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Contenido principal
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Transcripción del video

hace ya muchos vídeos realizamos una introducción a lo que es la idea de las proyecciones proyecciones y en la que en aquel entonces diríamos particularmente con proyecciones sobre líneas que pasan por el origen así que si tenemos una línea y vamos a ir graficando esta idea y tengo yo primero voy a pintar los ejes ok ahí están los ejes y digamos que tengo yo una línea l esta línea l es el espacio vectorial generado por un solo elector digamos por el sport el vector b estamos pensando entonces que él es el conjunto de todos los múltiplos de b y cuando digo todos es pensar que lo multiplicamos por todos los números reales verdad entonces si nosotros tenemos por aquí a nuestro a nuestra línea l que digamos que aquí está mi vector b y así seguimos construyendo todo este espacio l keith l y ahora nos tomamos un vector x digamos que aquí se encuentre nuestro vectores y hasta acá y aquí tenemos el vector x a pintarlo poco mejor la flecha ok este es nuestro vector x y vamos a pensar o al menos una forma en cómo me gusta pensar a mí lo que es la proyección sobre una línea es bueno pensar que aquí tenemos luz emitiéndose y esta sombra se proyecta de forma perpendicular sobre la línea entonces si se proyecta de forma perpendicular estamos pensando que aquí que aquí en este punto se encuentra la proyección del vector x aquí está la proyección sobre el espacio l del vector x y de hecho lo definimos más formalmente como si pensamos que x - la proyección sobre el su espacio l es ortogonal es ortogonal a cualquier otro vector sobre él su espacio el estamos pensando en que esta diferencia es decir el vector que va de uno al otro es ortogonal o perpendicular a cualquier otro punto sobre la línea y de hecho teníamos una expresión muy agradable para esto verdad teníamos que la proyección sobre una línea de un vector x de un vector x es igual a x punto b y luego lo dividimos entre b punto de que no es otra cosa más que la magnitud debe al cuadrado pero esto es un número escalar verdad esto simplemente me dice que tanto tengo que contraer o extender un vector y que en este caso es ve que es el que genera al al espacio el de verdad entonces aquí me está diciendo por ahí andaba nuestro vector ve este numerito me está diciendo que tanto lo tienes que estiraron coger para conseguir la proyección de x sobre el psuv espacio que ya entonces vamos a hablar un poquito de de una definición más general de proyecciones este es un caso particular y es un caso particular porque él es un suv espacio vectorial de rr en verdad por ejemplo aquí poder pueden hacerlo fácilmente esto ya lo hemos hecho si tenemos dos vectores en l la suma va a seguir siendo nl y si tenemos un vector y lo multiplicamos por cualquier escalar también va a poder seguir siendo un vector que se encuentre en el entonces realmente es muy sencillo de ver que éste es un suv espacio vectorial válido y entonces vamos a hablar de cosas un poquito más general es un poquito más generales vamos a hacer una pequeña separación si yo tengo ve un suv espacio un subte hoy su espacio espacio de r n que ya estamos pensando en un suv espacio de rené también lo que sabemos es que hay un su espacio que existe y que es él su espacio ortogonal el complemento ortogonal debe también es un suv espacio verdad déjeme poner él también también es también es su espacio también su espacio ok entonces con esto dicho también sabemos que si tenemos cualquier vector en r n si nos tomamos cualquier vector en rcn sabemos que lo podemos descomponer como una suma es decir podemos escribir a x como ve más doble u donde donde primero b se encuentra en nuestro su espacio b&w se va a encontrar en el complemento ortogonales decir dónde ve el vector vez se encuentra en nuestro su espacio b mayúscula y w se encuentra en el complemento w es en el complemento ortogonal de nuestro psuv espacio ok entonces la forma en que ahora voy a definir la proyección sobre un su espacio cualquiera y arbitrario va a ser de la siguiente forma la proyección sobre un su espacio de nuestro vector x dado que tiene esta única expresión y de hecho demostramos en un vídeo que es única entonces la proyección simplemente va a ser la parte de esta suma que se encuentra en el psuv espacio b entonces esto va a ser simplemente ve es quitarle esta parte que se encuentra en el complemento ortogonal de la misma forma pues no podría definir la proyección sobre el complemento ortogonal de nuestro vector x verdad en este caso vamos a quitar en esta expresión la parte que no corresponde al complemento ortogonal que en este caso es b y por lo tanto sería doble eu o keith entonces esta definición resulta ser equivalente con esta anterior en el caso en que nuestro psuv espacio vectorial es una línea y vamos a revisar un ejemplo que vimos hace ya algunos vídeos hace ya algunos vídeos vamos a repasar este ejemplo y vamos a usarlo para ver que la solución o más bien cuando lo que hicimos este ejemplo lo que queríamos ver era la solución más corta de la ecuación ha hecho igual la b es decir la que tiene una longitud menor verdad y nos dimos cuenta además que ese elemento se encuentra en el espacio fila aquí se encuentra el espacio fila y bueno lo que queremos ver ahora es que en efecto al menos visualmente esas definiciones que vimos anteriormente proyección coinciden entonces de gm déjenme ir dibujando ir dibujando estos espacios todos estos conjuntos vamos a poner primero unos ejes vamos a poner unos ejes obviamente fue un poco chueco a poner egeo que hay más o menos más o menos y el otro eje poner este otro fue vamos a poner este otro muy bien ahí está entonces tenemos primero que nada que el espacio nulo de la matriz es el espacio generado por el 2,3 entonces si yo me muevo 1 y 2 y luego me muevo 1 2 y 3 aquí se encuentra el vector que genera este espacio y por lo tanto simplemente tengo esta esta línea que resulta de multiplicarlo por todos los escaladores posibles muy bien ahí tenemos nuestro espacio nulo de la matriz es el espacio no lo de la matriz quien más tenemos el espacio fila o que es lo mismo que el espacio columna de la matriz transpuesta es el generado por el 3 - 2 entonces y ahora nos movemos hasta el 3 y luego bajamos 2 aquí tenemos el vector que lo genera kay y entonces tenemos todo esté hoy eso no se ve muy bien tenemos todo este espacio que es una línea ahí está y más o menos se alcanza a ver que son ortogonales digo aquí vaya un poquito el dibujo pero queda claro que eran ortogonales verdad eso ya lo hemos visto en varios vídeos de hecho si uno quiere puede multiplicar estos dos vectores que los genera ni son y son ortogonales pero bueno ahora ya que tenemos eso es todo lo que dije fue que el espacio nulo el espacio nulo es el espacio es el complemento ortogonal del espacio fila este complemento ortogonal y por lo tanto también sabemos que el complemento ortogonal del complemento ortogonal es regresar al espacio original entonces el espacio nulo ortogonal el complemento ortogonal del espacio nulo simplemente será el complemento ortogonal de éste que es el espacio fila simplemente ambos son ortogonales entre sí verdad entonces como tenemos ésta esté esta expresión está esta igualdad de conjuntos en realidad si yo me tomo cualquier lector sobre sobre r2 digamos un vector no sé aquí ok entonces yo lo que puedo hacer es descomponer ese vector como una suma de dos dedos lectores donde uno se encuentra en este de aquí que esté aquí es el espacio fila y que sabemos que es ortogonal el complemento ortogonal del espacio no lo entonces de esta forma podemos descomponer estos vectores por ejemplo vamos a tener que sumar este de aquí en el espacio fila y cual vamos a tener que sumar en el espacio del del psuv o más bien en su espacio no lo necesitamos un vector más o menos así verdad entonces a este lector lo podemos sumar de este lado kay y es cómo podemos descomponer cualquier victoria en r2 en este caso como la suma de dos vectores verdad como la suma de 1 que se encuentra en el espacio fila y otro que se encuentra en el espacio nulo en particular nosotros estamos buscando una solución estamos buscando una solución verdad entonces el conjunto solución de esta ecuación es el 3,0 lo que hay aquí tenemos el 3,0 el 3,0 además me dice que hay que sumarle todos los múltiplos de del 23 entonces estamos pensando en una recta que es paralela a nuestro espacio no lo pero que pasa por el 23 que esto ya lo habíamos hecho este dibujo pero bueno nunca está de más repetirlo verdad ahora si yo me tomo cualquier solución en este conjunto digamos toma esta solución que digamos que este es el vector sf por ser solución entonces sabemos que ese lo puedo descomponer como la suma de 2 un ere y un n perdón un n aquí en la suma de dos vectores donde r lo estoy pensando en el espacio fila o el espacio renglón y e n se encuentra en el espacio no lo de la matriz entonces nuestra definición nuestra definición de proyección nos dice que la proyección la proyección sobre el espacio fila de la matriz de rr perdón df ya estoy dando la respuesta de ese es justamente va a ser el que se encuentra el que es en el que se encuentra en nuestro espacio fila que es verdad es la definición que tenemos pienso coincide con la solución más corta que teníamos de esta ecuación es decir la que él conjunto el elemento de las soluciones cuya cuya longitud o cuya norma era la más chica de todas las posibles de aquí se ve geométricamente que esto es cierto y verdad entonces ahora nada más hay que ver que sí tenemos no sé cualquier solución que se encuentre aquí y proyectamos con la definición de proyección sobre una línea que vivimos acá arriba coincide con el vector que habíamos encontrado en aquel vídeo ok entonces vamos a tomarnos una solución cualquiera por ejemplo si aquí nos estábamos alguno cuando se es igual a cero tenemos que una solución es el 30 entonces x igual a 30 es solución es una solución más bien es una solución de la ecuación ax igual ave entonces qué pasa cuando nosotros hacemos la proyección la proyección sobre el espacio fila de la matriz del vector 30 bueno vamos a utilizar nuestra formulita que tenemos acá arriba esta proyección es el vector punto b sobre de punto b x de muy sencillo de acordarse entonces tengo mi vector que es el 30 30 y voy a hacer un producto punto con el vector ve el vector b es el que genera al espacio fila y el espacio fila está generado por el 3 - 2 que y entonces estamos haciendo un producto punto con el 3 - 2 y ahora dividimos entre tres menos 2.3 -2 y esto hay que multiplicarlo por el vector 3 - 2 ok este es un escalar y este es un vector vamos a ver qué es lo que no resulta de esto porque 3 x 3 39 y 0 por menos 20 entonces todo esto simplemente nos da 9 mientras que acá abajo tenemos 3 x 39 y menos 2 por menos dos es cuatro y nueve más cuatro son kings de perdón 13 son tres déjeme ponerlo aquí abajo es 13 y aquí hay que multiplicar por el 3 - 2 entonces esto simplemente nos queda 913 a voz 9 sobre 13 de 3 - 2 que esto ya era una expresión conocida y es familiar verdad en el video en que hicimos este ejemplo justo obtuvimos estoy que si lo si metemos esta constante en cada una de las de la de las entradas de nuestro vector tenemos nueve por tres son 27 sobre 13 y aquí es menos dos por nueve son menos 18 sobre tres muy bien entonces este vector es el mismo que encontramos cuando lo hicimos la primera vez en el video en que queríamos ver qué está el de él de mínimo tamaño verdad esto nos dice que de verdad es consistente a la definición que acabamos de dar anteriormente con la definición que utilizamos aquí con la definición de la proyección sobre una línea ok pero acá es donde tenemos las las dos definiciones ok acá arriba aquí arriba está esta definición que estoy dando estoy dando la definición de proyección pero sobre un suv espacio cualquiera y ya sabíamos a hacerlo con una línea pero aquí es para un suv espacio arbitrario no importa cuál sea ahora no les he dado una definición matemática agradable o más bien quiere decir una forma agradable para calcularlo y bien y ver quién sería este vector b sobre el cual o más bien sobre el cual estamos esté más bien el cuál es la proyección de nuestro vector x no tenemos aún una forma para calcularlo de de fácil forma y poder ver quién sería sin si no fuera una línea en su espacio porque si es una línea ya sabemos de hecho no he visto mucho al respecto sabemos que cuando tomamos la proyección sobre una línea es una transformación lineal y uno puede verlo esto es una transformación lineal pero no ha demostrado que cuando tenemos una proyección sobre un sobre un es su espacio arbitrario y de hecho si va a ser lineal pero lo haremos en el siguiente vídeo