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Contenido principal

Una proyección sobre un subespacio es una transformación lineal

Mostramos que la proyección en un subespacio es una transformación lineal. Creado por Sal Khan.

Transcripción del video

hemos definido ya la noción de una proyección sobre un sub espacio pero no he demostrado que definitivamente sea una transformación lineal tampoco he demostrado que si conoces una base de un sub espacio como encontrar una proyección sobre él así que veamos si podemos hacer algún progreso en ello así que digamos que tengo aquí ve un sub espacio es un sub espacio vamos a escribirlo bien un sub espacio sube espacio de nuestro ya famoso y conocido r n nuestro espacio de n dimensiones y vamos a suponer que conozco aquí una base de nuestro sub espacio ve digamos que esta base tiene a los elementos b1 b2 así sucesivamente hasta beca o que esto es una base de nuestro sub espacio ve y esto me está diciendo entonces que la dimensión de nuestro sub espacio es k ok entonces qué significa esto esto inmediatamente me está diciendo que si yo tomo cualquier vector digamos un vector a en el sub espacio ve este vector yo lo puedo expresar como una combinación lineal de elementos de la base es decir puede encontrar un ayuno que al multiplicarlo por ver 1 más 1 2 por b 2 más así sucesivamente hasta llegar por beca esta combinación lineal es exactamente igual a nuestro vector y eso es lo que me está diciendo que esta base ahora bien vamos a expresar lo de otra forma si yo tengo una matriz a digamos y voy a construirla como la matriz que tiene como columnas a nuestros vectores b y entonces tengo aquí el vector de uno como columna de dos como columna y así sucesivamente hasta el vector bk y estos son son columnas y claro que son columnas cerrarlo igual con morado esto por supuesto es una matriz bueno como cada cada vector vive en rn porque nos tomamos elementos del sub espacio b que vive en rn entonces tengo n coordenadas aquí verdad entonces son n columnas perdón n filas el n renglones pero tengo acá columnas ahora sí entonces esto es de n por k muy bien entonces si nosotros tomamos un vector a digamos un vector a que se encuentre en el en el sub espacio b sabemos cómo podemos expresar lo como esta combinación lineal sabemos que existe un vector que tal que al multiplicarlo por la matriz a nos da exactamente el vector que teníamos y esto es para algunos para algún vector que se encuentre en rk y ese es tener ek porque tenemos cada constante es verdad y aquí pues a final de cuentas tiene cada columna la matriz entonces necesitamos que este vector se encuentre en r acá entonces esto que nos está diciendo que sí que va a existir un vector que tiene coordenadas de 12 así sucesivamente hasta llegar que al multiplicarlos lo que me da es exactamente de 1 x b 1 más de 2 x de 2 más todos estos llega por beca muy bien eso es lo que nos está diciendo pero ahora sí vamos a saltar esencialmente a lo que queremos hacer en este vídeo porque lo que queremos demostrar es que es una transformación lineal entonces que las proyecciones sobre su espacio son transformaciones lineales entonces voy a considerar cualquier elemento de rn vamos a partir de cualquier elemento de rn nosotros vimos que la definición de la proyección que la definición de la proyección sobre un sub espacio ve de x pues necesariamente se encuentra en nuestro psuv espacio b pero si se encuentra en nuestro psuv espacio b podemos aplicar exactamente lo mismo que hicimos con este vector a quiere decir que vamos que vamos a poder encontrar un vector y tal que la proyección sobre nuestro psuv espacio ve de este vector x es igual a la matriz a por el vector y para algún pues para alguno alguna que se encuentre algún vector y que se encuentre en er está muy bien y esto aún no sabemos quién es y si se dan cuenta nosotros quisiéramos encontrar una expresión para esta proyección pero no nos m no nos han dicho cómo encontrar este vector y hay que repasar muy bien tenemos una base de nuestro psuv espacio y entonces cualquier vector en el sub espacio se puede expresar como combinación lineal de estos construimos esta matriz a que la matriz cuyas columnas son los vectores de la base entonces cualquier vector en ese sub espacio lo puede expresar como a por otro vector que aún no sabemos cuál es y eso en particular se puede aplicar para la proyección sobre el sub espacio de nuestro vector x entonces vamos a avanzar un poquito más en esto porque x x sabemos que lo podemos descomponer como la suma de dos vectores donde de hecho lo habíamos escrito como ve más w y b no era otra cosa más que la proyección sobre el sub espacio de x y había que sumarle otro vector que habíamos dicho w que no es otra cosa más que la proyección pero sobre el sub espacio ortogonal de este vector déjenme queda claro que es este vector pero voy a escribirlo como lo teníamos con w para simplificar un poco la anotación y vamos a escribir aquí que un único elemento un único elemento el elemento del complemento ortogonal debe ok entonces si esto es cierto entonces podemos escribir bueno pasar este vector restando y tenemos que x menos la proyección sobre el b qué espacio vectorial b de x es igual es igual a w es igual a w entonces tenemos que este vector de aquí como es igual a w w un elemento del complemento ortogonal entonces éste se encuentra en el complemento ortogonal de nuestro espacio espacio b ok entonces vamos a escribir algunas cositas más porque quién es el espacio b pues si nos damos cuenta él el espacio columna de nuestra matriz a es el espacio b y eso es cierto porque el espacio columna es el espacio generado por los vectores columna de esta matriz pero otra vez los vectores columnas que construimos justamente son los elementos del de del espacio vectorial ve entonces generan a nuestro sub espacio y de esta forma podríamos ver que quien sería el complemento ortogonal de nuestro espacio vectorial pues es esencialmente el complemento ortogonal del espacio columna y que ya habíamos visto en algunos vídeos atrás quizás como 3 o 4 que esto es el espacio nulo de nuestra matriz a transpuesta o lo que es lo mismo el espacio nulo izquierdo de la matriz ok entonces esto me está diciendo que x menos la proyección sobre el espacio b de x se encuentra en el complemento ortogonal por el complemento ortogonal es el espacio nulo de la matriz transpuesta entonces esto será x menos la proyección sobre el espacio b de x se encuentra en el complemento ortogonal de b que por cierto es el espacio nulo de la matriz a transpuesta muy bien esto me está diciendo una ecuación me está implicando que si yo multiplico la matriz a transpuesta por este vector por este vector que es x menos la proyección sobre el espacio b de x esto por estar en el espacio nulo de esta matriz me debe dar igual al vector cero muy bien y esto lo podemos distribuir esto lo podemos distribuir por ser lineal y tenemos que la matriz a transpuesta por equis menos la matriz a transpuesta por la proyección de vez de x sobre b nada más que hay que considerar algo porque la proyección dijimos cómo se encuentran en nuestro espacio vectorial b lo podemos expresar como a por un vector ya que es el que queremos encontrar entonces esto de aquí esto de aquí no es otra cosa más que a por algún vector ya que aún nos falta determinar quién es entonces aquí abajo lo podemos escribir como a transpuesta por la proyección qué es y esto debe ser nuevamente igual a 0 simplemente lo que hicimos fue sustituir esta expresión y multiplicar todo por la matriz a transpuesta y de esta forma pues tenemos que la matriz a transpuesta a transpuesta por el vector x por el vector x debe ser igual pasando esto del lado derecho a a transpuesta por a por y ok simplemente pasando esto del lado derecho ahora bien si si nosotros encontráramos quién es el vector e inmediatamente tenemos dado que la proyección sobre el espacio vectorial de x está bien definido porque porque ya aquí sí ya es conocido entonces es fácilmente calculable o quizás no es tan fácil en términos de hacer operaciones por al menos ya no tenemos que desarrollar más teoría ahora bien la pregunta es podríamos despejar de esta ecuación y para hacer eso necesitaríamos que la matriz a transpuesta x a sea invertirle se ha invertido y cómo vamos a resolver este detalle bueno pues hace unos vídeos ya atrás dijimos el siguiente resultado si ya es una matriz cuyas columnas cuyas columnas columnas o cuyos vectores que forman las columnas son linealmente independientes entonces entonces la matriz a transpuesta por a es invertible siempre es siempre invertible invertible siempre muy bien este resultado lo hice hace ya algunos vídeos y lo dice explícitamente pensando en este momento entonces como la matriz estuvo formada por los vectores de la base y para que sean base necesitan forzosamente ser linealmente independientes entonces esta matriz si es invertible esta matriz si es invertible y por lo tanto vamos a tener que que podemos multiplicar por la inversa del lado izquierdo de ambas expresiones y así poder despejar y eso se da de la siguiente forma tenemos que si multiplicamos por a transpuesta a a la menos 1 que existe por lo que ya acabamos de mencionar y luego multiplicamos por lo que está aquí a transpuesta x esto será lo mismo que si multiplicamos a transpuesta por a a la menos 1 transpuesta porque sin embargo esta matriz por esta otra matriz como son inversas al multiplicarse me da simplemente la matriz identidad y esto me está concluyendo que la identidad porque eso solo es que debe ser igual a la siguiente matriz a transpuesta a la siguiente expresión más bien a transpuesta x a a la menos 1 x transpuesta x muy bien ahora podemos definir la proyección de la siguiente forma porque realmente como teníamos definido de la proyección era así teníamos que la proyección la proyección sobre un sub espacio b me fui del lado de un vector x era igual a la matriz a porque donde no sabíamos quién era y esencialmente solo sabíamos que ya estaba en r acá pero ahora ya podemos definir de la siguiente forma o la proyección como la proyección es a porque simplemente me quedan definido de la siguiente de cómo voy a escribirlo ahorita la proyección sobre el sub espacio b del vector x pues va a ser igual a nuestra matriz a esta de aquí por ya que es esta expresión x a transpuesta a a la menos 1 x transpuesta x y ahora sí esta es una función que depende de x de forma explícita y esto ya es una transformación lineal porque porque todo esto pues será alguna matriz no sabemos cuál exactamente dependerá de de la elección que tomemos de la base pero es una matriz es alguna matriz y por lo tanto es también define una transformación transformación lineal ok esto ya es una transformación lineal y acabamos de demostrar por qué es así es una transformación lineal porque es una matriz por él y por ese vector entonces qué fue lo que hicimos esto realmente es bastante difícil de calcular si uno lo quiere hacer con papel y lápiz porque primero uno tiene que encontrar la base del psuv espacio vez sobre el cual queremos proyectar construimos la matriz y entonces tenemos que calcular varias cosas tenemos que calcular la matriz a transpuesta multiplicar la para calcular su inversa y después multiplicar la por a entonces este cálculo es bastante complicado si uno lo quiere hacer con papel y la piscina embargo es muy útil en programación gráfica en tres dimensiones por ejemplo supongamos que tenemos por aquí algún algún sólido en tres dimensiones digamos como como alguna especie de cubo tenemos un cubo y nos preguntamos si tenemos a un observador de este lado a través de una pantalla que tenemos aquí una pantalla y el observador ve a través de esta pantalla cómo se reflejaría o cómo se vería este cuerpo sólido en este espacio que esencialmente es un sub espacio verdad entonces lo único que necesitamos es considerar la base de la pantalla y todos estos puntos que forman este sólido y los proyectando sobre este este sub espacio que es una computadora lo puede hacer muy fácilmente y de forma muy rápida con esta forma de expresar la proyección así que si conoces una base de esta pantalla de tu pantalla a través de la cual quieres ver el cuerpo puedes proyectarlo fácilmente así que este resultado en realidad es súper útil