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Contenido principal

Las matrices ortogonales preservan ángulos y longitudes

Mostramos que las matrices ortogonales preservan ángulos y longitudes. Creado por Sal Khan.

Transcripción del video

en el último par de vídeos vimos que si teníamos una matriz sé que fuera cuadrada y de tamaño digamos n x en donde además sus columnas sus columnas es decir los vectores columna de esa matriz forman forman un conjunto junto [ __ ] normal y cuando digo [ __ ] normal quiere decir que cada uno de los vectores columna de esa matriz tienen norma 1 y que además son ortogonales entre sí entonces si tenemos una matriz del estilo y que además se me olvidó decirles el nombre de estas matrices éstas tienen un nombre especial y son las que se les conoce como matriz ortogonal ok entonces una matriz ortogonal es aquella cuyos vectores columnas forman un conjunto corto normal ok y de este tipo de matrices obtuvimos un resultado muy muy interesante en donde decíamos que la matriz transpuesta era igual a la inversa de la matriz y este resultado es muy bueno y realmente lo que nos hace es que las cuentas las operaciones de web se vuelven super duper súper fáciles realmente esto es muy útil en ese sentido a la hora de estar en la práctica calculando algunas cosas pero bueno el punto de este vídeo es ver un poquito más de resultados de este tipo de estas de estas matrices qué eran transformaciones o que también los podemos ver como cambios de base donde la nueva base va a ser una base [ __ ] normal y de hecho vamos a recordar un poquito este tipo de diagramas quizás ya estás hasta hasta el gorro de tantos diagramas de este estilo pero el punto es que sabemos que podemos ir de un de este vector x podemos llegar a él a partir de él mismo escrito en términos de otra base esto sí lo hacemos multiplicando por una matriz c ahora bien podemos ir del vector x al vector x pero representado en términos de la base c también multiplicando por una matriz que en este caso sería la inversa verdad esto simplemente es un cambio de coordenadas de o por expresar este x en términos de otros representantes de una base muy bien entonces lo que quiero hacer en este vídeo es mostrar una propiedad muy buena de este tipo de transformaciones es decir si transformamos todos los vectores del espacio rn con una matriz ortogonal vamos a tener que los ángulos y las distancias se preservan entonces déjenme déjenme anotar eso con palabras porque no es muy matemático se preserva y ahorita diremos en qué sentido es que se preservan distancias distancias y ángulos ángulos muy bien entonces cuál es el sentido en el que estamos hablando de preservar por ejemplo piensan piensan en algún vector digamos un vector x digamos que aquí tengo mi vector x aquí está y que tenemos algún otro vector no se esté amarillito entonces aquí se forma cierto ángulo theta por supuesto nosotros vamos a aplicar una transformación ce una transformación dada por una matriz ce y cuando nosotros aplicamos esta matriz si yo digo que preserva distancias quiere decir que este ángulo perdón este este vector x podrá estar rotando sería hacer muchas cosas pero su magnitud o su norma debe ser exactamente la misma aquí está el vector c x este es c x y también cuando nosotros transformamos el vector amarillo pues lo que debe ocurrir es que el ángulo que forman el ángulo que forma debe ser exactamente igual bueno primero la distancia no se vio muy bien que realmente se preservará la distancia verdad pero el detalle es que este ángulo de aquí debe ser exactamente el mismo que teníamos inicialmente entonces en ese sentido es que estamos pensando que los ángulos se preservan por ejemplo podríamos tener alguna transformación que a lo mejor haga esto este es otro vector y tengamos otro vector amarillo que haga esto entonces este ángulo definitivamente no es el mismo que este que teníamos así que esta transformación digamos este ejemplo que hicimos de transformación no preserva ángulos entonces esta de aquí no preserva muy bien entonces ya que tenemos esta intuición podríamos decir que en esencia lo que está haciendo o más bien lo que no está haciendo es distorsionar a los vectores esto intuitivamente lo podemos escribir que no distorsiona no distorsiona vectores que no distorsiona vectores eso es intuitivamente lo que estamos diciendo y si ya tenemos esta esta forma intuitiva de decirlo bueno esto realmente no nos está dando una demostración eso es lo que nos hace falta demostrar que en efecto las distancias y los ángulos se preservan y vamos primero con las distancias que es lo más fácil de demostrar tenemos que demostrar que la norma o la longitud de x debe ser la misma que después de haberle aplicado la transformación esto es lo que hay que demostrar y es y es sumamente sencillo hacerlo tomemos la norma de c x al cuadrado vamos a tomarlo al cuadrado para poder expresar esto como x punto se x y lo primero que hay que recordar es que cuando uno tiene una multiplicación de este estilo uno puede decir que no sé por ejemplo tener y punto y vamos a decir que tenemos que calcular puntos y esto no es otra cosa más que un producto de matrices verdad esto es lo mismo que ya transpuesta por ye donde ya transpuesta porque lo podemos ver como un vector verdad un vector que en este caso va a ser acostadito es decir va a ser este vector y 1 y 2 así hasta allí n que multiplica a esta otra matriz de 12 así ya está y en si hacemos el producto de estas dos matrices esto nos da el producto punto de los vectores este es de uno por n y éste es de n por 1 por lo tanto me queda un vector de uno por uno así que esta expresión de aquí lo podemos reescribir como c x transpuesta x pero aquí el producto es de matrices ce x y otra cosa que hay que recordar es que significa la matriz transpuesta de un producto de matrices por ejemplo si yo tengo a be transpuesta esto será lo mismo que de transpuesta a transpuesta y esto ya lo vimos hace ya no se hace bastantes vídeos pero que nos van a ser muy útiles para para este caso entonces la transpuesta de s por x simplemente será x 3 respuesta de transpuesta y que luego multiplica hace x multiplica x tenemos esta última multiplicación y como tenemos que la transporta es igual a la inversa este producto de matrices simplemente me da la identidad que para fines prácticos por la identidad no no pintan en este juego verdad así que la podemos omitir y dejar simplemente x transpuesta por equis verdad y x transpuesta por x es x punto x que no es otra cosa más que la norma de x al cuadrado entonces la norma al cuadrado de ese x fue la norma de x al cuadrado quiere decir que las normas son iguales que coinciden entonces hemos demostrado que las distancias que las distancias se preservan ahora veamos que para ángulos también se cumple y habría que definir los primero porque sabemos que con todo lo que llevamos estudiando de matemáticas entendemos muy bien en en r2 y r3 qué son los ángulos verdad pero en álgebra lineal hay que hablar en general así que una d de ángulos que podemos dar es la siguiente que si nosotros tenemos el producto punto de dos vectores esto será igual esto será igual esto será igual a la norma debe por la norma del segundo que es w por el coseno del ángulo que forman estos dos vectores muy bien o bien si ya queremos definir el ángulo de forma propia tenemos que decir que el coseno del ángulo es igual a b punto w sobre la norma debe por la norma de w por supuesto estamos pensando que b y doble uno son vectores cero y de hecho pues si tenemos un vector pero no no podemos definir muy bien un ángulo verdad y aquí se ve por qué pero bueno esta es la definición no recuerdo si ya lo habíamos visto en otro vídeo sí sí habría que repasar lo y si no voy a hacerlo próximamente entonces el coseno del ángulo vamos a calcular el coste no del ángulo del ángulo una vez que ya aplicamos la transformación entonces esto será de punto cwv entre la norma de estos dos se ve la norma de cb por la norma de c&w entonces está con esta definición de ángulo vamos a ir trabajando de hecho ya vimos por esta propiedad anterior que la norma de cb es la misma que la norma debe y la norma de c&w es la misma que la norma de w entonces el coseno del ángulo después de aplicar la transformación es c de punto c&w sobre la norma debe por la norma de w muy bien y ahora bien esto podemos reescribir el producto punto con esta propiedad que habíamos dicho verdad lo escribimos como se ve se ve transpuesta por cw v sobre la norma debe por la norma por la norma de w muy bien y ahora utilizamos esta otra propiedad de la trans puesta de dos matrices que esto será igual a b transpuesta por ser transpuesta por c por w sobre la norma de d por la norma de w muy bien y finalmente cómo se transporta es la inversa de c aquí tenemos esa propiedad la volvemos a utilizar entonces esencialmente fue igual que la anterior esto es ley de la identidad y esto me queda de transpuesta punto w sobre normas punto que es en los puntos simplemente es multiplicación de matrices pero quizás llaves hacia dónde voy sobre la norma debe por la norma de w y que esto es el producto punto ahora sí debe con w de punto w norma debe por norma de w muy bien y esto no es otra cosa más que la definición del coseno del ángulo pero aquí es el coseno del ángulo entre b y w sin aplicar la transformación ce así que cuando efectuamos una transformación un cambio de base con una matriz ortogonal de este tipo de matrices el ángulo entre los vectores transformados no cambia es el mismo ángulo que formaban originalmente antes de ser transformados lo cual es un resultado que a mí me parece muy bonito de las transformaciones ortogonales las transformaciones con matrices ortogonales no distorsionan vectores si a lo mejor pueden rotar como en este como en este ejemplo pero el punto es que no cambian los ángulos entre ellos