Proyecciones en subespacios

hace ya muchos vídeos realizamos una introducción a lo que es la idea de las proyecciones proyecciones y en aquel en aquel entonces lidiamos particularmente con proyecciones sobre líneas que pasan por el origen así que si tenemos una línea y vamos a ir graficando esta idea si tengo yo primero voy a pintar los ejes y ahí están los ejes y digamos que tengo yo una línea l esta línea l es el espacio vectorial generado por un solo vector digamos por el por el vector b estamos pensando entonces que él es el conjunto de todos los múltiplos de b y cuando digo todos es pensar que lo multiplicamos por todos los números reales verdad entonces si nosotros tenemos por aquí a nuestro a nuestra línea l que digamos que aquí está mi vector b y así seguimos construyendo todo este espacio l este es el y ahora nos tomamos un vector x digamos y se encuentre nuestro vectores y hasta y aquí tenemos el vector x un poco mejor la flecha ok este es nuestro vector x y vamos a pensar o al menos una forma en como me gusta pensar a mí lo que es la proyección sobre una línea es bueno pensar que aquí tenemos el luz emitiéndose y esta sombra se proyecta de forma perpendicular sobre la línea entonces si se proyecta de forma perpendicular estamos pensando que aquí que aquí en este punto se encuentra la proyección del vector x aquí está la proyección sobre el espacio l del vector x y de hecho lo definimos más formalmente como si pensamos que x menos la proyección sobre el sub espacio l es ortogonal es ortogonal a cualquier otro vector sobre el sub espacio el estamos pensando en que esta diferencia es decir el vector que va de uno al otro es ortogonal o perpendicular a cualquier otro punto sobre la línea y de hecho teníamos una expresión muy agradable para esto verdad teníamos que la proyección sobre una línea de un vector x de un vector x es igual a x punto b y luego lo dividimos entre b punto b que no es otra cosa más que la magnitud de de al cuadrado pero esto es un número escalar verdad esto simplemente me dice que tanto tengo que contraer o extender un vector y que en este caso es b que es el que genera al al espacio el de verdad entonces aquí me está diciendo por aquí andaba nuestro vector b este numerito me está diciendo que tanto lo tienes que estirar o encoger para conseguir la proyección de x sobre el sub espacio ok entonces vamos a hablar un poquito de de una definición más general de proyecciones este es un caso particular y es un caso particular porque él es un sub espacio vectorial de r n verdad por ejemplo aquí pueden hacerlo fácilmente esto ya lo hemos hecho y si tenemos dos vectores en él la suma va a seguir siendo n l y si tenemos un vector y lo multiplicamos por cualquier escalar también va a poder seguir siendo un vector que se encuentre en el entonces realmente es muy sencillo de ver que este es un sub espacio vectorial válido y entonces vamos a hablar de cosas un poquito más generales un poquito más generales vamos a hacer una pequeña separación si yo tengo b un sub espacio un sub hoy un sub espacio espacio de r n ok estamos pensando en un sub espacio de rn también lo que sabemos es que hay un sub espacio que existe y que es el sub espacio ortogonal el complemento ortogonal de b también es un sub espacio verdad déjenme poner el también también es también es su espacio también es su espacio ok entonces con esto dicho también sabemos que si tenemos cualquier vector en r n si nos tomamos cualquier vector en rn sabemos que lo podemos descomponer como una suma es decir podemos escribir a x como ve más w donde donde primero b se encuentra en nuestro psuv espacio b&w se va a encontrar en el complemento ortogonal es decir donde ve el vector b se encuentra en nuestro psuv espacio b mayúscula y w se encuentra en el complemento [ __ ] no no es w es en el complemento ortogonal de nuestro psuv espacio ok entonces la forma en que ahora voy a definir la proyección sobre un sub espacio cualquiera y arbitrario va a ser de la siguiente forma la proyección sobre un sub espacio vector x dado que tiene esta única expresión y de hecho demostramos en un vídeo que es única entonces la proyección simplemente va a ser la parte de esta suma que se encuentra en el sub espacio b entonces esto va a ser simplemente b es quitarle esta parte que se encuentra en el complemento ortogonal de la misma forma pues uno podría definir la proyección sobre el complemento ortogonal de nuestro vector x verdad en este caso vamos a quitar en esta expresión la parte que no corresponde al complemento ortogonal que en este caso es b y por lo tanto sería wv ok entonces esta definición resulta ser equivalente con esta anterior en el caso en que nuestro sub espacio vectorial es una línea y vamos a revisar un ejemplo que vimos hace ya algunos vídeos hace ya algunos vídeos vamos a repasar este ejemplo y vamos a usarlo para ver que la solución o más bien cuando cuando hicimos este ejemplo lo que queríamos ver era solución más corta de la ecuación a x igual a b es decir la que tiene una longitud menor verdad y nos dimos cuenta además que ese elemento se encuentra en el espacio fila aquí se encuentra el espacio fila y bueno lo que queremos ver ahora es que en efecto al menos visualmente esas definiciones que vimos anteriormente de proyección coincide entonces déjenme déjenme a ir dibujando ir dibujando estos espacios todos estos conjuntos vamos a poner primero unos ejes ese día me fue un poco chueco ok más o menos y el otro este se me fue vamos a poner este otro eje muy bien ahí está entonces tenemos primero que nada que el espacio nulo de la matriz es el espacio generado por el 23 entonces si yo me muevo 1 y 2 y luego me muevo 1 2 y 3 aquí se encuentra el vector que genera este espacio y por lo tanto simplemente tengo esta esta línea que resulta de multiplicarlo por todos los escalares posibles ahí tenemos nuestro espacio nulo de la matriz ese es el espacio nulo de la matriz quien más tenemos el espacio fila o que es lo mismo que el espacio columna de la matriz transpuesta es el generado por el 3 menos 2 entonces si ahora nos movemos hasta el 3 y luego bajamos 2 aquí tenemos el vector que lo genera y entonces tenemos todo este hoy eso no se ve muy bien todo este espacio que es una ahí está y más o menos se alcanza a ver que son ortogonales digo aquí falla un poquito del dibujo pero queda claro que eran ortogonales verdad eso ya lo hemos visto en varios vídeos de hecho si uno quiere pues puede multiplicar estos dos vectores que los generan y son y son ortogonales pero bueno ahora ya que tenemos eso esto lo que dije fue que el espacio nulo el espacio nulo es el espacio es el complemento ortogonal del espacio fila es este complemento ortogonal y por lo tanto también sabemos que el complemento ortogonal del complemento ortogonal es regresar al espacio original entonces el espacio nulo ortogonal el complemento ortogonal del espacio nulo simplemente será el complemento ortogonal de este que es el espacio fila simplemente ambos son ortogonales entre sí verdad entonces como tenemos esta este esta expresión esta esta igualdad de conjuntos en realidad si yo me tomo cualquier vector sobre sobre r2 digamos un vector no sé aquí ok entonces yo lo que puedo hacer es descomponer ese vector como una suma de dos de dos vectores donde uno se encuentra en este de aquí que este de aquí es el espacio fila y que sabemos que es ortogonal el complemento ortogonal del espacio nulo entonces de esta forma podemos descomponer estos vectores por ejemplo vamos a tener que sumar este de aquí en el espacio fila y cual vamos a tener que sumar en el espacio del o más bien el sub espacio nulo pues necesitamos un vector más o menos así verdad entonces a este vector lo podemos sumar de este lado y es como podemos descomponer cualquier vector en r 2 en este caso como la suma de dos vectores verdad como la suma de uno que se encuentra en el espacio fila y otro que se encuentra en el espacio nulo en particular nosotros estábamos buscando un una solución estamos buscando una solución verdad entonces el conjunto solución de esta ecuación es el 30 ok aquí tenemos el 30 es el 30 para mí además me dice que hay que sumarle todos los múltiplos del 23 entonces estamos pensando en una recta que es paralela a nuestro espacio nulo pero que pasa por el 23 ok esto ya lo habíamos hecho este dibujo pero bueno si nunca está de más repetirlo verdad ahora si yo me tomo cualquier solución en este conjunto digamos me tomo esta solución que digamos que este es el vector s por ser solución entonces sabemos que ese lo puedo descomponer como la suma de dos un r y un n perdón un n aquí es la suma de dos vectores donde r lo estoy pensando en el espacio fila o el espacio renglón y n se encuentra en el espacio nulo de la matriz entonces nuestra definición nuestra definición de proyección nos dice que la proyección la proyección sobre el espacio fila de la matriz r perdón de ese ya estoy dando la respuesta de ese pues justamente va a ser el que se encuentra el que es en el que se encuentra en nuestro espacio fila que es r es verdad esa es la definición que tenemos y eso coincide con la solución más corta que teníamos de esta ecuación es decir la que el conjunto el elemento de las soluciones cuya cuya longitud o cuya norma era la más chica de todas las posibles y aquí se ve geométricamente que esto es cierto verdad entonces ahora nada más hay que ver que si tenemos no sé cualquier solución que se encuentre aquí y proyectamos con la definición de proyección sobre una línea que vimos acá arriba coincide con el vector que habíamos encontrado en aquel vídeo ok entonces vamos a tomarnos una solución cualquiera por ejemplo si aquí nos tomamos alguno cuando se es igual a cero tenemos que una solución es el 30 entonces x igual a 30 es solución es una solución más bien es una solución de la ecuación a x igual a b entonces qué pasa cuando nosotros hacemos la proyección la proyección sobre el espacio fila de la matriz del vector 30 bueno vamos a utilizar nuestra formulita que tenemos acá arriba esta proyección es el vector punto b sobre de punto b x b es muy sencillo de acordarse entonces tengo mi vector que es el 30 30 y voy a hacer un producto punto con el vector b el vector b es el que genera al espacio fila y el espacio fila está generado por el 3 menos 2 que y entonces estamos haciendo un producto punto con el 3 menos 2 y ahora dividimos entre 3 menos 2.3 menos 2 y esto hay que multiplicarlo por el vector 3 - 2 ok este es un escalar y este es un vector vamos a ver qué es lo que nos resulta de esto porque 3 por 3 es 90 por menos dos es cero entonces todo esto simplemente nos da 9 mientras que acá abajo tenemos 3 x 39 y menos 2 por menos dos es cuatro y nueve más cuatro son 15 perdón 13 son 3 déjenme ponerlo acá abajo es 13 y aquí hay que multiplicar por el 3 menos 2 entonces esto simplemente nos queda 13 a 29 sobre 13 de 32 que esto ya era una expresión conocida y es familiar verdad en el vídeo en que hicimos este ejemplo justo obtuvimos esto y que si lo si metemos esta constante en cada una de las de la de las entradas de nuestro vector tenemos 9 por 3 son 27 sobre 13 y aquí es menos 2 por 9 son menos 18 sobre 3 muy bien entonces este vector es el mismo que encontramos cuando lo hicimos la primera vez en el vídeo en que queríamos ver que éste era el de el de mínimo tamaño verdad esto nos dice que de verdad es consistente a la definición que acabamos de dar anteriormente con la definición que utilizamos aquí con la definición de la proyección sobre una línea ok pero acá es donde tenemos las dos definiciones ok acá arriba aquí arriba está esta definición que estoy dando estoy dando la definición de proyección pero sobre un sub espacio cualquiera y ya sabíamos hacerlo con una línea pero aquí es para un sub espacio arbitrario no importa cuál sea ahora no les he dado una definición matemática agradable o más bien quiero decir una forma agradable para calcularlo y bien y ver quién sería este vector b sobre el cual o más bien sobre el cual estamos esté más bien el cual es la proyección de nuestro vector x no tenemos aún una forma para calcularlo de fácil forma y poder ver quién sería si si no fuera una línea el sub espacio porque si es una línea ya sabemos de hecho no he visto mucho al respecto sabemos que cuando tomamos la proyección sobre una línea es una transformación lineal a que uno puede verlo esto es una transformación lineal pero no mostrado que cuando tenemos una proyección sobre un sub espacio arbitrario y de hecho si va a ser lineal pero lo haremos en el siguiente vídeo