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Método de Gram-Schmidt con una base de 3 vectores. Ejemplo

Método de Gram-Schmidt con una base de 3 vectores. Ejemplo. Creado por Sal Khan.

Transcripción del video

hagamos un ejemplo más utilizando el proceso de grandes mid entonces digamos que tengo un espacio vectorial digamos el espacio vectorial generado por tres vectores y estos vectores van a vivir ahora en r 4 ok entonces tenemos el vector 0 0 1 1 tengo el vector digamos el 0 1 1 0 ok y voy a tener también un vector el 1 1 0 0 ok entonces el espacio vectorial generado por estos tres vectores de hecho es un espacio de tres dimensiones verdad este vamos a va a ser el que vamos a trabajar y queremos hallar una base [ __ ] normal de este espacio verdad entonces comencemos llamándole este v 1 a éste vamos a llamarle b 2 y este vamos a llamarle b 3 estos si hacemos el producto punto vamos a ver que no son ortogonales de hecho bueno quizás es b 1 con b 3 si son ortogonales pero no todos entre sí además la norma de cada uno de ellos no es 1 así que hay que encontrar un hay que sustituir estos vectores por unos apropiados entonces ya no hay mucha teoría que explicar vamos a ir directo al grano así que vamos a calcular primero la norma de este vector verdad porque el primer vector es una línea y simplemente queremos normalizar lo entonces b1 el espacio vectorial generado por b 1 es una línea y necesitamos que el un elemento que genere a esa línea pero de norma 1 entonces simplemente calculamos un norma que es la raíz cuadrada de 0 + 0 + 1 más 1 verdad es la suma de todas sus coordenadas al cuadrado sacamos raíz y esto es raíz de 2 entonces el vector que yo necesito vamos vamos a definirlo de la siguiente forma y 1 es 1 entre la norma debe 1 que es 1 sobre la raíz de 2 por el vector b 1 que es el 0 0 ok entonces este primer vector va a ser el primer vector que voy a tener que sustituir en este en este espacio vectorial generado es decir en vez de considerar b 1 voy a considerar un 1 y eso es porque ve que es p b que es el espacio vectorial generado por b1 b2 y b3 es lo mismo que el espacio vectorial generado por 1 verdad pues es la misma línea la que se genera por b 2 y por b 3 ok entonces uno es el primero de los tres que teníamos que sustituir y ahora que sigue ahora tenemos que sustituir de dos por algún otro vector que sea ortogonal a un 1 verdad entonces vamos a considerar vamos a tomar en cuenta un vector de 2 que como ya hemos visto en los dos vídeos anteriores es muy fácil de calcular simplemente es b 2 - la proyección sobre el espacio b 1 donde el espacio b 1 es el generado por un 1 ok de nuestro vector b 2 ok entonces además sabemos cómo calcular esta proyección verdad es simplemente b 2.1 uno por uno y eso lo vimos ya hace varios vídeos de cómo hacer proyecciones cuando tenemos bases [ __ ] normales entonces esto simplemente será b2 que de 2 es el 0 1 10 menos menos y aquí es donde vamos a hacer un poquito más de cuentas porque va a ser b2 b2 que 0 1 1 0 punto el vector 11 que es 1 sobre la raíz de 2 por 0 0 11 verdad aquí estamos haciendo b 2.1 y todo esto vamos a todo eso multiplica al vector y 1 que es quitar esto es 1 sobre la raíz de 2 por 0 0 1 1 muy bien entonces si hacemos estas operaciones aquí vamos a tener bueno este mismo vector el 0 1 10 - y aquí este uno sobre raíz de 2 con este otro se pueden salir ambos se multiplican y nos queda uno entre raíz de dos por uno entre raíz de dos es simplemente un medio que multiplica vamos a hacer este producto punto cero por cero es 0 1 por 0 0 1 por 1 1 con los otros se los llevamos 10 por 1 en 0 así que aquí nada más me queda un 1 ok 1 que multiplica al vector esto quedó muy grande al vector 0 0 1 1 muy bien entonces esto no es otra cosa más que este vector que es el 0 1 10 - un medio de este un medio de 0 es 0 un medio del 0 es 0 un medio de 1 es un medio y un medio de 1 es un medio entonces esta es finalmente la diferencia que tenemos que calcular vamos a obtener este vector de dos dedos es igual con este color y dos es igual a 0 - 0 aquí en la primera coordenada de 0 1 - 0 es 11 menos un medio es un medio y 0 menos un medio es menos menos un medio ok este vector ye 2 es el que necesitamos entonces podemos sustituir a de 2 por 2 y tenemos que esto es el espacio vectorial generado por uno de dos y de tres pero de dos no tiene la propiedad de tener norma uno verdad entonces lo que nos hace falta es normalizar a este vector quien es la norma de ye 2 la norma de ye 2 es igual a la suma bueno la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de sus coordenadas entonces 0 + 1 al cuadrado que es uno más un medio al cuadrado que es un cuarto más menos un medio al cuadrado es un cuarto ok y esto simplemente es la raíz cuadrada de 01 bueno un cuarto más un cuarto es un medio que si le sumamos uno tenemos tres medios verdad entonces es la raíz cuadrada de tres medios así que ahora sí podemos definir nuestro vector u2 que es el que ya realmente vamos a considerar 1 sobre la norma de 2 que es uno entre la raíz de tres medios o lo que es lo mismo la raíz de dos tercios verdad simplemente es tomar el recíproco y multiplicamos por 2 qué es 01 un medio menos un medio ok entonces este v2 es el que realmente me funciona para que para ir construyendo nuestra base [ __ ] normal entonces estévez espacio vectorial es el generado es igual al generado por 12 y por b 3 ok entonces hasta aquí vamos muy bien y ahora simplemente hay que encontrar el tercer vector que sea ortogonal a todos ellos a los dos anteriores a uno y agudos entonces nuevamente calculamos el ye 3 que es b 3 - la proyección sobre el espacio que generan 1 y 2 que podemos ponerle nombre podemos ponerle que el espacio vectorial generado por un 1 y 2 el espacio b2 de hecho bueno no voy a utilizar mucho esto realmente podemos hacer aquí directamente las cuentas porque sabemos cómo calcular la proyección dado que 1 y 2 es una base [ __ ] normal para este sub espacio b 2 simplemente es calcular el producto punto y multiplicar por cada uno de estos vectores así que vamos a hacerlo tenemos simplemente la primera parte es de 3.11 esto que multiplica a 11 más de 3.2 que multiplica al vector u2 esto es lo que realmente hay que calcular así que vamos a hacerlo esta es la proyección de tres sobre el sub espacio de dos y vamos haciéndolo entonces de tres 73 es igual a b3 que en este caso dijimos que b 3 era el 1100 entonces este es el 1100 - menos de 3 de 31 100 punto vamos a ponerlo con otro color punto 1 1 pero un 1 dijimos que es no lo teníamos ya no lo veo uno claro aquí está es uno entre la raíz de 20011 entonces esto es uno sobre la raíz de 2 por 0 0 1 1 ok y esto multiplica a nuestro vector 11 que es el 0 0 1 1 muy bien y ahora también restamos restamos verdad aquí este menos se distribuye en estos dos y luego restamos hacerlo con otro color el b3 b3 que era el 1 100 punto 122 es la raíz de dos tercios por 0-1 un medio menos un medio y este vector que multiplica nuevamente a agudos entonces esto es la raíz de dos tercios que multiplica al 01 un medio menos un medio ok entonces si nos damos cuenta fíjense que aquí el producto punto es 0 de hecho estos ya eran ortogonales verdad de hecho aquí pueden ver que es 1 por 0 1 por 0 0 por 1 0 por 1 entonces no hay nada que sumar todo esto nos da 0 ok entonces esto vamos calculando nuevamente esto será igual a este vector que es el 1 100 menos éste ya no cuenta y solo jugamos con este vector y de hecho podemos ver que raíz de dos tercios por raíz de dos tercios estos dos escalares salen hasta hasta acá a la izquierda y la raíz cuadrada de dos tercios por la raíz cuadrada de dos tercios es la raíz cuadrada de dos tercios al cuadrado que simplemente se cancela a la raíz cuadrada y me queda dos tercios me queda tercios y ahora hacemos el producto punto aquí uno por cero es cero uno por uno déjenlos anotando uno por uno es 10 por un medio es 0 0 x menos un medio es 0 entonces aquí todo esto me da uno realmente no había nada que agregarle y multiplicamos por el vector 0 1 un medio menos un medio muy bien ok entonces quién es esto esto es uno menos dos tercios de cero simplemente es una verdad uno menos dos tercios simplemente será un tercio cero - dos tercios por un medio dos tercios por un medio se cancelan los dos y me queda menos un tercio menos un tercio y finalmente cero menos dos tercios por menos un medio es más y el dos se cancela y me queda un tercio ok entonces este vector de aquí ya es ortogonal tanto a uno como a u2 pero todavía no terminamos necesitamos normalizarla ok y de hecho podemos podemos considerar un g2 prima de dos prima que sea tres veces este vector porque al final de cuentas sí sí ya es ortogonal un vector a otra pareja de vectores pues cualquier múltiplo escalar de esos es ortogonal verdad si tenemos aquí un plano y este vector ok ese no es no se ve muy bien y este vector es ortogonal a todo el plano pues cualquier múltiplo de ese vector también es ortogonal a ese plano verdad entonces ya 2 prima puede ser tres veces este que es de dos keith y tres veces ese es 31 menos 11 entonces su norma va a ser la raíz cuadrada de 3 al cuadrado que es 9 más 1 al cuadrado menos 1 al cuadrado que es 1 y 1 al cuadrado que es 1 entonces esto será la raíz cuadrada de 12 que 12 es 4 por 3 la raíz de 4 por 3 es la raíz de 4 que es 2 por la raíz de 3 ok entonces esta es la norma de nuestro de 3 prima y aquí era 3 aquí es 3 no sé por qué le puse 2 aquí en estos estrés muy bien entonces ya podemos definir nuestro vector o 3 como uno entre la norma que es uno sobre dos veces la raíz de tres por el vector y tres primas que es el 3 no son dos líneas entonces el vector es 31 - 11 verdad entonces este vector con estos otros de aquí que ya habíamos encontrado estos dos gemelos copio vamos a copiarlos y copiarlos y los ponemos aquí abajo pegar los estos tres vectores me dan una base [ __ ] normal ya acabamos tenemos un conjunto que que tiene estos tres vectores y estos tres señores de aquí serán una base [ __ ] normal de nuestro espacio vectorial b el sub espacio con el que originalmente empezamos