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Contenido principal

Ejemplos de mínimos cuadrados

Un ejemplo del uso de mínimos cuadrados para resolver un problema irresolvible. Creado por Sal Khan.

Transcripción del video

digamos que tengo tres líneas en r2 y quiero encontrar la intersección de todas ellas es decir quiero hallar el punto en donde las tres coinciden y digamos que la primera es 2x menos o igual a 2 digamos que las siguientes x + 2 igual a no será 1 y que la tercera es x + ye igual a 4 ok entonces vamos a graficar estas tres rectas pero antes quiero expresar las de la forma que igual a mx más b porque para mí es mucho más sencillo mucho más sencillo de entenderlas entonces por ejemplo de aquí si despejamos la aie tendremos primero menos igualados menos 2 x o podríamos ponerlo como menos 2 x más 2 ok y esto finalmente pues si cambiamos el signo de ambos lados tendremos que igual a 2x menos 2 muy bien ahora en la siguiente en la siguiente tendremos 22 yenes despejamos 2 y el x pasa restando y tendremos menos x + 1 o bien si pasamos el 2 dividiendo tenemos igual a menos un medio de x + ok eso dividiendo por uno por un medio de ambos lados y finalmente en esta de aquí abajo tendremos ya igual a 4 - x s es bastante sencillo de analizar entonces vamos a graficar todo esto digamos que aquí tengo uno de mis ejes quedó un poco chueco uno de mis ejes y aquí está el otro eje digamos este es el eje x ok este de aquí es el eje y muy bien entonces esta forma me dice exactamente por donde pasan por ejemplo la primera línea que es la morada pasa por menos dos entonces aquí está -1 y -2 y además tiene pendiente dos quiere decir que por cada uno de x subimos dos de iu entonces si nos movemos uno de x por ejemplo aquí subimos dos de iu entonces es esta recta que toca a estos dos puntos más o menos de esta forma ahora vámonos con la recta verde esta pasa por un medio entonces pasa si aquí anda el 1 esta pasará por aquí y además tiene pendiente menos un medio eso quiere decir que va hacia abajo y que por cada uno de iu son 2 de x entonces por cada uno de ellos son 2 de x 2 entonces si bajamos 1 tenemos más o menos estoy de hecho si se dan cuenta esta tiene una pendiente y bueno estas dos son ortogonales verdad está pendiente es menos 1 entre esta otra pendiente entonces más o menos se deben ver ortogonales más o menos más o menos son ortogonales ahí se ven verdad muy bien y ahora vámonos con esta última línea que es la azul ye igual a 4 - x eso quiere decir que pasa por el 4 1 2 3 4 y que pasa por menos perdón que tiene pendiente menos 1 entonces quiere decir que pasa por ejemplo por el 1 2 3 esta línea de aquí vamos a ver si nos sale como dibujarla y digo está un poquito chueca pero pero el punto es los hijos más o no ok vamos a hacerlo otra vez porque esta línea salió muy mal más o menos de esta forma y si extendemos bien esto nos podemos dar cuenta de que en realidad no hay una intersección entre las tres líneas no la hay entonces lo que tenemos que hacer es bueno podríamos rendirnos y decir bueno pues no la hay ni modo o bien decir aunque no la haya podemos dar un punto que sería la mejor aproximación que podríamos dar ok y entonces estaremos pensando en utilizar la técnica de los mínimos cuadrados que desarrollamos en el vídeo anterior y entonces tú dirás bueno dónde está la ecuación a x igual a b pero está implícita en este sistema de ecuaciones y eso es porque tenemos una matriz que multiplica a un vector xy y que nos da otro vector si lo da si lo ves es un sistema de ecuaciones que que lo podemos expresar de la siguiente forma tenemos una matriz tenemos una matriz una matriz que multiplica a un vector xy y que me da el vector 214 ok 214 muy bien y ahora tenemos que ver cuáles son los coeficientes de esta matriz entonces el primero será 2 el 2 multiplica x y menos 1 hay dos y menos 1 el siguiente será 1 y 2 1 y 2 y el siguiente será 1 y 1 1 y 1 muy bien entonces esta es nuestra matriz este es nuestro vector x y este es el vector b entonces por supuesto si hubiera una solución querría decir que hay un punto en donde las tres rectas se intersectan entonces el sistema x igual a b no tiene solución no tiene solución no tiene solución sin embargo aunque no tenga una solución lo que podríamos intentar es dar una solución que aunque no sea tal cual una solución sino que es la más cercana a lo que podría ser este este vector ok que sería la proyección de nuestro vector b es decir queremos encontrar un x que satisface la ecuación que encontramos anteriormente es verdad que era multiplicar esta ecuación por atrás pues está del lado izquierdo y entonces este x si es la solución se vuelve la solución por mínimos cuadrados ok a transpuesta por b y entonces buscamos esta solución muy bien entonces quien sería a transpuesta a transpuesta fíjense que éste es a entonces a transpuesta sería esta matriz la 211 menos 1 2 1 es decir columnas se vuelven renglones y multiplicamos por nuestra matriz a por nuestra matriz a que es ella misma pero bien paradito ok - 1 2 1 y ahora multiplicamos al vector x estrella verdad pero bueno vamos a ver cuánto nos da esta multiplicación esto es una matriz de 2 x 3 y esta es una matriz de 3 por 2 por lo tanto me va a dar una matriz de 2 x 2 una matriz de 2 por 2 vamos a ver es este renglón hacemos producto punto con esta columna y es dos por dos cuatro más uno por uno es uno y llevamos cinco y uno por uno es uno y los cinco nos da seis aquí ahora bien este renglón con esta columna y es 2 por menos 1 es menos 2 y 1 por 2 es 2 esos se cancelan y finalmente me queda uno por uno que es 1 vamos con este renglón y esta columna es menos 2 bueno es menos 1 por 2 que es menos dos y dos por uno es 2 eso se cancelan y me queda uno por uno que es 1 y finalmente este renglón por esta columna que es menos uno por menos uno es 1 2 por dos es cuatro y uno por uno es 1 si sumamos todo nos da 6 esta es la matriz a transpuesta ahora muy bien ahora tenemos que ver quién es a transpuesta por b vamos a ver quién es a transpuesta que es la matriz ésta que tenemos aquí arriba 1 - 1 2 1 y lo multiplicamos por nuestro vector b quién era el vector b se encuentra acá arriba el 2 1 4 es el 2 14 verdad ahora bien esta es una matriz de 2 x 3 y esta es una matriz de 3 por 1 entonces me va a quedar un vector de 2 por 1 saleh vamos a hacer esto un poco más abajo entonces me va a quedar un vector de 2 por 1 ahí está ok y esto igual que en el caso anterior simplemente vamos a hacer renglón por columna y nos queda 2 x 2 es cuatro más uno por uno es 1 y 1 por 4 es 4 entonces tenemos cuatro más uno más cuatro que es ahora vamos con este es menos 1 por 2 es menos 2 y 2 por 1 es 12 eso se cancela y finalmente me queda 1 por 4 que es 4 entonces este vector este es el ha transpuesto por ver muy bien y finalmente lo que obtuvimos es ya una ecuación porque esta matriz es la matriz 116 que multiplica al vector xy que es el que queremos descubrir y esto debe ser igual a transpuesta por ver que es 9 y aquí 4 muy bien entonces vamos a resolver esto como ya sabemos es utilizando operaciones con matrices simplemente escribimos la matriz aumentada verdad de esta forma la matriz aumentada y vamos a tratar de escalonar la entonces si nos damos cuenta este este día este renglón ya tiene un 1 entonces lo primero que me gustaría hacer es intercambiar los renglones y si lo vamos escribiendo de esa forma entonces el primer paso digamos tenemos simplemente intercambiando los renglones tenemos esto así 61 y 9 verdad sólo intercambian los renglones ahora ahora lo que voy a hacer es multiplicar el primer renglón por menos 6 y sumarse lo al segundo renglón entonces si yo multiplico por menos 6 el primer renglón tengo menos 6 y si se lo sumo a éste me queda 0 déjenme copiar primero el primer renglón que se no le hacemos nada y ahora si uno por menos 6 es menos 66 es 0 6 por menos 6 es menos 36 más 1 es menos 35 y ahora 4 por menos 6 es menos 24 y hay que sumarle 9 entonces tengo menos 24 más 9 esto es lo mismo bueno menos 24 menos 9 son 15 verdad entonces aquí va un -15 vámonos ahora hacia el lado derecho vámonos ahora hacia el lado derecho digamos hacia acá y lo que vamos a hacer ahora es en el segundo renglón multiplicar por menos 1 sale entonces el primer renglón lo dejamos igual dejamos igual y si multiplicamos por menos uno aquí me da cero o más bien vamos a multiplicar por menos uno entre 35 verdad para que aquí me quede un 1 y simplemente me queda menos 15 entre menos 35 menos 15 entre menos 35 los menos se cancelan y si dividimos entre 5 arriba y abajo aquí me queda 3 y aquí me queda 7 verdad entonces esto es lo que ya pudimos hacer ahora vamos a dejarlo vamos a resolverlo completamente porque ahora vamos a multiplicar el renglón de abajo por menos 6 y sumarlo al de arriba entonces este se queda igual y nos queda 3 séptimos y ahora 0 x dijimos menos 60 y si se lo sumamos al alumno nos queda el 11 por menos 6 es menos 66 nos da 0 y ahora 3 séptimos por menos 6 eso eso nos da - 18 séptimos verdad y esto en séptimos el 4 en séptimos simplemente es 28 séptimos ya ese le vamos a restar 6 por 318 séptimos y esto sólo son 10 séptimos verdad entonces aquí arriba me quedan 10 séptimos y con esto con esto ya hay la solución de esta ecuación la solución está dada de la siguiente forma como x estrella x estrella es la que tiene como coordenada en x 10 séptimos 10 séptimos y como coordenada en 3 séptimos muy bien esta es mi solución que que la más cercana a una solución posible del problema original que no existe no existe pero es lo que sería lo más cercano a una solución verdad sobre el espacio columna como lo vimos ya en el vídeo anterior esto minimiza los cuadrados colectivos entre entre las posibilidades del espacio columna vamos a ver es ahora en realidad nuestra diferencia minimizada ok vamos a ver cuál es la la en realidad la cantidad que se minimiza es decir recordemos que el punto central era minimizar esta expresión a x estrella menos b si quizás lo escribí como b - a x estrella pero como es una norma no importa entonces todavía nosotros no tenemos quienes a x estrella pero sabemos que a es la matriz ésta está roja de aquí entonces es 211 menos 121 tenemos 22 11 - 1 2 1 y que multiplica a este vector que es el 10 séptimos 10 séptimos 3 y vamos a ver cuánto vale esto entonces este bueno hacemos renglón por columna y son 20 séptimos 20 séptimos menos 3 séptimos en el primero y luego son 10 séptimos 10 séptimos más más dos por tres son seis séptimos y finalmente son diez séptimos más tres séptimos diez séptimos las tres séptimos y eso ya haciendo la suma correcta nos queda aquí 20 menos 3 son 17 séptimos en el segundo son 16 séptimos verdad y en el último son 10 más 3 esos diez más 3 son 13 séptimos esto es a equis estrella vamos ahora a restarle b ok entonces en realidad yo quiero calcular la norma la norma de a x estrella menos b ok que es el ax estrella ponerlo bien esto a equis estrellas son 17 séptimos 16 séptimos y 13 séptimos aunque ya esto le debo le debo restar el vector b que si no mal recuerdo andaba por aquí el vector b es este que es el 214 verdad allí se encuentra entonces le restamos 2 14 muy bien ya esto es a lo que hay que calcularle su norma esta es la distancia minimizada ok porque este es x estrella la solución al problema de mínimos cuadrados entonces esto digamos y si lo hacemos al cuadrado para que no haya tanto problema esto será igual esto será igual a la norma de que vector bueno pues a 17 séptimos le tengo que restar dos enteros que son 14 séptimos eso son 17 menos 14 son 3 séptimos déjenme poner corchetes de vector aquí son 3 séptimos en el segundo son 17 séptimos menos 1 que son 7 séptimos y esos son en total 9 séptimos y finalmente 13 séptimos menos 4 que son menos de 28 séptimos eso nos da nos da menos 15 séptimos verdad tengo aquí 13 séptimos menos 28 séptimos eso son menos y 28 menos 13 en efecto son 15 séptimos muy bien entonces queremos calcular la norma al cuadrado de este vector y eso ya es algo muy sencillo verdad aquí el cuadrado de este son nueve y siete por siete son 49 este es el cuadrado de la primera coordenada más el cuadrado de la segunda que son nueve por nueve son 81 49 ambos más 15 séptimos al cuadrado no no quiero errarlo déjenme hacer 15 por 15 esto es 5 por 5 son 25 y llevo 25 y 2 son 7 y luego bajo es 1 por 55 y 1 por 1 es uno estos 5 7 y 5 son llevo una 1 y una sorpresa si son 225 49 años entonces cuánto es esto en total porque tenemos 81 y 9 son 90 entonces 225 más 90 son 59 y 2 son 11 llevamos una son 315 49 a vos muy bien 315 sobre 49 entonces esta norma es al cuadrado si yo quiero obtener la norma real tengo que sacar la raíz cuadrada déjenme quitar estas operaciones que hice aquí entonces esto será igual esto será igual a la raíz cuadrada de esto que será la raíz cuadrada de 315 sobre la raíz cuadrada de 49 que es 7 ahora bien la raíz cuadrada de 315 no sé si se ve como que se puede simplificar por ejemplo aquí hay un 9 y esto es 9 x 35 entonces esto es 3 veces la raíz de 35 sobre 7 muy bien el punto es que ya no habrá un menor valor para las distancias verdad esta es la distancia menor entre entre lo que podríamos esperar de lo que es una solución así que este resultado basado en nuestra solución por mínimos cuadrados es el mejor estimado que podemos tener al problema original de encontrar la intersección de las tres rectas aquí x igual a 10 séptimos y igual a 3 séptimos déjenme ponerlo aquí por ejemplo 10 séptimos será más o menos como 1 y un cachito verdad por aquí y luego 3 séptimos es muy poquito entonces por aquí es que anda mi solución por mínimos cuadrados ok como sea espero que lo hayas encontrado muy útil y que empieces a apreciar que la solución por mínimos cuadrados es de verdad una aplicación muy útil