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Contenido principal
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Transcripción del video

vamos a empezar tomando una matriz a y digamos que esta matriz es muy general es digamos de tamaño m por n íbamos a escribirla en términos de sus vectores columna es decir esta matriz como primer columna tenemos a a1 como segunda columna tenemos el vector a 2 y así sucesivamente hasta el vector a n muy bien esta es nuestra matriz a y vamos a empezar tomándonos un vector ve en el espacio columna de nuestra matriz a y recordemos que el espacio columna de la matriz en no es otra cosa más que el espacio generado por los vectores columna de nuestra matriz es decir que cualquier elemento en el espacio columna es una combinación lineal de estos vectores columna entonces justamente por esto que acabamos de decir vamos a escribir ave como una combinación lineal de los vectores a1 a2 todos hasta a n entonces éste es una constante x1 por a uno más otra constante por a dos más un aula etcétera estamos sumando todos estos la última constante xn por aena y estamos justamente diciendo que x1 y x2 todos los x van a ser constantes digamos arbitrarias en en nuestro espacio de los números reales ok y entonces esta combinación lineal mediante la cual yo escribía ve la puede escribir de otra forma esto va a ser equivalente a que si yo tengo la matriz a digamos con estas columnas a 1 a 2 y así sucesivamente hasta a n y si multiplicamos esta matriz por un vector llamado x1 y x2 y así hasta x n aquí no hace mucho los puntitos ahí está ok está estas dos expresiones expresiones son equivalentes y como son equivalentes por supuesto esta multiplicación de esta matriz por este vector debe ser igual a ve muy bien entonces éste este resultado y toquero de hecho es nada más un repaso de lo que ya habíamos visto en otros videos me está diciendo que esta ecuación del sí y el vector de constante de estas constantes x de las x no es conocido quiere decir que tenemos al menos una solución a esto tenemos la matriz a que multiplica un vector x y que me da la solución igual ave entonces esta ecuación en donde x es desconocida tiene tiene al menos al menos una solución al menos una solución podría tener más verdad muchísimas otras más pero al menos ésta tiene una solución y eso es porque ve lo estamos considerando en el espacio columna de nuestra matriz entonces qué es lo que estamos diciendo con con con dibujitos ok vamos vamos a hacer una caricatura de lo que estamos haciendo tenemos aquí rn este es nuestro espacio de reyes se rellene porque aquí tenemos este este vector x de entradas entonces nuestro héctor equiza y se encuentra en rn y digamos que tenemos aquí también nuestro espacio nulo key aquí está el espacio nulo de la matriz a ok y simplemente para recordar quién es el espacio nulo el espacio nulo es el conjunto de vectores que tienen esta solución ax igual a cero es decir que al multiplicarlo por la matriz a nos da el vector 0 es el espacio no lo y también sabemos ya hemos visto en videos anteriores que pues éste es un suv espacio y por lo tanto por aquí andará el complemento ortogonal es decir el espacio nulo de a ortogonal que no es otra cosa más que el espacio fila verdad del espacio fila que es el espacio columna de la matriz transpuesta y estos dos son los interceptan en un solo punto que de hecho es el cero y demostramos hace ya como dos videos me parece que podemos escribir cualquier director de rr n como una suma de dos vectores es decir vamos a tomarnos un vector aquí que se llame no sé en vamos a tomarnos no sea algún otro de aquí que se llame r cualquier cualquier lector que se encuentra en rn lo podemos escribir como una suma de 1 que se encuentra en el núcleo y otro que se encuentra en el espacio fila de la matriz que es que es igual al complemento ortogonal del espacio no muy bien entonces ya con esto dicho éste esto por supuesto estamos diciendo que es el espacio fila de a este de aquí es el espacio fila espacio fila de la matriz a entonces vamos a tomarnos un x que sea solución de ax igual ave es decir tenemos un vector x tal que a x es igual a la vez que entonces x es solución es solución aunque quizás debería escribir lo al revés vamos a ponerlo de esta forma keith digamos x solución solución de la ecuación a x igual a be ok consideremos eso y entonces estamos diciendo que aquí se encuentra en rn ok eso es algo inmediato verdad aquí lo podían lo podemos ver x tiene n coordenadas entonces como xe encuentra en rn y dijimos que podemos expresar cualquier vector de rn como una suma de un elemento que se encuentra aquí con otro que se encuentre acá entonces yo puedo escribir a x x x lo podemos escribir como una suma la suma de un 30 más un n0 y donde habíamos dicho que erre cerró los seres rc 0 se encuentra en nuestro espacio fila de la matriz ok y el n0 en el cero es igual pero no es igual se encuentra en el núcleo de la matriz ok eso es porque podemos descomponer cualquier vector de rené de esta forma entonces qué pasa si nosotros despejamos a r 0 es decir nosotros vamos a escribir vamos a pasar digamos n0 del lado izquierdo restando y entonces me queda que r0 va a ser igual a x - n0 ok muy bien ahora y aquí tenemos a r0 despejado de esta forma que ocurriría si nosotros multiplicamos la matriz por rr cero es decir qué pasa si yo tengo a por r 0 a por rr 0 bueno como r0 está escrito de esta forma esto va a ser lo mismo que dejen de hacerlo con otro color va a ser a que multiplica r0 que es x - n0 muy bien y ahora como ésta es una matriz multiplicada una diferencia de vectores esto no es otra cosa más que a x menos a por n0 y ahora vamos a ir analizando esto dijimos que x era una solución de ax igual ave entonces a x esto va a ser exactamente b y ahora quienes a n0 dijimos que en el cero se encuentra en el núcleo de la matriz y nuestra matriz pero en el núcleo es todos los vectores que multiplicarlos por la matriz nos da cero entonces como éste está en el núcleo esto no es otra cosa más que cero el vector 0 y entonces está muy bien porque tengo ve - 0 esto simplemente es el vector b y déjame ponerlo con otro color para que sea más distinguible ok entonces qué es lo que hemos obtenido hasta ahorita r 0 r 0 lo escribí de esta forma y resultó que al multiplicarlo por la matriz a medio que era el vector ve eso me está diciendo inmediatamente eso me está diciendo inmediatamente que erre 0 r 0 es una solución una solución de la de la ecuación ax igual la ve muy bien entonces esto es bastante interesante fíjense nos tomamos inicialmente un bebé que se encontraba en el espacio columna que es es un elemento del espacio columna y con todo esto que hemos analizado descubrimos que existe un error es cero r 0 en el espacio fila verdad aquí está el recelo en el espacio fila tal que se resuelve esta ecuación a por equis igual ave es decir que a por r0 es igual a ver entonces esto me parece un resultado un resultado bastante interesante y la pregunta inmediata que surge es bueno será cierto que este ere cero es único es decir podríamos pensar que existe algún otro vector digamos r1 que éste también en el espacio fila y que también sea solución de esta ecuación vamos a ver vamos a ver es decir nos estamos planteando la posibilidad de si existe consideremos un ere uno que se encuentre en el espacio fila de la matriz o el espacio columna de la matriz respuesta es lo mismo y que además sea solución y que sea solución a a la ecuación ax igual ave esto quiere decir que a por ere uno es igual a b y ya tenemos este recelo que sabemos que existe vamos a ver qué pasa bueno lo que podemos empezar haciendo es tomar una resta de r 1 - rcd y eso por qué pues porque como éste es un espacio fila y eso en su espacio vectorial válido entonces la resta de de vectores en el mismo espacio se queda en el mismo espacio entonces esto quiere decir que erré 1 - r 0 se encuentra exactamente en el espacio fila de la matriz a ok ahora bien vamos a ver qué ocurre si multiplicamos a este vector por la matriz a 11 si tenemos a que multiplica a r 1 - r 0 esto simplemente como cómo se puede distribuir muy bien será a por rr 1 - ah porque rzr o y ahora recordemos que r1 tanto r1 como r0 se encuentran perdón son soluciones de esta ecuación entonces a por rr 1 por un lado es b esto va a hacer b y por el otro lado a por herrero también va a ser ve entonces ve - b y resulta que esto es cero es decir este ere 1 - rcd pero resuelve la siguiente ecuación resuelve ax igual a cero verdad es una solución de esta ecuación y eso inmediatamente me está diciendo qué cosa pues que de hecho aquí habíamos dicho y lo habíamos escrito que los vectores que cumplen esta ecuación ax igual a cero son aquellos que pertenecen al núcleo al cual espacio nulo de nuestra de nuestra matriz verdad entonces quiere decir que erré 1 - r 0 se encuentra en el espacio nulo de la matriz y esto es bastante bastante bueno porque si recordamos aquí tenemos el espacio nulo y aquí tenemos el espacio ortogonal que resulta que el espacio ortogonal ya habíamos dicho que es el espacio fila del espacio o nulo son ortogonales entre sí entonces aquí tenemos que erre 1 - rcd hero se encuentra en ambos y dijimos que sólo existe un único vector que se encuentra en ambos espacios y ese no es otra cosa más que el vector 0 entonces como éste r 1 - rcd se encuentra en ambos r 1 - r 0 no le queda otra cosa más que ser el vector 0 verdad y eso es por este resultado y este otro resultado pero cierre 1 - rcd de cero entonces ya podemos concluir exactamente qué r1 es igual a r0 verdad pasando r0 del lado derecho sumando entonces ni pensamos que podríamos tener dos soluciones distintas y al final concluimos que pues no eran tan distintas que en realidad eran iguales entonces qué es lo que hemos obtenido hasta ahora vamos a ir escribiendo estos resultados empezamos con un bebé vector b que se encuentra en el espacio columna de nuestra matriz a ok y lo que llegamos a concluir a partir de todo esto es que es que existe existe y de hecho un no sólo es un elemento si no es único un único elemento único elemento de nuestro espacio fila verdad este ere cero es una solución de esto pero pero es es un elemento del espacio fila y déjame ponerlo con otro color es un elemento del espacio fila este es el espacio fila ok es el espacio fila y de hecho vamos a escribir bien el nombre digamos r0 este ere 0 este recelo es el que se encuentra en nuestro espacio fila de la matriz a ok y qué ocurre con este ere cero tal que tal que r0 es solución es solución es solución de ax igual ave puede ser eso es cierto que haya muchísimas otras soluciones de esta ecuación pero lado sólo existe una única solución de la ecuación en el espacio fila y eso es lo más fuerte que quizás es un un resultado complejo pero bastante interesante entonces esto empezamos partimos de tomar un elemento en el espacio columna escribimos como combinación lineal y resultaba que era que lo podríamos escribir de esta forma como en una ecuación verdad es después este número es perdón este vector lo descomponemos en en una suma donde uno se encuentra en el espacio fila y el otro en el en el espacio nulo y concluimos que este elemento del espacio fila es solución y que de hecho es la única solución en el espacio fila muy bien entonces vamos a ver qué más podemos sacar de todo esto vamos a considerar una solución cualquiera a ax igual a be ok digamos consideremos cualquier cualquier solución solución x x de a x igual ave y dijimos nuevamente que como es un elemento de rn lo podemos descomponer como una suma de dos dedos vectores verdad no merecerlo y un n0 que se encuentren en estos dos espacios respectivamente verdad de hecho aquí aquí es en donde se encuentra el rc 0 verdad enel enel en el espacio fila es donde estamos trabajando entonces cómo lo podemos escribir de esta forma es decir puede escribirse puede describirse como como x igual a un receptor o tercero más n0 donde ya dijimos que receló se encuentra en el espacio fila o el espacio renglón y n0 se encuentra en el espacio nulo aunque en el espacio no lo de nuestra matriz vamos a ver qué pasa con la magnitud de este vector es decir vamos a considerar la magnitud o la norma o la longitud del vector al cuadrado quienes esto pues esto simplemente es x punto equis verdad hacemos el producto punto de x consigo mismo y en lo que nos da la norma al cuadrado la longitud ok al cuadrado pero esto x se puede descomponer de esta forma correcto entonces esto será r0 más n0 y dejen exponerle sus de dzitás de vectores punto r0 más n0 ok y como sabemos que el producto punto éste puede distribuir bastante bien esto no es otra cosa más que eres 0.90 30.0 ahora más r 0 punto n 00.30 más ahora vamos 0 por ere cero que es lo mismo que erre 0.0 nuevamente y al final tenemos en el cero punto n 00.30 pero observemos muy bien r 0 se encuentra en el espacio fila y n0 se encuentra en el espacio nulo pero sabemos que esos dos espacios son ortogonales entre sí entonces estos dos son ortogonales y por lo tanto su producto punto es cero ok entonces esto simplemente nos quedó como r 0.30 que es la la norma o la magnitud de rc pero al cuadrado y aquí también tenemos la magnitud la magnitud de n0 al cuadrado ok pero fíjense muy bien steele 0 a final de cuentas es tiene una norma mayor o igual que 0 entonces en realidad este numerito forzosamente tiene que ser mayor o igual que la norma de rc 0 al cuadrado y eso es porque algo positivo estoy sumando algo positivo si no se lo sumo pues sería mucho menor verdad podría ser igual sí sí es tener cero es el vector 0 y entonces éste no contribuye en realidad nada podría ser igual pero en términos más generales éste es mucho más grande que éste verdad a cualquier número si le sumas otro número pues va a ser mayor o igual muy bien entonces fíjense muy bien en qué es lo que estamos concluyendo que si yo partir de una solución cualquiera su norma al cuadrado de cualquier solución siempre va a ser mayor o igual que la norma de r 0 al cuadrado que si sacamos raíz cuadrada de ambos lados tenemos que la magnitud de x es mayor o igual que la magnitud de r 0 y esto nos está diciendo algo muy importante porque r0 no sólo es una solución sino que cualquier otra solución tiene un tamaño mayor es decir r0 es la solución más pequeña que podemos encontrar ok entonces vamos a escribir ya todo está enunciado nuevamente empezamos con un vector en el espacio columna de nuestra matriz a y decimos que entonces existe existe un héroe un único de hecho es un único ere 0 rc 0 en el espacio fila de nuestra matriz tal que qué tal qué tal qué r0 es solución si es solución de nuestra ecuación ax igual ave es decir a por rr cero es igual a b pero no sólo eso que también sabemos que cualquier otra solución tiene un tamaño mayor es decir ninguna otra y ninguna ninguna otra solución ninguna otra solución tiene un tamaño menor tiene tamaño menor tamaño menor es decir si tú me das cualquier vector b que se encuentra en el espacio columna en el espacio columna de la matriz entonces yo te pueda encontrar un único elemento r0 de nuestro espacio filia fila que es esencialmente la solución más pequeña entendiéndolo como que tiene la longitud más chica lo cual me parece un resultado muy bonito y que exploraremos visualmente en el próximo video