Proyección en subespacios con bases ortonormales

vimos en el último vídeo que las bases [ __ ] normales funcionan muy bien para sistemas de coordenadas entonces vimos justamente sobre bases [ __ ] normales las bases [ __ ] normales sirven muy bien para los sistemas de coordenadas y que de hecho sirven muy bien en el sentido de que es fácil calcular fácil de calcular las coordenadas las coordenadas muy bien en eso hicimos en el último vídeo ahora veamos si hay otras razones por la cual es útil tener bases [ __ ] normales y como siempre pues vamos a tener que empezar con b que sea un un sub espacio un sub espacio de nuestro espacio general rn ok entonces tomamos un sub espacio de rn y vamos a suponer que conocemos una base de este sub espacio digamos que el conjunto de el conjunto b formado por los vectores digamos b1 b2 y así sucesivamente hasta beca forman una base se portó normal aquí es lo importante ya no es cualquier base es una base [ __ ] normal de nuestro sub espacio ve ok y que no es otra cosa más que una forma elegante para decirle que este conjunto de vectores son ortogonales entre sí y que además la norma de cada uno de ellos es uno muy bien entonces tenemos esta base [ __ ] normal que otra cosa sabemos si nos tomamos un vector x cualquiera en rn sabemos que podemos descomponerlo en una suma verdad y eso es descomponerlo como vemos w demás w y lo importante aquí es que el el vector b el vector b se encuentra en nuestro sub espacio y sabemos que w se encuentra en él en el complemento ortogonal de nuestro sub espacio de hecho sabemos que a este este changuito que tenemos aquí la proyección la proyección sobre el sub espacio be the x y w sería la proyección de x sobre el sub espacio del complemento ortogonal de be y en general no es fácil calcular quién es la proyección hay que multiplicar un buen de matrices y eso lo vuelve bastante engorroso pero pero de hecho de hecho vamos a recordar cómo se hace teníamos una matriz a y que la construyamos de tal suerte que las columnas de ésta eran los vectores que formaban una base de nuestro sub espacio muy bien entonces decíamos o más bien no decíamos habíamos demostrado que la proyección sobre el sub espacio del vector x se calculaba como la multiplicación de a por a transpuesta por a todo esto a la menos uno por transpuesta que multiplica al vector x ok y esto esto de aquí calcular esta multiplicación de matrices en general era un terrible dolor de cabeza porque son muchísimas operaciones que si lo hacemos con papel y lápiz pues puede resultar bastante complicado y bastante engorroso pero que a lo mejor una computadora podría hacerlo rápidamente entonces vamos a seguir experimentando con todas estas operaciones y veamos si si si el hecho de tener bases orton normales simplifica la forma de calcular esta proyección a lo mejor ya no tendremos que utilizar la multiplicación de matrices pero quizás podríamos éste encontrar una forma fácil de escribir esto entonces vamos a tomarnos ahora vamos a tomarnos este x vamos a tomarnos este vector x x y como sabemos que nuestro vector b se encuentra en el sub espacio se encuentra en este sub espacio y este conjunto es una base para ver entonces b lo podemos escribir como una combinación lineal de estos vectores b1 b2 hasta beca entonces ve vamos a escribir primero b es que digamos c 1 tecno ponerlo con otro color es c 1 por b 1 más de 2 por b 2 todos estos hasta seca por beca esto todo esto todo esto de aquí es nuestro lector ve que también sabemos que es la proyección la proyección sobre el sub espacio ve de equis y nos falta sumarle w aunque entonces más w aunque ya estés ve aquí esta vez y w aquí está w muy bien entonces sí sí sí seguimos experimentando como en él como en el vídeo anterior qué pasaría si multiplicamos a x por alguno de estos vectores de la base entonces que tenemos por ejemplo si multiplicamos por el que ustedes quieran ver punto x será igual a b y por éste que sería c 1 por b y punto de 1 c 2 b y punto b 2 y así sucesivamente hasta que encontremos el vector de y verdad y nos quedaría b y punto más nos seguimos todos los que faltan hasta seca por d y punto beca ok entonces hasta aquí hemos hecho la multiplicación de todos estos sólo nos faltaría multiplicar b y punto el vector w wv y bueno esto es bastante útil porque muy parecido a lo que hicimos en el vídeo anterior tenemos que estos como como es una base [ __ ] normal esto se hace cero verdad porque tenemos tenemos dos elementos distintos de la base que se multiplican entonces nos da cero esto nos da cero todos éstos nos dan cero excepto uno que es cuando coincide en verdad y éste nos da uno porque esto es la norma al cuadrado que sabemos que es 1 entonces aquí solo me restaría el c y ahora qué pasa con b y punto w bueno notemos que w se encuentra en el complemento ortogonal de b y eso quiere decir que es ortogonal a todos los vectores de mi psuv espacio b en particular si yo tengo b y esteve y vive en el sub espacio b entonces estos dos son ortogonales y al hacer la multiplicación del producto punto nos da nuevamente 0 entonces tenemos un resultado muy parecido a la anterior por qué si aquí este es el único que nos queda si va a ser igual a punto equis y solo para clarificar un poquito en el vídeo anterior nos tomamos a equis un elemento cualquiera pero del sub espacio b aquí nos estamos tomando x cualquier elemento de rn no importa el que sea ya no necesariamente tiene que vivir solo en el sub espacio b ok en este caso puede vivir en cualquier lugar ahora entonces sí sí ya tenemos que seguir es la multiplicación con producto punto del vector y de la base con el vector x entonces podemos ya escribir muy bien o ya podemos hallar la proyección del vector x sobre el sub espacio b de una forma más sencilla porque simplemente era el vector b que se escribía como esta combinación lineal de los vectores de la base pero si ya sabemos quién es cada uno de los coeficientes entonces simplemente podríamos decir que la proyección el sub espacio del vector x es esta combinación lineal donde se 1 pues será de 1 punto x que multiplica al vector déjenme hacerlo con otro color no nos perdamos esto va a ser c1 c1 dijimos que es de 1 punto x que multiplica el vector de uno más de dos que es de 2 x y que multiplica el vector de 2 y así nos seguimos sumando todos los términos hasta beca punto x que multiplica el vector ve acá muy bien entonces esta es una fórmula para encontrar la proyección sobre el sub espacio b del de cualquier vector x siempre queremos una base orton normal una base [ __ ] normal de nuestro sub espacio b entonces si recordamos cuando tenemos la proyección sobre sobre una línea si recordamos cuando tenemos la proyección sobre una línea de un vector x donde aquí la línea pues sería el espacio generado por todos los múltiplos de un vector digamos unitario verdad todos los múltiplos de un vector unitario y vamos a suponer que es un vector de norma 1 entonces si utilizamos esta observación tenemos que la proyección es x punto que multiplica al vector y ok entonces si nos damos cuenta entonces la proyección sobre el sub espacio completo no es otra cosa más que la suma de muchísimas proyecciones sobre cada una de las líneas sobre cada una de las líneas que genera la base de nuestro sub espacio de lo cual es algo muy muy muy agradable de observar entonces hagamos brevemente un repaso de qué es lo que estamos haciendo tenemos una base [ __ ] normal queremos ver para qué demonios nos sirve y en general era muy complicado calcularlo verdad calcular la proyección de un vector sobre un sub espacio b había que hacer estas estos cálculos o estas operaciones con matrices que se vuelven difíciles pero utilizando la propiedad de que es una base [ __ ] normal llegamos a una expresión muy agradable de cómo escribir la proyección [ __ ] normal de este vector entonces ahora lo que podemos preguntarnos es bueno sabemos que la proyección de esta proyección es una función es una transformación lineal entonces habrá algunos que queramos saber quién es la matriz de transformación de éste desde la proyección ok quizás sea útil para algunas aplicaciones que soy yo podría ser entonces vamos a ver si el hecho de que sean una base ortogonal nos ayuda con el hecho de calcular la matriz de la transformación entonces sabemos vamos a notar lo que sabemos que la proyección sobre un sub espacio del vector x es esta matriz a que multiplica a transpuesta por a a la menos uno por atrás pues está y multiplica al vector x donde sabemos también que la matriz a la construimos como aquella matriz que tiene como columnas a los vectores de la base muy bien base del psuv espacio b y esta matriz si queremos hacer a transpuesta por lo que vamos a querer calcular es a transpuesta por a entonces si tenemos a transpuesta x a quien es pues bueno si tenemos si queremos escribir a transpuesta todo lo que son columnas pasan a ser renglones entonces lo que son columnas ahora son renglones aquí tenemos el vector b 1 transpuesto ahora visto como renglón el vector b 2 transpuesto visto como renglón y así sucesivamente hasta el vector beck ha transpuesto visto como renglón muy bien que va a multiplicar a nuestra matriz a que esa ya la ya la tenemos aquí la matriz que tiene al vector b 1 todos como columnas verdad como columnas así sucesivamente hasta el vector bk entonces quién es esto vamos a ver quién sería esto esto si nos damos cuenta esta es una matriz de la matriz a es una matriz de n por acá entonces la matriz a transpuesta es de acá por n éste es de n por acá y por lo tanto nos queda una matriz de acá por acá es decir es una matriz cuadrada muy bien es una matriz cuadrada me hago bien este este cierre de la matriz ahí está entonces nuestra primera coordenada está dado por el producto punto del primer renglón con la primera columna entonces b 1 punto b 1 como es una base [ __ ] normal es la longitud de b 1 al cuadrado que es 1 muy bien de hecho vamos a ver que en la diagonal vamos a tener puros unos porque en la diagonal tenemos el producto punto d el renglón con la columna correspondiente por ejemplo en el segundo será de 2 este vector ve dos punto el vector b 2 entonces es la norma al cuadrado que es 1 entonces así nos podemos dar cuenta de que en realidad sobre la diagonal solo vamos a tener unos ahora vamos a ver quién o quién qué número ocupa este lugar entonces en ese lugar simplemente se calcula como el vector de 1 punto la columna de 2 pero como son otra vez ortogonales estos su producto punto es 0 muy bien qué pasa en el siguiente y aquí lo que hemos hecho hasta ahorita fue hacer este producto de este con este otro si nosotros hacemos el producto punto con el tercero b 1 punto b 3 que es este renglón con esta columna nos va a quedar 0 porque son ortogonales entonces en general si hacemos el producto de b 1 con todos los demás que no son b 1 por ser ortogonales nos quedan puros ceros si ahora partimos con b 2 y hacemos el producto punto con b 1 con esta columna nos queda 0 ya hicimos con b 2 y si lo hacemos con cualquier otro vector nos van a dar ceros porque son ortogonales entonces esta matriz se puede rellenar de forma muy fácil verdad esto se rellena con puros ceros y se dejan puros 1 sobre la diagonal entonces esta matriz tiene un nombre muy especial y de hecho es una matriz de acá por acá y no es otra cosa más que la matriz identidad de cada década por acá verdad entonces realmente calcular a transpuesta por a si tenemos una base [ __ ] normal si partimos de esta base [ __ ] normal vamos a tener que a transpuesta x a a transpuesta x a va a ser igual a la matriz identidad de acá por acá y entonces la inversa de a transpuesta por a pues es la inversa de la matriz identidad pero la inversa de la matriz identidad es ella misma entonces la proyección que nosotros habíamos escrito como esta multiplicación de matrices se simplifica muchísimo porque ahora tenemos que la proyección sobre el sub espacio b del vector x es no escribirlo y es a por esta matriz a transpuesta a la menos 1 que es la matriz identidad de k por k que multiplica a transpuesta por x pero bueno realmente poner esta matriz es como haber hecho nada solo hace cosquillas en esta parte y es se queda a por a transpuesta por equis y que aún hay que multiplicar matrices pero esto es mucho más fácil verdad antes teníamos que multiplicar cuatro matrices ahora ya nada más tenemos que multiplicar dos entonces realmente si queríamos encontrar la matriz por la matriz asociada a la transformación de la proyección inicialmente es esta cosa muy complicada de aquí pero utilizando una base [ __ ] normal y las propiedades que eso conlleva llegamos a que sólo hay que multiplicar dos matrices a por a transpuesta de todas formas espero que esto te haya dado más apreciación de lo que son las bases orton normales y para que son útiles