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El método de Gram-Schmidt. Ejemplo

Usamos el método de Gram-Schmidt para encontrar bases ortonormales para un plano en R3. Creado por Sal Khan.

Transcripción del video

encontramos un procedimiento para generar una base [ __ ] normal en el último vídeo y no fue un descubrimiento nuevo de hecho se llama el proceso de grandes mid pero vamos a aplicarlo ahora a ejemplos reales y con suerte veremos que es mucho más concreto que lo que puede para lo que pudo parecer en el último vídeo así que vamos a empezar partiendo digamos que tengo el plano definido por esta ecuación x 1 + x 2 + x 3 igual a cero ok entonces ve que va a ser nuestro espacio vectorial es el plano el plano definido vamos a llamarlo así el plano definido por la ecuación anterior que es esta x 1 + x 2 + x 3 igual a 0 es decir son todos los vectores que al sumar sus coordenadas en r3 nos da 0 ok entonces para ir viendo quién una base al menos aunque no sea [ __ ] normal para ver una base de este espacio v vamos a tomar vamos a restar x 2 y x 3 de ambos lados y nos queda es igual a menos x 2 - x 3 ok entonces vamos a el plano b el plano b va a ser el conjunto de vectores digamos x 1 x 2 x 3 tales que deben ser iguales a bueno déjenme poner esto de la siguiente forma digamos si x 2 es igual a c 1 x 3 es igual a 2 una constante entonces x1 es igual a menos 1 - cerdos estoy parametrizado este plano verdad entonces este este plano el espacio vectorial b lo podemos escribir como combinaciones lineales de dos vectores y están dados por estas constantes en uno verdad es decir vamos a multiplicarse uno por algún vector y vamos a sumar ese dos por algún otro vector muy bien y de hecho x1 es menos 12 entonces lo que tenemos que multiplicar es a x1 es menos 1 aquí es menos uno por uno verdad y es menos uno aquí tenemos un menos de dos entonces va a ser menos uno aquí también la primera coordenada es x1 entonces es menos uno menos de dos ahora vamos con la segunda coordenada x2 pues va a ser vamos a ponerlo con este verde x2 simplemente va a ser ese 1 entonces aquí va un 1 pero no tiene ese 2 así que 0 y finalmente vamos a hacerlo con otro verde x 3 que es la tercera coordenada es sólo se dos entonces no hay c 1 y si hay c 2 ok aquí aquí el detalle es que c1 y c2 son números reales arbitrarias ok entonces estamos generando este plano con estos dos vectores con el menos 110 y el menos 10 quería entonces ve vamos a reescribir lo de esa forma que es el espacio vectorial generado por estos dos vectores por el menos 110 y por el vector menos 101 ok en estos paréntesis y de hecho si vemos que son linealmente independientes verdad porque si nosotros multiplicamos este vector por alguna constante nunca vamos a obtener este 1 porque aquí hay un cero y al revés si nosotros multiplicamos este vector por cualquier constante nunca vamos a obtener este 1 ok entonces estos estos 2 estos dos vectores estos dos vectores forman una base de nuestro espacio vectorial b ok entonces vamos a ponerles nombre vamos a decir que este es b 1 y este vamos a llamarle b 2 ok entonces estos dos vectores son una base del espacio vectorial b pero en realidad queremos hallar una base [ __ ] normal estos ni siquiera son no no tiene ni siquiera norma 1 y de hecho si hacemos el producto punto no nos da 0 verdad puedes hacerlo sí sí lo puedes hacer es este así al tanteo puedes ver que no si no puedes tomar papel y lápiz y hacer el producto punto y ver que esto el producto punto de b1 y b2 no nos da 0 entonces vamos a proceder como en el vídeo anterior vamos a tener vamos a empezar con b 1 el espacio vectorial generado por el primer vector que es b 1 esto esencialmente es una línea en r3 verdad entonces para generar una base corto normal de este espacio que es de una sola dimensión basta con dividir dividir el vector b 1 entre su norma entonces tomamos vamos a definir a uno que es simplemente b 1 sobre la norma pero quién es la norma debe 1 la norma la norma debe 1 no es otra cosa más que la raíz cuadrada de la suma de sus coordenadas al cuadrado entonces aquí es uno más uno más en la tercera es cero verdad entonces menos uno al cuadrado más uno al cuadrado más cero al cuadrado y esto es la raíz cuadrada del número 2 entonces si nosotros dividimos a b1 entre su norma y su norma es raíz de 2 entonces nos queda 1 entre la raíz de 2 por el vector de uno que es menos 11 ok este es el elemento que nos va a formar nuestra base de orton normal aunque solo sea de un elemento y entonces el espacio vectorial generado por de uno es el mismo espacio vectorial generado que por un 1 verdad simplemente estamos escalando este vector muy bien entonces eso es para nuestro espacio vectorial b 1 vámonos con el espacio vectorial de 2 de hecho vamos a hacer un dibujito para que sea más claro por ejemplo aquí tenemos vamos a hacerlo un poco más grande aquí tenemos nuestro vector 1 1 este es nuestro vector 1 1 y el espacio vectorial generado por 1 pues es toda esta línea verdad toda esta línea que estoy pintando con un punteado que es toda esta línea y a lo mejor tenemos por aquí a ver dos no sabemos dijo podríamos dibujarlo pero vamos a hacerlo más más en general no sabemos cómo sea solo es un dibujo que nos va a ayudar pero ve dos digamos que es de esta forma ok entonces lo que tenemos que hacer es reemplazar a b2 por el vector un vector ortogonal a esta línea y de hecho podemos obtenerlo de esta forma verdad de esta forma si hacemos este vector ye 2 como en el vídeo anterior éste se encuentra en el complemento ortogonal del espacio generado por un 1 entonces de hecho sabemos que de aquí que está el origen a este punto todo esto es la proyección la proyección sobre de uno de nuestro vector de dos y eso sabemos calcularlo muy bien verdad entonces lo que yo quiero encontrar es de dos el espacio vectorial generado por 1 1 y nuestro vector de 2 verdad y de hecho no es lo que quiero encontrar eso ya lo sabemos de hecho este es el generado por b1 y b2 en principio pero ya dijimos que cualquier cosa generado por b 1 es generado por un 1 verdad entonces éste también es el espacio vectorial generado por un 1 b2b v2 y que de hecho necesitamos en encontrar este ye 2 para decir que es el espacio vectorial generado por 1 1 y 2 y eso es cierto porque de 2 más esta proyección no sabe 2 entonces cualquier cosa que sea generado por 1 y b 2 puede ser generado por 1 y 2 aunque ya lo hemos dicho varias veces y de hecho de más aún verdad éste el espacio generado por b1 y b2 es justamente el plano que queremos encontrar entonces solo hay que hacer las operaciones sólo hay que hacer las operaciones porque sabemos encontrar dos de dos es igual a b2 estévez 2 - la proyección sobre el espacio b 1 desde 2 y también sabemos calcular muy bien esta verdad 10 b 2 es menos 1 menos 101 aquí está de 2 - vamos a restar vamos a hacer el producto punto debe 2 con 11 entonces aquí va a ser menos 10 1 punto y vamos a poner esto aquí 1 sobre la raíz de 2 que es 1 x menos 110 ok aquí está este producto punto este producto punto de hecho este vector de aquí es de 2 ya estamos haciendo punto el vector 11 para encontrar la proyección y hay que multiplicar por 1 que es 1 sobre la raíz de 2 x menos 110 ok y este es un 1 muy bien de hecho todo esto de aquí todo esto de aquí es la proyección sobre el espacio b 1 del vector b 2 muy bien entonces sólo hay que simplificar estas operaciones y ya tendremos nuestro vector de 2 entonces vamos a tener aquí menos 1 - 101 y vamos a restar vamos a restar de hecho este uno entre raíz de dos con este 1 entre raíz de 2 podemos sacarlo hasta afuera y al multiplicarlo nos queda uno entre raíz de dos por uno entre raíz de dos es un medio verdad entonces tenemos menos un medio de el producto punto de estos dos ahora quién es el producto punto de estos dos tenemos menos uno por menos uno es 10 por uno es cero y uno por cero es cero entonces de hecho todo esto se va a simplificar a una verdad no nos va a alterar en mucho y hay que multiplicar ahora sí por este vector menos 1 10 y lo tenemos aquí entonces vamos a hacer las operaciones tenemos al menos 101 este 1 pues ya no pinta ahí tenemos que multiplicar por un medio a todo este vector entonces nos queda menos 1 por un medio es menos un medio aquí vamos a tener un medio por uno es un medio y un medio por cero es cero y ahora si restamos coordenada coordenada y tenemos menos 1 - menos un medio es decir menos uno más un medio nos queda menos un medio aquí cero menos un medio es menos un medio y uno menos cero es uno ok entonces este vector de aquí es el vector de 2 que en conjunto con uno ya generan a todo el espacio b y además tenemos la garantía de que estos dos lectores son ortogonales ahora bien esto todavía no es una base orton normal nos falta escalar este vector de 2 para que tenga norma 1 y eso es muy sencillo porque de hecho definimos como 2 o bueno uno sobre la norma de dos que multiplica al vector de dos ahora quién es la norma la norma de ye 2 la norma de ye 2 es la raíz cuadrada de la suma de todas sus de la suma de los cuadrados de sus coordenadas entonces aquí es un cuarto verdad menos un medio al cuadrado es un cuarto menos un medio al cuadrado es un cuarto y uno al cuadrado es uno muy bien entonces aquí tenemos un cuarto más un cuarto que es un medio más uno que son dos medios entonces tenemos simplemente la raíz de tres medios entonces este 22 va a ser 1 entre la norma que es uno entre la raíz de tres medios que también lo podemos expresar como 2 sobre 3 y le sacamos raíz cuadrada que multiplica a nuestro vector menos un medio - un medio uno ok y esto en conjunto con el 1 que ya habíamos encontrado que de hecho era 1 sobre la raíz de 2 por el vector menos 110 verdad estaba acá arriba aquí está el vector 1 estos dos vectores en conjunto es decir si formamos el conjunto que tiene a1 y a2 es una base corto normal corto normal de nuestro espacio vectorial inicial ve que está definida por esta ecuación verdad que era un plano entonces ya hemos terminado hemos usado el proceso de grandes mid y estos estos vectores de aquí abajo el 1 y 2 son nuevos vectores de una base orton normal