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Contenido principal
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Transcripción del video

vamos a empezar tomando ave digamos que sea un suv espacio psuv espacio de rn es decir de nuestro espacio de n dimensiones y vamos a considerar ahora o vamos a realmente definir algo que vamos a llamar el complemento ortogonal el complemento ortogonal de nuestro espacio be ok el complemento ortogonal de el espacio be ok y vamos a definirlo de la siguiente forma vamos primero a decir cómo se escribe vamos a derrotarlo como b y con este simbólico pequeño de de de que es perpendicular o que es ortogonal y que de hecho vamos a decir be perpendicular orbe ortogonal y esto va a ser el conjunto de todos los vectores en en rn ok todos los vectores en rn tales que al hacer el producto punto de x con b va a ser igual a cero pero para todos donde en nuestro espacio en nuestro psuv espacio de mayúscula es decir esto va a ocurrir para todo b para todo el sector en nuestro su espacio b y lo importante es que es para todos ok entonces éste su espacio lo que me está ahí y luego oeste este conjunto lo que me está diciendo es que si yo tengo un suv espacio b que tiene a lo mejor muchísimos lectores estamos encontrando un conjunto donde todos los lectores que se encuentren en este conjunto b ortogonal el complemento ortogonal debe sea todos los vectores sean ortogonales a todos los de nuestro su espacio b mayúscula ok entonces una vez que ya hemos definido este conjunto pues la primera pregunta y que es muy inmediata es bueno será be be ortogonal o el complemento ortogonal debe un su espacio es decir el complemento ortogonal debe es su espacio y es una pregunta que siempre que definamos algunos conjuntos de este estilo pues vale la pena preguntarnos por qué de esta forma vamos a poder aplicar todo lo que ya sabemos de sus espacios a éstos en particular ok y recordemos que significa que algo sea un suv espacio es decir si nos tomamos dos vectores cualesquiera digamos a y b en nuestro de ortogonal qué es lo que tenemos que preguntarnos mano primero será cierto que la suma de amas b se encuentre en b ortogonal y esto nos estaría diciendo que se ha cerrado bajo su más verdad será cierto esto esto es lo que nos estamos preguntando otra pregunta será cierto que la multiplicación de sede cual de cualquier escalar de cualquier número real por nuestro vector a se encuentra también en en el complemento ortogonal otra pregunta y bueno hay gente que dice bueno será cierto que el cero está en en el complemento ortogonal pero ese es redundante porque si tenemos que esto es válido para cualquier se constante pues en particular si multiplicamos por el la constante ser ok entonces vamos a vamos a considerar esto de aquí estamos tomándonos dos vectores en el complemento ortogonal qué significa esto esto significa que a punto b apuntó b es igual a cero para cualquier o para todo y para todo b que se encuentre en nuestro psuv espacio fue mayúscula ahora también como b b de esta vez este vector b que se encuentra en el complemento ortogonal quiere decir que si hacemos el producto interior el producto puntocom este v nos va a dar cero para todo también para todo v en nuestro espacio en nuestro su espacio original ok entonces la pregunta que queremos responder es si la suma si la suma se encuentra en el psuv espacio entonces estuvo más perdón en el complemento ortogonal entonces tenemos que tomar a más ve hacer el producto punto con cualquier lector cualquiera que se encuentre en nuestros su espacio v y esto como el distributivo tenemos que va a ser apuntó b apuntó ve más ve punto v y como ambos eran estos dos productos punto son cero por esta propiedad que tenemos aquí esto pues simplemente va a ser cero +0 que finalmente es cero entonces nuestra primer pregunta es cierta esto fue válido si es cierto que la suma se encuentra en el complemento ortogonal ahora la siguiente pregunta es si multiplicamos un un vector por una constante c y luego lo multiplicamos por el vector v eso será cero y la respuesta vamos a ver porque podemos sacar la constante que multiplique al producto a este producto punto y otra vez como hace encontraba en el complemento ortogonal esto vale cero es decir esto es se por cero que es igual a cero entonces nuestra segunda pregunta también es cierta también es cierto que al multiplicar por una constante se queda dentro de este complemento ortogonal y y queda claro que el cero el vector cero es parte de este espacio de este de este conjunto complemento ortogonal porque 0 por cualquier cosa por cualquier otro vector sigue siendo ser y de hecho eso nos está diciendo que cualquier su espacio cualquier complemento ortogonal de cualquier su espacio siempre tiene al menos un elemento y que es al cero muy bien entonces lo que acabamos de concluir aquí es que el espacio del complemento ortogonal desde su espacio v es un suv espacio es un su espacio y ya podemos utilizar todos los resultados que tenemos de sus espacios para en particular a los complementos ortogonales muy bien entonces vamos a platicar un poco de lo que teníamos en otros vídeos vamos a considerar a una matriz de gm por n muy bien y recordemos que habíamos afirmado en alguno de los vídeos que el espacio o nulo el espacio nulo de nuestra matriz a que es el complemento ortogonal es el complemento el complemento ortogonal y habíamos dicho que era el complemento ortogonal del espacio fila del espacio fila o a veces se le dice espacio renglón depende del gusto quizás yo usé ambos de repente todo va a ser el complemento ortogonal del espacio fila de nuestra matriz a ok entonces el espacio fila no es otra cosa más que el espacio columna el espacio columna de nuestra matriz a pero transpuesta o que es decir intercambiando renglones por columnas en otra en otra forma de escribirlo podemos decir que el nook el el núcleo él o él o el espacio nulo de nuestra matriz a son también dos formas de llamarlo es tomar el complemento ortogonal de el espacio fila o el espacio columna de la matriz transpuesta este es el complemento ortogonal y déjeme remarcar aquí esto vamos a poner lo re marcado con rojo para que quede mucho más claro ok entonces el espacio nulo es el complemento ortogonal del espacio fila que el espacio fila es el espacio columna de nuestra matriz transpuesta ok entonces esto es una esta es una proposición y falta realmente demostrar esto entonces vamos a vamos a intentar hacer lo vamos a considerar vamos a considerar una matriz a hacerlo con otro color vamos a considerar nuestra matriz a cómo vamos a escribirlo de esta forma vamos a escribir quiénes son sus sus renglones hacerlo con verde para que quede más colorido el asunto y entonces aquí vamos a tener como primer renglón a un vector r1 transpuesto y le pongo transpuesto porque siempre hemos estado trabajando con vectores columna principalmente porque aquí vamos a tener otro vector r2 transpuesto ok y vamos a ir así hasta nuestra m nuestra nuestro renglón m sí quizás te puede estar confundiendo esto de él de que sea un vector transportó en realidad no te fijes mucho en eso sólo considera que aquí estamos pensando que hereu no es el vector que forma esta fil a r 12 es el vector que forma esta otra fila y así sucesivamente hasta el vector r m ok entonces esta es nuestra matriz a íbamos a multiplicarlo por un vector x si vamos a multiplicar esto por un vector x que digamos que va a ser igual a el vector cero es decir el vector que tiene cero en todas las entradas que estamos diciendo estamos suponiendo aquí si tomamos un vector x tal que al multiplicarlo por la matriz a nos da el vector cero estamos pensando que este x está en el núcleo o en o en el espacio nulo de nuestra matriz a esa es la definición del espacio nulo ok entonces sólo hay que recordar que es lo que ocurre cuando consideramos este este producto de una matriz por un vector por qué porque si nosotros consideramos esto en realidad estamos pensando que esta primera entrada el resultado del producto punto de este renglón con este vector x es decir que esto esté 0 va a ser igual a r 1 punto nuestro vector x y es y eso ocurre para cada uno de los modelos de las entradas de este vector es decir para este segundo nos tomaremos a este vector r2 ok vamos a tomarnos r2 r2 vamos a hacer el producto punto con el vector x y nos debe dar cero y eso debe ocurrir de forma análoga con todas las entradas de este vector nulo que yo otra forma de escribirlo sería de la siguiente forma que erre 1 r 1 punto equis debe ser igual a cero es otra forma de reescribir este esta ecuación que también r2 punto equis nos debe dar cero y así sucesivamente esto debe pasar con todos los vectores ere hasta el rm qué hacemos el producto punto con x y nos debe dar también 0 muy bien entonces fijémonos muy bien qué es lo que hemos estado escribiendo porque esencialmente podemos decir que nos tomamos un vector digamos de uno en el en el espacio nulo de nuestra matriz a ok nos tomamos este uno que en forma seriada digamos el papel que juega en esta ecuación la x y como nos lo tomamos en el espacio nulo al multiplicarlo por la matriz a nos debe dar el vector cero es la definición del espacio nulo verdad es decir el espacio nulo de una matriz el espacio nulo de esta matriz es el conjunto de vectores x en este caso r n tal que al multiplicar la matriz por el vector nos debe dar el vector cero es la definición del espacio nulo entonces sí ya nos hemos tomado un vector en el espacio o nulo quiere decir que al multiplicarlo por la matriz nos va a hacer pero esta multiplicación de la mat de de la matriz por el vector no es otra cosa más que el vector que tiene por entradas los productos punto de el renglón con el vector por ejemplo este ere 1 punto equis el segundo es r2 punto equis y así sucesivamente pero si eso nos da cero quiere decir que ve uno satisface estas ecuaciones y eso quiere decir que es ortogonal es oro bonal a todos los rr is es decir es ortogonal a rr 1 a rd 2 y así sucesivamente a todos hasta r m ahora bien esto que nos está diciendo si es ortogonal a todos ellos lo que yo afirmo es que también va a ser ortogonal a cualquier combinación lineal de ellos es decir que ve uno es ortogonal ortogonal a toda combinación lineal todas combinación combinación vamos a escribir lo completó lineal de estos ere it's ok y y de hecho es muy sencillo observar esto por ejemplo consideremos no sea un vector doble u vamos a decir qué doble use a una combinación de éstos y reís digamos que sea c1 por rr 1 más de 2 por r 2 más etcétera todos estos suman 2 hasta acm por r m ok este va a ser nuestro vector w ahora vamos a ver quién sería entonces dejarlo con morado quien sería entonces ve punto doble u porque si hacemos el producto interior sabemos que esto distribuye la suma entonces si hacemos b punto bleus e sacamos digamos todas las constantes y hacemos b punto cada uno de estos vectores y sumamos en otra en pocas palabras estoy escribiendo se uno por b punto r uno más todos estos suman 2 hasta ccm por b punto r m ok pero pero dijimos que de era ortogonal a cada uno de ellos verdad esto quiere decir que estos términos se cancelan valen cero y entonces este producto interior al final valió simplemente cero por lo tanto ve es ortogonal a cualquier combinación lineal de estos vectores muy bien eso quiere decir que doble o que perdón que ve es ortogonal a cualquier elemento verdad a cualquier elemento del espacio fila de a él recordemos que el espacio fila de a es el espacio generado por estos renglones pero si esos el espacio generado por los renglones el espacio de todas las combinaciones lineales de esos vectores por lo tanto si fue ortogonal a todos ellos será ortogonal acuerdo a cualquier combinación lineal y por lo tanto vamos a escribirlo formalmente vamos a tener que si tenemos un doble u si nos tomamos un doble u en el espacio fila o de nuestra matriz a o lo que es lo mismo el espacio columna de la matriz transpuesta y nos tomamos un bebé un vector de en el espacio nulo de nuestra matriz entonces ocurre que ve punto doble u es igual a cero es decir son ortogonales esto lo que nos está diciendo es que todo elemento todo elemento que se encuentre en el en el espacio nulo de a ok el sorteo gonal es ortogonal es ortogonal a cada elemento como aquí estamos viendo a cada elemento del espacio fila del espacio fila espacio fila o el espacio renglón de nuestra matriz a muy bien ok entonces qué es lo que estamos diciendo aquí si nos tomamos cualquier elemento del espacio nulo de a va a estar también en el complemento ortogonal del espacio fila de a eso nos está diciendo inmediatamente que nuestro espacio nulo nuestro espacio es nulo de la matriz está completamente contenido en él en el complemento ortogonal de nuestro espacio fila keith eso nos está diciendo que todo este conjunto ha metido en este otro ahora la afirmación que nosotros teníamos acá arriba es que eran iguales así que lo único que nos falta ver es que este otro conjunto está contenido en el espacio nulo de nuestra matriz ok entonces nos falta demostrar que el espacio el complemento ortogonal del espacio fila de la matriz está también contenido en en el espacio no lo vea cómo vamos a demostrar eso bueno tomémonos un elemento en este conjunto cualquiera arbitrario y veamos que también está en el espacio nulo entonces tomemos digamos un hugo víctor hugo que se encuentre en el complemento ortogonal de e el espacio fila key nos tomamos este elemento uu y entonces esto lo que nos está diciendo es que un punto w es igual a cero verdad esto es lo que nos está diciendo dónde w w donde se encuentra pues en el espacio coll en el espacio columna de la matriz la respuesta que lo mismo que el espacio fila de a muy bien entonces si esto es cierto para cualquier w que se encuentra aquí en particular podemos considerar los renglones de nuestra matriz es decir que hubo un punto rj es igual a cero siempre que donde j es igual a 112 ctera todos hasta m verdad entonces esto nos está diciendo que un punto r10 qué punto r2 de poner bien las flechitas también es cero todos van a ser cero hasta un punto r m todos estos son cero y si todos esos once pero inmediatamente me está diciendo que si yo hiciera la multiplicación de la matriz a con hu a eeuu y esto me va a dar cero verdad justamente por lo que habíamos dicho arriba justamente por lo habíamos dicho arriba esto esta ecuación se cumple entonces vamos a dejarlo así y esto implicaría que eeuu se encuentra en el en el espacio nulo de nuestra matriz a muy bien entonces ya hemos demostrado también con esto que el complemento vamos a escribirlo así que el complemento ortogonal de nuestro verde bueno si pierde pero uno muy malo entonces tenemos que el complemento ortogonal del espacio fila está también contenido en el núcleo de nuestra matriz correcto ok en el núcleo en el espacio no es lo mismo pero sí tenemos que el el espacio no lo está contenido en el complemento ortogonal del espacio fila y tenemos la otra contención no le queda otra cosa más que sean iguales verdad entonces podemos concluir ya con todo que el espacio o nulo de la matriz es igual al complemento ortogonal del espacio fila del de la matriz ok complemento ortogonal ahora bien vamos a hacer una pequeña observación y dejen de hacerlo acá arriba con otro color qué pasaría si por ejemplo a fuera una matriz la respuesta siempre puede ser la transporta de otra matriz verdad hecho de aes la transtu esta idea transpuesta entonces quién sería el núcleo -el el núcleo la o el espacio nulo debe transpuesta pues esto según esta igualdad sería el complemento ortogonal de el espacio columna de la transportista debe transpuesta verdad creo que ya me estoy saliendo un poco dejen de escribir lo bien que me moveré un poquito más a la izquierda escribirlo por acá entonces estábamos diciendo que si a es una matriz transpuesta entonces lo que vamos a tener es que el el espacio nulo de estévez traspuesta va a ser el complemento ortogonal de el transporte esto de esta vez transpuesta verdad complemento ortogonal pero quienes la transporta debe transpuesta pues esto simplemente es b quiere decir que el espacio nulo debe transpuesta va a ser igual al complemento ortogonal de ve muy bien esto nos está diciendo que el espacio nulo el espacio no lo izquierdo es el complemento ortogonal del espacio columna de hecho bueno ya habíamos hecho un ejemplo particular hacia algunos videos pero ahora hemos visto que todas estas afirmaciones son ciertas para cualquier matriz