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Transcripción del video

ahora que tenemos más familiaridad con las transformaciones lineales lo que quiero hacer es tratar de construir más cosas a partir de ellas entonces vamos a suponer que empieza con una transformación lineal s que va de un conjunto x en un conjunto y vamos a suponer que x es un subconjunto de r n entonces x está contenido en rn podría ser todo rn pero no necesariamente y vamos a suponer que ya está contenido en r m así que tengo una transformación que va de un subconjunto de rn a un subconjunto de rm y como ese es lineal yo sé que eso se puede representar mediante una matriz entonces s de un vector x un vector x que esté en el subconjunto x es decir x pertenece a x pero x está contenido en de rn así que x pertenece a r y bueno sbx es lo mismo que una matriz a por el vector x ahora bien qué dimensiones tiene la matriz pues el vector x pertenece a rn así que es una matriz de n columnas y el vector sf x está en ya que está contenido en r m así que tiene que ser una matriz de gm x muy bien entonces vamos a hacer algunos dibujos tengo tengo mi conjunto x el conjunto x que está contenido en r m y tengo y tengo mi conjunto de dominio que está contenido en r m y entonces si yo tengo algún vector en él en su conjunto x lo puedo enviar lo puedo asociar mediante la transformación con algún vector en g esto sería mediante este muy bien ahora supongamos ahora supongamos que tengo otra transformación lineal t que ahora va del subconjunto de rm un subconjunto z donde z z está contenido en r le vamos a decir recuerden que en m y l pueden tomar cualquier valor que yo quiera bien entonces este también es una transformación lineal y entonces lo que tengo es un subconjunto z por acá acá tengo a z que está contenido en r él y entonces puedo puedo transformar elementos de g los puedo asociar o los puedo enviar a elementos de z mediante la transformación de noten que como t es una transformación lineal que se puede representar mediante una matriz así que si tengo de x para alguna x en el conjunto y no se vayan a confundir con esta x esta x está en el conjunto que es un subconjunto de rm así que x pertenece a rm entonces tv x es igual al producto de una matriz b por el vector x así que esta matriz b tiene que tener m columnas porque va de rm y llega a rl así que tiene que tener el renglones así que es una matriz de l por m muy bien ahora una pregunta natural que quizás les ha surgido es habrá algún modo de definir una transformación que vaya desde x hasta zeta de algún modo natural que involucre a las transformaciones s&p y pues vamos a ver que si lo hay vamos a definir vamos a definir lo que es la composición vamos a definir una nueva transformación que va a ser de compuesta con s s circulito de y se le compuesta con que va a ser una transformación que va desde x hasta zeta desde x hasta zeta todo el camino y se va a llamar te compuesta con ese se llama se llama la composición la composición d la composición de té con efe bien y cómo funciona esta composición o cómo actúa esta transformación pues lo natural lo natural sería si comienza con un vector x en mi subconjunto x de rn entonces aplicarle la transformación lineal s para obtener un vector en el subconjunto y que sería ese de x ahora esto este valor es un es un elemento del subconjunto de rm así que es un vector en rm por lo tanto yo también puedo aplicarle la transformación de a ese vector así que ahora aplico t y llegaría a este vector de aquí que sería p de quien te dé s de x igual y esto se ve un poco rimbombante pero en realidad ese de x es sencillamente un miembro del conjunto y es un vector en el subconjunto de rm así que voy a hacer la siguiente definición voy a definir entonces una definición a la transformación t compuesta con s aplicada a un vector x como pues que fue lo que hice primero tomé s x s de x primero aplique s para obtener el vector sf x y después y después aplique la transformación t así que te compuesta con ese aplicado un vector x simplemente significa apliquen primero es el vector x y al resultado apliquen lete entonces la pregunta natural que no surge o que nos debería surgir al menos es t y s t y s eran transformaciones lineales así que esta cosa esté compuesta con s es una transformación lineal transformación tener información bien para checar que algo sea lineal tengo que checar dos cosas distintas primero que nada tengo que checar que la transformación aplicada a una suma de dos vectores sea igual a la suma de la transformación aplicada a cada vector individualmente esos son un poco enredos o así que mejor vamos a escribirlo lo que tengo que ver es que te compuesta con ese aplicado a una suma de vectores vamos a decir vamos a tomarnos a dos vectores en el subconjunto x de rn vamos a decir x y entonces esté compuesta con x aplicado a x + d es igual a que pues esto es por definición de d s d x más y ahora bien yo sé que ese es una transformación lineal ese es una transformación lineal así que esto esté de s de x más ese de que esta es una de las propiedades que tienen las transformaciones lineales ya la hemos discutido en muchas ocasiones en el pasado lo que puedo hacer es sustituir esto de aquí por esto de acá pues ese es una transformación lineal entonces esas dos cosas son iguales y bien esto ahora uso que t es una transformación lineal estos dos son vectores en r m son miembros de iu así que eso me dice que esto es d s de x más d ese de pero ahora quién es esto pues esto simplemente es de compuesto con ese por definición aplicado al vector x más de compuesta con s aplicada al vector así que se cumple que la transformación aplicada a la suma de dos vectores es la suma de la transformación aplicada a cada vector individualmente ahora ahora tengo que checar que la transformación aplicada a un múltiplo escalar de un vector sea el mismo múltiple escalar de la transformación aplicada directamente al vector es decir es decir si tengo t compuesta con ese y se lo aplicó a un múltiplo de un vector x que pertenece a nuestro dominio y de hecho aquí tenemos que tener cuidado porque el vector c por equis también tiene que estar en el conjunto x pero bueno no nos preocupemos por eso por ahora esto quién es pues esto por definición de nuevo este de s de c por el vector x recuerden que ese es un escalar y eso quién es pues eso es lo mismo que t d recuerden que ese es una transformación lineal así que estoy aquí es lo mismo que se el escalarse por s de x eso se sigue de que s es una transformación lineal así que s de un múltiple escalar de un vector es el múltiple escalar de ese del vector me pongo este paréntesis del color que debería ser y ahora bien de nuevo te es una transformación lineal así que esto es lo mismo que se por de quién pues de ese de equis pero esta hora quién es simplemente es c x te compuesta con s d el vector x así que este requerimiento también se cumple de modo que si es una transformación lineal si se trata de una transformación lineal pues cumple con los dos requisitos que se necesitan para hacer una transformación lineal ahora surge una pregunta interesante pues yo sé que si esta transformación te compuesta con ese es una transformación lineal entonces te compuesta con dice se puede representar me sientan mediante una matriz es decir te compuesta con ese aplicada a un vector x debe ser lo mismo que alguna matriz de ave vamos a usar de alguna matriz de multiplicada por el vector x y ahora bien como t compuesta con s t compuesta con s va de x en zeta y x es un subconjunto de r n iceta es un subconjunto de rl entonces esta matriz de debe ser de l renglones n columnas es una matriz de l por n y en el próximo vídeo vamos a averiguar quién es explícitamente esta matriz de en relación a las matrices a ive que representan a ese yate respectivamente así que bueno nos vemos en el próximo