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Contenido principal

Otro ejemplo de mínimos cuadrados

Usamos la aproximación por mínimos cuadrados para ajustar una recta a ciertos puntos. Creado por Sal Khan.

Transcripción del video

tengo cuatro puntos en coordenadas cartesianas aquí y el primero es el punto menos 10 ok que es vamos vamos de hecho vamos a asignarle nuevos colores para que vean cuáles son este es el punto menos 10 también tengo el punto 0 1 aunque que lo vamos a hacer ahora con este morado este es el punto 0 1 también tengo el 1 2 el 12 que lo vamos a hacer digamos con amarillo 12 ahora lo vamos a ubicar por amarillo y el último que es el 21 vamos a ubicarlo con el verde vamos a ubicarlo con el verde y es este que se encuentra aquí ok entonces ahora mi mío mi objetivo es en este vídeo es hallar una línea de igual a mx más ve que pase por estos puntos y lo primero que puedes decir es oye no habrá ni una línea que haga eso y lo puedes ver inmediatamente no sé por ejemplo puedes pensar en una línea que pase por estos tres pero ya no va a poder pasar por este cuarto verdad entonces quizás podemos si no podemos hallar una línea que pase por estos cuatro puntos podríamos hacer una ecuación y usar la técnica de mínimos cuadrados para hallar una línea que para que aunque no pase por todos ellos casi pase por ellos ok entonces lo que vamos a necesitar es es construir una una ecuación digamos éste digamos vamos a vamos a escribir fx vamos a empezar escribiendo y yo lo voy a escribir como una fx ok y que ésta tiene que ser mx más ve esta es la recta que estoy buscando sale entonces sabemos por estos puntos que por ejemplo efe efe de menos 1 déjenme ponerlo alineado efe de menos 1 debe ser igual a menos m ve correcto verdad sustituyendo aquí y por otro lado debe ser 0 verdad esta línea debe pasar por 0 en menos 1 también debe pasar también debe pasar que efe en 0 pensando en este punto debe ser igual a 0 por m que 0 + b y eso debe ser igual a 1 muy bien vámonos con el tercero más bien efe de uno debe ser igual a m b m de verdad y eso nos debe dar igual a 2 y finalmente con el punto verde con el punto verdes efe debe ser igual a 12 m + b y debe ser igual a 1 muy bien entonces esto de aquí esto que tenemos justamente aquí esto esto ya no se está dando un sistema de ecuaciones del cual podemos sacar una toda la toda la información para usar la técnica de mínimos cuadrados verdad podía podemos construir una matriz a que está dado por los coeficientes de las incógnitas m&b entonces por ejemplo aquí podríamos dar va a ser una matriz grande este es menos 1 y 1 correspondiente a estos aquí va a ser 0 y 1 verdad 1 y 1 y 2 y 1 y a esto lo multiplicamos por el vector de coordenadas m y b que son mis incógnitas y debe ser igual a 0 12 10 2 y 1 muy bien ahí tenemos esta de aquí este de aquí es lo que vamos a llamar a la matriz a este de aquí es el vector x y este de aquí es mi vector b entonces lo que sí podemos saber es que como no hay una línea que pase por todos los puntos pues entonces no hay solución no hay solución no hay una solución para la ecuación x igual a b no la va a ver no hay que buscarle más ok pero lo que vamos a intentar hacer es vamos a hallar vamos a hallar un x estrella x estrella y como ya lo hemos hecho que sea la solución por mínimos cuadrados es decir que satisfaga esta ecuación a transpuesta a x estrella debe ser igual a a transpuesta por nuestro vector b muy bien entonces lo único que nos falta hacer es multiplicar a transpuesta por a y multiplicar a transpuesta por b y resolver este sistema ok entonces sólo a modo de repaso si suponemos que la línea pasa por los cuatro puntos debe satisfacer estas ecuaciones esto debe ser cierto y es lo que nos da el sistema que aunque no tiene solución podríamos intentar usar la técnica de mínimos cuadrados entonces vamos a bajarle un poco para ver quién es a transpuesta por a y sabemos que atrás pues estos están estos renglones a hacer los columnas y entonces tenemos menos 1 1 0 1 121 y multiplicamos por la matriz a que es menos 10 1 y 2 y acá puros son 111 muy bien entonces esta multiplicación es a transpuesta por a y entonces esta es de 2 x 4 y este es de 4 por 2 me va a quedar al final una matriz de 2 por 2 muy bien entonces vamos a hacer la multiplicación de este renglón por esta columna y es menos 1 x menos 1 es 10 por 0 0 1 por uno es 1 y con el 1 que llevábamos es 2 y luego 2 x 2 es 4 y con los dos que teníamos tengo 66 aquí vamos con renglón y columna fíjense que como multiplicamos por puros unos a este menos 1 por 10 por 11 por 1 y 2 por 1 simplemente es sumar las entradas de este renglón entonces menos 1 y 0 es menos 1 y 1 nos da 0 y me queda finalmente 2 esto es 2 lo mismo va a ocurrir cuando multiplique este renglón por esta columna verdad porque son puros unos multiplicando a esto entonces me queda menos 10 es menos uno más uno es cero y más dos me queda simplemente 2 2 y vamos a hacer vamos a hacer el último que es este renglón por esta columna y si se dan cuenta es multiplicar 1 con 1 4 veces y entonces eso es 4 verdad 1 2 3 4 muy bien entonces esto es a transpuesta ahora vamos a ver ahora quién es a transpuesta por b multiplicamos a transpuesta vamos a bajar un poco a transpuesta que es nuevamente menos 1 012 y aquí 1 1 1 y 1 que multiplican que multiplican al vector b que es este vector de aquí este vector de aquí 0 1 0 1 2 1 y eso me debe dar un vector y fíjense esta es una matriz de 2 x 4 y este es de 4 x 1 entonces me debe dar un vector de 2 x 1 muy bien entonces vamos con este renglón por esta columna y es menos uno por cero es 0 0 por 10 1 por 2 2 y 2 por 1 es 2 si sumamos esos me dan 4 verdad ahora vamos con 1 por 0 0 1 por 11 1 por 2 2 más el 1 que llevaba 3 y 1 por 11 3 que tenía 4 entonces esto es a transpuesta por b así que finalmente lo que nos resta es resolver el siguiente sistema tenemos la matriz a transpuesta qué es 224 que multiplica al vector x estrella que es el que quiero encontrar y debe ser igual a transpuesta por b que es 44 44 y bien bueno esto dejen escribirlo porque aquí se estrella es el vector que tiene m&b entonces déjenme ponerlo de la con estrellitas en la siguiente forma x estrella pues es el vector m estrella de estrellas o esto recordemos es la pendiente y la ordenada al origen de nuestra línea verdad entonces esto debe ser igual a 44 y bueno tengo mil y un formas de resolver este sistema podría tratar de pasarlo a su forma escalonada en fin lo que yo voy a hacer ahora para variar le un poquito es hacer el sistema de ecuaciones entonces por ejemplo esta primera representa 6 m estrella más 2 ve estrellita debe ser igual a 4 y el segundo renglón dice 2 m estrella 2 m estrella más 4 ve estrella 4 ve estrella debe ser igual a 4 también ok entonces fíjense que primero lo que tengo aquí que resolver este sistema entonces éste lo podemos multiplicar por 2 aquí multiplicar por 2 y me va a quedar 12 m estrella más 4 de estrella será igual a 8 y lo que puedo hacer ahora es este renglón de aquí multiplicarlo por 1 - entonces aquí será menos aquí va a ser un menos verdad un menos aquí y aquí va a ser un menos y ahora vamos a sumar estos dos renglones si sumamos estos dos renglones que me quedan 12 menos 2 me da 10 m estrella 10 m estrella y aquí esto se cancela en verdad aquí se cancelan y 8 menos 4 me da 4 o bien en estrellas y pasamos el 10 dividiendo es 4 entre 10 o lo que es lo mismo 2 sobre 5 2 quintos muy bien entonces si en estrella vale esto lo podemos sustituir en nuestra primera ecuación y que me va a quedar 6 pone me estrella que es dos quintos más dos de estrella que es lo que aún me falta por conocer debe ser igual a cuatro pero seis por dos quintos simplemente son 12 quintos verdad más 2 de estrella debe ser igual a 4 entonces ahora sí vamos a resolver vamos a pasar esté restando y nos queda 2 b estrella es 4 pero en quintos son 20 quintos verdad menos doce quintos y esto pues 20 menos 12 son ocho quintos muy bien y si ya tenemos esos ocho quintos y esos dos estrellas de estrella es simplemente este 2 pasarlo dividiendo y ocho quintos entre dos son cuatro entonces ya tenemos la solución que nos da el método de mínimos cuadrados porque ya tenemos la m estrella y el be estrella tenemos que x estrella x estrella es igual primero a dos quintos dos quintos y el otro son cuatro quintos cuatro quintos pero recordemos que yo estaba buscando la ecuación de una recta de la forma igual a mx + b estaba buscando una recta que pasara por estos cuatro puntos como definitivamente no habrá una recta que pase por esos cuatro puntos lo que voy a hacer es que encontrar una recta que minimiza el error minimiza el error digamos dado por el método de mínimos cuadrados verdad que minimice la distancia entre el vector b y ax ok y ese y esa solución está dada por este vector este dos quintos de hecho vamos a reescribir nuestra recta porque ya será igual a nuestra m estrellita dos quintos por equis más ve estrellita que es cuatro quintos ok esta es nuestra recta y vamos a tratar de graficar la digamos 10 debe de pasar por cuatro quintos más o menos es por aquí y debe tener pendiente dos quintos es decir que por cada cinco que avanza digamos más o menos podríamos pensar que que más o menos por cada que avanza una mitad casi casi en un poquito más entonces estamos pensando vamos a pensar que se avanza una mitad es decir se avanzó 2 en equis avanzó una mitad de nieve pero una mitad quiere decir un poquito más o menos ok y ahora el detalle el detalle complicado es dibujar esta línea verdad más o menos es así más o menos es esta línea más o menos esta es la línea que no se encuentra el método de mínimos cuadrados y es mi aproximación por mínimos cuadrados que pasen por esos cuatro puntos no encontrarás otra línea que minimice el error de forma mejor al menos no cuando me des el error como la distancia del vector ve a la matriz a por equis bueno espero que hayas encontrado esto muy bonito