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Contenido principal

El método de Gram-Schmidt

Encontramos una base ortonormal para un subespacio utilizando el método de Gram-Schmidt. Creado por Sal Khan.

Transcripción del video

para empezar este vídeo vamos a considerar un conjunto de vectores digamos b1 b2 y así sucesivamente hasta el vector bk pero que este conjunto de vectores sean una base una base de un sub espacio b y por supuesto del sub espacio b pues será el espacio generado por estos vectores el hecho de que sea una base significa de entrada que ya son linealmente independientes y eso lo vamos a estar utilizando mucho entonces la lo que hemos estado viendo en vídeos anteriores es que es muy conveniente tener bases orton normales entonces si este conjunto de vectores no fuera una base [ __ ] normal digo es una base pero quizás no son ortogonales entre ellos o quizás no tienen norma 1 qué sé yo la pregunta es podemos construir a partir de esta base que ya tenemos una base [ __ ] normal y bueno estaba cierto normal por supuesto será de nuestro sub espacio b y vamos a tratar de beneficiarnos de todas las bondades que tienen estas bases [ __ ] normales así que veamos qué podemos hacer vamos a empezar con un caso muy especial el caso en que tenemos un espacio vectorial de dimensión 1 digamos que es el espacio vectorial generado por el vector b 1 ok tenemos este espacio vectorial entonces si sabemos que es una base de este espacio vectorial pues es b 1 y ese y esa base es ortogonal es decir si nos tomamos dos elementos distintos deben ser ortogonales pero como sólo hay uno pues ve uno es ortogonal al resto y eso ortogonal al resto pues porque no hay otros verdad entonces este conjunto formado por el b uno ya es ortogonal lo único que tenemos que construir para que sea [ __ ] normal es que este vector tenga norma 1 y para eso vamos a definir un vector 1 de la siguiente forma de 1 sobre la norma debe 1 ya hemos utilizado este truco muchísimas veces y esto lo que nos resulta es que la norma de 1 va a ser déjenme ponerlo así la norma debe uno sobre la norma debe uno verdad entonces como esta norma es un escalar esto puede salir fácilmente de este de esta de esta norma y entonces me queda uno entre la norma de v1 por la norma de b1 que estos se cancelan al multiplicar si nos da 1 entonces finalmente el conjunto formado únicamente por el vector 1 ya es una base ya es una base una base de nuestro psuv espacio de uno entonces este caso en donde k es igual a 1 es decir sólo tenemos un vector es muy sencillo es muy triviales es muy fácil ok ahora vamos a subirle un poquito la dificultad y vamos a suponer que tenemos un espacio vectorial de dimensión 2 es decir que es un espacio vectorial generado por b 1 y por dedos ok pero fíjense muy bien de uno que es el espacio generado por ve uno es el mismo espacio generado por un uno verdad pues es una base de uno entonces esencialmente todo lo que yo pueda generar con b1 lo puedo generar con uno solo es cosa de multiplicar por alguna constante distinta verdad fíjense que aquí es de uno dividido entre su norma entonces basta con que multiplicamos por algún número particular por ejemplo de hecho por la norma de de uno para que podamos generar esencialmente los mismos vectores entonces este espacio vectorial que va a ser exactamente igual al espacio vectorial generado ya no por ver uno sino por uno por el argumento que vimos hace unos momentos y también por el por el vector de dos muy bien entonces fíjense muy bien qué es lo que está ocurriendo aquí tenemos aquí vamos a tener nuestro vector digamos que aquí anda y este este uno genera a toda esta línea verdad toda esta línea es generada por el vector ahí está mi línea por otro lado tenemos al vector de dos digamos que aquí está el vector de 2 este es el vector de 2 es el vector b2 y lo que queremos ahora es reemplazar este b 2 pero que sea una combinación lineal o más bien quiero reemplazar de 2 de tal suerte que siga generando nuestro espacio b 2 pero que por el vector por el que reemplace sea ortogonal a un 1 entonces de aquí del dibujo podemos ver muy bien que podríamos construir este vector verdad este otro vector que digamos este este vector es ortogonal a uno de hecho es ortogonal a toda esta línea y eso porque sabemos que si existe bueno sabemos que ve dos por estar en r en rn b 2 lo podemos escribir como la suma de dos vectores verdad x + donde donde nuestro vector x se encuentra en el espacio y el el vector que se encuentra en el complemento ortogonal cups s parece ortogonal el complemento ortogonal debe 1 entonces si nosotros reemplazamos este vector de aquí que es el ok todo esto todo esto será nuestro vector x si nosotros reemplazamos por ave 2 vamos a seguir generando a todo el espacio fíjense muy bien porque de 2 es este x que esencialmente es un múltiplo de 1 entonces este x está en el espacio vectorial generado por uno y luego le sumamos entonces b 2 lo expresamos como la suma de estos dos pero como un 1 y de 2 generaban a todo el espacio b 2 pues también un 1 y llevan a generar a todo el espacio b 2 y déjenme ponerle aquí llegó solo para que vayamos con con la misma línea que vamos a ir trabajando durante todo el vídeo entonces espero haya quedado muy claro que como en general en si yo puedo generar todo todo el espacio vectorial con b 2 y con 1 y como b 2 es la suma de un múltiplo de 12 pues entonces puedo generar todo con uno y con ye 2 ok entonces sabemos además quién es cada quien en este juego porque ya 2 de hecho sabemos que 2 es más bien x es la proyección x déjenme déjenme ponerlo de este lado de 272 dedos es igual a y b 2 - x pero quien es x pues x es la proyección de v2 sobre este espacio vectorial entonces es la proyección sobre b 1 de nuestro vector b 2 muy bien entonces si ya tenemos esta expresión este g 2 lo que nos va a dar es una base ortogonal todavía no está normalizado por al menos ortogonal verdad y de hecho podemos calcular muy bien quién es la proyección sobre b b1 b2 y eso es porque en b1 tenemos ya una base tiene una base base [ __ ] normal corto normal y eso lo sabemos muy bien verdad de hecho vamos a escribirlo de este lado tenemos que la proyección la proyección sobre b1 de nuestro vector b 2 es igual fíjense muy bien tenemos que la proyección la proyección como es un elemento debe uno simplemente va a ser de dos punto de uno a uno por un 1 verdad esto lo vimos hace ya algunos vídeos cuando vimos bases [ __ ] normales que podíamos expresar lo de esta forma ok entonces esta proyección ya la tenemos así que finalmente tenemos que 2 va a ser igual a b2 b2 aquí tenemos de dos verdades b 2 menos esta proyección esta proyección fue de 2.11 por 11 muy bien entonces ahora sólo me falta definir un último vector para que esto sea normalizado entonces vamos a definir el vector 2 como 2 sobre su norma exactamente igual que lo hicimos en el caso anterior verdad y este por supuesto ya tiene norma unitaria ya tiene la norma de u2 es unitario y además como es un múltiplo de ye 210 2 era ortogonal a 1 entonces 2 es ortogonal a 1 y tienen ambos norma 1 por lo tanto éste será igual al espacio vectorial generado por un 1 y 2 pero además la ventaja que ya tenemos es que estos ya forman un espacio con una base [ __ ] normal debe 2 muy bien entonces vámonos a extender un poquito este concepto vámonos a ahora qué pasa si ver si si tenemos un espacio vectorial de dimensión 3 es decir que esté generado el espacio vectorial generado por un 1 y un 2 ok y ahora nos tomamos el vector de 3 muy bien entonces en realidad podríamos haber tenido aquí b1 y b2 pero como esencialmente son generados por estos vectores entonces podemos sustituirlos ahora bien si nosotros tenemos este caso aquí vamos a tener un plano el espacio vectorial generado por q1 y q2 es de 2 que es un plano y un plano este es el espacio de dos dedos y aquí vamos a tener por ejemplo otro vector el b3 que como éste no se encuentra en este espacio porque son linealmente independientes entonces éste va a salir volando por aquí aunque ya aquí está el vector b 3 que no se encuentra en este plano muy bien entonces si tenemos esto nuevamente podemos utilizar la misma idea este vector lo podemos descomponer como la suma de dos vectores uno que se encuentra en el plano aunque hay que de hecho va a ser este verde y uno que se encuentra en el complemento ortogonal este verde se encuentra en el plano y el amarillo se encuentra en el complemento ortogonal ok entonces vamos a escribirlo b3 esencialmente lo que nos dice es que de 3 se puede expresar como un x3 digamos más de 3 donde x 3 se encuentra en él en el espacio b 2 y 3 se encuentra en el complemento ortogonal de v2 entonces de aquí tenemos que ye 373 es igual a b 3 - x 3 pero x 3 que es este verde este es x 3 ok este es una combinación lineal de un 1 y un 2 verdad de hecho sabemos que b 3 que perdón que x 3 es la proyección es la proyección sobre el espacio v2 del vector b3 ok entonces vamos otra vez a calcular este de aquí es la proyección la proyección sobre b 2 del vector b 3 vamos a calcular esto quién es la proyección quién es la proyección del vector b 2 perdón del vector de tres sobre el sub espacio b 2 nuevamente tenemos que esta proyección ya sabemos calcularlo por todo lo que hemos visto de bases [ __ ] normales es de 3.1 que multiplica al vector 1-1 be be 3.2 que multiplica al vector 2 que entonces si ya tenemos quién es esta proyección que es el vector x 3 o el vector verde entonces ya también sabemos quién es el vector que me interesa y 3 porque nos interesa ya 3 porque vamos a sustituir de 3 por 3 verdad como ye 3 es la suma de esta proyección que es una combinación lineal de 1 y 2 y de 3 entonces todo lo que yo pueda generar con todo lo que pueda generar con 12 ib3 se puede generar con 1 2 y 3 es verdad hay una combinación de 1 2 y 3 que me da b 3 entonces cualquier múltiplo de v 3 será un múltiplo de tv3 perdón de de la combinación lineal que genera b 3 y por eso es que son los mismos espacios vectoriales entonces hay tres igual a b 3 - vamos a vamos a copiar esto de aquí a copiarlo a copiarlo voy a pegarlo entonces vamos a restarle exactamente esto mismo restarle esto y así es como construimos ye 3 que es ortogonal a todo este plano pero todavía nos falta algo porque ye 3 no necesariamente tiene norma 1 así que simplemente volvemos a definir 13 como de 3 sobre la norma de ye 3 y entonces este 13 ya tiene norma 1 verdad todo lo que hemos visto y este espacio vectorial será igual al espacio vectorial generado por uno o dos pero ahora en vez de b3 va a ser generado por o por q 3 muy bien otra vez si tenemos a b3 y es generado es tv3 es una combinación lineal de alguien de este de un elemento de este plano que de hecho aquí está esta combinación lineal y además le sumamos ye 3 es decir b 3 lo podemos expresar como combinación lineal de 1 2 y 3 entonces podemos generar exactamente lo mismo que con 12 ib3 si sustituimos a b3 con ye 3 verdad entonces ya que tenemos esto dicho si podemos seguir este procedimiento hasta obtener uca si si por ejemplo que fuera igual a tres ya acabaríamos sica es igual a 4 vamos a hacer este ejemplo si k es igual a 4 si que es igual a 4 entonces vamos a partir de este espacio vectorial 4 que es el espacio vectorial generado pues esencialmente por estos anteriores que es un 1 2 y un 3 pero además ahora vamos a agregar el vector b 4 y nuevamente queremos sustituir b 4 de tal suerte que tengamos aquí una base [ __ ] normal ok y ya sabemos entonces que nuestro vector de 4 aunque esto sea bastante difícil de ver porque estamos en un espacio de 4 dimensiones pero según todo esto que hemos estado realizando va a ser de 4 - la proyección sobre b 3 sobre b 3 de nuestro vector de 4 ok y entonces de hecho esto esto resulta de ver que de 4 se puede expresar como ye 4 más la proyección sobre b 3 desde 4 verdad era lo que exacta era exactamente lo que teníamos acá arriba aquí en donde uno se encuentra en el espacio vectorial y el otro en el complemento ortogonal entonces de 4 es el que está en el complemento ortogonal y con esto con esta con esta expresión podemos definir finalmente a un 14 como 4 sobre la norma de 4 perdón 10 4 de 4 ok y entonces sustituimos 14 por de 4 y tenemos una base [ __ ] normal de este espacio y vectorial generado por los cuatro vectores entonces si seguimos este proceso una y otra vez podemos llegar a cualquiera que se nos ocurran ya este procedimiento para crear una base [ __ ] normal es llamado el proceso el proceso de gran smith este es el proceso proceso de gran smith y este es el famoso proceso de transmitir y puede parecer un poco abstracto de la forma en que lo hice aquí pero en el próximo vídeo voy a encontrar bases [ __ ] normales de sub espacios para que veas que no es tan malo lidiar con números reales