Composición de transformaciones lineales 2

en el último vídeo teníamos una transformación lineal s que iba de un subconjunto x de rn a un subconjunto de rm y también teníamos una transformación lineal t que iba del mismo subconjunto de rm deje a un subconjunto de rlz entonces nos preguntamos si podíamos definir una transformación que nos llevará directamente desde x hasta zeta y en efecto si podíamos la llamamos la composición de t con s y lo que hacía era tomar un vector x en el conjunto en el subconjunto x de rn un vector x en rn y le aplicaban la transformación s para llevarlo a un vector en rm y de ahí le aplicaba la transformación t para llevarlo a un vector nrl así que definimos la composición de t con s de esta manera y nos preguntamos si era una transformación lineal dado que ese y teherán transformaciones señales checamos los dos requisitos y concluimos que si era una transformación lineal ahora como es una transformación lineal podría representar mediante una matriz de que sería de l por n pues será una transformación que va de un subconjunto de rn a un subconjunto de rl así que lo que queríamos hacer era encontrar esta matriz de y es lo que voy a hacer en este vídeo entonces bien al principio del vídeo pasado les había comentado que como tener una transformación lineal se podía representar mediante el producto de una matriz con un vector así que dijimos que te dé x era lo mismo que una matriz b por el vector x donde la matriz ve qué dimensiones tenía pues te va de rm a rl de hecho aquí lo tengo escrito así que la matriz b era de l por m entradas también también dijimos que ese de equis o ese era una transformación lineal así que ese de equis era lo mismo que una matriz a por el vector x pero ahora ese ese va de rn a rm así que la matriz a era de m por n entradas muy bien y recordemos recordemos que nuestra definición de la composición de t con s nos dice que esté compuesta con s aplicada a un vector x era lo mismo que t aplicada a el resultado de aplicarle s a el vector x esto era nuestra definición pero ahora bien quién es esto quién es este cachito de aquí pues esto por lo que tenemos acá es lo mismo que esta matriz a m por n multiplicada por el vector x así que si sustituyó eso y sustituyó eso aquí obtengo que esto es lo mismo que te x por el vector x pero ahora quien esté de x pues es la matriz b por el vector x así que si en vez de x usada por x esto de allí eso de ahí es exactamente lo mismo que la matriz be la matriz ve por en la matriz a por el vector x así que esto de aquí es sencillamente de compuesta con ese aplicado al vector x porque recuerden que lo que hace la composición es toma un vector en rn toma este vector x lo avienta a un vector en rm mediante ese y luego avienta ese vector en un vector rl mediante té así que bien por otro lado por otro lado esto de aquí estoy aquí dijimos que era igual a una matriz d a una matriz de multiplicada por el vector x esto tiene que ser cierto pues t compuesta con esa es una transformación lineal así que debe existir una matriz de que la represente así que esto es cierto ahora lo que quiero hacer es encontrar encontrar explícitamente quién es esa matriz t pues para encontrar la matriz de voy a hacer lo que siempre habíamos hecho en el pasado que es comenzar con la matriz identidad y aplicarle la transformación a cada columna de la identidad eso me va a dar las columnas de la matriz de pero de qué tamaño tiene que ser mi identidad pues si nos fijamos la transformación t compuesta con ese toma sus valores o más bien agarra vectores toma vectores que están en donde pues están en r n toma vectores de rm y que esta x pertenece a r n por lo tanto por lo tanto tengo que considerar la matriz identidad de n x en la matriz identidad de n por n como se ve esa matriz pues sencillamente es la matriz que tiene uno en la diagonal tiene puros unos en la diagonal y cero fuera de ella así que sería 10 así hasta la enésima columna 1000 luego acá abajo también serían puros ceros hasta el enésimo renglón después acá en la segunda columna sería 0 1 0 pero el tercer renglón tendría 001 10 bueno aquí sería un 1 de hecho y acá serían puros ceros hasta este 1 de aquí entonces bien le voy a aplicar este compuesta con ese a cada columna de esta matriz identidad noten que estos estos de aquí son los vectores canónicos son la base canónica de ere n muy bien entonces si le aplico si le aplicó esta transformación a cada columna de la matriz identidad obtendré la matriz de déjenme uso otro color digamos celeste ok entonces la matriz de va a ser igual a el resultado de aplicarle la transformación t compuesta con ese a cada columna de la matriz identidad pero quien es la transformación t compuesta con ese pues es la matriz b multiplicada por la matriz y multiplicada por el vector x así que esto es lo mismo esto es lo mismo que ve por a por la primera columna de la matriz identidad que sería 10 después puros ceros hasta esta última entrada muy bien después la segunda entrada sería la segunda columna perdón sería de x x 0 10 así puro ceros y así continuaría continuaría hasta ve multiplicada por a multiplicada por 0 0 puro 0 puros ceros hasta la última entrada y esa sería mi última columna de la matriz de y se ve algo enredada pero vamos a ver que no es cierto no están enredos pues antes que nada antes que nada recordemos que si tenemos una matriz a de m por n multiplicada por un vector x esto lo podría escribir como sigue voy a escribir la matriz a como un conjunto de sus vectores columnas así que la matriz a es el vector columna a uno vector columna a dos y cuántas columnas tiene pues tiene n columnas así que hasta el vector y eso lo voy a multiplicar por el vector x el vector x tiene que pertenecer a r n para que esto tenga sentido así que esto va a ser x 1 x 2 hasta x m y quién es este producto de una matriz por un vector pues sencillamente es x1 por el vector a 1 + x2 por el vector a 2 y así así hasta x n por el vector a n es decir el producto de esta matriz por este vector es sencillamente la combinación lineal cuyos coeficientes son precisamente las entradas de mi vector x así que bien tomando eso en cuenta tomando en cuenta quién va a ser mi matriz de vamos a usar ahora verde quién va a ser mi matriz de pues va a ser d por a por el vector 10000 puros ceros sólo una en la primera entrada pero quién sería eso pues sería a uno por uno que sería uno más a dos por cero más a tres por cero así hasta a n por cero así que lo único que me queda lo único que me queda es uno por uno que sencillamente aún así que es b por la primera columna de la matriz a la segunda columna va a ser b x a uno por cero más a dos por uno más a tres por cero y así hasta n por cero así que aquí sólo sobreviviría solo estaría a 2 y así lo mismo va a pasar con todas las demás columnas hasta que lleguemos a b x por la enésima columna de a y eso es mi matriz de bien pues creo que es un buen momento para recapitular lo que hemos hecho hasta ahora vamos a ver empezamos empezamos con una transformación ese que iba de un subconjunto x en un subconjunto de x era un subconjunto de r n y yo era un subconjunto de r m también nosotros sabíamos que s de x s aplicada a un vector x era lo mismo que una matriz a por ese vector x donde la matriz a era de m por n muy bien también también nosotros dijimos que teníamos la transformación lineal t que iba del subconjunto y que de nuevo es un subconjunto de rm es el mismo que esté en un subconjunto z que era un subconjunto de r l y la transformación t se podía representar mediante la matriz b así que te dxt de un vector x era lo mismo que la matriz b por el vector x donde ahora la matriz b es de l por m entradas muy bien entonces nosotros definimos la composición t compuesta con s que simplemente era aplicar ese y el resultado aplicarle t y entonces a partir de esto nosotros dijimos pues esto es sencillamente aplicarle té y el resultado de aplicarle s al vector x así que era esto y esto esto era lo mismo por esto de las matrices que tomar la transformación t tomar la transformación té y aplicársela a la matriz a por el vector x y eso en turno era lo mismo que la matriz b multiplicada por el resultado de multiplicar a la matriz a por el vector x pero nosotros terminamos que como t compuesta con s es una transformación lineal esto era lo mismo que una matriz de multiplicada por el vector x donde la matriz de s está acá arriba déjenme la vuelvo a escribir déjenme lo voy a tratar de hacer con colores a ver si si se entiende mejor d era lo mismo que la matriz ve multiplicada por la primera columna de la matriz a que representaba s la segunda columna de the air' a la matriz ve multiplicada por la segunda columna de la matriz que representaba a ese osea de la matriz a y así así hasta la enésima columna que iba a ser la matriz ve multiplicada por la enésima columna de la matriz y todo eso por el vector x muy bien y noten que todo esto tiene sentido porque la matriz be era de l por m entradas y la matriz era de m por l así que cada columna de a tiene entradas cada uno de estos cada allí pertenece a r m así que el producto debe por cada uno de estas columnas si está bien definido entonces esta fue la representación matricial de t compuesta con s pero nos gustaría ir un poco más lejos nos gustaría que esto en realidad fuera el producto de la matriz b con la matriz a y en cierto sentido lo que quiere hacer es muy simple lo único que quiero hacer es poder cambiar estos paréntesis y escribir esto como b la matriz ve multiplicada por la matriz a multiplicada por el vector x así que quiero que esto de acá sea mi definición de la matriz b por la matriz a y de hecho nada me impide definir las cosas así así que vamos a hacer eso vamos a hacer una definición definición si tengo una matriz b es una matriz de l por m entradas y tengo una matriz tengo una matriz a que va a ser de m por n entradas y de hecho a vamos a decir que tiene la forma su primera columna es el vector a uno su segunda columna es el vector a dos así hasta el vector columna a n entonces entonces defino y esto es una definición el producto debe por la matriz a sencillamente como pues como esto ve por la primera columna de a esa es mi primera columna en el producto luego ve por la segunda columna de a esa es mi segunda columna en el producto y así hasta por la enésima columna de a y esa es mi enésima columna en el producto así que puedo hacer esta definición y tiene la gran ventaja de que entonces la composición de transformaciones lineales simplemente se representa como el producto de las matrices que las representan individualmente ahora quizás en sus cursos de álgebra no reconozcan esta definición del producto de matrices pero vamos a ver que en realidad es una definición bastante directa y podemos hacer bastantes cálculos con ella si tienen bastante paciencia incluso pueden checar que esta definición coincida con cualquier otra definición de producto de matrices que ustedes hayan aprendido antes así que bueno ojalá esto les haya interesado y nos vemos en el próximo vídeo