector de 2 que es lo mismo que el hambra 2 por el vector de 2 y así podría continuar voy a continuar haciendo esto para cada uno de estos vectores llegar al enésimo vector y decir que la transformación aplicada el rector ven es lo mismo que la matriz a por el vector bn que es lo mismo que un escalar lambda n por el vector de n recuerden que todos estos son vectores propios de la matriz a bueno ahora voy a hacer algo que quizás se vea bastante tonto y es decir pues esto es lo mismo que lambda 1 x b 1 + 0 por b 2 + 0 por b tres y así hasta cero por de n y del mismo modo esto es lo mismo que 0 por el vector b 1 + lambda 2 por el vector b 2 más puro ceros hasta 0 por el vector de n y luego finalmente si hago eso con todos los vectores obtengo que el enésimo vector la transformación aplicable enésimo vector es 0 por el vector b 1 + 0 por el vector b 2 y así hasta lambda en por el rector de n recuerden que esto es una base y quizá se estén preguntando por qué agregue todos estos ceros porque no simplemente deje las cosas así pues lo que pasa es que ahora quiero utilizar coordenadas con respecto a esta base y ver cómo se comporta la matriz que representa la transformación t y estas son precisamente las coordenadas de la imagen de estos vectores así que hagamos eso vamos a decir que mi base de rn es precisamente esta base formada por n vectores propios linealmente independientes de la matriz a y entonces les recuerdo rápidamente si yo tengo un vector x y lo multiplicó por la matriz a lo que obtengo es la imagen de x bajo la transformación te tengo te de x y del mismo modo yo podría tener o expresar a x en coordenadas respecto a una base b puedo pasar de las coordenadas estándar a las coordenadas respecto a la base utilizando la matriz de cambio base que les recuerdo que es la matriz cuyas columnas son precisamente los elementos de mi base ve si quiero pasar de las coordenadas estándar a coordenadas respecto a la base ve multiplicó por la inversa de la matriz de cambio base por ser la menos 1 y si quiero pasar de estas coordenadas a las estándar simplemente multiplicó por la matriz de cambio de base ahora bien yo sé que aquí existe una matriz d de tal que al multiplicar el vector de coordenadas de x respecto a la base b por la matriz de obtengo las coordenadas respecto a la base de la imagen del vector x bajo la transformación te tengo esto de aquí y de nuevo equipo cambiar de base puedo usar la inversa en la matriz de cambio de base y la matriz de cambio de base para cambiar de sistemas coordenadas bien lo que vamos a ver es que cuando la base en cuestión es esta base de vectores propios de amd lo que pasa con d es que es una matriz muy bonita es una matriz por ejemplo diagonal y entonces si por ejemplo yo quisiera aplicarle una matriz de muchas veces a un mismo vector entonces me conviene cambiar de coordenadas y hacer este proceso de aquí entonces vamos a ver cómo se ve esta matriz de aquí precisamente bien entonces lo que voy a hacer es escribir esto de varias formas y comparar el resultado ok entonces primero que nada quiénes son las coordenadas de la imagen de de uno respecto a la base de pues eso por un lado es lambda uno por b uno las coordenadas de lambda uno por b uno respecto a la base b pero esos son los coeficientes de esta combinación lineal porque estos vectores son los vectores que conforman la base así que esto es lo mismo que el vector lambda 100000 en todos los demás lugares estas son las coordenadas de la imagen de v 1 bajo la transformación respecto a la base b pero por otro lado eso es lo mismo que una matriz d la matriz de que voy a representar como la matriz que tiene por columnas a los vectores de uno de dos de tres y así hasta de n multiplicada por las coordenadas del vector de uno respecto a la base b pero las coordenadas del vector de uno respecto a la base b simplemente son 100 0000 en todos los demás lugares porque porque la combinación lineal de estos vectores queme al vector de uno es uno profe 10 por b 2 y así hasta 0 por 20 ok pero este producto de matriz por vector cuanto me da pues esto es 1 por de 1 que es de 1 + 0 x de 20 x de tres y así hasta cero por de n así que este resultado es de 1 bien y voy a hacer lo mismo voy a hacer lo mismo ahora con v2 así que quiénes son las coordenadas respecto a la base de la imagen debe 2 bajo la transformación t pues pues son en este caso están dados por de 2 a 0 por b 1 lambda 2 por b 2 y luego 0 en todos los demás lugares hasta el enésimo pero esto es lo mismo que la matriz de que hemos quedado que era de uno de dos así hasta de n esta matriz por el vector de coordenadas de veedor respecto a la base b pero eso es cero veces de uno una vez de 20 veces de tres y así hasta 0 veces b n así que con toda esto pues esto es cero por de uno más uno por de 2 + 0 x de 3 etcétera etcétera y finalmente finalmente vamos a hacerlo así lo puedo hacer con todos hasta hasta llegar a bn quienes son las coordenadas del vector de n de la imagen del vector b respecto a la base b pues de nuevo yo sé que 0 x 10 x b 2 y así hasta lambda en forma de m pero eso es lo mismo que la matriz de la matriz de uno de dos hasta dn por quién quién es el vector de coordenadas de adn pues ahora es 0 x b-10 b-20 por b 3 así hasta 1 por bn y esto esto me da 0 x de 10 x de 2 así hasta 1 x de n muy bien entonces quién es la matriz de pues la matriz de tiene por primera columna a de uno pero de uno es lambda 1 y luego pudo 000 si hasta la última fila bien luego por segunda columna es de 2 pero ese 0 y luego lambda 2 y luego puros ceros de nuevo y así así serían lambda 13 ya dando 3 aquí y luego dos ceros arriba y todos los más ceros y así continuaría hasta la enésima columna donde sería lambda en el última fila y puros ceros arriba de lambda en 0 y 0 así que esa es la matriz esa es la matriz de muy bien así que esto es algo bastante interesante que aprendimos hoy esta es la gran la gran moraleja del vídeo si suponemos o más bien si nuestra matriz a tiene n vectores linealmente independientes que ojo no siempre es el caso no siempre habrán n vectores propios linealmente independientes una matriz tiene una infinidad de vectores propios cuando tiene al menos uno no trivial pero pero no siempre tiene n vectores profesionalmente independientes en el caso de que existan estos forman una base de rm de hecho esta base b también es una base de rm y la llamamos la base propia base propia y entonces si tomamos la matriz que representa la transformación t respecto a esta base a esta matriz de aquí entonces la matriz de tiene un montonal de propiedades interesantes por ejemplo estas matrices diagonales son muy fácil de multiplicar muy fáciles de multiplicar es muy fácil tomarles el determinante o invertir las así que tienen muchísimas propiedades bonitas y esto es realmente la moraleja del vídeo viene algo que es muy interesante es que los vectores son abstracciones matemáticas estos vectores con los que trabajamos son abstracciones matemáticas de cosas que podrían ser por ejemplo la población en un lugar o quizás el clima en algún punto de la tierra y entonces lo que tenemos lo que tenemos son funciones que van de un espacio a otro y lo que acabamos de ver es que podemos simplificar mediante los cambios de base a la matriz que representa a estas funciones entonces para dar un ejemplo concreto podríamos pensar en una cadena de marco donde la matriz a representa la matriz que contienen las pruebas desde pasar de un estado a otro y entonces nos gustaría integrar esta transformación para encontrar los estados estables sé que no estoy explicando nada de esto pero bueno es solo para que se den una idea entonces nos conviene más trabajar con esta matriz de que son la matriz diagonal porque la vamos a estar liderando múltiples veces y entonces el cálculo se simplifica si utilizamos esta matriz diagonal en general el álgebra lineal es una herramienta universal que puede resolver toda clase de problemas y este tipo de cosas las bases propias los vectores propios los cambios de base las matrices diagonales son sencillamente formas de facilitarnos la vida en cuestión de los cálculos