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Contenido principal

Visualizar una proyección en un plano

Visualizamos una proyección en un plano. Mostramos que las definiciones nueva y vieja de proyección no son tan diferentes. Creado por Sal Khan.

Transcripción del video

voy a hacer un vídeo más donde comparamos nuevas y viejas definiciones de lo que es una proyección ok ahora nuestra vieja definición sobre una línea l de un vector x es decir teníamos una proyección una proyección sobre una línea l de un vector xy decíamos que es el vector en l es el vector en l en el que cumple es decir tal que x menos esa proyección menos el vector proyectado sobre el de s x es ortogonal es ortogonal a l exportó gonal nuestra línea l y déjenme hacer un dibujito de qué es lo que estoy diciendo tengo aquí una línea l aunque este es nuestra línea l y tengo por acá un vector x déjenme hacerlo con este color verde tengo un vector x por aquí este es nuestro vector x y entonces nos preguntamos por la proyección por la proyección entonces necesitamos un vector por aquí digamos no se esté alguien por aquí tal que al hacer la resta de x menos este vector tengamos un vector que sea ortogonal a toda la línea y sabemos que la diferencia de vectores lo podemos entender como un vector que apunta de uno al otro verdad entonces estamos pensando que a lo mejor que esté que debe haber aquí un vector aquí debe haber un vector que en este caso aquí ya tendrá la punta tal que la diferencia o podemos entender como el vector que apunta de uno a otro la exportó con 'la a toda esta línea entonces aquí estamos pensando que este es x menos la proyección de sobre el del vector x y que éste le estamos llamando bueno es esta diferencia la que queremos que sea ortogonal y por lo tanto estamos pensando que este vector de aquí este de aquí completito este es la proyección la proyección sobre l de nuestro vector x muy bien entonces visto de esta forma también podemos decir que la proyección sobre l de x es el vector voy a seguirlo aquí es el vector en l en el tal que tal que x - d es igual a w y en ese sentido estoy pensando que w va a ser este este vector va a ser el w verdad y si de si esto es w entonces la proyección va a ser igual a b en escribirlo bien ve ok es decir que x menos b que es este vector que apunta hacia arriba lo llamamos w y por lo tanto w estamos pensando es más déjenme escribirlo de esta forma si pasamos a ver el sumando del otro lado vamos a obtener que x va a ser igual a b más w cuál es la diferencia en esta expresión o lo importante que la b la b lo consideramos dentro de mí de mi espacio l es decir sobre la línea y por lo tanto w dijimos que es un vector ortogonal a toda la línea por lo tanto este w de aquí estamos pensando que se encuentra en el espacio ortogonal a la línea y esto coincide perfectamente con la idea que teníamos anteriormente verdad en donde decíamos que la proyección de un vector era simplemente tomarnos el vector correspondiente al sub espacio que estamos considerando verdad cuando lo descomponemos de esta forma entonces vamos a extender esta misma idea a algo más general que no sea líneas y vamos a hacer un pequeño ejemplo por ejemplo si vamos a tomar un ejemplo en tres dimensiones es decir vamos a suponer ahorita que estamos en tres dimensiones estamos en r3 y vamos a suponer no que tenemos una línea sino que tenemos un plano plano más o menos que se vea de esta forma ok por supuesto aquí lo estoy reduciendo pero hay que entender que el plano pues se extiende en todas las lentas las direcciones verdad se extiende de esta forma todas las direcciones muy bien y vamos a pensar también vamos a llamarle a éste el espacio ve y vamos a pensar en el espacio ortogonal que en ese sentido pues tiene que ser una línea una línea de esta forma ok es una línea que es ortogonal a todos los puntos en el plano verdad y esto sí se ve por atrás y luego sigue esta línea entonces vamos a hacer vamos a considerar ahora un vector x en el espacio que este es mi vector x que se encuentra en el espacio y me pregunto exactamente en la proyección de x sobre nuestro espacio b estamos pensando en la proyección de x sobre el espacio b y bueno tenemos que pensar en la forma en que este x se puede descomponer como una suma de dos vectores uno que se encuentre en el espacio en el complemento ortogonal a b y otro que se encuentra en b ok entonces más o menos podríamos pensar en algo así en este vector moradito déjenme ponerlo con otro color este verde pensando en este verde y después vamos a sumarle un vector que se encuentre en nuestro espacio ortogonal que si le sumamos ese vector nos debe dar x verdad entonces este este vector que se encuentra en el sub espacio b este de aquí es la proyección sobre el espacio b de nuestro vector x y este de acá arriba es el que le llamábamos w este es el que le llamamos w en el ejemplo anterior es el que juega el papel de w en este ejemplo ok entonces cuando nos extendemos a un plano también podríamos definir la proyección la proyección sobre un espacio ve que puede ser por ejemplo un plano de este vector como el único vector el único vector el único vector digamos que se llame ve en nuestro psuv espacio en nuestro sub espacio b mayúscula tal que x lo puedo descomponer como b w y esta descomposición está dada de la siguiente forma necesitamos que w es un elemento es un elemento único el elemento único del complemento ortogonal es decir debe ortogonal es decir sabemos que esta descomposición la podemos hacer eso lo vimos ha sellado varios vídeos es una descomposición donde ve se encuentra en el espacio en el sub espacio de mayúscula y w se encuentra en el complemento ortogonal esta descomposición es única y por lo tanto podemos definir muy bien que la proyección sea este único vector b ok entonces esto esto todavía promueve muy bien la idea de que la proyección podemos pensarla como la sombra que se genera al emitir una luz de forma perpendicular al plano verdad esto por supuesto es una idea que ya no es una línea esto ya es un plano y en sí podemos generalizar esto a todo rn es decir si queremos generalizar lo que lo podemos ver incluso aquí en el plano podemos definir también la proyección sobre nuestro sub espacio desde el vector x ok como digamos algún vector único algún vector único en nuestro sub espacio ve tal qué tal que x menos la proyección sobre nuestro sub espacio be del vector x es ortogonal es ortogonal ortogonal a todo el elemento debe es la misma idea pero ahora lo estamos viendo en nuestro plano verdad aquí estamos viendo que esta diferencia que es el w debe ser ortogonal a todo el plano v muy bien es decir estar bien estaremos pensando que x menos la proyección sobre nuestro sub espacio b de x se encuentra en el complemento ortogonal y más o menos estoy diciendo lo mismo con distintas palabras pero es para que quede más claro que es lo que estamos haciendo y por lo tanto digamos ya esté completito le llamo w y a este de aquí le llamo b entonces lo que estoy diciendo es que w es igual a y si sumamos ver de ambos lados tenemos w + b es igual a x muy bien entonces solo quería darte un vídeo más para visualizar proyecciones sobre sub espacios distintos a lo que son las líneas y mostrar que nuestra vieja definición de proyección en una línea que es como la idea que tenemos acá arriba que es por cierto es una transformación lineales es esencialmente equivalente a esta a esta nueva definición y esto es definiendo lo en cualquier sub espacio en el próximo vídeo les mostraré que esto de aquí que estoy aquí para cualquier sub espacio es en realidad una transformación lineal