If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Si estás detrás de un filtro de páginas web, por favor asegúrate de que los dominios *.kastatic.org y *.kasandbox.org estén desbloqueados.

Contenido principal
Tiempo actual: 0:00Duración total:18:14

Transcripción del video

en el vídeo pasado vimos cómo se definía el producto de matrices a partir de la idea de la composición de transformaciones lineales dijimos que si teníamos una matriz la matriz que era de m por n renglones y tiene columnas y también teníamos una matriz b la matriz ve que era de n porque ésta tenía en el renglones y acá columnas es muy importante que está n estã n coincidan el número de columnas en ay el número de renglones en b más adelante veremos por qué pero bueno ve vamos a decir que tiene la forma que ve es la matriz cuyas columnas son los vectores columna b 1 de dos en su segunda columna y así hasta la calle sima columna tenemos cada columnas así que hasta beca esa de ahí es la matriz b y entonces nosotros definimos a la matriz a por b la matriz a por b como quien pues será la matriz cuyas columnas eran precisamente el resultado de multiplicar a por cada una de las columnas la primera columna de a por b sería a la matriz a multiplicada por la primera columna de la matriz b que sería a por el vector columna de uno la segunda columna sería a toda la matriz y multiplicada por la segunda columna debe y así así continuar y amos hasta llegar multiplicada por la última columna de versa por la k décima columna de b bien esa fue nuestra definición de a por b estaba inspirada en el hecho de que queríamos que la composición de transformaciones lineales lineales fuera representada por la matriz que era el producto de las matrices que representaban las transformaciones lineales ahora bien esto quizás suena bastante bastante exacto y quizás no coincida con la definición que ustedes conocen de producto de matrices ahora lo que sí les digo es que cualquier definición que tengan de producto de matrices va a ser equivalente a ésta pero bueno vamos a hacer un ejemplo concreto vamos a decir que tengo la matriz am vamos a hacer una matriz relativamente pequeña vamos a considerar la matriz 1 - 1 2 0 - 2 1 una matriz pequeña con números pequeños para que la aritmética no se nos salga de control y también vamos a tener la matriz b la matriz ve qué va a hacer la matriz 1 0 1 1 2 0 1 - 1 y 3 1 0 2 bien es una matriz bastante pequeña así que esta matriz de aquí esta matriz de aquí es de 2 x 3 y esta matriz de acá es de 3 x 4 de nuevo recuerden el número de renglones en b tiene que coincidir con el número de columnas en a muy bien entonces por definición por nuestra definición el producto de a con b va a ser la matriz cuyas columnas son el resultado de multiplicar por cada columna así que mi primera columna nada por b para estar y esta vez será la matriz a multiplicada por el vector 123 mi segunda columna sería la matriz a multiplicada por el vector 001 y mi tercera columna sería a por el vector 1 10 finalmente finalmente cuarta columna sería la matriz a multiplicada por el vector 1 - 12 muy bien y de hecho esto ya nos da una razón en por qué el número de columnas emaná tiene que coincidir con el número de renglones en b observen observen que si llamo si llamó a cada columna de la matriz b bueno de hecho ya las llame b1 b2 a esta beca entonces en este caso en este caso para cada uno dos tres o cuatro b y pertenece a donde pertenece aire que pues cada columna tiene tres entradas así que pertenece a r3 y el producto de una matriz por un vector como en este caso sólo está bien definido cuando el número de columnas de la matriz es igual al número de entradas del vector así que eso nos da una explicación de por qué estos dos números tienen que coincidir pero bueno continuando con lo que estamos haciendo ya redujimos el obtener el producto de a por b con obtener el producto o más bien con el problema de obtener estos cuatro productos de matrices por vectores pero eso ya lo sabemos hacer bastante bien así que no debemos tener ningún problema ok entonces entonces a por ver quién va a ser pues veamos cómo definimos el producto de la matriz a por el vector 123 pues si recuerdan lo que hacíamos era esencialmente tomar el primer renglón de a y hacerle el producto interior a tomar el producto interior con el vector 123 y hacer a mi primera entrada la segunda entrada de ese vector era el segundo renglón de a producto interior con 123 ahora bien ahí hay quizás hay algo extraño porque esto no es un vector columna por lo tanto como podría tomar el producto interior con otro vector columna pues lo que sucede lo que sucede aquí vamos a usar este modo lo que está sucediendo es que si yo tengo un vector a si yo tengo un vector ar y digamos es cualquier cosa no x 1 x 2 x 3 entonces podría tomar el vector ha transpuesto si lo pienso como una matriz entonces quién sería trans puesto pues sería simplemente cambiar esta columna por un renglón sería x 1 x 2 x 3 así que puedo pensar en los renglones de mi matriz como vectores transpuesto sectores columnas tres puestos así que en realidad lo que estoy haciendo es tomando el producto interior de este vector con el transporto de este renglón déjenme le escribo quizás es aclare mucho las cosas como el primer renglón y lo escribo como una columna 1 - 1 2 y eso lo voy a tomar su producto interior con el vector 1 2 luego mi segunda entrada sería tomó el segundo renglón de lo escribo como columna que sería 0 - 2 1 pero no equivocarme en este paso y lo multiplicó por este vector como un producto interior con el box vector 123 ahora bien puede usar otro color para ya no estar cambiando quién sería a por 0 0 1 pues de nuevo la primera entrada sería sería 112 el primer renglón de a como columna x el vector 0 0 la segunda entrada sería 0 - 2 1 x 0 0 1 y estas dos entradas conforman a por el vector 001 ahora a por 110 de nuevo sería sería el vector 112 x 0 y luego sería el renglón 0 - 21 tomado como columna producto interior con 1 0 muy bien y finalmente la última columna de mi matriz a por ver sería a por este vector que sería vector columna 1 - 1 2 x 1 - 1 por 112 y finalmente finalmente va a ser cero 2021 x 1 - 12 así que esto de aquí esto de aquí que se ve tremendamente complicado es mi matriz a por ve bien pero cuánto valen todos estos productos interiores pues vamos a ver a por ver es igual a la matriz ok el producto interior el producto punto por punto todos estos podrían llevar un punto del producto punto punto punto y punto cuánto es el vector 1 - 12 producto interior o producto punto con 123 pues es uno por 11 más menos 1 por 2 es menos 2 2 por 3 es 61 menos 26 y acá abajo que tengo cero por 1 es 0 - 2 por 2 es menos 4 y 1 por 3 estrés acá la segunda columna sería uno por cero es 0 + menos 1 por 0 es cero y más dos por uno que es 2 cero por cero es cero menos dos por cero es cero y uno por uno es 1 ahora acá sería uno por uno es uno menos uno por uno es menos uno más dos por cero que es cero 0 por 10 menos dos por uno es menos dos más uno por cero que es cero uno por uno es uno más menos uno por menos uno que es uno + 2 por 2 que es 4 y finalmente éste sería 0 por 1 es cero más menos 2 por menos 1 que sería más 2 más 1 x 2 es otro 2 bien ya tenemos algo que se ve más coherente cuanto es esto pues finalmente la matriz a por b va a ser igual a 1 - 26 sería menos 16 que sería 5 043 sería menos 100 más dos es 2001 es 11 menos 10 00 - 20 es menos dos uno más uno más cuatro es 6 y 0 + 4 es 4 así que la matriz a por b es esta matriz de cuánto es una matriz de dos por cuatro y es esta matriz de aquí ok y déjenme copio déjenme copio a mi matriz a la matriz b 3a y a mi matriz b voy a copiar y las traigo aquí abajo las traigo aquí y que si no muy bien entonces la primera observación que quiero hacer es que como dije esto solo está definido cuando el número de columnas en ar coincide con el número de renglones en b otra cosa que quiero señalar es que la matriz resultante tiene dimensiones 2 x 4 2 es el número de renglones en la matriz y 4 es el número de columnas en la matriz b y una pregunta natural es qué pasa si hubiera tomado el producto debe por a será que ve por a es lo mismo que a por b pues veamos de acuerdo con mi definición esto sería igual a la matriz b por la primera columna de a que sería la columna 10 el vector 10 y ve por la segunda columna de a que sería menos uno menos dos está aquí y la tercera columna sería be por 2-1 ahora noten noten que cada una de estas columnas pertenece a r2 y be es una matriz de tres por cuatro así que no tengo definido este producto de una matriz por un vector puesto que para que estuviera definido el vector tendría que pertenecer a r 4 recuerden un producto de matriz por vector está definido solo cuando el número de columnas de la matriz es igual a la dimensión por así decirlo del vector así que así que esto no está definido está definido así que no sólo no es igualada por ver hay casos en los que no está definido noten que en este caso lo que quería hacer era tomar el producto de una matriz de 3 x 4 con una matriz de 2 x 3 y estos números no coinciden así que el producto no está definido me gustaría concluir este vídeo con la observación de que en realidad todo esto surgió a partir de las transformaciones lineales y sus composiciones es decir si tengo una transformación ese ese que va de r 3 r 2 y elijo estos números para que coincidan con las dimensiones de esta matriz y es esta dada o está representada por s de x es el resultado de multiplicar a x por la matriz ok entonces por eso tiene que ir de r3 en r2 la transformación y si además si además tengo la transformación t que ahora va de r 4 en r3 y está dada por de x es igual a la matriz b por el vector x donde ahí ves son estas matrices de acá arriba ok entonces entonces qué sucede pues hagamos un pequeño dibujo rápidamente tengo aquí r 4 4 tengo acá r 3 y por acá también tengo a r2 r2 bien entonces la transformación te vale r4 en r3 así que puedo tomar un vector entre 4 y enviarlo a r3 mediante t y después después la transformación s va de r 3 en r 2 esta sería la transformación ese entonces bien nosotros dijimos bueno simplemente fíjate en todo el recorrido es decir define la transformación s compuesta con té como la transformación que aplicada x es simplemente toma ese aplicarlo al resultado de aplicarle t es decir primero tomate a r3 y ya que estás en r3 toma ese aire 2 bien entonces nosotros definimos esto en el vídeo anterior o quizás si en el vídeo anterior nosotros dijimos que la matriz de la transformación esté compuesta con t aplicada a un vector x era lo mismo que tiene pues que la matriz a x b x x y ahora lo que estamos viendo lo que nosotros vimos es que esto esto de aquí es representado o más bien así elegimos las cosas para que esta composición estuviera representada por la matriz a por b dejen uso otro color esto de aquí era igual a la matriz a por b por el vector x la matriz a por b por el vector x donde a por b es esta matriz de aquí así que si no si no cometí ningún error de dedo o algún error aritmético en realidad esta transformación representa la composición de la transformación representada por esta matriz y la transformación representada por esta matriz esa matriz a por b representa esta transformación toda esta transformación así que bueno esta idea quizás no la hayan visto en sus cursos de álgebra y como les decía quizás no no sea está la definición habitual de la multiplicación de matrices pero en realidad resulta ser completamente equivalente de hecho quizás esto se les haga más familiar a ustedes pero bueno ojalá hayan encontrado este vídeo interesante y por favor tengan en cuenta esto que es la idea esencial del producto de matrices está íntimamente relacionado con la composición de transformaciones lineales y pues bueno ojalá esto les haya sido interesante