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Contenido principal
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Transcripción del video

ahora que tenemos más familiaridad con las transformaciones lineales lo que quiero hacer es tratar de construir más cosas a partir de ellas entonces vamos a suponer que empieza con una transformación lineal ese que va de un conjunto x en un conjunto ché vamos a suponer que x es un subconjunto de rr en entonces x está conteniendo el rey le podría hacer todo rn pero no necesariamente y vamos a suponer que llegue está contenido en r m así que tengo una transformación que batió en su conjunto de rehén a un subconjunto de reem y como es lineal yo sé que eso se puede representar mediante una matriz entonces es el de un vector x factor x que esté en él su conjunto x decir x pertenece a x pero x está contenido de rem ya así que x pertenece a r n y bueno sbx es lo mismo que una matriz a por el vector x ahora bien qué dimensiones tiene la matriz a pues el vector x pertenece reem así que es una matriz de n columnas y el vector sbx están ya que está contenido en rr m así que tiene que ser una matriz de gm por en muy bien entonces vamos a hacer algunos dibujos tengo tengo mi conjunto x conjunto x que está contenido en rcn y tengo y tengo mi conjunto ché dominio que está contenido en r m y entonces si yo tengo algún vector en su conjunto x lo puede enviarlo puede asociar mediante la transformación con algún vector en ee esto sería mediante es muy bien ahora supongamos ahora supongamos que tengo otro transformación línea al té y ahora va del su conjunto llegue rm a un subconjunto z donde zeta ceta está contenido en r le vamos a decir recuerden que m m y l pueden tomar cualquier valor que yo quiera bien entonces éste también es una transformación lineal y entonces lo que tengo es un subconjunto z por acá porque tengo a z que está contenido en rr él y entonces puedo puedo transformar elemento de ye os puedo asociar los puede enviar a elementos de zeta mediante la transformación te noten que como te es una transformación lineal de se puede representar mediante una matriz así que si tengo dbx para alguna x el conjunto oye no se vayan a confundir con esta x esta x está en el conjunto lle que son su conjunto de rm así que x pertenece a rm entonces tdx es igual al producto de una matriz b por el vector x así que esta matriz b tiene que tener m columnas porque va de crm y llega a rl así que tiene que tener el renglón es así que es una matriz de l por m muy bien ahora una pregunta natural que quizás les ha surgido es habrá algún modo de definir una transformación que vaya desde x hasta zeta de algún modo natural que involucra las transformaciones s&p y pues vamos a ver que sí lo hay vamos a definir vamos a definir lo que es la composición vamos a definir una nueva transformación que va a ser compuesta con ese es el circulito de y se le compuesta con qué va a hacer una transformación que va desde x hasta zeta desde x hasta z todo el camino y se va a llamar te compuesta con ese se llama llama la composición la composición de la composición de de con efe bien y cómo funciona esta composición o cómo actúa esta transformación pues lo natural lo natural sería si comienza con un vector x en su conjunto x de rn entonces aplicarle la transformación línea s para obtener un vector en él su conjunto ché que sería ese de x ahora esto este valor es un es un elemento del su conjunto llegue reme así que es un vector nrm por lo tanto yo también puedo aplicarle la transformación de a ese vector así que ahora aplicó t y llegaría a este vector de aquí que sería te de quien te dé ese de xbox igual y esto se ve un poco rimbombante pero en realidad sdx es sencillamente un miembro del conjunto llegue es un vector en él su conjunto llegó de rsm así que voy a hacer la siguiente definición voy a definir una definición a la transformación de compuesta con ese aplicada a un vector x como pues qué fue lo que hice primero tome ese de x s de x primer aplique ese para obtener el vector sdx y después y después aplique la transformación p así que te com staton ese aplicar un vector x simplemente significa apliquen primero es el vector x y al resultado apliquen lete entonces la pregunta natural que nos urge o que nos debería surgir al menos es té y s t y ese era una transformación de final es así que esta cosa que compuesta con ese es una transformación lineal formación información y me al bien para checar que algo sea lineal tengo que sacar dos cosas distintas primero que nada tengo que checar que la transformación aplicada a una suma de dos vectores sea igual a la suma de la transformación aplicada a cada elector individualmente esos son un poco enredoso así que mejor vamos a escribirlo lo que tengo que ver es que te compuesta con ese aplicado a una suma de vectores vamos a decir vamos a tomarnos a dos vectores en su conjunto x de rené vamos a decir equis o ye entonces te compuesta con x aplicado a x + d es igual a qué pues esto es por definición de d s d x + llegue ahora bien yo sé que ese es una transformación lineal ese es una transformación lineal así que esto esté de ese de x + s d ye esto es una de las propiedades que tienen las transformaciones niña alexia la hemos discutido en muchas ocasiones en el pasado lo que puedo hacer es sustituir esto de aquí por esto de acá pues ese es una transformación lineal entonces esas dos cosas son iguales si bien esto ahora uso que te es una transformación señal estos dos son vectores en r m son miembros de ye así que eso me dice que esto es t d s d x más de d s d ye pero ahora quienes esto pues esto simplemente es de compuesto con ese por definición aplicado al vector x más de compuesta con ese aplicada al vector ye así que se cumple que la transformación aplicada la suma de dos vectores es la suma de la transformación aplicada a cada elector individualmente ahora ahora tengo que checar que la transformación aplicada a un múltiplo escalar de un vector sea el mismo múltiple escalar de la transformación aplicada directamente al vector es decir es decir si tengo te compuesta con ese y se le aplicó a un múltiplo de un vector x que pertenece a nuestro dominio y de hecho aquí tenemos que tener cuidado porque el vector se x x también tiene que estar en el conjunto x pero bueno no nos preocupemos por eso por ahora esto quienes pues esto por definición de nuevo es de d s d c por el vector x recuerdan que ese es un escalar y eso quienes pues eso es lo mismo que te dé recuerden que ese es una transformación lineal así que estoy aquí es lo mismo que se el escalarse por ese de x eso se sigue de que ese es una transformación lineal así que ese de un múltiplo escalar de vector es el múltiple escalar de ese del vector me pongo este paréntesis del color que debería ser y ahora bien de nuevo test una transformación lineal así que esto es lo mismo que se por 'the de quién pues de ese de x pero esto ahora quienes simplemente es sé por qué compuesta con ese de el vector x así que este requerimiento también se cumple de modo que si es una transformación lineal si se trata de una transformación lineal pues cumple con los dos requisitos que se necesitan para hacer una transformación lineal ahora surge una pregunta interesante pues yo sé que si esta transformación de compuesta con efe es una transformación y al entonces de compuesta con él se puede representar mediante mediante una matriz es decir te compuesta con ese aplicada a un vector x debe ser lo mismo que alguna matriz del ave vamos a usar de alguna matriz de multiplicada por el vector x y ahora bien cómo te compuesta con ese recompuesta con él se va de x en z y x es un subconjunto de r n z es un subconjunto de rr ee entonces esta matriz de debe ser de l renglones y n columnas es una matriz de l por n ii en el próximo video vamos a averiguar quién es explícitamente esta matriz de en relación a las matrices a y b que representan a ese yate respectivamente así que bueno nos vemos en el próximo