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Contenido principal
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Transcripción del video

tengo esta matriz a de dos por dos y este vector en rd 2 llamado b y vamos a descubrir algunas cosas interesantes que podemos calcular de esa matriz y de este vector así que lo primero de que en que nos interesa ver y que nos ayudará a visualizar lo que vimos en el último vídeo es ver quién es el espacio nulo dea y el espacio nulo dea es exactamente el mismo que el espacio nulo de su forma reducida y escalonada por renglón es verdad entonces vamos a calcular esa es a esa forma de esta matriz y lo primero que podemos hacer es tomar este primer renglón y multiplicarlo por dos por menos dos aquí nos quedaría -6 y aquí cuatro si lo sumamos al segundo renglón y es ahí donde vamos a entrar nos quedaría menos seis más 60 y 4 - 4 0 entonces nuestra primera parte nos queda 3 y -2 y aquí abajo nos quedaría como 0 y 0 ok ahora vamos a pasarlo a otra forma al multiplicar el primer renglón por un tercio y un tercio y nos queda tres por un tercio es uno y menos dos por un tercio es menos dos tercios y acá abajo se queda igual ahora si queremos encontrar el el espacio nulo de esta matriz tenemos que ver todos aquellos vectores x1 y x2 queremos ver que deben cumplir para que al multiplicarlos por esa matriz no de el vector 0 entonces con esto dicho vamos a hacer si nos damos cuenta el segundo renglón no nos da ninguna información verdad así que sólo nos quedaremos con la multiplicación del primer renglón por este vector y que es uno por x ó 1 x 1 - dos tercios de x2 y esto me debe dar igual a cero o lo que es lo mismo si pasamos este término del otro lado nos dice que x1 es igual a dos tercios de x2 y y sólo para que veamos que realmente no es que x2 x no sean algún número en especial vamos a parametrizar esto es decir vamos a suponer que x12 su número el té o que digamos ted es cualquier número real kay y entonces x 1 x 1 sería dos tercios de ti perfecto sólo para pensar esto lo hicimos para pensar que no es un número especial ok entonces quién sería finalmente el cnu el espacio nulo de nuestra matriz el espacio nulo es el conjunto de los x1 y x2 que sean iguales a la siguiente forma piense que x1 debe ser dos tercios dt entonces y x2 este entonces podemos actualizar la t y x1 debe ser dos tercios de té y x2 debe ser una muy bien entonces este es nuestro espacio nulo que también lo puede escribir de la siguiente forma por ejemplo si nosotros hacemos de igual a 3 c digo cualquier número es el triple de otro verdad entonces esto sería el conjunto de los x 1 x 2 que sean iguales a hace que hace y el 3 hay que multiplicarlo aquí dentro y tres por dos tercios es dos y tres por uno es tres o key entonces si nos damos cuenta aquí estamos diciendo que el espacio o nulo es el espacio generado por el vector dos tercios y en realidad este cambio de variable que hice decir que te es igual a 13 lo hice para que no aparezcan fracciones y se vea más agradable esta expresión entonces esto no es otra cosa más que el espacio vectorial generado por un vector que es el vector 23 may entonces este es el el espacio nulo de nuestra matriz y visto de lo que vimos en el vídeo anterior es que si teníamos la ecuación ax igual ave pues nos interesaba saber quién era él es para el conjunto solución de ésta de esta ecuación verdad entonces lo que vamos a hacer es calcularlo también vamos a considerar la matriz 3 - 26 - cuatro aquí ejecutar esto y lo que vamos a hacer es aumentar esta matriz vamos a aumentar la íbamos a poner nuestro vector b es decir vamos a poner esto de esta forma ok vamos ahora a encontrar quién es el conjunto solución de esta matriz entonces vamos a ir reduciendo también y lo que podemos hacer es exactamente lo mismo multiplicar por por -2 el primer renglón y sumarlo al al segundo entonces tres por -12 6 + 6 30 pm poner a ir escribiendo esto porque el primer renglón que da igual kay y ahora vamos bien vamos bien 3 por -12 es menos seis más 60 menos dos por menos dos es cuatro menos 4 2 a 0 y 9 por menos dos es menos 18 +18 nos queda 0 entonces ya nada más para terminar esta expresión están esta forma vamos a multiplicar el primer renglón por un tercio y entonces nos queda aquí 00 se quedan iguales y aquí nos queda uno menos dos tercios y nueve entre 33 muy bien ok entonces que lo que es lo que tenemos aquí lo que vamos a tener es que podemos expresar lo también en forma matricial es decir como una especie de una matriz por un vector por ejemplo esto lo que nos está diciendo es que uno menos dos tercios esta matriz 00 que multiplica al vector x 1 x2 es igual al vector 3,0 verdad esto ya lo hemos visto en varios videos anteriores y esto inmediatamente nos da una ecuación nuevamente el segundo renglón no nos da información quien nos da información es el primero porque porque tenemos que uno por x ó no es x 1 kay y menos dos tercios por x2 es menos dos tercios de x2 y esto debe ser igual a tres o lo que es lo mismo si despejamos x1 este paso a su mando del otro lado y x1 es tres más dos tercios de x2 muy bien nuevamente vamos a usar el mismo el mismo truco que que usamos anteriormente digamos que x2 es cualquier número real y entonces x1 es igual a tres más dos tercios de té y estamos parametrizado esto entonces este conjunto solución de la ecuación simplemente nos queda el conjunto de los x1 y x2 tales que debe ser igual a bueno es x uno debe ser 33 más algo porte que es dos tercios verdad y x2 este entonces aquí va un cero y aquí va un 1 muy bien entonces ya con esto podemos ir observando algo esto es una solución particular de nuestra ecuación verdad si uno pone 30 como x nos podemos dar cuenta que eso que es una solución particular y esto es el espacio genera el espacio generado por el por el espacio nulo es decir de gmail o escribiendo de esta forma por ejemplo si te nuevamente lo escribimos como 13 esto simplemente va a ser el conjunto de los x 1 x 2 que sean iguales a 30 más c y aquí el 3 1 triplicamos por el vector que es 23 verdad ok y esto es exactamente la forma que teníamos acá arriba verdad del espacio nulo era generado por el 23 que aquí lo tenemos y desplazado después por una solución particular que es el 3 y el 30 ok entonces vamos ahora nada más saber quién es nuestro espacio fila ya para ir concluyendo todo esto porque nuestro espacio fila lo podemos calcular de la siguiente forma que es el espacio columna de la matriz a transpuesta este es el espacio fila el espacio fila y esto será igual al espacio vectorial generado por las filas verdad por las filas de la matriz que es 3 - 2 aunque y el primero es 3 - 2 y también por el generado y también generado por seis y menos cuatro pero si nos damos cuenta esté definitivamente es el doble de este anterior entonces esté realmente no pinta y sólo nos queda que es el espacio vectorial generado por el vector 3 - 2 este es el espacio fila y que sabemos que es ortogonal el espacio filaes ortogonal al espacio nulo al espacio no lo de la matriz entonces en el último vídeo y tuvimos un resultado muy importante y que vamos a tratar de ver gráficamente vamos a tratar de hacerlo esto muy gráfico key vamos a hacer vamos a hacer los ejes pero me salgan derecho más o menos ahí está bien ok este viaje a ponerle la dirección en ambos sentidos y ahora aquí tenemos el otro es el eje x de nuestro espacio r2 muy bien ahí tenemos eso y ahora vamos a ir graficando poco a poco estos espacios que ya tengo primero vamos a graficar el espacio nulo que el espacio no lo es el generado por el vector 2,3 entonces vamos a tomar 12 en esta dirección y luego tres hacia arriba y entonces éste es el vector 2,3 pero como es el generado en realidad estamos hablando de toda esta línea de toda esta línea toda la línea este es el espacio gen vectorial generado por el 2,3 ok entonces este es el espacio nulo de la matriz muy bien ahora vamos a graficar el espacio el conjunto de las soluciones porque el conjunto de las soluciones a aquí está aquí abajo es el espacio nulo pero desplazado un 3,0 es decir si aquí tenemos el 3,0 aquí está el 12 3,0 ahora a este lector le voy sumando todo el espacio nulo entonces esencialmente lo que tengo es una recta paralela a este espacio pero que pase por el 3,0 aquí está el conjunto solución entonces éste es éste es la la solución el conjunto solución solución un poquito más abajo solución a ax igual a be ok ese es el conjunto solución y finalmente hay que graficar el espacio fila el espacio fila que el espacio fila es el generado por el 3 - 2 entonces si aquí tenemos -1 y -2 por aquí andará el 1er el vector que genera al espacio fila y vamos a ponerlo con este otro color a ver si así puede salir más o menos derecho ok ahí está nuestro lector y ahora vamos a seguir generando todo este espacio que es toda una fila de vectores ubs creo que me quedo un poco chocó vamos a ver si podemos hacerlo mejor es complicado saber rosa movernos un poco para que nos quede muy bien ahí va más o menos más o menos este es el espacio el espacio fila como está generado por este vector que es el 3 - 2 ok y aquí hay algo que observar porque aquí se ve exactamente cómo estos dos espacios son ortogonales el espacio fila este es el espacio fila que es el espacio columna de la matriz transpuesta y el espacio nulo de nuestra matriz aquí se ve exactamente como son ortogonales y ahora bien en el último vídeo dijimos que tuvimos un resultado muy interesante que teníamos que si teníamos un vector ve en el espacio columna de nuestra matriz entonces la solución más corta vamos a hablar estamos hablando de la solución la solución la solución más corta más corta a a la ecuación ax igual ave es un elemento es un elemento de habíamos dicho del espacio fila es un elemento de el espacio fila de nuestra matriz ley entonces este es el resultado que obtuvimos en el vídeo anterior en el video anterior y vamos a ver cómo lo podemos representar en este en este lugar porque fíjense aquí tenemos nuestro espacio de soluciones y aquí tenemos un punto este punto de aquí que de hecho voy a llamarle a este ere rr y ese punto es el único que se encuentra tanto en el espacio fila como en el espacio de solución es verdad esto coincide con lo que habíamos visto en el vídeo anterior sólo hay un punto que está tanto en el espacio fila como en el espacio de la solución perdón como en el conjunto de las soluciones de ax igual a ver ahora la pregunta que tenemos es cómo se quede héctor exactamente es éste entonces cómo sabemos que está en el espacio fila sabemos que está en el espacio fila y el espacio fila está generado por el 3 - 2 entonces podemos garantizar que nuestro vector r es una constante por el vector 3 - 2 eso sí es cierto aquí aquí va a marcar bien quién es el vector rr y lo tengo y también sabemos que este vector es el vector 3,0 tenemos al vector 3,0 este es el 3,0 entonces si nos damos cuenta este vector que es la diferencia es ortogonal al vector r verdad aquí se hace un ángulo de 90 grados y eso hay que verlo porque el bebé el espacio nulo es ortogonal al al espacio fila y éste simplemente está desplazado entonces el ángulo que forman y eso es porque son también paralelas el ángulo que forman es de 90 grados entonces este vector que es la diferencia de ellos es ortogonal a nuestro victor r entonces quién es la diferencia quienes la diferencia tengo mi victor r o más bien tengo mi vector el 3,0 el 3,0 y si yo le restó el vector r esto es el vector se por 3 - 2 esto es ortogonal al vector 3 - 2 verdad que es el que genera a nuestro espacio a nuestro espacio fila entonces si yo hago el producto punto con él 3 - 2 ponerlo con este color con él 3 - 2 esto me debe dar cero esto debe ser cero y con esto podríamos calcular quienes la hacen necesaria para saber cuál es el vector que cumple esta propiedad que encontramos en el vídeo anterior entonces tenemos aquí este vector amarillo de gm lo va a poner en él en color blanco como está aquí en el dibujo y entonces tenemos 3 - 13 verdades 3 - 13 y acá abajo es cero - 'por -2 entonces 2 c es este vector vamos a hacer el producto punto con este otro vector que es el 3 - 2 y eso nos debe dar igual a cero entonces qué cuál es la ecuación que hay que resolver tenemos 3 - 13 que si multiplicamos primero por 3 ahí está este por éste y ahora es más 12 por -2 y esto debe ser igual a cero y si empezamos a desarrollar aquí tenemos 93 por 39 -13 por tres es menos nueve se y ahora 12 por menos dos es menos 4 c y esto debe ser igual a cero ahora tengo 964 c entonces esto es menos 13 s y esto es 9 - 13 c y esto es igual a cero y de esto finalmente podemos concluir que si pasamos esto del lado derecho tenemos que nueve es igual a 13 c o bien que se es igual a 9 13 a 29 sobre 13 y éste es la constante que me dice por cuanto hay que estirar el vector 3 - 2 que es éste esté que estaba hasta acá ok hay que estirar lo más bien en cogerlo 913 a voz para encontrar la solución agradable que habíamos visto en el vídeo anterior es decir aquí podemos concluir que nuestro víctor r que era la solución en el espacio fila es igual a 9 sobre 13 por el vector 3 - 23 menos 2 o lo que es lo mismo si es si metemos este 913 ambos en el vector es tres por 927 sobre 13 y abajo será menos dos 9 - 18 sobre 13 esta es mi solución única y este de aquí es nuestro vector más pequeño que satisface la ecuación o mejor dicho es el único elemento del espacio fila que es solución de ax igual ave de ésta de esta ecuación donde aclaró aquí está de ax igual la b y es la única solución de aquí sigo a la b y que coincide que la solución más corta así este fue un ejemplo de lo que hablamos en el último vídeo y espero que haya que al menos haya visto visualmente por qué ocurre todo esto