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Contenido principal

Ejemplo de matriz de proyección subespacial

Ejemplo de una transformación de matriz por una proyección en un subespacio. Creado por Sal Khan.

Transcripción del video

vamos a empezar con un espacio vectorial que vamos a llamarle pues vamos a llamarle b ya es como nuestra letra favorita para llamar a los espacios vectoriales y este sub espacio vectorial va a ser el espacio vectorial generado por dos vectores vamos a decir que es el generado por el vector 1 0 0 1 vamos a decir este y también por el vector vamos a decir el 0 1 0 1 y entonces estos dos vectores podemos notar que forman una base una base de nuestros de nuestro sub espacio b y en realidad es que hay que notar que son linealmente independientes verdad porque por ejemplo aquí tenemos un elemento cero tenemos un elemento cero y aquí tenemos un elemento uno en este en esta entrada entonces al multiplicar este por cualquier por cualquier escalar la única forma de poder hacer que esto sea cero es multiplicar este vector por cero pero aquí tenemos un elemento uno y aquí un cero entonces ya no son compatibles el hecho de que alguno pueda hacer múltiples escalar del otro de esta forma entonces como son linealmente independientes y generan a todo el espacio pues entonces son una base de nuestros de nuestro espacio vectorial ok ahora en el en el último vídeo y vimos una forma general de de encontrar cuál es la matriz de proyección sobre nuestro su espacio vectorial b y en realidad tenemos un vector x x que se encuentra en r 4 ok y nos interesa calcular quién es la proyección la proyección sobre nuestro sub espacio b del vector x donde x puede ser cualquier vector ok y sabemos que esto bueno tenemos que construir una matriz a recuerdan tenemos que construir la matriz a que es la matriz que tiene como como columnas a una base de nuestro espacio vectorial y aquí está esta base que por eso vimos al inicio del vídeo entonces esta matriz es la que tiene este vector como columna y luego este otro vector como columna que es justamente la base que tenemos de este lado entonces la proyección sobre el sub espacio b de nuestro vector x no es otra cosa más que una multiplicación de matrices verdad por aquí teníamos a la matriz teníamos algo por aquí adentro y luego multiplicamos por ha transpuesto al vector x y realmente lo que teníamos aquí dentro era la matriz a transpuesta que multiplicaba pero había que calcular la inversa ok entonces lo que tenemos también que hacer es calcular todas estas multiplicaciones de matrices que va a resultar hacer un poco engorroso y medio complicado pueden ser expresiones medio difíciles pero no son imposibles y no pasa nada así que vamos a hacerlo vamos a tener que también saber quién es la matriz a transpuesta y si esta matriz es de de 4 x 2 entonces ésta va a ser de 2 x 4 es de 2 x 4 y tiene como entradas en las columnas se convierte en filas y las filas se convierten en columnas entonces vamos a tener la matriz 001 vamos a tener aquí ahora el 0 1 0 1 estamos transponiendo esta matriz la matriz y vamos a continuar con esto ok vamos a tener la multiplicación vamos a querer calcular a transpuesta por a ok para ir calculando esta parte entonces vamos a calcular esta multiplicación 10 01 01 o que simplemente copiamos lo que es la matriz a y vamos a hacer esta multiplicación ahora esta matriz de aquí es de 2 x 4 y esta de aquí es de 4 por 2 por lo tanto la matriz que me va a resultar es de 2 por 2 entonces vamos poniendo eso es una matriz de 2 por 2 y vamos a ver lo único que hay que hacer es este renglón a ser producto punto con este esta columna verdad entonces simplemente nos queda uno por uno más cero por cero más cero por cero más uno por uno entonces eso simplemente nos da dos muy bien ahora tomamos este renglón y lo multiplicamos con un producto punto con con esta columna verdad vamos a hacerlo entonces tengo uno por cero más 0 por uno más cero por cero más uno por uno entonces al final sólo nos queda uno vamos a quitar queda muy separado a quitarlo y cerrar mejor muy bien ahora vámonos con el siguiente paso que ahora vamos a tomarnos este renglón este renglón y vamos a multiplicarlo por esta columna producto punto entonces 0 x 1 es 0 1 por 0 0 0 por 0 0 y simplemente nos queda uno por uno entonces aquí va 1 y ahora vamos este mismo renglón pero ahora otra vez con esta columna entonces tenemos 0 x 0 más uno por uno ahí llevamos 10 por 0 y llevamos todavía uno y uno por uno y eso simplemente nos da dos muy bien esta matriz de aquí esta matriz de aquí es a transpuesta por a ok esta es esta parte de aquí entonces ahora lo que tenemos que hacer es ver que la la proyección del vector x sobre nuestro psuv espacio b es esta multiplicación de matrices donde ya sabemos quién es a transpuesta x a hay que calcular la matriz inversa entonces la matriz inversa es a transpuesta por a a la menos 1 pues como es una matriz de 2 x 2 ya sabemos que es uno entre el determinante y el determinante es 2 por 24 menos uno por uno que es uno entonces cuatro menos uno son tres tenemos que multiplicar por 1 sobre el determinante y ahora estos dos los invertimos digo es el mismo 2 pero para que quede claro vamos a dejar los mismos colores estos dos se invierten y a estos dos contrarios les cambiamos el signo entonces aquí va un -1 y acaba un -1 y ya tenemos esta matriz inversa y ahora si podemos ir haciendo toda esta multiplicación de matrices que que puede resultar un poco el latoso pero vamos a hacer entonces tenemos que hacer a por a transpuesta por a la menos 1 por a transpuesta ok entonces finalmente sabemos que la proyección sobre nuestro sub espacio b del vector x está dado por vamos a poner la matriz qué es ésta la que tiene 100 1 101 que multiplica la matriz a transpuesta a la menos uno que es esta y este un tercio déjenme ponerlo acá afuera vamos a poner un tercio que afuera verdad sólo es un escalar entonces podemos sacarlo de toda esta multiplicación y hacemos lo siguiente multiplicamos por 2 - 1 - 1 2 y luego multiplicamos por esta esta matriz a transpuesta que es esta que tenemos que aquí multiplicamos por la 1 0 0 1 0 1 0 1 y esto al final hay que multiplicarlo por nuestro vector x déjenme el color que teníamos aquí inicialmente que es morado y aquí multiplicamos por equis muy bien entonces esto es lo que hay que calcular vamos a irlo haciendo poco a poco por ejemplo vamos realizando primero esta multiplicación esta matriz de aquí es de 2 x 2 y esta de aquí es de 2 por 4 entonces la matriz que nos resulta de esta multiplicación será de 2 por 4 muy bien entonces vamos copiando todo lo que teníamos teníamos un tercio por nuestra matriz la matriz voy a dejarlo con el mismo color es 1 0 0 1 0 1 0 1 y ahora sí vamos a efectuar esta multiplicación este renglón vamos a hacer producto punto con cada una de las columnas y luego el siguiente renglón muy bien entonces vamos vamos haciendo esta matriz dijimos que va a ser de 2 x 4 nos va a ser algo así o menos va a hacer algo así y entonces empecemos con el primer renglón con el primer renglón va a ser este primer renglón que vamos a multiplicar por cada una de las columnas entonces va a ser dos por uno es dos menos uno por cero es cero entonces nos queda simplemente dos aquí va a ser dos por cero es cero más menos uno por uno es menos uno muy bien tenemos dos por cero cero más menos uno por cero cero y eso nos da cero y finalmente es 2 por 12 más menos uno por uno que es menos uno entonces tenemos dos menos uno es uno muy bien vamos ahora con el siguiente renglón vamos con él con este renglón de aquí y ahora es menos uno por uno menos uno más dos por cero que cero entonces es menos uno menos uno por cero es 0 2 por 1 es 2 nos queda un 2 aquí ok y ahora menos 1 por 0 0 y 2 por 0 es 0 otro 0 de este lado y menos uno por uno es menos uno más dos por uno que es 2 nos queda simplemente 1 al sumarlos muy bien entonces en efecto si tenemos una matriz de 2 por 4 y aquí finalmente hay que multiplicarlo por nuestro vector x muy bien entonces lo que vamos a hacer ahora es multiplicar estas dos matrices pero si nos damos cuenta esta matriz es de 4 por 2 y esta matriz de aquí es de 2 x 4 entonces finalmente de qué tamaño va a quedar pues va a quedar de 4 por 4 entonces eso va a ser una matriz un poquito grande pero no pasa de que hagamos unas cuentas un poquito complicadas entonces este un tercio lo voy a dejar aquí fuera este tercio va a quedarse aquí fuera iba a ser una matriz de 4x4 más o menos de este tamaño y bien vamos haciendo esto simplemente es multiplicar renglones con columnas ok renglones con columnas y vamos haciendo lo paso por paso ok vamos tomándonos este renglón por cada una de las columnas y es 1 por 2 que es 2 + 0 por menos 1 simplemente nos queda 2 más perdón en el siguiente en la siguiente entrada queda 1 x menos uno que es menos uno más cero por dos que cero entonces nos queda menos uno y de hecho si nos damos cuenta como la segunda entrada es cero simplemente vamos a dejar fijo el primer renglón verdad porque el segundo no va a contribuir en nada porque multiplicamos por cero entonces aquí si se dan cuenta es uno por cero cero por cero que es cero y uno por uno que es 10 por uno que cero entonces solo nos queda uno verdad y quedó exactamente el mismo renglón ahora bien si vamos con el segundo renglón multiplicando a cada una de las columnas entonces qué es lo que nos queda simplemente va a ser nuevamente como la primera entrada es cero este no va a jugar en esta multiplicación y solo vamos a ir poniendo los de el segundo renglón entonces aquí nos quedaría menos 1 2 0 y 1 muy bien porque al multiplicar por 0 no cuenta verdad entonces quienes vamos a multiplicar por 0 todos los del primer renglón entonces solo nos queda el segundo renglón y eso tiene sentido porque esta pequeña matriz de 2 por 2 es la matriz identidad entonces esto cobra mucho sentido cuando lo pensamos de esta forma ahora vamos a pensar en qué ocurre con los siguientes renglones por ejemplo aquí tenemos el renglón que es puro 0 no importa por quién lo multiplique 0 por lo que sea es 0 0 por lo que sea 0 sigue siendo 0 entonces aquí tenemos un renglón de puros ceros y ahora nos queda 1 1 ok vamos a hacerlo y aquí tenemos 1 x 2 es 2 más 1 x menos uno es 1 tenemos en el siguiente es 1 x menos 1 es menos 1 y 1 por 2 2 que al sumarlos nos da 1 nuevamente aquí tenemos uno por cero más uno por cero que es cero y finalmente uno por uno más uno por uno que es 2 ok y esto lo multiplicamos por nuestro vector x ahora bien esta matriz ya nos induce una transformación esto ya es una transformación y de hecho tiene muchísimo sentido verdad porque tengo una proyección sobre un espacio vectorial es una función que toma vectores en r4 y me arroja vectores que también se encuentran en r 4 tiene mucho sentido la proyección es una transformación de r 4 en r 4 por lo que debe tener una matriz asociada y este es de 4 x 4 de todas formas espero haya sido útil aunque esto no sea muy tangible verdad r4 es muy abstracto y está más allá ejemplo de programación en tres dimensiones esto solo fue un ejemplo más abstracto de cómo hallar una proyección