Propiedad distributiva del producto de matrices

supongamos que tengo tres matrices a b y c y voy a suponer que veis son de dimensiones digamos m por n y que a es una matriz de k por m bien lo que quiero hacer en este vídeo es ver si la propiedad distributiva se vale para el producto de matrices así que en realidad me quiero fijar en el producto de la matriz a por la matriz de más muy bien pues ve ve tiene la forma vamos a escribirla como sus vectores columna de uno de dos hasta hasta ve porque tengo n columnas y cada columna tiene m entradas muy bien hice análogamente que es la matriz cuyos vectores columnas son c1 c2 hasta hasta c perfecto entonces quizás recuerden estos son columnas así que tienen una extensión también vertical pero bueno quién sería este producto pues por definición esto sería a la matriz a multiplicada por la matriz b más la matriz c pero por definición de suma de matrices la matriz b más la matriz c es simplemente sumar cada una de sus columnas correspondientes eso en otras palabras quiere decir sumar las entradas por entrada muy bien así que quién sería de más c pues sería la matriz con columnas de uno más uno en primera columna de dos más de dos esa es mi segunda columna y así continuaría hasta bn + c m tienen el mismo número de columnas y todas las columnas tienen la misma cantidad de entradas porque son matrices de la misma dimensión ok y esto quién es pues esto es lo mismo que la matriz por definición del producto de matrices esto sería la matriz a por de uno más uno esa sería la primera entrada del producto a por b 2 más de dos segunda columna del producto y así hasta por dn más cn casi no va a cabeza voy a tener que mover tantito a por bm hace en cada una de estas son las columnas de mi matriz producto a por la matriz b se noten que esto está bien definido porque esta matriz la matriz bmc tiene las mismas dimensiones que la matriz de o que la matriz ce ésta también es una matriz de gm por n ya a es una matriz de k por m así que como el número de columnas es igual el número de renglones en vez más el producto matricial está bien definido ahora bien quién es esta matriz de aquí pues georges e nosotros sabemos nosotros sabemos que el producto de matrices con vectores si tiene la propia distributiva así que esa primera entrada en realidad en realidad la puede escribir como por el vector de uno más a por el vector c uno simplemente distribuyó a la matriz a sobre este producto sobre esta suma perdón bien y que hay de la segunda columna pues por el mismo argumento la segunda columna sería a por b 2 más a por c 2 y así para cada columna lo voy haciendo hasta llegar a la última columna que sería a por la columna b en el vector columna b n más a por el vector columna c n y eso sería esta matriz de aquí pero yo que sé pues ahora lo que puedo hacer es es decir que esta matriz es igual a la suma de las matrices cuyas columnas son a x b1 b2 hasta por bn estaba por bm más más la matriz cuyas columnas son a porsche 1 a porsche 2 y así hasta y así hasta por c n bien pero quién es esta matriz de aquí pues por definición por la definición que usamos esta matriz es precisamente la matriz a por b nuestra definición de producto matrices era simplemente multiplicará a por las columnas dv y del mismo modo esto de aquí es la matriz a por c así que esto es en realidad la matriz ave más la matriz hace pero eso que me dice pues eso me dice a partir de esto y llegue a haber más hace así que por bmc es igual a por ve más de porsche así que las matrices tienen la propia distributiva al menos por la izquierda porque recuerden que el producto de matrices no es conmutativo así que a por la matriz bmc no es lo mismo que la matriz b más por la matriz a así que tendría que checar la otra dirección muy bien así que ahora lo que quiero checar es qué pasa si tengo un producto de la forma de más ce por una matriz quiero saber cuánto es eso porque recuerden estas dos cosas no son iguales pero bien que sucede pues a pues a era una matriz de kpm y beige eran matrices de m por m así que esto sería una matriz de m por n por una matriz de acá por m que no está bien definido en este caso el producto no está bien definido así que voy a hacer para resolver eso para solucionar ese problema es decir que ahora ahora voy a suponer que estoy en el caso en el que la matriz es una matriz de gm por n y las matrices b y c dice son matrices de k por m y en ese caso este producto sí estaría bien definido y vamos a ver tienes pues tendría de más por la matriz a sería lo mismo que la matriz de c voy a escribir a sencillamente como la matriz cuyas columnas son la columna a1 la columna a 2 así hasta la columna n recuerden que en este caso cambié mi a por una matriz de m por n para que esto estuviera habían definido bien y cuánto vale eso pues la definición de producto de matrices me dice que esta matriz lo pongo aquí al ladito esta matriz va a ser el resultado de multiplicar además por cada columna así que esto sería además por el vector columna 1 la segunda columna sería además por el vector columna a 2 y así así hasta llegar a demás c por el vector columna a n noten que ahora además de nuevo es una matriz de k por m es una matriz de acá por m la suma preserva las dimensiones de las matrices y esto es una matriz de m por n así que de nuevo mis productos están bien definidos bien entonces cuánto vale eso de allí pues yo ya se lo vimos en algún vídeo y si no es una prueba bastante bastante directa así que se las dejo como ejercicio que el producto de sumas de matrices con vectores si tienen la propiedad distributiva así que esto lo puede escribir como b por a1 + c por a 1 la segunda columna es perforados más separados y así así continuó hasta ahora en más c por a m perfecto muy bien ok y ahora esto de aquí pues creo que no los voy a sorprender en absoluto esto de aquí es lo mismo que la matriz ve por la columna 1 luego la siguiente columna como depor a 2 y así hasta b por la n iv a eso le voy a sumar me voy a sumar voy a sumar ce por a 1 separados hasta hasta sé por a en y es claro que si sumo estas dos matrices me da la matriz de arriba porque sería sumar las columna por columna así que la suma de estas dos matrices sería la matriz cuya primera columna es b x aún no sé por a 1 la segunda columna sería b por a dos más separados esta columna de acá etcétera etcétera ahora bien quiénes son estas matrices pues ya nos la vemos venir esta matriz de aquí es sencillamente la matriz b por la matriz y esta matriz de aquí es sencillamente la matriz ce por la matriz a así que esto es la matriz vea más la matriz sea en otras palabras en otras palabras lo que acaba de probar es que además por la matriz a es igual a depurada más c por a así que las matrices también tienen la propiedad distributiva por la derecha así que no importa si estoy considerando esto o si estoy considerando o si estoy considerando estoy acá la propiedad distributiva se vale solo tengo que recordar que el producto no es no es conmutativo así que la matriz a por la matriz base no es en general lo mismo que la matriz vez más por la matriz