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Contenido principal
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Transcripción del video

digamos que tengo un conjunto de vectores y dejen de llamarle ese conjunto el conjunto b y digamos que los vectores que se encuentran en este conjunto son de uno son de dos y así sucesivamente hasta beca ok entonces vamos a a suponer algunas cosas interesantes vamos a darle algunas propiedades muy particulares a éste a este conjunto y el primero de ellos vamos a suponer que todos los vectores que se encuentran en este conjunto tienen norma o tamaño 1 ok quiere decir escribiéndolo bien quiere decir que la norma o el tamaño de cada uno de ellos es uno y esto significa que es esto vale para todos los vectores b y donde y puede ser desde 120 escribirlo bien puede ser 12 así todos hasta acá ok pero sí de hecho sus enormes uno también podemos suponer de hecho no podemos suponer se concluye que su norma al cuadrado es decir si elevamos la normal algo bueno si elevamos al cuadrado de ambos lados debe ser también uno pero quién es la normal cuadrado la normal cuadrado es b y punto b y verdad la norma cuadrado se define como el producto punto de un vector consigo mismo y esto es válido para pero esto es igual a 1 para y desde uno hasta acá ok entonces éstas son tres formas equivalentes de decir que tiene tamaño 1 y que nos van a ser bastante útiles cuando cuando estamos trabajando en este vídeo si lo escribimos en palabras que a veces se entiende mejor que decir que todos los vectores todos los vectores en b tienen tienen norma 1 ok son unitarios entonces también una forma de decirle a esta propiedad es decir que todos los vectores todos los vectores han sido normalizados keith han sido y la palabra es normalizados ok esto es decir que todos los vectores que se encuentran en b tienen norma 1 ok ahora otra cosa interesante que vamos a ponerle como propiedad a este conjunto b es decir que todos los vectores son ortogonales entre sí y esto esto se escribe de una forma muy particular quiere decir que si yo hago el producto punto debe y con bj ok esto me va a dar cero si si tomamos vectores distintos verdad porque si tomáramos vectores iguales estaríamos diciendo por ejemplo b y punto b y y eso sabemos que es uno pero si tomamos vectores distintos de este conjunto b por ejemplo porque tomemos b1 y b2 7 o qué sé yo si hacemos el producto punto eso nos va a dar cero entonces esto de aquí se puede describir como que todos todos los vectores todos los vectores son y dijimos que la palabra es ortogonales ortogonales bonales entre sí ok es decir que si yo me tomo cualesquiera dos vectores y hago el producto punto de ellos eso me tiene que dar cero siempre que me haya tomado dos vectores distintos verdad entonces para recopilar esta información y esta otra información lo podemos escribir de la siguiente forma si yo me tomo dos vectores debe de demi conjunto b d y punto bj tiene dos posibilidades o es cero o es uno cuando el cero cuando en realidad estamos tomando dos vectores distinto es decir que el subíndice esto subíndices son distintos y que significa que son dos vectores distintos y es uno si en realidad no me tomé dos distintos es decir me tomé el producto punto de un vector consigo mismo ok entonces aquí está resumido todo esto que hemos dicho y hay hay un nombre particular para un conjunto de vectores que tiene esta propiedad y entonces decimos que ve es un conjunto es un conjunto orton normal que la palabra es que es un conjunto orton normal y el orto pues claramente viene de que es un conjunto ortogonal es decir los vectores son ortogonales en 3 y 2 a 2 y el normal viene de que ésta de que todos los vectores son normalizados es decir que tienen norma 1 ahora una propiedad la primera propiedad muy interesante y que es bastante útil de este tipo de conjuntos y que vamos a demostrar es que ve se puede concluir que ve es linealmente independiente linealmente independiente independiente y recordemos que este concepto es muy importante para todas las cuestiones de a la hora de construir bases de espacios vectoriales verdad entonces cómo vamos vamos a demostrar que es linealmente independiente entonces tenemos aquí todo nuestro conjunto todo nuestro conjunto de vectores ok y la definición de que sea linealmente independiente de que si nos tomamos una combinación lineal de todos ellos es decir si nos tomamos por ejemplo si nos tomamos una combinación lineal digamos c1 por b de 19 y uno más c2 por b2 más muchos de éstos se k por beca y nos das el vector 0 la única forma así si el conjunto linealmente independiente la única solución posible para que esto ocurra es sí las constantes c1 c2 y todas estas feas está seca son necesariamente 0 aquí en principio todos los 6 gay se y son números reales verdad son números reales para y desde uno hasta acá verdad entonces si tenemos nosotros una combinación lineal tenemos que demostrar que cada uno de estos de estar de estos de estas constantes se y tienen que ser cero y aquí vamos a utilizar muchísimo la propiedad de que el conjunto es ortogonal entonces vamos a utilizar lo siguiente si yo a este vamos a hacerlo con la mar y si yo de este lado hago producto punto con cualquier b vamos a llamarle b br ok si me tomo cualquiera de los que se encuentran aquí cualquiera de los que se encuentran en el conjunto b y algún producto punto entonces también del otro lado tengo que hacer producto punto para que se mantenga la igualdad ok pero fíjense muy bien esto sí lo desarrollamos es br bueno aquí primero hacemos el producto punto de éste con éste sacamos la constante y nos que hace 1 br punto b uno más c 2b r punto de dos así sumamos hasta que en éste en esta suma encontramos el el término honor relacionado con r y nos queda br punto br verdad en algún en algún lugar está el br en esta suma correcto entonces nos tocará encontrarnos con esteve este término y así nos seguimos hasta que llegamos a seca y nos queda br punto beca y esto es igual a cero punto ver que no es otra cosa más que cero muy bien entonces nos damos cuenta que ya son números reales y cómo ve como son ortogonales es decir si nos tomamos subíndices distintos estos todos estos todos estos me tienen que dar cero excepto uno y cuál va a ser pues justamente en donde me tomé haber repuntó br porque si son iguales dijimos que si los subíndices coinciden esto me debe dar uno muy bien y entonces sí todos estos son cero lo único que me queda sería cr por br punto de ere que dijimos que esto es uno y esto es igual a cero por lo tanto por lo tanto cr es igual a hacer pero fíjense que aquí nos tomamos cualquier víctor br verdad hicimos el producto punto con cualquiera el que ustedes al que usted es más les guste de este conjunto entonces no importa cuál subíndice nos tomamos esto es cierto para r 12 hasta acá entonces todas las constantes son cero gracias a que es un conjunto ortogonal y por lo tanto es linealmente independiente ok entonces si esto es linealmente independiente podemos concluir que ve este conjunto b es una base es una base de un espacio vectorial b y de hecho el espacio vectorial b es él el conjunto es el espacio vectorial generado por pues los vectores que se encuentran en vez que dijimos que la b1 b2 y así sucesivamente hasta de acá muy bien entonces ahora como además el conjunto b que de hecho ya ya entendieron porque le puse verdad de base de hecho como es una base entonces decimos que ve de es base orton normal orton normal orton normal de nuestro su espacio be ok entonces ahora vamos a dar un unos un ejemplo un ejemplo de cómo se ven o cómo trabajar con la los conjuntos orton normales porque aquí está muy abstracto y demás pero vamos a hacer un ejemplo citó por ejemplo tomémonos primero el vector b1 que tienen como coordenadas están en r3 por cierto tiene coordenadas un tercio y dos tercios y vamos a ponerle aquí dos tercios entonces este es un vector en r3 y vamos a tomarnos un vector b2 igual digamos que tenga coordenadas dos tercios un tercio y menos dos tercias muy bien entonces sí nos consideramos el conjunto b que tiene al vector de uno y b2 la pregunta es bueno este conjunto es orton normal bueno vamos a ver primero vamos a calcular la norma de estos vectores entonces quién es la norma digamos la normal cuadrado debe uno y siempre usó el cuadrado para que yo pueda expresar lo como b1 punto de 1 verdad y b 1 punto b 1 no es otra cosa más que éste al cuadrado más éste al cuadrado más este otro al cuadrado entonces un tercio al cuadrado es un noveno más dos tercios al cuadrado es 4 novenos más dos tercios al cuadrado son cuatro novenas y que si lo sumamos nos queda uno más cuatro son cinco más cuatro son nueve novenos que es uno entonces la norma debe 1 es1 entonces este vector de aquí si está normalizado vamos a ver si b2 también está normalizado vamos a ver qué ocurre con la norma debe 2 al cuadrado y esto es de 2.2 que es dos tercios al cuadrado son cuatro novenos más un tercio al cuadrado es un noveno más o menos dos tercios al cuadrado que es cuatro novenas que otra vez nos da uno y por lo tanto la norma debe 2 es uno muy bien ahora este conjunto si es ortogonal hasta ahorita falta perdón es no está normalizado vamos a ver si es ortogonal y eso es muy sencillo porque nos tomamos simplemente el pro justo punto debe uno con b2 ok y entonces hacemos un tercio por dos tercios esto es dos tercios 22 novenos perdón es un tercio por dos tercios es uno por dos y tres por tres más dos tercios por un tercio son dos novenos nuevamente y dos tercios por menos dos tercios es menos cuatro novenas que aquí tenemos cuatro novenos -4 novenos esto nos da cero y por lo tanto concluimos que este conjunto es un conjunto orto normal conjunto orton normal es orto normal y de hecho podemos garantizar que el espacio vectorial generado por el los vectores b1 y b2 estado de tal suerte que ve es una base es una base orton normal orton normal de ese espacio vectorial es una base orton normal de nuestro espacio b