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Encontrar la proyección en el subespacio con base ortonormal. Ejemplo

Ejemplo en el que encontramos la matriz de transformación para la proyección en un subespacio con una base ortonormal. Creado por Sal Khan.

Transcripción del video

vimos en el último vídeo que si tengo una base [ __ ] normal vamos a partir como en los últimos vídeos de una base [ __ ] normal para un sub espacio bay si vamos a escribirlo del psuv espacio ve que el psuv espacio ve y si quiero hallar la proyección queremos hallar la proyección sobre sobre ese sube espacio ve de cualquier vector x que se encuentre en rn eso eso lo vimos ya en el vídeo anterior esto se simplifica muchísimo a simplemente multiplicar por a transpuesta por el vector x donde pues como siempre nuestra matriz a es aquella matriz que tiene como columnas a b1 b2 y así sucesivamente hasta de acá ok y estos estos vectores son una base digamos el [ __ ] normal corto normal el espacio vectorial ve ok eso lo vimos en el último vídeo y por eso es que nos gustan mucho las bases [ __ ] normales vamos vamos ahora a hacer esto con un ejemplo concreto ok vamos a considerar ve el espacio vectorial generado por dos vectores de hecho ya lo hemos utilizado en otros vídeos el vector un tercio dos tercios y el vector y perdón la coordenada dos tercios hasta aquí y también por este otro vector que es el dos tercios un tercio y menos dos tercios o que entonces ya hemos visto que estos dos vectores son cortos ortogonales y que además tienen norma 1 sí sí sí no lo recuerdas puedes hacerlo fácilmente calcular la norma de cada uno de ellos y ver que son ortogonales entre sí y vamos a ponerle el nombre de b1 y b2 a estos vectores entonces sabemos podemos concluir que ve uno el conjunto que tiene a b1 y b2 es una base una base [ __ ] normal [ __ ] normal de nuestro sub espacio be ok entonces vamos a vamos a utilizar estos dos vectores para calcular la matriz de la transformación que es la proyección sobre el espacio vectorial b ok entonces lo que queremos hallar es la proyección sobre el sub espacio b de cualquier vector x ok entonces como vamos a hacer esto esto sabemos que es si nos tomamos la matriz a que tiene como columnas a los vectores de la base entonces esta matriz es la que tiene aquí un tercio dos tercios y dos tercios y acá vamos a tener dos tercios un tercio y menos dos tercios ok esta matriz es la que tiene como columnas a la base y entonces la proyección es aportar transpuesta x entonces nos interesa calcular quien es esta matriz vamos a calcular a x a transpuesta ok esto es lo que vamos a calcular y entonces esto lo podemos poner como la matriz me ponerla bien está hacerlo un poco más larga tenemos la matriz a que es un tercio dos tercios dos tercios acá va a ir dos tercios un tercio menos dos tercios muy bien y luego multiplicamos por la matriz a transpuesta que simplemente es es como a costar la verdad es esta columna pasarla como renglón en esta columna pasarla como renglón entonces vamos a tener un tercio dos tercios dos tercios dos tercios aquí un tercio aquí y menos dos tercios muy bien entonces esta multiplicación es lo que nos va a dar la matriz de transformación y no tenemos que éste es de 3 por 2 y este es de 2 por 3 entonces me va a dar una matriz de 3 x 3 3 por 3 entonces vamos haciendo este renglón por esta columna es bueno si se dan cuenta todos tienen un tercio entonces cuando yo multiplique aquí por ejemplo el primero va a ser un tercio por un tercio que es un 9º dos tercios por dos tres y dos son cuatro novenos todo va a llevar un noveno entonces ese noveno lo voy a sacar muy bien entonces tengo un tercio por un tercio es un noveno que aquí está un noveno entonces aquí va un no todavía no va uno más dos tercios por dos tercios son cuatro novenos con el 1 que ya llevaba son 5 y con el noveno aquí afuera ya está ahora vamos este por este y es un tercio por dos tercios son dos novenos más dos tercios por un tercio que son cuatro novenos entonces aquí va el cuatro un tercio por dos tercios son dos tercios dos tercios por menos dos tercios son menos cuatro tercios con los dos tercios que llevaba son aquí menos dos muy bien esto fue con este renglón ahora vamos con este otro renglón aquí sería dos tercios por un tercio son dos tercios más dos tercios perdón perdón son dos tercios por un tercio es dos novenos un tercio por dos tercios son dos novenos entonces me queda aquí un cuatro dos tercios por dos tercios son cuatro novenos un tercio por un tercio es un noveno que son aquí en total cinco novenos dos tercios por dos tercios son cuatro novenos menos o sería un tercio por menos dos tercios son menos dos novenos eso nos quedan simplemente dos novenos no sé si anteriormente había dicho novenos pero todos son novenos verdad dos tercios por un tercio son dos novenos menos dos tercios por dos tercios son menos cuatro novenos entonces aquí nos da menos dos de hecho ya estamos usando este este renglón ya nos vamos con este renglón y entonces nos oyó menos dos aquí sería dos tercios por dos tercios son cuatro novenos menos dos tercios por un tercio es menos dos y que al final nos da dos y finalmente es dos tercios por dos tercios son cuatro novenos menos dos tercios por menos dos tercios son otros cuatro novenos y eso nos da ocho entonces esta es la matriz de transformación de una proyección de cualquier vector en r3 sobre el sub espacio b y es mucho menos doloroso que las formas en que lo hemos hecho anteriormente