If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Si estás detrás de un filtro de páginas web, por favor asegúrate de que los dominios *.kastatic.org y *.kasandbox.org estén desbloqueados.

Contenido principal

Otro ejemplo de una matriz de proyección

Encontramos la matriz de transformación de una proyección en un subespacio al averiguar primero la matriz de la proyección en el subespacio del complemento ortogonal. Creado por Sal Khan.

Transcripción del video

vamos a considerar ve un sub espacio vectorial nuevamente y vamos a suponer que es el conjunto de todos los vectores digamos que sean x 1 x 2 x 3 todos aquellos vectores de este tipo de coordenadas pero que además satisfacen una expresión que tenemos que voy a apuntar en unos momentos que satisfacen que x1 + x2 más x 3 es igual a 0 es decir que si sumamos las coordenadas de este vector entonces la suma de todas sus coordenadas me debe dar 0 y como en el vídeo anterior estamos buscando encontrar quién es o cómo está definida la proyección sobre el sub espacio b de cualquier vector x que se encuentra en rn ahora bien si tomamos esto si tomamos este sub espacio b que ya vemos que es un plano en r3 lo que vamos a hacer es despejar la x 1 y tratar de parametrizar lo entonces tenemos que x 1 será igual a 2 x 2 - x 3 y ahora lo que podemos hacer es justamente la parte de la parametrización digamos que x 2 es igual a cierto número c 2 y que x 3 déjenme déjenme hacerlo con verde vamos a seguir haciéndolo con verde digamos que x2 es cierto número dos y que x 3 es cierto número 3 el mismo truquito de la parametrización que siempre hemos hecho entonces esto de acá arriba ya no es x2 aquí es de 2 este es de 3 y por lo tanto x 1 lo podemos reescribir como x 1 es menos co2 menos 3 donde por supuesto x 2 o más bien c2 y c3 son cualesquiera números reales entonces vamos a reescribir esto porque tendremos que el sub espacio b será el conjunto de los x 1 x 2 x 3 tales que sean de la siguiente forma fíjense xy si multiplicamos primero por cerdos por cerdos quienes tienen hace dos a x1 que tiene aquí un -1 ok a x2 que tiene un 1 y x 3 no tiene hace 2 entonces le ponemos un 0 muy bien y además vamos a tener que sumar vamos a tener que sumar un c3 es verdad se 3 x 1 tiene un menos 111 3 - 1 y se x2 no tiene hace 3 esto es 0 y x 3 si tiene hace 13 es un 1 de hecho ok y este es este es nuestro psuv espacio que no es otra cosa más que si nos damos cuenta aquí estamos multiplicando por todos los valores posibles al menos 110 y al menos 101 entonces esto nos está diciendo que ve es el espacio vectorial generado por estos dos vectores por el vector menos 110 y por el vector menos 10 ok entonces tenemos este espacio vectorial generado y podemos utilizar exactamente lo mismo que vimos antes podemos construir nuestra matriz de la base y que además por cierto estos dos son base verdad porque si aquí tenemos un 1 y aquí tenemos un 0 la única forma de multiplicar a este para que nos dé este vector es x 0 pero eso no es cierto porque menos 1 por 0 me da 0 y no nos da menos 1 entonces estos dos no son linealmente dependientes de hecho son linealmente independientes y como generan al espacio vectorial entonces es una base y por lo tanto podemos construir nuestra matriz a verdad la matriz aquí yo lo había definido como aquella matriz que tiene como columnas a la base de nuestro espacio b ok a una base porque pueden obtener una única entonces con esta matriz lo que podemos hacer es definir la proyección la proyección sobre el sub espacio be de cualquier vector x de la siguiente forma como una multiplicación de matrices sabemos que era a x a transpuesta por a a la menos 1 x transpuesta que multiplica a nuestro vector x ok entonces vamos a buscar ahora otra forma de poder llegar hasta a conocer esta matriz de proyección y lo que vamos a hacer es lo siguiente vamos a irnos a lo siguiente vamos a tratar de encontrar una forma más fácil de poder hallar esta matriz de proyección y eso lo vamos a hacer de la siguiente forma consideremos cualquier vector en r3 muy bien esto inmediatamente me está diciendo sabemos que x lo puedo descomponer como una suma de dos vectores de hecho uno ve que este es el que se encuentra en el sub espacio vectorial b y un w que se encuentra en el complemento ortogonal entonces vamos a escribir eso donde donde ve está en nuestro psuv espacio b&w se encuentra en el espacio vector ya en el complemento ortogonal de este sub espacio b ok y eso pues lo podemos reescribir de una sola forma es decir que x en realidad lo puede escribir como la suma de la proyección sobre el espacio b de x más la proyección pero sobre el sub espacio b ortogonal de x del complemento ortogonal de x esto podríamos escribirlo incluso también matricial mente porque del lado izquierdo uno tiene la matriz identidad la matriz identidad y tres de x y tres de x que será igual a la matriz b digamos si estamos calculando la proyección de este x sobre sobre el sub espacio b entonces esto es alguna matriz por equis de hecho esta matriz es esta de aquí verdad más cierta matriz sé que multiplica a equis o bien podríamos sí sí sí factorizar del lado derecho la equis esto lo podríamos ver como la matriz identidad de tres por tres que multiplica x será igual además que multiplica al vector x muy bien y de hecho para que esta ecuación pueda darse a cabo lo que nos corresponde hacer es ver que la matriz y de entre y identidad perdón de tres por tres sea igual a una matriz b más una matriz c esta expresión nosotros queremos resolver para ver por qué la matriz be es la matriz de proyección sobre el sub espacio b entonces lo que podríamos pensar es bueno quizás la matriz de proyección sé que es la matriz de proyección sobre el complemento ortogonal quizás sea más fácil de obtener y entonces que tendríamos si la c la pasamos restando del lado izquierdo tendríamos que ver es igual a la matriz identidad de 3 por 3 menos y entonces simplemente esto se vuelve algo muy sencillo de calcular siempre y cuando sea también sencillo calcular nuestra matriz ce entonces vamos a intentarlo déjenme reescribir esto déjenme reescribir lo que llevamos déjenme reescribir eso porque tenemos nuestro sub espacio b que es el conjunto de todos los vectores x 1 x 2 x 3 tales que tales que tales que cumplen esta está esta propiedad que la suma de todas sus coordenadas nos de 0 muy bien eso que nos está diciendo aquí lo que podríamos expresar es esto porque tenemos digamos la matriz 111 que podemos hacer una multiplicación con el vector x 1 x 2 x 3 verdad porque si yo multiplico esto me queda 1 x x 1 es x 11 x x 12 x 21 x x 3 x 3 y esto debe ser igual a la matriz que sólo tiene una entrada y que es 0 verdad entonces en realidad nuestro espacio vectorial ve nuestro espacio vectorial b es el espacio nulo de una matriz porque estamos viendo todos aquellos vectores que al multiplicarlos por una matriz de hecho es la matriz 1 1 a de multiplicarlos nos da el 0 ok entonces realmente nuestro espacio vectorial lo podemos ver como en el es como el espacio nulo de la matriz 1 1 1 muy bien y vamos a tratar de darle visualización de esto vamos a tratar de dar un poco de visualización yo puedo tener aquí mi plano está mi plano un poquito más grande es mi plano ahí está y por supuesto estamos pensando que se extiende en todas las direcciones y queremos ver a su complemento ortogonal vamos a verlo aquí para poder hacer las proyecciones muy bien este es el complemento ortogonal y acá se encuentra ve de hecho quien sería el complemento ortogonal el complemento ortogonal sería el complemento ortogonal es el espacio nulo de nuestra matriz 111 verdad porque b es este espacio nulo y hay que calcular este ortogonal entonces realmente si ya está ya sabemos de hace muchos vídeos que el núcleo o el espacio nulo de una matriz cuando queremos calcular el club el complemento ortogonal eso no es otra cosa más que el espacio fila o lo que es lo mismo el espacio columna de nuestra matriz a pero transpuesta entonces esto que tenemos aquí no es otra cosa más que el espacio columna de la matriz transpuesta pero la matriz transpuesta es simplemente poner para adif o al vector muy bien está allá de pie o lo que es lo mismo es lo mismo que el espacio columna de un vector es lo mismo que el espacio vectorial generado por el vector 111 muy bien y eso es simplemente porque pues un solo vector que no es el cero siempre es linealmente independiente y además pues si genera el espacio entonces ya tenemos una base completa para ese para ese espacio entonces podríamos aplicar lo mismo que hemos estado aplicando para la matriz a pero para una nueva matriz que digamos vamos a llamarla no lo sé vamos a llamarla la matriz de que no he utilizado ese nombre que es la que tiene como columnas a las columnas de la matriz en este caso sólo es una columna que es el 1 1 1 ok entonces la proyección vamos a calcular ahora la proyección sobre el espacio el sobre el complemento ortogonal de nuestro sub espacio b de cualquier vector y eso como vimos en hace ya dos vídeos y como hemos visto en el en los ejemplos anteriores esto es nuestra matriz de que multiplica de transpuesta x de a todo eso a la menos 1 que multiplica de transpuesta y multiplica finalmente a nuestro vector x entonces qué es lo que hemos estado haciendo hasta ahorita tenemos a b1 que es el conjunto de todos los los vectores que satisfacen esta está igualdad muy bien entonces nos interesaba nos interesaba saber cuál es la proyección de cualquier vector sobre ese espacio vectorial en particular entonces esto nos llevó a pensar que quizás calcular esta multiplicación de matrices podría ser realmente revoltoso complicado y demás así que vamos a irnos lateralmente por otro lado vamos a tratar de resolver el problema de otra forma y eso es viendo que si podemos expresar lo de esta forma llegamos a una ecuación entre matrices que la identidad de 3 por 3 es nuestra matriz b más la matriz c o bien que la matriz que me interesa que es la b que es la matriz de proyección sobre el sub espacio b de nuestro de cualquier vector x es la matriz identidad de 3 x 3 menos la matriz de proyección pero sobre el complemento ortogonal muy bien entonces vamos a ver esta es la matriz ésta esta de aquí esta que voy a enmarcar esta es la matriz la matriz de transformación la matriz de transformación muy bien y que es nuestra matriz sé que queremos encontrar muy bien y entonces esto debe ser muy sencillo de calcular porque de transpuesta de transpuesta es el la matriz que está acosta la verdad de esta forma es aquí está de simplemente de transpuesta es esa misma pero acostada que hay que multiplicarlo por x por d del lado derecho es decir hay que hacer esta multiplicación lo más derecho esta multiplicación 1 y al hacer esta multiplicación que es lo que obtenemos pues simplemente vamos a obtener si tenemos una matriz aquí que es de 1 x 3 y este es de 3 por 1 pues simplemente obtenemos una de uno por uno entonces tenemos este renglón por esta columna hacemos la multiplicación del producto escalar y tenemos uno por uno es hacerlo con este color uno por uno es 1 1 por 1 es 1 así que aquí los sumando y finalmente uno por uno es 1 y nos queda la matriz de un único elemento que es el 3 así que esta expresión que tenemos aquí no es otra cosa más que de que es esta matriz 111 que multiplica esto me quedó bastante feo es la 111 que multiplica a esta matriz que encontramos pero inversa es decir esta matriz la matriz que sólo tiene al 3 pero inversa y que multiplica la matriz acostada que tiene 111 y finalmente multiplica al vector x pero hay que ver hay que recordar muy bien recordemos muy bien que a la menos 1 por a es la identidad verdad entonces si yo tengo la matriz que solo tiene al 3 a la menos 1 y tengo que multiplicarlo por el 3 y me debe dar la matriz identidad pero de uno por uno es decir la que tiene solo al 1 entonces por quien tengo que multiplicar al 3 para que me dé 1 pues eso es simplemente la la matriz que tiene un tercio verdad un tercio por la matriz que tiene 3 me da la matriz que sólo tiene 1 entonces esta parte de aquí no es otra cosa más que la matriz que solo tiene al un tercio entonces realmente estamos considerándolo como un escalar muy bien entonces vamos a ir terminando esto porque la proyección vamos a escribirlo así la proyección sobre nuestro psuv espacio el complemento ortogonal debe de cualquier vector x no es otra cosa más que un tercio verdad este un tercio sacándolo hasta el final de 111 que multiplica al vector loops esto quedó bastante amplio que multiplica al vector pero acostadito 111 muy bien y esto por supuesto es multiplicarlo por equis y otra vez este es de uno por tres y esta es de tres por uno entonces perdón lo puse al revés lo puse al revés este es de 3 x 1 verdad esta de aquí esta de aquí déjenme también el tamaño esta de aquí perdón es de 3 x 1 y esta de aquí es de 1 x 3 verdad es el número de renglones son 3 y de columnas es una aquí el número de renglones es 1 pero son tres columnas entonces me debe quedar una matriz de tres por tres y esa matriz es muy sencilla de calcular vamos a tener aquí que la proyección sobre el complemento ortogonal de x pues va a ser un tercio va a ser un tercio que multiplica y fíjense vamos a tener que multiplicar este renglón que sólo tiene un elemento por esta columna que sólo tiene un elemento verdad y aquí va el 1 y de hecho si hacemos lo mismo con cada uno de los otros me queda puros unos lo mismo pasa si yo tengo este renglón que es el 1 y lo voy multiplicando por cada una de las columnas eso me da que todos los elementos de esta matriz son uno sí bueno podría meter en un tercio aquí para multiplicarlo pero eso solo me va a complicar el asunto y finalmente hay que multiplicar por nuestro vector x así que vamos a repasar tantito ya que habíamos pero bueno habíamos definido este espacio vectorial vimos estas propiedades y que le dimos la vuelta al problema donde realmente ya no íbamos a calcular la matriz de proyección sobre el espacio vectorial b si no íbamos a calcular la matriz de proyección pero sobre el complemento ortogonal y después a la identidad se le restamos para obtener la que realmente nos interesa entonces vamos a hacer eso vamos a hacer eso vamos a tener aquí que la proyección la proyección sobre el espacio ve ya no sobre el complemento ortogonal todo esto lo que hicimos fue para el complemento ortogonal aquí ya sobre el espacio b de x es una matriz b que multiplica x y esa matriz b no es otra cosa más que la matriz identidad menos la matriz sé que es esta es la matriz entonces podemos decir que b es la identidad de tres por tres que es la que tiene uno en la diagonal cero en todos lados menos un tercio de la matriz que tiene puros 1 la matriz de 3 por 3 que tiene puros unos y eso bueno en realidad lo podríamos pensar como que que esté un tercio lo podemos quitar y poner un tercio en todos lados un tercio aquí un tercio un tercio un tercio un tercio y un tercio y esto pues simplemente fíjense en la diagonal tenemos uno y le vamos a restar un tercio muy bien entonces en la diagonal si yo tengo tres tercios y le quitó un tercio en la diagonal vamos a tener dos tercios dos tercios y dos tercios muy bien ahora bien en los otros yo tengo 0 y le voy a restar un tercio entonces aquí sería menos un tercio menos un tercio menos un tercio menos un tercio menos un tercio me falta este menos un tercio muy bien entonces aquí ya es como pudimos encontrar la matriz de transformación es esencialmente hallando primero hace hace que es la matriz tras de sí la matriz de transformación déjenme ver dónde donde lo note seguramente donde definía ce pero bueno se es la matriz de transformación pero de la proyección sobre el complemento ortogonal y aquí sabemos que la matriz que me interesa era la identidad menos esta matriz que obtuvimos aquí verdad entonces esto simplemente nos llevó a encontrar esta matriz que ya es la matriz b la que nos interesaba esencialmente y que de hecho podemos creo que fue algo muy bonito todavía podríamos reescribir esto de aquí todavía podríamos reescribir esto de aquí como un tercio verdad porque a todos les puedo factorizar un tercio de quien aquí en la diagonal son 22 2 y en el resto son menos 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 ok esto es una expresión incluso mucho más agradable de quién es la matriz de transformación ve de todos de todas formas nos vemos en el próximo vídeo