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Contenido principal
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Transcripción del video

hace ya algunos videos teníamos una transformación línea f que iba de algún su conjunto x de rené a algún su conjunto llegó de rm y también tenemos una transformación y alte que iba de ye en un subconjunto de ahora digamos url se está bien entonces nosotros definimos lo que era la composición de 'the cold s como una transformación que iba desde x directamente hasta zeta y lo que era era simplemente está compuesta con ese compuesta con él sea aplicada a un vector x era sencillamente tomar ese aplicársela al vector x y al resultado aplicarle t así que esta fue nuestra definición para la composición de té con ese y es más nosotros vimos que si ese era representada por la matriz a es decir sdx era igual a una matriz a por el vector x y tdx era representada por la matriz b o sea tdx ser igual que la matriz b por el vector x entonces nosotros vimos que esta composición de compuesta con ese pues por la definición tiene que ser igual a la matriz ve multiplicada por la matriz a por el vector x y nosotros definimos el producto de matrices de modo que esto de aquí fue igual a la matriz b por la matriz y esa nueva matriz por el vector x muy bien todo eso era re paz ahora qué pasa si considero tres formaciones nuevas boya tras considerar la transformación g que gdx va a ser igual a una matriz a por el vector x esta matriz haya no tiene nada que ver con esta matriz a es una nueva matriz a y hdx hdx era igual a la matriz b por el vector x y también voy a tener una última transformación f&f dx va a ser igual a una matriz e por el vector x bien así que tengo estas tres transformaciones que necesariamente como son el producto de una matriz por un vector así son representadas tienen que ser transformaciones lineales y lo que me interesa ahora es considerar quién es la composición deje compuesta con h eso es una transformación lineal ya lo vimos y eso a su vez compuesto con efe quién es esa transformación de ahí y voy a asumir que los dominios y las imágenes de g h i lp están en zona tales que esta composición tenga sentido porque para que la composición de té con ese tenga sentido el dominio dt tiene que estar contenido en la imagen de ese pero bueno entonces ok voy a tomar esto y aplicárselo a un vector x muy bien y cuánto me da eso pues vamos a ver qué me dice la definición la definición me dice que esto sería así llamó a esta transformación de transformación t y estadía aquí va a ser mi transformación ese entonces de acuerdo con esta definición esto sería que compuesta con h esa transformación aplicada a el resultado de aplicarle efe ax aplicada a efe de x muy bien quiénes esto pues de nuevo y ahora tengo esta como mi transformación te está como mi transformación s y todo esto como un factor x entonces esto es lo mismo que g d h d f de x muchas paréntesis aquí bien ahora esto esto es lo mismo que quieren pues si ahora me fijo primero en este caso acá en hd efe de x eso sería je je de quién pues hdf de x por definición es h compuesta con efe aplicada al vector x viaje de eso pero ahora que ahora tengo que je je lo puedo pensar cómo mi transformación t y todo esto como mi transformación s y entonces esto debe ser lo mismo que ge compuesta con h compuesta con efe y todo eso todo esto esta nueva transformación aplicada al vector x bueno quizás estén preguntando para que me tomen la molestia de hacer todo esto para que partir de acá y hice todas estas igualdad es para llegar a esto pues esto todo esto fue para probar que la composición de transformaciones satisfacen la propiedad asociativa eso en otras palabras lo único que quiere decir aunque suene muy rimbombante es que no importa en dónde a ponga mis paréntesis no importa cómo acomodarlos paréntesis en esta composición siempre me da lo mismo en otras palabras lo que quiere decir es que no importa si primero compongo ag con h y eso lo compongan con efe o sí primero compongo h con efe y eso lo compongo con g en otras palabras estas dos cosas son equivalentes a g compuesta con h compuesta con efe y toda esa transformación aplicada al vector x y no me importa el orden de los paréntesis viene ahora que sé que esencialmente no importa la cuales dos transformaciones de estas tres dio con ponga primero quiero saber qué sucede con la representación matricial de eso es decir yo sé que si tengo transformaciones 'si te representadas por matrices a y b entonces la composición de té con efe es representada por la matriz ve por dónde ver representate y a representa a ese entonces qué pasa con la siguiente qué pasa con ge compuesta con h el resultado de eso compuesto con efe y eso aplicado a el vector x pues por un lado yo sé que gdx es lo mismo que multiplicará la matriz a por el vector x que representa por la matriz a hs presentada por la matriz b y f es representada por la matriz e así que estoy aquí sería lo mismo que pues quienes la matriz que representa g compuesta con h simplemente es el producto de las matrices que representan a g y h respectivamente es decir eso primero es la matriz a por la matriz b y ahora tienes la matriz que representa a esta composición a la composición deje con h compuesta con efe la matriz que representa g compuesta con hache es la matriz ave y la matriz que representa a efe es la matriz e así que la matriz que representa a toda esta composición es sencillamente la matriz a por ve multiplicada por la matriz c y todo eso todo esto lo voy a multiplicar por el vector ects bien y que me dice esta parte de abajo pues nosotros color ahora voy a hacerlo así g compuesta con hache compuesta con efe y todo eso aplicado al vector x de nuevo que matriz representa a esta composición pues en primer lugar que matriz representan la composición de h con efe que sería la primera que haría pues la composición de h con efe está representado por la matriz b por la matriz e es decir h compuesta con efe se representa por la matriz bc muy bien pero yo quiero ag compuesta con hache compuesta con efe así que necesito multiplicar por la izquierda por la matriz que representa g pero la matriz que representa que esa así que estoy aquí es representado por la matriz por la matriz de porsche ok y todo eso toda esta matriz la de multiplicar por el vector x muy bien pero en este video que fue lo que vimos pues vimos que estas dos cosas que esta composición y ésta era la misma son iguales así que estas dos cosas como son iguales para todas x deben ser iguales la matriz ave por la matriz e debe ser igual a la matriz a por la matriz de porsche y entonces cómo puedo omitir los paréntesis porque no importa cuáles dos multiplique primero esto debe ser igual a la matriz a por b porsche y yo elijo si primero multiplicó a con b y eso lo multiplicó con usted o si primero multiplicó a b con 6 y eso lo multiplicó por ahora porque no tengo a pesar de que por ejemplo aquí parezca que estoy componiendo tres cosas en realidad sólo estoy componiendo de dos en dos esto me diría o primero compones g con h y a eso lo compone con efe o primero compones h con efe y a eso lo compone con g pero no puedo componer estas tres cosas simultáneamente y esta propiedad de que no importa el orden en el que haga las cosas conoce como la propiedad propiedad asociativa asociativa del producto de matrices así que en general cuando multiplicamos más de dos matrices no tenemos que preocuparnos por cómo hacemos esta multiplicación cualquier elección que nosotros hagamos cualesquiera decidamos multiplicar primero nos va a dar el mismo resultado con lo que sí tenemos que tener cuidado porque ya vimos es con el orden del producto es decir en general la matriz a por una matriz b es distinto de la matriz b por la matriz ha hecho en algún vídeo hace poco vimos que a veces alguno de estos dos pueden no estar definido es decir que la matriz a por la matriz menos de algo y que la matriz b por la matriz ni siquiera esté definido las matrices no tienen la propiedad conmutativa y bueno en el próximo video ver en la propia distributiva del producto de matrices