Ejemplo de solución de espacio de fila de Ax = b

tengo esta matriz de 2 x 2 y este vector nr 2 llamado b y vamos a descubrir algunas cosas interesantes que podemos calcular de esta matriz y de este vector así que lo primero de que que nos interesa ver y que nos ayudará a visualizar lo que vimos en el último vídeo es ver quién es el espacio nulo dea y el espacio nulo de a es exactamente el mismo que el espacio nulo de su forma reducida y escalonada por renglón es verdad entonces vamos a calcular esa es a esa forma de esta matriz y y lo primero que podemos hacer es tomar este primer renglón y multiplicarlo por 2 x menos 2 aquí nos quedaría menos 6 y aquí 4 si lo sumamos al segundo renglón y es ahí donde vamos a entrar nos quedaría menos 6 más 60 y 4 menos 4 es 0 entonces nuestra primera parte nos queda 3 y menos 2 y aquí abajo nos quedaría como 0 y 0 ok ahora vamos a pasarlo a otra forma al multiplicar el primer renglón por un tercio y un tercio y nos queda tres por un tercio es uno y menos dos por un tercio es menos dos tercios y acá abajo se queda igual ahora si queremos encontrar el el espacio nulo de esta matriz tenemos que ver todos aquellos vectores x1 y x2 queremos ver que deben cumplir para que al multiplicarlos por esa matriz nos dé el vector cero entonces con esto dicho vamos a hacer si nos damos cuenta el segundo renglón no nos da ninguna información verdad así que solo nos quedaremos con la multiplicación del primer renglón por este vector y que es 1 por x 1 que es x1 menos dos tercios de x2 y esto me debe dar igual a cero o lo que es lo mismo si pasamos este término del otro lado nos dice que x 1 es igual a dos tercios de x 2 y sólo para que veamos que realmente no es que x 2 y x 1 sean algún número en especial vamos a parametrizar esto es decir vamos a suponer que x2 es un número real te ok digamos que es cualquier número real ok y entonces x1 x1 sería dos tercios de t perfecto solo para pensar que esto lo hicimos para pensar que no es un número especial ok entonces quién sería finalmente el espacio nulo de nuestra matriz el espacio nulo es el conjunto de los x 1 x 2 que sean iguales a la siguiente forma fíjense que x1 debe ser dos tercios de t entonces y x2 este entonces podemos factorizar la t y x1 debe ser dos tercios de t x2 debe ser una t muy bien entonces este es nuestro espacio nulo que también lo puedo escribir de la siguiente forma por ejemplo si nosotros hacemos t igual a 3 c digo cualquier número es el triple de otro verdad entonces esto sería el conjunto de los x 1 x 2 que sean iguales a hace ok hace y el 3 hay que multiplicarlo aquí dentro y 3 por dos tercios es 2 y 3 por 1 es 3 ok entonces si nos damos cuenta aquí estamos diciendo que el espacio nulo es el espacio generado por el vector dos tercios y en realidad este cambio de variable que hice decir que te es igual a 13 lo hice para que no aparezcan fracciones y se vea más agradable esta expresión entonces esto no es otra cosa más que el espacio vectorial generado por un vector que es el vector 23 ok entonces este es el espacio nulo de nuestra matriz y visto lo que vimos en el vídeo anterior es que si teníamos la ecuación a x igual a b pues nos interesaba saber quién era el es para el conjunto solución de esta de esta ecuación verdad entonces lo que vamos a hacer es calcularlo también vamos a considerar la matriz 3 2 6 - 4 ok dejen quitar esto y lo que vamos a hacer es aumentar esta matriz vamos a aumentarla y vamos a poner nuestro vector b y vamos a poner esto de esta forma ok vamos ahora a encontrar quién es el conjunto solución de esta matriz entonces vamos a ir la reduciendo también y lo que podemos hacer es exactamente lo mismo multiplicar x por menos dos el primer renglón y sumarlo al segundo entonces 3 x menos 12 6 6 es 0 déjenme déjenme poner déjenme ir escribiendo esto porque el primer renglón queda igual y ahora vamos viendo vamos viendo 3 x menos 2 es menos 660 menos 2 x menos dos es cuatro menos cuatro nos da cero y nueve por menos dos es menos 18 18 nos queda 0 entonces ya nada más para terminar esta expresión está en esta forma vamos a multiplicar el primer renglón por un tercio y entonces nos queda x 0 0 eso se quedan iguales y aquí nos queda uno menos dos tercios y nueve entre 3 es 3 muy bien ok entonces qué es lo que es lo que tenemos aquí lo que vamos a tener es que podemos expresar lo también en forma matricial es decir como una especie de una matriz por un vector por ejemplo esto lo que nos está diciendo es que uno menos dos tercios esta matriz 00 que multiplica al vector x 1 x 2 es igual al vector 3 0 verdad esto ya lo hemos visto en varios vídeos anteriores y esto inmediatamente nos da una ecuación nuevamente el segundo renglón no nos da información quien nos da información es el primero porque porque tenemos que 1 x x 1 es x 1 y menos dos tercios por x2 es menos dos tercios de x2 y esto debe ser igual a tres o lo que es lo mismo si despejamos x1 este pasa sumando del otro lado y x1 es tres más dos tercios de x2 muy bien nuevamente vamos a usar el mismo el mismo truco que usamos anteriormente digamos que x2 es cualquier número real y entonces x1 es igual a tres más dos tercios dt y estamos parametrizado esto entonces este conjunto solución de la ecuación simplemente nos queda el conjunto de los x 1 x 2 tales que debe ser igual bueno es x 1 debe ser 3 algo porte que es dos tercios verdad y x2 este entonces aquí va un cero y aquí va un muy bien entonces ya con esto podemos ir observando algo esto es una solución particular de nuestra ecuación verdad si uno pone 30 como x nos podemos dar cuenta que es un que es una solución particular y esto es el espacio en el espacio generado por él por el espacio nulo es decir déjenme irlo escribiendo de esta forma por ejemplo si nuevamente lo escribimos como 13 esto simplemente va a ser el conjunto de los x 1 x 2 que sean iguales a 30 más y aquí el 3 lo multiplicamos por el vector que es 23 verdad ok y esto es exactamente la forma que teníamos acá arriba verdad el espacio nulo era generado por el 23 que aquí lo tenemos y desplazado después por una solución particular que es el 3 el 30 ok entonces vamos ahora nada más saber quién es nuestro espacio fila ya para ir concluyendo todo esto porque nuestro espacio fila lo podemos calcular de la siguiente forma que es el espacio columna de la matriz a transpuesta este es el espacio fila fila y esto será igual al espacio vectorial generado pues por las filas verdad por las filas de la matriz que es 3 - 2 aunque el primero es 3 menos 2 y también por el generado y también generado por 6 y menos 4 pero si nos damos cuenta este definitivamente es el doble de este anterior entonces este realmente no pinta y solo nos queda que es el espacio vectorial generado por el vector 3 - 2 este es el espacio fila y que sabemos que es ortogonal el espacio fila es ortogonal al espacio nulo al espacio no lo de la matriz entonces en el último vídeo tuvimos un resultado muy importante y que vamos a tratar de ver gráficamente vamos a tratar de hacerlo esto muy gráfico vamos a hacer vamos a hacer los ejes espero me salgan derecho y está bien efe vamos a ponerle la dirección en ambos sentidos y ahora aquí tenemos el otro en el eje x de nuestro espacio r 2 muy bien ahí tenemos eso y ahora vamos a ir graficando poco a poco estos espacios que ya tengo primero vamos a graficar el espacio nulo que el espacio nulo es el generado por el vector 23 vamos a tomar dos en esta dirección y luego tres hacia arriba y entonces este es el vector 23 pero como es el generado en realidad estamos hablando de toda esta línea de toda esta línea toda la línea este es el espacio vectorial generado por el 23 ok entonces este es espacio nulo de la matriz muy bien ahora vamos a graficar el espacio el conjunto de las soluciones porque el conjunto de las soluciones aquí está aquí abajo es el espacio nulo pero desplazado un 30 es decir si aquí tenemos el 30 aquí está el 12 30 ahora a este vector le voy sumando todo el espacio nulo entonces esencialmente lo que tengo es una recta paralela a este espacio pero que pase por el 30 aquí está el conjunto solución entonces este es este es la luz el conjunto solución solución un poquito más abajo solución a x igual a b ok ese es el conjunto solución y finalmente hay que graficar el espacio fila el espacio fila que el espacio fila es el generado por el 3 menos 2 entonces y aquí tenemos -1 y -2 por aquí andará el 1 el vector que genera al espacio fila y vamos a ponerlo con este otro color si puedes salirme más o menos derecho ok ahí está nuestro vector y ahora vamos a seguir generando todo este espacio que es una fila de vectores creo que me quedo un poco chueco vamos a ver si podemos hacerlo mejor es un poco para que nos más o menos más o menos este es el espacio el espacio fila como está generado por este vector que es el 3 menos 2 ok y aquí hay algo que observar porque aquí se ve exactamente como estos dos espacios son ortogonales el espacio fila este es el espacio fila que es el espacio columna de la matriz transpuesta y el espacio nulo de nuestra matriz aquí se ve exactamente como son ortogonales y ahora bien en el último vídeo dijimos que tuvimos un resultado muy interesante que teníamos que si teníamos un vector b en el espacio columna de nuestra matriz entonces la solución más corta vamos a hablar estamos hablando de la solución la solución la solución más corta corta a la ecuación a x igual a b es un elemento es un elemento de habíamos dicho del espacio fila es un elemento de el espacio fila de nuestra matriz ok entonces este es el resultado que obtuvimos en el vídeo anterior en el vídeo anterior y vamos a ver cómo lo podemos representar en este en este lugar porque fíjense aquí tenemos nuestro espacio de soluciones y aquí tenemos un punto y este punto de aquí que de hecho voy a llamarle a este ere r y ese punto es el único que se encuentra tanto en el espacio fila como en el espacio de solución es verdad esto coincide con lo que habíamos visto en el vídeo anterior solo hay un punto que está tanto en el espacio fila como en el espacio de la luz perdón como en el conjunto de las soluciones de x igual a b ahora la pregunta que tenemos es cómo se detectó exactamente es este entonces cómo sabemos que está en el espacio fila como sabemos que está en el espacio fila y el espacio fila está generado por el 3 - 2 entonces podemos garantizar que nuestro vector r es una constante por el vector 3 - 2 eso sí es cierto aquí aquí voy a marcar bien quién es el vector r tengo y también sabemos que este vector es el vector 30 aquí tenemos el vector 30 este es el 30 entonces sí nos damos cuenta este vector que es la diferencia es ortogonal al vector r verdad aquí se hace un ángulo de 90 grados y eso hay que verlo porque el espacio nulo es ortogonal al al espacio fila y este simplemente está desplazado entonces el ángulo que forman y eso es porque son también paralelas el ángulo que forman es de 90 grados entonces este vector que es la diferencia de ellos es ortogonal a nuestro vector r entonces quién es la diferencia quién es la diferencia tengo mi vector r o más bien tengo mi vector el 30 el 30 y si yo le restó el vector r esto es el vector c por 3 - 2 esto es ortogonal al vector 3 - 2 verdad que es el que genera a nuestro espacio a nuestro espacio fila entonces si yo hago el producto punto con el 3 - 2 ponerlo con este color con el 3 - 2 esto me debe dar 0 esto debe ser 0 y con esto podríamos calcular quienes la hacen necesaria para saber cuál es el vector que cumple esta propiedad que encontramos en el vídeo anterior entonces tenemos aquí este vector amarillo de gm bueno lo va a poner en en color blanco como está aquí en el dibujo y entonces tenemos 3 - 13 verdades 3 menos 13 y acá abajo es 0 - c x menos 2 entonces 2 es este vector vamos a hacer el producto punto con este otro vector que es el 3 menos 2 y eso nos debe dar igual a 0 entonces que cuál es la ecuación que hay que resolver tenemos 3 menos 13 que sí muy lo multiplicamos primero por 3 ahí está este por este y ahora es más 12 por menos 2 y esto debe ser igual a 0 y si empezamos a desarrollar aquí tenemos 93 x 39 menos 13 por 3 es menos 9 c y ahora 12 x menos 2 es menos 4 c y esto debe ser igual a 0 ahora tengo 9 c y 4 c entonces esto es menos 3 cc y esto es 9 menos 13 c y esto es igual a 0 y de esto finalmente podemos concluir que si pasamos esto del lado derecho tenemos que no es igual a 13 c o bien que se es igual a 9 treceavos ok 9 sobre 13 y este es la constante que me dice por cuánto hay que estirar el vector tres menos dos que es este este que estaba hasta acá ok hay que estirarlo o más bien encoger los 913 a vos para encontrar la solución agradable que habíamos visto en el vídeo anterior es decir aquí podemos concluir que nuestro vector r que era la solución en el espacio fila es igual a 9 sobre 13 por el vector 3 - 23 menos 2 o lo que es lo mismo si metemos este 9 13 años en el vector 3 x 9 27 sobre 13 y abajo será menos 2 por 9 menos 18 sobre 13 esta es mi solución única y este de aquí es nuestro vector más pequeño que satisface la ecuación o mejor dicho es el único elemento del espacio fila que es solución de ax igual a b de esta de esta ecuación donde aclaró aquí está de ax igual a de i es la única solución de x igual a b y que coincide que la solución más corta así este fue un ejemplo de lo que hablamos en el último vídeo y espero que haya que al menos hayas visto visualmente por qué ocurre todo esto