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Representación de vectores en Rn usando miembros del subespacio

Transcripción del video

vamos a comenzar nuevamente tomando ve un suv espacio vectorial de rn ok este es un suv espacio vectorial de rené y también vamos a tener en cuenta vamos a tener muy presente al al complemento ortogonal de nuestro espacio b que también por cierto es un suv espacio de reina y eso lo demostramos de a hace algunos vídeos entonces también debemos recordar que la dimensión como relacionamos la dimensión de ellos es de la siguiente forma que la dimensión de nuestro espacio ve más la dimensión de nuestro espacio b ortogonal el complemento ortogonal debe esta suma debe ser igual a n donde en es la dimensión de de rehenes verdad es ésa esta dimensión justamente ok entonces vamos a seguir tratando de relacionar a b y al llave ortogonal y lo primero que nos podríamos preguntar es bueno habrá algún elemento que se encuentre en ambos espacios es una pregunta justas vamos a tratar de resolverla entonces supongamos vamos a suponer que existe algún elemento que se encuentran ambos digamos que existe un vector x que se encuentre primero en nuestro espacio b y también vamos a suponer que este x se encuentra en nuestro espacio b ortogonal ok este esto último que nos está diciendo todos los elementos del del complemento ortogonal debe son aquellos que al multiplicarlos por cualquier elemento del del psuv espacio b nos da cero en entonces en este caso como x pertenece a este a este conjunto entonces vamos a tener que x punto b es igual a cero para cualquier para todo y para todo b vector que se encuentra nuestro psuv espacio muy bien ahora aquí tenemos otra cuestión estamos suponiendo que x se encuentra en nuestro su espacio entonces x puede caber muy bien en éste en la posición que juega ve entonces y si éste esta vez lo sustituimos por la x va a tener que x punto x es igual a cero pero quienes x punto x pues esto no es otra cosa más que la magnitud o la norma de x al cuadrado y si nos dice que la norma al cuadrado de cero quiere decir que la norma es cero y si la única no y si la norma en cero el único vector que puede satisfacer esta condición sólo puede ser uno y ese vector es el vector se ve entonces a x no le queda de otra más que ser el vector 0 ok entonces si consideramos un vector que se encuentren ambos sólo puede resultar ser el vector cero esto en términos conjuntas lo podemos escribir de la siguiente forma digamos que tenemos aquí nuestro psuv espacio b y queremos ver cuáles son todos aquellos con los cuales coincide con él como con el complemento ortogonal ésta hubo el que habita como como montecito no es otra cosa más que la intersección de kok de conjuntos es decir en qué parte se traslapan se enciman estos dos conjuntos y la intersección o los elementos que se encuentran ambos es un conjunto de un solo elemento y es el vector 0 ok entonces cómo se vería esto digamos con algunos dibujitos por ejemplo aquí tienen ustedes a todo el espacio r n este es todo rn y digamos que por aquí vamos a pintar con azul vamos a pintar con azul digamos que aquí tenemos a nuestro psuv espacio b también tenemos por ahí a nuestro complemento ortogonal digamos que se esté y que resulta que el único punto en donde ambos se intersectan es uno es un único punto éste es el peor donald y de hecho este punto de aquí este punto el único en donde se intersectan no es otra cosa más que el vector 0 ok esto es digamos viéndolo con algunos dibujitos y bueno ahora lo que vamos a hacer es ver si hay más propiedades que relacionen halcón falcón al psuv espacio b ya su complemento ortogonal entonces vamos a partir ahora suponiendo que que conocemos la dimensión del espacio b digamos que la dimensión de nuestro espacio b ska o que y recordemos que que la dimensión no es otra cosa más que el número de elementos que tiene la base en una base de un de un su espacio es el conjunto más pequeño de vectores linealmente independientes que generan a todo este espacio correcto es lo que nos daría una base entonces también sabemos qué bueno que ve eso en su conjunto br n que de hecho son su espacio y también sabemos que el complemento ortogonal debe es un suv espacio de rehén ambos son de hecho subespacios y sabemos por esta relación entonces que la dimensión la dimensión del complemento ortogonal debe pues al sumarle acá nos debe dar n por lo tanto esto puede y debe ser en menos acá si sumamos ene - k hacia éste le sumamos acá entonces en - k mas k nos queda simplemente en ok entonces les voy a ir diciendo a dónde quiero llegar quiero ver si combinando estas estos dos estas dos propiedades podemos construir una base para todo rn voy a hacer un poquito más claro digamos que tenemos que conocemos la base de del conjunto b digamos que éste tiene base de uno de dos etcétera y tenemos acá vectores ok digamos que esto es una base base de fe y tenemos también alguna otra base por ejemplo que tenemos la base de dd ortogonal digamos vamos a llamarle estos w bush tenemos w1 también w2 y como son en menos capos tendremos n - ca de estos vectores ok y esta es una base base el complemento ortogonal debe entonces vamos a ver si contando estos dos estas dos bases podríamos hacer una base completa para todo rn porque tendríamos dos conjuntos uno de cada elementos y otro de menos acá que en total nos dan en elementos entonces la pregunta es si esto si juntamos estos dos conjuntos podríamos obtener una base una base para todo rn y bueno vamos a tratar de resolver esa pregunta que íbamos a bajar un poco entonces vamos a primero ver si el dif y juntando estos dos conjuntos tenemos que sean linealmente independientes o que ya entonces consideraremos una combinación lineal digamos que tengo c1 b1 más de dos dedos más toda una combinación de estos vez más seca beca ok y además voy a sumarle alguna combinación de estos w bush que entonces vamos a sumarle también vamos a ponerle que sean las constantes de es de 1 w uno más de 2 doble u 2 más etcétera de n - k w - acá ok y vamos a suponer que toda esta combinación lineal nos da exactamente el vector 0 ok entonces esto lo que nos estaría diciendo es que en principio sabemos que si hay una solución si por ejemplo todas las constantes es y las 10 son cero esto tiene sentido porque tendríamos 000 sumamos puro ceros y nos da el vector ser la pregunta es si hay alguna otra solución que no sea la trivial es decir que no sean todas las constantes 0 si no es así entonces tenemos que todo este conjunto de de vectores completito es linealmente independiente y después veríamos que genera todo rené verdad entonces con esto podríamos ir avanzando para probar que es una base para todo el espacio entonces lo que vamos a hacer ahora es considerar vamos a pasar todas y todos los los vectores w nos vamos a pasar del lado derecho y entonces cómo nos queda vamos a tener c1 b1 más c 2 b2 más varias cosas aquí más seca de acá y esto va a ser igual si nosotros pasamos todos estos vectores del lado derecho lo tenemos que pasar restando verdad entonces restamos todos estos que serían de 1w uno más de 2 w 2 etcétera más de n - k w en menos acá muy bien entonces vamos ahora a qué es esto bueno esto de aquí estoy aquí es una combinación lineal de vectores que son base de nuestro su espacio b qué quiere decir esto que si yo por ejemplo le pongo de nombre vamos a llamarle a este número o perdona este vector x x va a hacerse uno de uno más de dos dedos más todos estos más seca de acá quiere decir esto por supuesto que entonces x como es una combinación lineal de elementos de la base de nuestro espacio de esa x no le queda otra cosa más que pertenecer a b y eso es porque los subespacios vectoriales son cerrados bajo su más bajo multiplicación por escalar es de hecho son cerrados bajo combinaciones lineales entonces esta combinación lineal pertenencia de entonces a éste le llamamos x éste y por otro lado este numerito x nos dice que es una combinación lineal de vectores w bush que son base del complemento ortogonal debe entonces todo esto que tenemos aquí a la derecha digo quizás se puede confundir un poquito al menos y demás el punto es que si tú multiplicas esté menos por todos los mandos de que da una combinación lineal de doble u de de los vectores w entonces esto es alguna combinación lineal combinación vamos a escribir lo completó una común combinación lineal línea de vectores de la base de que habíamos dicho de del complemento ortogonal debe que entonces son combinación lineal de vectores de la base del complemento ortogonal debe entonces si x por un lado también es esta combinación lineal quiere decir que x por ser una combinación lineal de elementos de la base del complemento ortogonal debe quiere decir que también está en el complemento ortogonal entonces x está en el complemento ortogonal de be ok entonces y eso fue con lo que empecé este video porque yo empecé hablando de que si teníamos algún elemento que se encuentra en ambos espacios en ambos hubo espacios no le queda de otra más que ser el vector 0 verdad aquí tenemos que x forzosamente tiene que ser el vector 0 entonces aquí concluimos que si expresamos de esta forma x necesariamente es el vector 0 ahora repasemos esto porque si tenemos esto de aquí que si tenemos esto de aquí tenemos una combinación lineal y ahora sabemos que esta x déjenme de nuevo radar esta x ya sabemos que 0 verdad entonces tenemos que cero es igual a una combinación lineal de elementos de la base de nuestro espacio b pero sabemos que estos por ser una base son linealmente independientes y la una de las definiciones de que sea una colección de vectores realmente independientes es que si tiene uno una combinación lineal que nos da cero sólo puede ser que las constantes que por las cuales estamos multiplicando a los vectores sean únicamente 0 entonces de aquí por ser una base obtenemos que todas estas constantes deben ser ser gay entonces de aquí obtenemos que se 1 c 2 etcétera todas estas constantes seca son buenos deben ser deben ser deben ser 00 ok eso por un lado ahora del otro lado también tenemos una combinación lineal de vectores pero ahora estos vectores de hecho son la base de el complemento banda del complemento ortogonal y nos da cero y equipo es el mismo argumento tenemos una combinación lineal de vectores linealmente independientes que nos da cero por lo tanto todas estas constantes deben ser cero bueno en realidad uno puede distribuir al menos y decir menos de 10 menos de 20 - df - cae 0 pero bueno menos de uno igual a cero y él significa que de uno tiene que ser cero entonces todas estas todas éstas también se hacen 0 entonces b1 b2 etcétera hasta de ede - acá deben ser también cero deben ser cero bien ahora regresamos un poquito acá arriba vamos a regresar nos un poquito vamos a regresar a nuestro problema original que estamos tratando de analizar qué que era ésta que estoy más en marcando en azul pensé queríamos ver al menos ahorita si juntamos estos estos dos conjuntos que son bases si al juntarlos podríamos obtener una base completa para él para el espacio de rn entonces dijimos bueno pues vamos a ver primero si son linealmente independientes entonces damos una combinación lineal de todos estos lectores que nos de cero y ahora resulta que no pudo ser de otra forma más que todos estos de los de las constantes tienen que ser cero y eso lo vimos porque al expresar lo de esta forma igual la vamos a cero por ser linealmente independientes esto me daba 0 y por otro lado también me daba 0 y sólo le quedaban será las constantes a todas ser cero por lo tanto regresan a nuestro problema original ya que teníamos una combinación lineal dada y resultó que todos tienen que ser cero eso inmediatamente me está diciendo que el conjunto formado por ambas bases es linealmente independiente ok entonces vamos a notar eso tengo yo me conjunto formado por vamos a hacerlo con con los colores que ya tenía por ejemplo mi conjunto formado por de 1b 2a todos estos todos estos a esta beca es digamos nuestra primera base y después le juntamos o extendemos esta base con todos estos w bush le juntamos w1 w2 etcétera hasta doble u n - k todo este conjunto en donde ya fusione digamos estas dos bases es un conjunto linealmente independiente linealmente independiente ok tenemos un conjunto linealmente independiente y de hecho vamos a ver que es una base de rené eso es lo que queremos llegar a que no sólo es un conjunto linealmente independiente sino que además va a llegar a ser una base ok entonces vamos a repasar un poquito de estas propiedades supongamos que tenemos un suv espacio su espacio de dimensión vamos a decir n de dimensión dimensión en ley tenemos un su espacio de dimensiones y vamos a suponer que tenemos hemos n vectores linealmente independientes ok tenemos en efectores en efectores linealmente ya sólo voy a escribir como el ley sale eley linealmente independientes y que son elementos del psuv espacio que son elementos o miembros elementos son miembros del psuv espacio ok tenemos estos en elementos en electores linealmente independientes del psuv espacio entonces nosotros ya sabemos que el conjunto de los electores que éstos en electores linealmente independientes es una base del psuv espacio verdad es una base del psuv espacio porque necesitamos forzosamente si las dimensiones n necesitamos escribir mal necesitamos para generar al menos n pero es el mínimo número verdad con menos vectores no puedo generar un espacio de dimensión n por lo tanto este conjunto es una base del psuv espacio ok entonces en particular podríamos pensar en rr nn podríamos pensar en rr ene rn como un su espacio ok digamos rr nn es un suv espacio de qué dimensión pues tiene dimensiones de verdad aquí nos está indicando entonces éste son su espacio de dimensión n que lo podemos escribir de esta forma que la dimensión de rn es justamente eso n ok y entonces qué es lo que vamos a tomar consideremos un vector a rojito vamos a ponerlos con rojito digamos que tenemos un vector a tenemos un vector a elemento de rn ok entonces como tenemos aquí a y esto resultó ser un conjunto linealmente independiente pero cuántos elementos tiene esto esto tiene k elementos de estos rojos y n - ca elementos de estos amarillos si lo sumamos en total son en electores linealmente independientes ok entonces como además el el espacio rn tiene dimensión n por esta observación esto inmediatamente ya es una base ok de hecho vamos a escribir lo que todo esto de aquí todo esto de aquí ya es una base esto es una base una base y por supuesto es una base de rehenes verdad keith ok entonces sí es una base y nos tomamos cualquier vector de rn entonces este vector yo lo puedo describir como una combinación lineal de elementos de la base entonces puede ser vamos a ponerle vamos a ponerle otro nombre a las constantes para que no se confunda con lo que teníamos arriba digamos que es digamos b1 por b no más de dos por b2 más quién sabe cuántos sean son k dijimos beca ok aquí tenemos estos elementos de la base y necesitamos también elementos de estos vamos a llamarle por ejemplo +1 w1 más de 2 w 2 más varias otras cosas e n - k w en menos acá le cambié posee otras constantes para que no se confunda con lo que teníamos arriba ok entonces sí ya pudimos expresar cualquier director del espacio de rehenes de esta forma ahora fijémonos en los siguientes y fijémonos principalmente en los colores y estoy aquí estoy aquí es una combinación lineal de elementos de nuestro psuv espacio b entonces esto aquí sí si agrupamos todos estos es un vector pero que donde vive pues este vector vive en nuestro psuv espacio porque cerrado bajo combinaciones lineales entonces este vector que le voy a llamar v ok éste vive en nuestro psuv espacio b ahora podemos pensar exactamente lo mismo con estos otros vectores porque estos otros vectores pues serán algún vector digamos x pero es una combinación lineal de vectores que viven en nuestro este su espacio b b ortogonal verdad donde lo había puesto aquí esta verdad todos éstos viven en el complemento ortogonal debe por lo tanto cualquier combinación lineal de ellos vive en el complemento ortogonal debe porque es un suv espacio eso ya lo habíamos visto en algunos viven algunos vídeos antes ok entonces fíjense muy bien cómo es que ahora por reescribir a porque éste no es un vector b y este es un vector x entonces a lo puede expresar como un vector de más un vector x ok qué es lo que acabo de hacer me está diciendo que cualquier víctor de rn lo puede expresar como una suma de dos vectores uno que viven b y el otro que vive en su complemento ortogonal y esa es una idea muy interesante de cómo podemos descomponer vectores de esta forma ahora una pregunta que te puedes estar haciendo inmediatamente si esta expresión es única ok será única es decir qué pasaría si yo puedo expresar a como la suma de dos vectores uno que viven ve otro que vive en el complemento ortogonal pero que lo puede hacer de dos formas distintas esto es por ejemplo vamos a escribirlo supongamos que no es única primero supongamos supongamos que no es única no que no es única y no es única entonces voy a tener a mi vector a que tengo mi vector a que lo pueden escribir como un b1 más x 1 pero también lo puede describir como b2 más x2 dónde dónde vamos a tener que suponer que bueno si a ésta en rr nn entonces estamos y estaremos diciendo que los ve que los vez b1 y b2 viven en nuestro su espacio b y que x1 y x2 viven en el complemento ortogonal entonces qué es lo que podemos hacer en esta en esta ocasión bueno si el b2 lo pasamos del otro lado restando y el x1 del lado derecho también restando es decir vamos a tener del lado de este lado de uno menos de dos sería igual a x2 y el x1 lo pasamos del otro lado entonces me queda igual a x 2 - x 1 ok que lo que logrado con esto fíjense si yo llamo a este vector zeta digamos que esto es un zeta ceta es es la resta de dos vectores que viven en el nuestro su espacio b entonces esto nos está diciendo cómo en su espacio que z vive también en nuestro psuv espacio be ok esto es la resta de dos vectores que viven en de cómo ves un su espacio vectorial esto vive todavía en ve ahí permanece por otro lado zeta es también la resta de dos vectores pero estos dos vectores viven en el complemento ortogonal que habíamos dicho que el complemento ortogonal es un suv espacio eso ya lo hemos demostrado en videos anteriores entonces cómo es un suv espacio encerrado bajo bajo adicionó bueno si restamos los vectores es un caso especial de la adicción verdad entonces estamos aquí dice lo que z se encuentra también en el complemento ortogonal de nuestro espacio ahora porque empecé el video con todo esto porque en el vídeo al inicio dijimos que el único elemento que puede estar en ambos conjuntos es el vector cero y aquí justamente encontré un vector que viven ambos entonces esto me da de de forma gratuita que el vector tiene que ser únicamente el 0 ok entonces esto debe ser igual a cero qué es lo que tenemos ahora que ve uno menos b2 es igual a cero y x 2 - x1 es igual a cero entonces vamos a escribir esto por un lado tenemos que de 1 - b2 es igual a cero y si pasamos de dos sumando del otro lado vamos a tener que ve uno es igual a b2 es una bonita observación ahora que tenemos también también tenemos que x 1 - x 2 es igual a cero verdad es esto bueno aquí en realidad no importa mucho voy a corregirlos los subíndices aquí debería ser x 2 - x1 es igual a cero pero si esto es igual a cero podemos pasar x 1 sumando del otro lado y tenemos que x2 va a ser igual a x 1 entonces qué fue lo que ocurrió al final que si yo le expresé de dos formas distintas resulta que las los dos vectores que lo componen pues no son otra cosa más que iguales es decir esto debe ser igual a esto y x1 debe ser igual équidos entonces la descomposición de este vector tuvo que ser necesariamente única