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Contenido principal
Tiempo actual: 0:00Duración total:16:30

Transcripción del video

en el último vídeo teníamos una transformación lineal ese que iba dio en su conjunto x de rené aún su conjunto llegue r m y también teníamos una transformación línea al té que iba del mismo su conjunto de reme de ye un subconjunto de rr ee el sce está entonces nos preguntamos si podíamos definir una transformación que nos llevará directamente desde x hasta zeta y en efecto si podíamos la llamamos la composición de té con ese y lo que hacía era tomado un vector x en el conjunto en el conjunto x de rené un vector xn reine y le aplicaba la transformación s para llevarlo a un vector en r m y de ahí le aplicaba la transformación te para llevarlo a un vector nrl así que definimos la composición de té con ese de esta manera y nos preguntamos si era una transformación lineal dado que ese y teherán transformaciones señales checamos los dos requisitos y concluimos que sí era una transformación niña al ahora como es una transformación niña se podía representar mediante una matriz de que sería de l por el cne pues será una transformación que va de un subconjunto de rn a un subconjunto de url así que lo que queríamos hacer era encontrar esta matriz de y es lo que voy a hacer en este vídeo entonces bien al principio del video pasado les había comentado que como tener una transformación lineal se podía representar mediante el producto de una matriz con un vector así que dijimos que te dé x era lo mismo que una matriz b por el vector x donde la matriz ve qué dimensiones tenía pues te va de rm a rl de hecho aquí lo tengo escrito así que la matriz b era de l x m entradas también también dijimos que ese de x o ese era una transformación lineal así que ese de x era lo mismo que una matriz a por el vector x pero ahora ese es eva de rn a rm así la matriz a era de m por en entradas muy bien y recordemos recordemos que nuestra definición de la composición de tejones se nos dice que te compuesta con ese aplicada a un vector x era lo mismo que te aplicada a el resultado de aplicarle s a el vector x estará nuestra definición pero ahora bien quién es esto quién es este cachito de aquí pues esto por lo que tenemos acá es lo mismo que esta matriz a&m por n multiplicada por el vector x así que si sustituyó eso sustituyó eso aquí obtengo que esto es lo mismo que te por a por el vector x pero ahora quien esté de x pues es la matriz b por el vector x así que si en vez de xbox o a por equis esto de ahí eso de ahí es exactamente lo mismo que la matriz ve la matriz b por la matriz a por el vector ects así que estoy aquí es sencillamente te compuesta con ese aplicado al vector x porque recuerden que lo que hace la composición es toma un vector en rn toma este vector x lo avienta a un vector en crm mediante ese y luego avienta ese vector en un vector en r l mediante t así que bien por otro lado y por otro lado estoy aquí estoy aquí dijimos que era igual a una matriz de una matriz de multiplicada por el vector x esto tiene que ser cierto pues te compuesta con heces una transformación lineal así que debe existir una matriz de que la represente así que esto es cierto ahora lo que quiero hacer es encontrar encontrar explícitamente quienes ama triste pues para encontrar la matriz de voy a hacer lo que siempre habíamos hecho en el pasado que es comenzar con la matriz identidad y aplicarle la transformación a cada columna de la entidad eso me va a dar las columnas de la matriz de pero de qué tamaño tiene que ser mi identidad pues si nos fijamos la transformación de compuesta con ese toma sus valores o más bien agarra vectores toma vectores que están en dónde pues están en ere n toma vectores de rm así que esta x pertenece a r n por lo tanto por lo tanto tengo que considerar la matriz identidad de n por en la matriz identidad de n por él como se ve esa matriz pues sencillamente es la matriz que tiene uno en la diagonal tiene puros unos en la diagonal y 0 fuera de ella sí que sería 10 si hasta la enésima columna 1 000 luego trabajó también serían puro ceros hasta el enésimo renglón después acá en la segunda columna sería 01 00 el tercer renglón tendría 00 12 ceros bueno aquí sería un 18 y acá serían puro ceros hasta este 1 de aquí entonces viene voy a aplicar te compuesta con ese a cada columna de esta matriz entidad no está en que estos gestos de aquí son los vectores canónico son la base canónica de r n muy bien entonces sí le aplicó y le aplicó esta transformación a cada columna de la matriz entidad obtendrá la matriz este genio ruso otro color vamos al este aunque entonces la matriz de va a ser igual a el resultado de aplicarle la transformación compuesta con ella cada columna de la matriz identidad pero quienes la la transformación de compuesta con ese pues es la matriz ve multiplicada por la matriz ha multiplicado por el vector x así que esto es lo mismo esto es lo mismo que ve por a por la primera columna de la matriz identidad que sería 10 después puro ceros hasta esta última entrada muy bien después la segunda entrada sería la segunda columna perdón sería ve multiplicada por a multiplicada por 0 1 0 así puro cerros y así continuaría continuaría hasta ve multiplicada por a multiplicada por 0-0 puro feroz puro cero hasta la última entrada y esa sería mi última columna de la matriz de y se ve algo en redadas pero vamos a ver que no existía cuando están enredados es antes que nada antes que nada recordemos que si tenemos una matriz a de m por n multiplicada por un vector x esto lo podría describir cómo sigue voy a escribir la matriz a como un conjunto de sus vectores columnas así que la matriz a es el vector columna a 1 héctor columna a 2 y cuántas columnas tiene a pues tiene n columnas así que hasta el vector a n y eso lo voy a multiplicar por el vector x el vector x tiene que pertenecer a r n para que esto tenga sentido así que esto va a ser x1 y x2 hasta xm y quién es este producto de una matriz por un vector pues sencillamente es x 1 por el vector a uno más x 2 por el vector a 2 y así así hasta xn por el vector es decir el producto de esta matriz por este vector es sencillamente la combinación lineal cuyo coeficiente son precisamente las entradas de mi vector x así que bien tomando en cuenta tomando en cuenta quién va a ser mi matriz de vamos a usar ahora ver de quién va a ser mi matriz de pues va a ser de por a por el vector 10 000 puro ceros sólo una en la primera entrada pero quién sería eso pues sería a uno por uno que sería uno más a dos por cero más a tres por cero así hasta a n por cero así que lo único que me queda lo único que me queda es uno por a uno que sencillamente aún así que ve por la primera columna de la matriz a la segunda columna va a ser b por a uno por cero más a dos por uno más a tres por cero y así hasta a n por 0 así que aquí sólo sobreviviría sólo estaría a dos y así lo mismo va a pasar con todas las demás columnas hasta que lleguemos a b x a n por la enésima columna de a y eso es matriz de bien pues creo que es un buen momento para recapitular lo que hemos hecho hasta ahora vamos a ver si empezamos empezamos con una transformación ese que iba dio en su conjunto x en un su conjunto gge x pero en su conjunto de r m y ye en su conjunto de r m también nosotros sabíamos que ese de x sea aplicada un vector x era lo mismo que la matriz a por ese vector x donde la matriz a era de m por en muy bien también también nosotros dijimos que teníamos la transformación lineal te que iba del su conjunto llegue de nuevo el psoe en su conjunto crm es el mismo que esté en un subconjunto z que era un subconjunto de rr ee y la transformación antes se podía representar mediante la matriz b y que te dé xt de un vector x era lo mismo que la matriz b por el doctor x donde ahora la matriz b es de l x m entradas muy bien entonces nosotros definimos la composición de compuesta con ese que simplemente era aplicar ese y el resultado aplicarle pp y entonces a partir de esto nosotros dijimos pues esto es sencillamente aplicarle te el resultado de aplicar le pese al vector x siquiera esto y esto esto era lo mismo por esto las matrices que tomar la transformación te tomas la transformación t y aplicársela a la matriz a por el vector x y eso en turno era lo mismo que la matriz ve multiplicada por el resultado de multiplicar a la matriz a por el vector x pero nosotros sabíamos que como te compuesta con ese es una transformación lineal esto era lo mismo que una matriz de multiplicada por el vector x donde la matriz de estaca riva técnica y la vuelvo a escribir me lo voy a tratar de hacer con colores saber si se entiende mejor de era lo mismo que la matriz ve multiplicada por la primera columna de la matriz a que representaba ese la segunda columna de the air a la matriz ve multiplicada por la segunda columna de la matriz que representaba a ese o sea de la matriz a y así así hasta la enésima columna que iba a ser la matriz ve multiplicada por la enésima columna de la matriz a y todo eso por el vector equips muy bien y no tengo que todo esto tiene sentido porque la matriz b era de l x m entradas y la matriz a era de m por él así que cada columna de a tiene entradas cada uno de estos cada hay pertenece a r m así que el producto debe por cada uno de estas columnas si está bien definido entonces ésta fue la representación matricial de de compuesta con ese pero nos gustaría ir un poco más lejos nos gustaría que esto en realidad fuera el producto de la matriz b con la matriz a y en cierto sentido lo que quiere hacer es muy simple lo único que quiero hacer es poder cambiar estos paréntesis y escribir esto cómo ve por a la matriz ve multiplicada por la matriz a multiplicada por el vector x así que quiero que estoy acá sea mi definición de la matriz b por la matriz a y de hecho nada me impide definir las cosas y así que vamos a hacer eso vamos a hacer una definición y definición si tengo una matriz ve es una matriz de l x m entradas y tengo una matriz a una matriz a qué va a ser de m por en entradas y de hecho a vamos a decir que tiene la forma su primera columna es el vector a 1 segunda columna es el vector a dos así hasta el vector columna a n entonces entonces de fino y esto es una definición el producto debe por la matriz a sencillamente como pues como esto b por la primera columna vea esa es mi primera columna en el producto luego ve por la segunda columna de a ese es mi segunda columna en el producto y así hasta b por la enésima columna de a y ese es mi enésima columna en el producto así que puedo hacer esta definición y pti la gran ventaja de que entonces la composición de transformaciones viñales simplemente se representa como el producto de las matrices que la representan individualmente ahora quizás en sus cursos de álgebra no reconozcan esta definición del producto de matrices pero vamos a ver que en realidad es una definición bastante directa y podemos hacer bastantes cálculos con ella si tienen bastante paciencia incluso pueden checar que esta definición coincida con cualquier otra definición de producto matrices que ustedes hayan aprendido antes así que bueno ojalá esto les haya interesado y nos vemos en el próximo video