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Coordenadas con respecto a bases ortonormales

Vemos que las bases ortonormales son buenos sistemas de coordenadas. Creado por Sal Khan.

Transcripción del video

sabemos que es una base [ __ ] normal pero la pregunta obvia que nos brinca es y para qué son buenas y una de las tantas respuestas a esa pregunta es que funcionan muy bien como existen sistemas de coordenadas o bases coordenadas entonces estos compadres aquí las bases orton normales son buenos son buenos sistemas sistemas de coordenadas de coordenadas ok entonces vamos a ver vamos a probar por ejemplo nosotros conocemos muy bien una base [ __ ] normal y que es la base estándar de rn por ejemplo la base estándar de rn la base estándar de rn es decir la base canónica verdad es este conjunto y lo voy a poner como vectores digo podría llamarles como en muchos otros vídeos 1 12 3 etcétera pero es el conjunto de vectores donde el primero tiene uno en la primera coordenada 0 en las demás ok este es nuestro primer vector donde tenemos también el que tiene un 1 en la segunda coordenada es cero en los demás y así sucesivamente hasta el vector que tiene todos ceros de poner bien los límites tiene puros ceros y sólo un 1 al final ok entonces esta es nuestra base estándar de rn y podemos ver fácilmente muy fácilmente que este es una base [ __ ] normal y esto es claro por lo siguiente tomamos cualquier vector por ejemplo este de aquí y si multiplicamos si hacemos producto punto de este consigo mismo pues vamos a tener uno por uno que es 1 y lo demás son ceros entonces su norma al cuadrado es 1 y por lo tanto su norma es 1 lo mismo va a pasar con con el resto de los vectores ahora si nos tomamos dos distintos por ejemplo estos dos habrá muchos vector mucho muchas coordenadas perdón en donde coincidan los ceros pero siempre que haya un uno en algún vector en la en el otro va a haber un cero entonces eso hará que se anulen lo mismo aquí por ejemplo tenemos un 1 y acá un 0 y no importa cuál pareja de vectores me tome esto va a ser cierto para cualquiera para cualquiera 2 es que me tomé entonces en realidad este es una base [ __ ] normal es decir la norma de cada uno de estos es uno y son ortogonales entre sí es decir el producto punto entre ellos son es cero y por lo tanto esto es algo que lo hace un buen sistema o un buen sistema de coordenadas ok esto es lo que lo hace un buen sistema de coordenadas y de coordenadas y en si debo de mostrarte ahorita por qué todas las bases [ __ ] normales son buenas para sistemas de coordenadas verdad entonces si por ejemplo nos tomamos ve un conjunto b que tiene vectores b1 b2 bueno vamos a poner y así sucesivamente hasta beca ok y suponemos que esto es un conjunto corto normal entonces esto ya sabemos que es un conjunto linealmente independiente verdad lo vimos en algún vídeo anterior y entonces eso hace que sea una base [ __ ] normal una base [ __ ] normal de algún sub espacio ve de hecho es el sub espacio generado por estos vectores entonces la afirmación que tenemos y que hay que hay que hay que justificar es que este si es una base [ __ ] normal es un buen sistema de coordenadas y bueno uno puede decir que algo es bueno oa lo mejor un amigo es bueno pero pero tenemos que decir que significa que algo sea bueno verdad este puede ser bueno en muchos sentidos entonces vamos a ir explorando esto vamos a experimentar un poquito por ejemplo si yo me tomo un vector x en nuestro psuv espacio ve que si nos tomamos un equis en este sub espacio como éste sube espacio es el generado por esto por estos vectores entonces x lo podemos expresar como una combinación lineal de estos es decir puedo expresar lo como c 1 por b 1 es decir b 1 lo multiplicó por algún c 1 más de 2 por b 2 y así sucesivamente voy sumando hasta seca beca y déjenme poner ahí alguno intermedio para que se vea un poquito más en general sí y por vez más seca beca ok entonces partiendo de esto vamos a experimentar un poquito qué pasa si yo hago la multiplicación de strike de esta igualdad hago el producto punto con alguno de estos vectores es decir qué pasa si yo hago x y déjenme multiplicar así b y punto x qué pasa pues sería b y multiplicar por toda esta suma verdad entonces tendremos c 1 x de 1 punto b más de dos dedos punto de iu más y por b y punto b y algunos de ustedes ya entenderán por qué escribí este más seca beca punto y el secreto de todo esto es que en realidad me tomé un beat arbitrario es decir podría ser cualquiera de estos vectores que se encuentran en mi conjunto b podría ser b 1 podría ser b 2 en fin podría ser incluso beca el que sea entonces cuál es la magia que obtenemos en este en este en este experimento que estamos haciendo como ve es una base [ __ ] normal si yo me tomo dos vectores distintos el producto punto es cero porque es ortogonal verdad entonces estos de aquí se hacen cero porque estamos haciendo producto punto de dos vectores distintos todos van a ser cero excepto uno excepto en el cual coincide en verdad entonces aquí tengo b b y que eso es la norma debe y al cuadrado y ahí volvemos a usar que es una base [ __ ] normal y en particular que está normalizado es decir que la norma de todos estos es 1 entonces este de aquí vale 1 y que es lo que obtenemos que es lo que obtenemos obtenemos la siguiente expresión que bay bay punto x es igual y verdad porque todos estos se anularon el único que sobrevive es este que es seguido por uno entonces tenemos esta expresión y esta expresión es sumamente valiosa es sumamente valiosa tú dirás bueno este llegamos a esto verdad empezamos a experimentar que con las combinaciones lineales llegamos a este resultado pero él a lo mejor te preguntas pero para qué demonios me va a servir y vamos a tratar de recordar que era lo que hacíamos cuando hacemos el cambio de los cambios de base ok teníamos un vector equis y lo queremos expresar en las coordenadas de nuestro conjunto ve a ver si lo puedo subir para que se vea muy bien entonces esto esto lo podemos escribir esto no es otra cosa más que el vector que tiene como coordenadas estos coeficientes el peso que le estoy dando a cada uno de los vectores de mi base entonces éste sólo un breve repaso de lo que ya hemos hecho en otros vídeos y este vector está definido por c1 c2 y seca verdad es este vector este vector de aquí y en general encontrar encontrar estas constantes no es fácil esto no es así tan trivial y que uno lo puede hacer en dos minutos y lo mejor el vector es muy grande porque bueno sabemos que podríamos encontrarla como comúnmente lo hacíamos era tu mamá tomábamos el vector el vector en cambiado en las coordenadas de nuestro conjunto b de nuestra base b y decíamos buenos y yo quiero escribir a x tengo que multiplicar aquí por la matriz de cambio de base y esto es lo que me va a dar el vector x verdad entonces si nosotros queremos encontrar quién es este vector podríamos multiplicar por la inversa de c y decir bueno pues tenemos que el vector x expresada en las coordenadas de la base b es igual hacia la menos 1 por el vector x ahora esto sólo es válido solo si la matriz ce es invertible y en general pues eso no tiene que ser cierto verdad en general no necesariamente es cierto que que sea invertirle entonces este resultado es muy particular es muy particular y no es tan útil como como si tenemos una base [ __ ] normal y eso es por lo siguiente porque estas estas constantes este vector si tenemos una base [ __ ] normal ya sabemos cómo calcularlo me dice que si es igual a punto equis entonces c 1 será igual a c 1 perdón b 1 punto x aunque sé dos pues será de dos equis y así sucesivamente hasta seca que va a ser perdón seca seca será beca punto equis y entonces aquí tenemos ya una forma muy bonita y muy sencilla de calcular quién es el vector expresado en el sistema de coordenadas b ok entonces vamos a hacer ahora un ejemplo concreto para que veas que esto aunque a lo mejor hasta aquí es muy abstracto y muy complicado al menos hacerlo es muy sencillo entonces vamos a tomar los dos vectores vamos a tomarnos el vector de uno digamos que este vector sea el tres quintos y en su segunda coordenada vamos a ponerle que sea cuatro quintos muy bien y vamos a tomarnos también el vector de 2 que sea el que tiene coordenadas menos cuatro quintos y 3 muy bien entonces vamos a hacer una afirmación si nosotros nos tomamos el conjunto b el que está formado por el por los vectores b1 y b2 y b2 si tenemos este conjunto la afirmación podría ser que este es un conjunto [ __ ] normal entonces qué es lo que tenemos que checar que es la norma de estos dos vectores es 1 y que además estos dos son ortogonales entre sí vamos a verlo vamos a bajar un poco entonces la norma del vector b 1 al cuadrado vamos a ponerlo al cuadrado va a ser igual a éste al cuadrado más éste al cuadrado éste al cuadrado son 9 entre 25 más cuatro quintos al cuadrado son 16 sobre 25 916 son 25 y esto está dividido entre 25 y esto es 1 entonces la norma al cuadrado es 1 la norma sin el cuadrado también es 1 ahora vamos a ver quién es la norma debe 2 al cuadrado y eso es menos cuatro quintos al cuadrado eso es 16 sobre 25 tres quintos al cuadrado son nueve sobre 25 y 16 más 9 son 25 nuevamente tenemos 25 sobre 25 que es 1 entonces al menos ya sabemos que este conjunto está normalizado los dos vectores son unitarios tienen norma 1 ok ahora lo único que nos falta revisar que si hacemos el producto punto debe 1 con de 2 esto nos debe dar 0 y b 1 el producto punto es tres quintos por menos cuatro quintos nos queda menos 12 sobre 25 y ahora cuatro quintos por tres quintos es más 12 sobre 25 que es esencialmente lo mismo y por lo tanto es cero así que este conjunto en efecto es un conjunto conjunto corto normal por todo normal es un conjunto corto normal muy bien entonces de hecho son dos vectores linealmente independientes entonces y como tienen dos coordenadas esto fácilmente lo podemos concluir como que ve es una base es una base del espacio r 2 con una base del espacio r2 muy bien entonces esto es porque tengo dos vectores linealmente independientes y por lo tanto generan a un espacio de dos dimensiones que es el número de coordenadas que tienen verdad entonces vamos a hacer un ejemplo por ejemplo qué tal si nos tomamos al vector no sé vamos a tomarnos un vector cualquiera el 99 menos 2 vamos a tomarnos este este vector 9 menos 2 entonces por lo que hemos estado viendo nos interesa encontrar cómo escribir este vector en el sistema de coordenadas b entonces sabemos que pues nuestros nuestra matriz de cambio de variable pues es esencialmente ésta la que tiene tres quintos dos menos cuatro quintos y tres quintos que si esto lo multiplicamos por el vector x en términos de la de la en el sistema de coordenadas b eso me debe dar el vector original que es 9 menos 2 y entonces podríamos hacer lo que dijimos acá arriba verdad podríamos encontrar la matriz inversa y en resolver el sistema en fin lo más sencillo es utilizar esta herramienta que ya encontramos porque porque sabemos entonces que el vector x escrito en el sistema de coordenadas b pues no es otra cosa más que el producto punto de estos dos vectores con el vector x verdad entonces esto va a ser de 1 punto x y de 2 punto x muy bien y esto será igual vamos a hacer las cuentas quienes ven 1 punto x de 1 punto x es 9 por tres quintos que son 27 quintos y luego cuatro quintos por menos dos son menos ocho quintos muy bien esto por un lado ahora por el otro lado quienes ve 2 punto x es menos cuatro quintos por nueve son menos 9 x 4 son 36 quintos y tres quintos por menos dos son menos seis quintos muy bien entonces esto simplemente nos da 27 menos ocho son 19 son 19 19 quintos y acá abajo menos 36 quintos menos 65 son menos cuarenta y dos quintos muy bien si las cuentas no salieron muy bien esto no se está espero que puedas ver la facilidad con lo que hicimos esto y si tuviéramos un problema similar pero que no estuviera en r2 que a lo mejor estuviera de 4 n recién imagínate calcular la inversa de una matriz o resolver el sistema sería muy complicado y sin embargo con esta técnica se vuelve muy sencillo al inicio al inicio estábamos hablando de que es escribir las cosas en términos de una base [ __ ] normal eran buenas y ya vimos cuál es una de esas caras por las cuales son buenas las bases [ __ ] normales verdad es fácil encontrar coordenadas respecto a bases [ __ ] normales