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Contenido principal
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Transcripción del video

vamos a comenzar por ejemplo tomando ve que sea un suv espacio en su espacio de nuestro espacio r n ok entonces tenemos un su espacio de rené y vamos a suponer que conocemos su base es decir tenemos el conjunto de vectores b1 b2 etcétera todos estos digamos que tenemos acá vectores y este conjunto de los vez es una base de nuestro psuv espacio b aunque ya entonces tenemos una base de v que significa que sea una base recordemos esto significa que todos estos vectores generan a los elementos de de nuestro su espacio y además que son linealmente independientes eso quiere decir que es un conjunto minimal que genera a éste su espacio es decir no puede haber un conjunto con menos elementos que genere a nuestro psuv espacio b entonces esto inmediatamente nos dice por definición que la dimensión que la dimensión de nuestro psuv espacio es igual al número de elementos que hay en la base que son k exactamente acá entonces lo que vamos a tratar de hacer en este vídeo es calcular cuál es la dimensión o cómo se relaciona la dimensión del complemento ortogonal de nuestro su espacio de y para hacerlo voy a comenzar tomándome una matriz digamos una matriz a ok esta matriz va a tener a los vectores de la base como columnas es decir aquí vamos a tener ave 1 esta es una columna vamos a tener aquí a b2 que también es una columna y así sucesivamente hasta beca ok que lo importante es que son vectores que generan a nuestro espacio las nuestro su espacio be ok entonces b nosotros lo podemos ver a nuestro su espacio b lo podemos ver como el espacio generado por los vectores de 1b 2a esta beca aunque entonces este es el espacio vectorial generado por de uno b 2 y así sucesivamente hasta nuestro sector b k muy bien ahora esto definitivamente por definición sabemos que es el espacio columna de nuestra matriz a esto es el espacio columna de la matriz a muy bien y de hecho vimos en algo en el vídeo anterior me parece que él el complemento ortogonal de nuestro espacio columna era exactamente igual que él el espacio nulo de la matriz transpuesto que es él el espacio no lo izquierdo de la matriz a pero bueno vamos a a mencionarlo como el espacio nulo de la matriz a transpuesta y esto definitivamente es sí sí sí tenemos que ve es el espacio columna de nuestra matriz a entonces esto va a ser el complemento ortogonal de ve muy bien entonces ya con esto dicho podemos empezar a ver que sí que sí queremos calcular la dimensión del del ortogonal del complemento ortogonal debe esto va a ser lo mismo que calcular la dimensión del espacio nulo de nuestra matriz a transpuesta pero eso ya sabemos lo vimos en algún vídeo que esto no es otra cosa más que la nulidad la nulidad de atrás puesta de ha transpuesto verdad la dimensión del espacio nulo o del núcleo depende de ahí hay gente que le llama mejor núcleo hay gente que le dice espacio no sólo por la en la dimensión del espacio nulo de una matriz a eso es a lo que se le conoce como nulidad verdad y para ir calculando todo esto voy a seguir construyendo otra matriz de hecho voy a ver qué pasa con ha transpuesto está es decir si tengo a transpuesta bueno no tenemos antes que la matriz a tenía acá columnas verdad k columnas y de cuantos cuanto cuantos renglones tiene pues como cada víctor se encuentra en rr n tendrã n ni en el reglón verdad por supuesto que la matriz transpuesta pues era de acá por n y lo que vamos a hacer es que cada uno de los vectores en vez de ser columnas van a hacer renglones verdad y entonces nuestra matriz a transpuesta es aquella que tiene al b1 transpuesto como renglón digamos a b2 transpuesto como otro renglón y así sucesivamente hasta de acá transpuesto como renglón verdad ahí tenemos a nuestra matriz a transpuesta ok entonces qué es lo que también sabemos que el rango de a el rango más bien va a tomar de atrás pues está el rango de atrás pues está más la nulidad más la nulidad de atrás pues está esto lo vimos en nada ya hace algunos videos sitel si sumamos el rango de atrás puesta y la nulidad de atrás pues está lo que nos da es el número de columnas el número de columnas y en este caso pues son n verdad porque éste se ha traspuesto y tenemos en columnas muy bien entonces ya con esto dicho vamos a de hecho quiero recordarles porque esto era cierto avanza a tomar por ejemplo cualquier matriz b si tomamos una matriz b digamos esta matriz b y que éste tenga no se como vectores columna de 1b 2a etcétera esta vez no se m ok tenemos esta matriz b si nosotros tomamos su forma reducida escalonada digamos si está la llevamos a su forma reducida y escalonada pues vamos a tener algunos vectores pivote verdad algunos vectores que son más o menos así digamos 10 c ctera vamos a tener otro que sea 01 etcétera no sé a lo mejor aquí hay otro que tenga 0001 etcétera y digamos que el resto puede tener lo que sea así cosas más raras no sé en fi sale entonces esta es nuestra matriz reducida y escalonada entonces qué es lo que sabemos si estos son pivotes estos primeros y los otros pueden ser digamos que no sean pivotes que sean libres entonces sabemos que la va una base para el espacio columna es el número de columnas pivote que entonces si yo me tomo aquí estos que son los vectores pivote ok y tenemos estos los correspondientes a quien ve van a ser una base para el espacio columna que y entonces ahí tenemos ahí tenemos esa parte y sabemos además que la nulidad también va a ser lo que va a ser la nulidad son todos aquellos sectores que no los vectores columna que no fueron pivote verdad esto ya lo habíamos hecho en varios videos y vamos a lo mejor podríamos tener varios o de hecho podríamos no tener proyectores que no sean pivote pero bueno eso nos diría otras cosas entonces en resumen que es lo que hemos obtenido que si nosotros tenemos esto lo hicimos aparte verdad si nosotros tenemos esta matriz los vectores columna que resultan ser pivote eso me da una base para el rango de la matriz y por otro lado la nulidad está dado por el por los vectores que no son pívot entonces ya que tenemos esto dicho vamos de regreso al problema original porque entonces sí sabemos que el rango de a transpuesta es lo mismo que el rango de a verdad no importa para para fines del rango no importa si es agua transpuesta entonces qué es lo que tenemos esto lo podemos reescribir como el rango de a rango de a más la nulidad nulidad de atrás pues ésta va a ser igual a n muy bien pero quién es el rango de a el rango de a que simplemente es la dimensión del espacio columna verdad esto va a ser déjame ponerlo con otro color ésta será la dimensión la dimensión del espacio columna de nuestra matriz y por otro lado esto por definición es la dimensión del espacio nulo de atrás pues está muy bien y esto debe ser igual a n y finalmente quién era el espacio columna pues dijimos que era nuestro espacio vectorial así que es la dimensión de nuestro espacio vectorial b y quienes la dimensión del espacio nulo de atrás pues está el espacio no lo vea transpuesta dijimos que su dimensión era igual a la dimensión del complemento ortogonal entonces aquí vamos a tener que esto es igual a la dimensión del complemento ortogonal y que eso por supuesto debe ser igual a n entonces esto último que obtuvimos esto último es lo que nos está demostrando que la suma de las dimensiones de un suv espacio y de su complemento ortogonal es igual a la dimensión del espacio completo es decir si tomamos ve su espacio su espacio de rr n de rené la suma de su dimensión con la del con la dimensión del complemento ortogonal nos da exactamente estã n que es la dimensión del espacio total