Introducción a las bases ortonormales

digamos que tengo un conjunto de vectores y déjenme llamarle a ese conjunto el conjunto b y digamos que los vectores que se encuentran en este conjunto son de uno sobre dos y así sucesivamente hasta ver acá ok entonces vamos a suponer algunas cosas interesantes vamos a darle algunas propiedades muy particulares a este a este conjunto y el primero de ellos vamos a suponer que todos los vectores que se encuentran en este conjunto tienen norma o tamaño 1 ok quiere decir escribiéndolo bien quiere decir que la norma o el tamaño de cada uno de ellos es 1 y esto significa que es esto vale para todos los vectores b y dónde y puede ser desde 1 2 y no escribirlo bien puede ser 12 así todos hasta acá ok pero si de hecho su enorme es 1 también podemos suponer de hecho no podemos suponer se concluye que su norma al cuadrado es decir si elevamos la normal bueno si elevamos al cuadrado de ambos lados debe ser también uno pero quién es la norma al cuadrado la norma al cuadrado es b y punto b y verdad la norma al cuadrado se define como el producto punto de un vector consigo mismo y esto es válido para perdón esto es igual a uno para iu desde uno hasta acá ok entonces estas son tres formas equivalentes de decir que tiene tamaño 1 y que nos van a ser bastante útiles cuando cuando estemos trabajando en este vídeo si lo escribimos en palabras que a veces se entiende mejor quiere decir que todos los vectores todos los vectores debe tienen tienen normas 1 ok son unitarios entonces también una forma de decirle a esta propiedad es decir que todos los vectores todos los vectores han sido normalizados o que han sido y la palabra es normalizados ok esto es decir que todos los vectores que se encuentran en b tienen norma 1 ok ahora otra cosa interesante que vamos a ponerle como propiedad a este conjunto b es decir que todos los vectores son ortogonales entre sí y esto esto se escribe de una forma muy particular quiere decir que si yo hago el producto punto debe y con bj ok esto me va a dar 0 si si si tomamos vectores distintos verdad porque si tomáramos vectores iguales estaríamos diciendo por ejemplo b y punto b y eso sabemos que es 1 pero si tomamos vectores distintos de este conjunto b por ejemplo porque tomemos b 1 y b 7 o qué sé yo y hacemos el producto punto eso nos va a dar 0 entonces esto de aquí se puede escribir como que todos todos los vectores todos los vectores son y dijimos que la palabra es ortogonales ortogonales entre sí ok es decir que si yo me tomo cualesquiera dos vectores y hago el producto punto de ellos eso me tiene que dar 0 siempre que me haya tomado dos vectores distintos verdad entonces para recopilar esta información y esta otra información lo podemos escribir de la siguiente forma si yo me tomo dos vectores debe de de mi conjunto b b y punto bj tiene dos posibilidades o es cero o es uno cuando es cero cuando en realidad estamos tomando dos vectores distintos es decir que el subíndice estos subíndice son distintos y que significa que son dos vectores distintos y es uno si en realidad no me tomé dos distintos es decir me tomé el producto punto de un vector consigo mismo ok entonces aquí está resumido todo esto que hemos dicho y el ahí hay un nombre particular para un conjunto de vectores que tiene esta propiedad y entonces decimos que b es un conjunto es un conjunto corto normal y la palabra es que es un conjunto orton normal y el [ __ ] pues claramente viene de que es un conjunto ortogonal es decir los vectores son ortogonales entre sí 2 a 2 y el normal viene de que está de que todos los vectores son normalizados es decir que tienen norma 1 ahora una propiedad la primera propiedad muy interesante y que es bastante útil de este tipo de conjuntos y que vamos a demostrar es que b se puede concluir que ve es linealmente independiente linealmente independiente independiente y recordemos que este concepto es muy importante para todas las cuestiones de a la hora de construir bases de espacios vectoriales verdad entonces cómo vamos vamos a demostrar que es linealmente independiente entonces tenemos aquí todo nuestro conjunto todo nuestro conjunto de vectores ok y la definición de que sea linealmente independiente desde que si nos tomamos una combinación lineal de todos ellos es decir si nos tomamos por ejemplo si nos tomamos una combinación lineal digamos c 1 por b b1 uno más de dos por dos más muchos de éstos por beca y nos das el vector cero la única forma si el conjunto linealmente independiente la única solución posible para que esto ocurra es si las constantes c1 c2 y todas estas se hasta seca son necesariamente cero aquí en principio todos los seis aunque si son números reales verdad son números reales para allí desde uno hasta acá verdad entonces si tenemos nosotros una combinación lineal tenemos que demostrar que cada uno de estos de estas dos de estas constantes se y tienen que ser cero y aquí vamos a utilizar muchísimo la propiedad de que el conjunto es es ortogonal entonces vamos a utilizar lo siguiente si yo a éste vamos a hacerlo con amarillo si yo de este lado hago producto punto con cualquier b vamos a llamarle b r ok si me tomo cualquiera de los que se encuentren aquí ok cualquiera de los que se encuentran en el conjunto b y hago un producto punto entonces también del otro lado tengo que hacer producto punto para que se mantenga la igualdad ok pero fíjense muy bien esto si lo desarrollamos es ver bueno aquí primero hacemos el producto punto de este con éste sacamos la constante y nos queda hace 1 vr punto b 1 + c 2 de r punto b 2 así sumamos hasta que en este en esta suma encontramos el término relacionado con ere y nos queda punto b r verdad en algún en algún lugar está el br en esta suma correcto entonces nos tocará encontrarnos con este este término y así no seguimos hasta que llegamos a seca y nos queda ver punto b acá y esto es igual a cero punto ver que no es otra cosa más que 0 muy bien entonces si nos damos cuenta que ya son números reales y como ve como son ortogonales es decir si nos tomamos subíndices distintos estos todos estos todos estos me tienen que dar 0 excepto uno y cuál va a ser pues justamente en donde me tome a br br porque si son iguales dijimos que si los subíndices coinciden esto me debe dar 1 muy bien y entonces si todos estos son 0 lo único que me queda sería cr x br punto de r que dijimos que esto es 1 y esto es igual a cero por lo tanto por lo tanto cr es igual a 0 pero fíjense que aquí nos tomamos cualquier vector de r verdad hicimos el producto punto con cualquiera el que ustedes al que ustedes más les guste de este conjunto entonces no importa cual subíndice nos tomamos esto es cierto para er 12 hasta acá entonces todas las constantes son 0 gracias a que es un conjunto ortogonal y por lo tanto es linealmente independiente ok entonces si esto es linealmente independiente podemos concluir que ve este conjunto b es una base es una base de un espacio vectorial b y de hecho el espacio vectorial b es el conjunto o perdón es el espacio vectorial generado por pues los vectores que se encuentran en vez que dijimos que era b1 b2 así sucesivamente hasta muy bien entonces ahora como además el conjunto ve que de hecho ya ya entendieron por qué le puse de verdad de base de hecho cómo es una base entonces decimos que ve de esa base orton normal corto normal por todo normal de nuestro sub espacio ve ok entonces ahora vamos a dar un unos un ejemplo un ejemplo de cómo se ven o cómo trabajar con los conjuntos orton normales porque aquí está muy abstracto y demás pero bueno vamos a hacer un ejemplo por ejemplo tomémonos primero el vector de uno que tiene como coordenadas están en r3 por cierto y tiene coordenadas un tercio dos tercios y vamos a ponerle aquí dos tercios entonces este es un vector en r3 y vamos a tomarnos un vector b 2 igual digamos que tenga coordenadas dos tercios y un tercio y menos dos tercios muy bien entonces si nos consideramos el conjunto b que tiene al vector b1 y b2 la pregunta es bueno este conjunto es [ __ ] normal bueno vamos a ver primero vamos a calcular la norma de estos vectores entonces quien es la norma digamos la norma al cuadrado desde uno y siempre uso el cuadrado para que yo pueda expresar lo como b 1 punto b 1 verdad y b 1 punto b 1 no es otra cosa más que este al cuadrado más éste al cuadrado más este otro al cuadrado entonces es un tercio al cuadrado es un noveno más dos tercios al cuadrado es cuatro novenos más dos tercios al cuadrado son cuatro novenos y que si lo sumamos nos queda uno más cuatro son cinco más cuatro son nueve novenos que es uno entonces la norma debe uno es uno entonces este vector de aquí si está normalizado vamos a ver si ve dos también está normalizado vamos a ver qué ocurre con la norma de b 2 cuadrados y esto es de 2.2 que es dos tercios al cuadrado son cuatro novenos más un tercio al cuadrado es un noveno más menos dos tercios al cuadrado que es cuatro novenas que otra vez nos da uno y por lo tanto la norma debe dos es uno muy bien ahora este conjunto si es ortogonal hasta ahorita falta perdón es no está normalizado vamos a ver si es ortogonal y eso es muy sencillo porque nos tomamos simplemente el producto punto de b1 con b 2 ok y entonces hacemos un tercio por dos tercios esto es dos tercios dos dos novenos perdón es un tercio por dos tercios es uno por dos y tres por tres dos tercios por un tercio son dos novenos nuevamente y dos tercios por menos dos tercios es menos cuatro no vemos que aquí tenemos cuatro novenos menos cuatro novenos esto nos da cero y por lo tanto concluimos que este conjunto es un conjunto corto normal conjunto orton normal es [ __ ] normal y de hecho podemos garantizar que el espacio vectorial generado por los vectores b1 y b2 está dado de tal suerte que ve es una base es una base corto normal [ __ ] normal de ese espacio vectorial es una base [ __ ] normal de nuestro espacio