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Contenido principal
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Transcripción del video

en el video pasado vimos cómo se definía el producto de matrices a partir de la idea de la composición de transformaciones línea les dijimos que si teníamos una matriz a la matriz a que era de m por nmás1 columnas y también teníamos una matriz bfa la matriz ve que era de n por acá ésta tenía en renglones ica columnas muy importante que estã n y está m coincidan el número de columnas cena y el número renglones en b más adelante veremos por qué pero bueno b vamos a decir que tiene la forma que ve es la matriz cuyas columnas son los vectores columna de uno de dos meses su segunda columna y así hasta la calle sima columna tenemos acá columnas y que hasta beca eso de ahí es la matriz b y entonces nosotros definimos a la matriz a por be up orbe como quieran pues será la matriz cuyas columnas eran precisamente el resultado de multiplicar a por cada una de las columnas la primera columna de vapor vez sería a la matriz a multiplicada por la primera columna de la matriz b que sería a por el vector columna de uno la segunda columna sería a toda la matriz a multiplicada por la segunda columna debe y así así continuaríamos hasta llegar a a multiplicada por la última columna devesa por la calle sima columna debe bien esa fue nuestra definición de a por b estaba inspirada en el hecho de que queríamos que la composición de transformaciones lineares niña les fuera representada por la matriz que el producto de las matrices que representaban las transformaciones lineales ahora bien esto quizá suena bastante bastante facto y quizás no coincida con la definición que ustedes conocen de producto matrices ahora lo que sí les digo es que cualquier definición que tengan de producto de matrices va a ser equivalente a ésta pero bueno vamos a hacer un ejemplo concreto vamos a decir que tengo la matriz a hacer una matriz relativamente pequeña vamos a considerar la matriz 1 - 1 2 y 0 - 2 1 una matriz pequeña con números pequeños para que la aritmética no se nos salga de control y también vamos a tener la matriz b matriz de qué va a hacer la matriz 10 11 2010 21 y 31 02 bien es una matriz bastante pequeño así que esta matriz de aquí esta matriz de aquí es de dos por tres y esta matriz acá es de tres por cuatro de nuevo récord en el número de renglones en b tiene con coincidir con el número de columnas en a muy bien entonces por definición por nuestra definición del producto de acobe va a ser la matriz cuyas columnas son el resultado de multiplicar a por cada columna debe así que mi primera columna nada por b para ésta y ésta debe ser a la matriz a multiplicada por el vector 123 mi segunda columna sería la matriz a multiplicada por el vector 001 y mi tercera columna sería a por el vector 110 finalmente finalmente mi cuarta columna sería la matriz a multiplicada por el vector - 12 muy bien y de hecho esto ya nos da una razón en porque el número de columnas semana tiene que coincidir con el número de renglones en b observen observen que se llamó y llamó a cada columna de la matriz b bueno de hecho de los llame b1 b2 a esta beca entonces en este caso en este caso de iu para cada y uno dos tres o cuatro b y pertenece a donde pertenece a aguirre que pues cada columna tiene tres entradas así que pertenece a r3 y el producto de una matriz por un vector como en este caso sólo está bien definido cuando el número de columnas de la matriz es igual al número de entradas del vector así que eso nos da una explicación de por qué estos dos números tienen que coincidir pero bueno continuando por lo que estamos haciendo ya redujimos el obtener el producto de a por b con obtener el producto o más bien con el problema de obtener estos cuatro productos de matrices por vectores pero eso ya lo sabemos hacer bastante bien así que no debemos tener ningún problema ok entonces entonces a por ver quién va a ser pues veamos cómo definimos el producto de la matriz a por el vector 123 pues si recuerdan lo que hacíamos era esencialmente tomar el primer renglón de a y hacerle producto interior tomará el producto interior con el vector 123 y hacer a mi primera entrada la segunda entrada ese vector era el segundo renglón de a producto interior con 123 ahora bien ahí hay quizás hay algo extraño porque esto no es un vector columna por lo tanto como podría tomar el producto interior con otro vector columna pues lo que sucede lo que sucede aquí vamos a usar este mural lo que está sucediendo es que si yo tengo un vector a yo tengo un vector a que digamos es cualquier cosa no x1 y x2 x 3 entonces podría tomar el vector ha transpuesto si lo pienso como una matriz entonces quién sería transpuesto pues sería simplemente cambiar esta columna por un reunión sería x1 y x2 x 3 así que puedo pensar en los renglones de matriz a como vectores transpuesto sectores columna tres puestos así que en realidad lo que estoy haciendo es tomando el producto interior de este vector con el transcurso de este renglón déjeme le escribo quizás eso aclara mucho las cosas tomó el primer renglón idea y lo escribo como una columna 1 - 12 y eso voy a le voy a tomar su producto interior con el vector 123 luego me hizo una entrada sería tomó el segundo renglón vea lo escribo como columna que sería 0 - 2 1 pero no equivocarme este paso y lo multiplicó por este vector como un producto interior con el box vector 123 ahora bien puede ser otro color para ya no está cambiando ya sería por 001 pues de nuevo la primera entrada sería sería uno menos 12 el primer renglón de a como columna x el vector 001 la segunda entrada y a 0 - 2 1 x 0 01 y estas dos entradas conforman a por el vector 001 ahora a por 110 nuevos ya sería el vector 1 - 1 2 x 1 10 y luego ya el renglón 0 - 21 tomado como columna producto interior con 110 muy bien y finalmente la última columna de matriz a por ver sería a por ese vector que sería víctor columna 1 - 1 2 x 1 - 1 x 1 - 12 y finalmente realmente va a ser cero 20 - 21 x 1 - 12 así que esto de aquí estoy aquí que se ve tremendamente complicado es mi matriz a por ve bien pero cuando van en todos estos productos interiores pues vamos a volver a por b es igual a la matriz ok el producto interior producto punto por punto todos estos por fin de ver un puntito de producto punto o punto y punto cuánto es el vector 1 - 12 producto interior o producto punto con 123 pues es uno por uno uno más menos 1 x 2 es menos 22 por 361 menos 2,6 y aquí abajo que tengo cero por unas 0 - 2 x 2 es menos cuatro y uno por tres estrés acá la segunda columna sería uno por cero es cero más o menos uno por cero es cero y más dos por uno que el 20 por cero es 0 - 2 x 0 es cero y uno por uno no es uno ahora acá sería uno por uno es uno menos uno por uno es menos uno más dos por cero que es 00 por uma es 0 - 2 x 1 es menos dos más uno por cero que es 0 1 por 1 es uno más - 1 por menos uno que es uno más 2 x 2 que es 4 y finalmente éste sería cero por uno es cero más menos 2 por menos uno que sería más dos más uno por dos es otro 2 bien ya tenemos algo que se ve más coherente cuánto es esto pues realmente matriz a por b va a ser igual a 1 - 2 +6 sería menos 1,6 que sería 50 menos cuatro más tres sería -1 0 +0 más 220 +0 más uno es 11 - 1 +0 es 0 0 - 2 +0 es menos dos uno más uno más cuatro es 6 y 0 + 4 es cuatro así que la matriz a por bs esta matriz de cuánto es una matriz de 2 x 4 y es esta matriz de active ok y déjenme copió de acopio a mí matriz a miami matriz de parís a miami matriz ve a copiar las traigo aquí abajo las traigo aquí muy bien entonces no la primera observación que quiero hacer es que como dije esto sólo está definido cuándo el número de columnas cena coincide con el número de renglones en ve otra cosa que quiero señalar es que la matriz resultante tiene dimensiones 2 por 4 2 es el número de renglones en la matriz a y 4 es el número de columnas en la actriz ve y una pregunta natural es qué pasa si hubiera tomado el producto debe por ahora será que ve por ahora es lo mismo que absorbe pues veamos de acuerdo con mi definición esto sería igual a la matriz b por la primera columna de a que sería el de la columna 1 0 el vector 1 0 y b por la segunda columna de a que sería menos 1 - 2 está aquí y la tercera columna seria b por 2 1 ahora noten noten que cada una de estas columnas pertenece a r2 y b es una matriz de 3 x 4 así que no tengo definido este producto de una matriz por un vector puesto que para que estuviera definido el vector tendría que pertenecer a r4 recuerden un producto matriz por vector está definido sólo cuando el número de columnas de la matriz es igual a la dimensión por así decirlo del vector así que así que esto no está definido no está definido así que no sólo no es igual a por b hay casos en los que no está definido noten que en este caso lo que quería hacer era tomar el producto de una matriz de 3 x 4 con una matriz de dos por tres y estos números no coinciden así que el producto no está definido me gustaría concluir este video con la observación de que en realidad todo esto surgió a partir de las transformaciones lineales y sus composiciones es decir si tengo una transformación es ese que va de r 3 y r 2 y al hijo estos números para que coincidan con las dimensiones de esta matriz y es ésta da o está representada por ese de x es el resultado de multiplicar ax por la matriz a keith entonces eso tiene que ir de re 3 enredos la transformación y si hay más y además tengo la transformación te que ahora va de r4 en el re 3 y está dada por tdx es igual a la matriz b por el vector x donde iverson estas matrices de acá arriba ok entonces entonces qué sucede pues hagamos un pequeño dibujo rápidamente tengo aquí r44 tengo acá r3 y por acá también tengo a r2 d2 bien entonces la transformación tlr4 en r3 así que puedo tomar un vector en el recuadro y enviarlo a rd 3 mediante t y después después la transformación ese va de r3 en r2 esta sería la transformación es entonces bien nosotros dijimos bueno simplemente fíjate en todo el recorrido es decir define la transformación ese compuesta con temas como la transformación que aplicada x y simplemente toma que se aplica sólo al resultado de aplicar lete es decir primero tomate aguirre 3 y ya que éstas en el re 3 toma sal2 bien entonces nosotros definimos esto y en el vídeo anterior o quizás sí en el vídeo anterior nosotros dijimos que la matriz de la transformación está compuesta conté aplicada a un vector x era lo mismo que lo que quieren es que la matriz a multiplicada por ve multiplicada por equis y ahora lo que estamos viendo lo que nosotros vimos es que esto esto de aquí es representado o más bien así elegimos las cosas para que esta composición estuviera representada por la matriz a por be the genius o color estoy aquí era igual a la matriz a por b por el vector x la matriz a por b por el vector x donde está por ver es esta matriz de aquí así que si no no cometí ningún error de dedo o algún error del itm ético en realidad esta transformación representa la composición de la transformación representada por esta matriz y la transformación representada por esta matriz esa matriz a por b representa esta transformación toda esta transformación así que bueno esta idea quizás no la hayan visto en sus cursos de álgebra y como les decía quizás no no sea ésta la definición habitual de la multiplicación de matrices pero en realidad resulta ser completamente equivalente de hecho quizás esto se les haga más familiar a ustedes pero bueno ojalá hayan encontrado este video interesante y por favor tengan en cuenta esto que es la idea esencial el producto de matrices está íntimamente relacionado con la composición de transformaciones lineales y pues bueno ojalá esto le fallas interesante