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Contenido principal

La proyección es el vector más cercano en el subespacio

Mostramos que la proyección de x en un subespacio es el vector más cercano a x en el subespacio. Creado por Sal Khan.

Transcripción del video

digamos que tenemos un sub espacio vectorial b y vamos a dibujarlo como si fuera un plano es decir tenemos aquí un sub espacio vectorial b que más o menos es de esta forma vamos a hacerlo un poquito distinto y está ok vamos a hacerlo derecho más o menos este es nuestro sub espacio vectorial ve ok este es nuestro sub espacio de d sub espacio y vamos a suponer que tengo un vector x digamos un vector x cualquiera por aquí que éste es director x lo que quiero hacer o lo que quiero mostrar en este vídeo es que la proyección de x sobre el sub espacio sobre nuestro sub espacio b es el vector más cercano que podemos encontrar dentro del psuv espacio y es más cercano a x verdad entonces aquí estaremos pensando que la proyección de x sobre nuestro sub espacio pues es un vector por aquí ok es más o menos este vector de aquí a este punto entonces aquí estamos pensando que está el origen y este este de aquí es la proyección la proyección sobre el espacio ve del vector x muy bien entonces aquí lo que vamos a demostrar es utilizando fórmulas de distancia es verdad porque lo que tenemos lo que tenemos es lo siguiente yo lo que yo quiero calcular la distancia de x a éste a este vector que es la proyección sobre el espacio b entonces si nos tomamos por ejemplo cualquier otro vector que se encuentre en nuestro sub espacio digamos este vector de aquí vamos a llamarle b ok este vector de aquí lo que yo tengo que demostrar es que la distancia de x a la proyección sobre el sub espacio b de ese x y que de hecho la distancia está dado a sí verdad como la la norma o la magnitud de la diferencia de estos dos vectores ya que eso me da la distancia que hay entre estos dos puntos entonces lo que a mí me gustaría ver es que si este vector que es la resta vamos a poner este que es la resta en este de aquí este de aquí es la resta a muy bien entonces este esta diferencia la distancia debe superar debe ser perdón debe ser menor al revés verdad debe ser mucho menor que esta otra distancia que tuviéramos por aquí es decir si fuéramos de equis a cualquier otro vector b ok entonces esto debe ser mucho menor debe ser menor o igual no necesariamente mucho verdad a lo mejor están aquí cerquita pero debe ser menor o igual que la distancia entre x y b es decir lo podemos escribir como la norma por la magnitud de la diferencia verdad x menos b entonces este vector de aquí es x menos b y estamos vamos a demostrar que esta desigualdad es cierta y para hacer eso lo que vamos a hacer es ir construyendo algunos otros vectores que nos vayan a ir auxiliando vamos a partir de esta de esta norma partamos de la norma de x menos b y vamos a hacer esto al cuadrado ok vamos a partir con eso al cuadrado esto quién es esto esencialmente lo podemos ver de la siguiente forma podemos construir un vector que vaya de aquí a este punto y que vamos a llamar be ok y luego si le sumamos a entonces estamos partiendo de este punto y llegamos a x entonces x b lo podemos expresar como la norma la norma de masa donde esté aquí esta vez de este color b más a más a que está en verde verdad este de aquí este de aquí es a entonces estamos calculando esta norma ahora bien quienes ve quienes ven pues esencialmente ve no es otra cosa más que la proyección de x este vector menos b verdad porque es el que apunta debe a la proyección entonces esto es igual esto es igual a la proyección a la a la proyección la proyección sobre ve del vector x menos ve - el vector be ok entonces estévez es el que apunta debe bueno de vela vial be de burro es el que apunta debe de vaca la proyección entonces es la diferencia de esos dos vectores muy bien entonces es esta diferencia y como estamos elevando al cuadrado lo ponemos al cuadrado y por qué lo hicimos al cuadrado porque al cuadrado lo podemos expresar como un producto punto entonces esto será de masa punto de masa de más a muy bien y esto sí si utilizamos las propiedades distributivas del producto punto no es otra cosa más que de punto b a punto b y luego seguiría de punto entonces tenemos dos veces a punto b más apuntó ahora hay que notar algo que es muy importante donde se encuentra nuestro vector b si nos damos cuenta es la diferencia de dos vectores que se encuentran en nuestro psuv espacio entonces b se encuentra en nuestro psuv espacio y por otro lado a es un vector que construimos por definición que sea ortogonal a todo el espacio verdad entonces en particular va a ser ortogonal a b quiere decir que esto que tenemos aquí no es otra cosa más que 0 eso se anula no le queda de otra más que ser anulado entonces esto ya nos da muchísima muchísima herramienta para seguir trabajando y ver qué es lo que está ocurriendo porque la diferencia está esta norma la norma de x menos b al cuadrado como éste terminó en cero no nos queda b punto b que es la norma debe al cuadrado la norma de al cuadrado la norma de a al cuadrado sin embargo hay que notar que como la norma debe es al cuadrado es un número positivo o podría ser cero pero pero al menos es cero o algo más grande que cero entonces esto necesariamente es mayor o igual que la norma de a al cuadrado podría ser igual si la norma debe cero pero en general no necesariamente tiene que ser así puede ser cualquier otro vector pero su norma al cuadrado es un número positivo entonces si a un número le le le sumas algo positivo pues definitivamente va a ser más grande que el número original entonces lo que tenemos es que la norma de x menos b al cuadrado es mayor o igual que la norma de a al cuadrado sin embargo hay que bueno podríamos sacar raíz cuadrada de ambos lados y tenemos que la norma de x menos b al cuadrado es mayor verdad dijimos que íbamos a quitar este cuadrado sacamos raíz cuadrada de ambos lados de la desigualdad y nos queda que la norma de x menos b es mayor o igual que la norma de a muy bien entonces esto simplemente lo reescribimos porque a quienes es x menos la proyección de b entonces este resultado de aquí lo podemos expresar de la siguiente forma que la norma de x b es mayor o igual que la norma de a pero a es x menos la proyección sobre el vector de de x y esto por supuesto fue un resultado general es decir nos tomamos un b arbitrario nuestro psuv espacio y como fue arbitrario entonces esto se vale para cualquier punto que se encuentre en el sub espacio cualquier punto que se encuentra en el sub espacio su distancia x va a ser siempre mayor o igual que la distancia de x a la proyección y por lo tanto la más corta de todas las project es la más corta de todas las distancias es la de la proyección sobre nuestro sub espacio y ahí lo tienen hemos demostrado esta propiedad y esto pasa también para cualquier vector arbitrario x que se encuentre en nuestro espacio