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Contenido principal
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Transcripción del video

hace ya algunos vídeos teníamos una transformación lineal ese que iba de algún subconjunto x de rn a algún subconjunto y de rm y también tenemos una transformación lineal t que iba de y en un subconjunto de ahora digamos rl c está bien entonces nosotros definimos lo que era la composición de t con s como una transformación que iba desde x directamente hasta zeta y lo que era era simplemente está compuesta con ese t compuesta con ese aplicada a un vector x era sencillamente tomar ese aplicársela al vector x y al resultado aplicarle t así que esta fue nuestra definición para la composición de t con s y es más nosotros vimos que si esa era representada por la matriz es decir s de x era igual a una matriz a por el vector x y tx era representada por la matriz b o sea te de equis ser igual que la matriz b por el vector x entonces nosotros vimos que esta composición t compuesta con s pues por la definición tiene que ser igual a la matriz ve multiplicada por la matriz a por el vector x y nosotros definimos el producto de matrices de modo que esto de aquí fuera igual a la matriz b por la matriz y esa nueva matriz por el vector x muy bien todo eso era repaso ahora qué pasa si considero tres transformaciones nuevas voy a tras considerar la transformación g que ge x va a ser igual a una matriz a por el vector x esta matriz ya no tiene nada que ver con esta matriz a es una nueva matriz hdx hdx era igual a la matriz b por el vector x y también voy a tener una última transformación efe y f x va a ser igual a una matriz c por el vector x bien así que tengo estas tres transformaciones que necesariamente como son el producto de una matriz por un vector así son representadas tienen que ser transformaciones lineales y lo que me interesa ahora es considerar quién es la composición de g compuesta con h eso es una transformación lineal ya lo vimos y eso a su vez compuesto con efe quién es esa transformación de ahí y voy a asumir que los dominios y las imágenes de g hf están en son tales que esta composición tenga sentido porque para que la composición de t con s tenga sentido el dominio de t tiene que estar contenido en la imagen pero bueno entonces ok voy a tomar esto y aplicárselo a un vector x muy bien y cuanto me da eso pues vamos a ver qué me dice la definición la definición me dice que esto sería si llamo a esta transformación mi transformación t y esta de aquí va a ser mi transformación ese entonces de acuerdo con esta definición esto sería que compuesta con h esa transformación aplicada a el resultado de aplicarle f x aplicada a efe de x muy bien y quien es esto pues de nuevo si ahora tengo esta como mi transformación de esta como mi transformación ese y todo esto como director x entonces esto es lo mismo que g d h de f de x muchas paréntesis aquí bien ahora esto esto es lo mismo que tiene pues si ahora me fijo primero en este caso acá en hd fx eso sería g sé de quién pues h de fx por definición es h compuesta con f aplicada al vector x sería g de eso pero ahora que ahora tengo que hello puedo pensar como mi transformación te y todo esto como mi transformación s y entonces esto debe ser lo mismo que compuesta con h compuesta con efe y todo eso todo esto está nueva transformación aplicada al vector x bueno y quizá se estén preguntando para que me tome la molestia de hacer todo esto para que partir de acá y hice todas estas igualdades para llegar a esto pues esto todo esto fue para probar que la composición de transformaciones satisface la propia asociativa eso en otras palabras lo único que quiere decir aunque suene muy rimbombante es que no importa en donde ponga mis paréntesis no importa como acomoda y los paréntesis en esta composición siempre me da lo mismo en otras palabras lo que quiere decir es que no importa si primero compongo ag con h y eso lo compongan con efe o si primero compongo h con f y eso lo compongo con g en otras palabras estas dos cosas son equivalentes a compuesta con h compuesta con efe y toda esta transformación aplicada al vector x y no me importa el orden de los paréntesis bien y ahora que sé que esencialmente no importa cuáles dos transformaciones de estas tres yo componga primero quiero saber qué sucede con la representación matricial de eso es decir yo sé que si tengo transformaciones existe representadas por matrices a ive entonces la composición de t con s es representada por la matriz de por donde ve representate y a representar ese entonces qué pasa con la siguiente qué pasa con qué compuesta con h el resultado de eso compuesto con efe y eso aplicado a el vector x pues por un lado yo sé que eje x es lo mismo que multiplicar a la matriz a por el vector x que es representada por la matriz h es representada por la matriz b y f es representada por la matriz ce así que estos de aquí sería lo mismo que pues quien es la matriz que representa que compuesta con h simplemente es el producto de las matrices que representan a g y h respectivamente es decir eso primero es la matriz a por la matriz b y ahora tienes la matriz que representa a esta composición a la composición de g con h compuesta con f la matriz que representa g compuesta con h es la matriz ave y la matriz que representa f es la matriz ce así que la matriz que representa a toda esta composición es sencillamente la matriz a por ve multiplicada por la matriz ce y todo eso todo esto lo voy a multiplicar por el vector x bien y qué me dice esta parte de abajo pues nosotros color ahora voy a hacerlo así compuesta con h compuesta con efe y todo eso aplicado al vector x pues de nuevo que matriz representa a esta composición pues en primer lugar que matriz representa la composición de h con efe que sería la primera que haría pues la composición de h con f está representado por la matriz b por la matriz c es decir h compuesta con f se representa por la matriz bs muy bien pero yo quiero ag compuesta con h compuesta con efe así que necesito multiplicar por la izquierda por la matriz que representa g pero la matriz que representa que está así que esto de aquí es representado por la matriz por la matriz de porsche ok y todo eso toda esta matriz la debo multiplicar por el vector x muy bien pero en este vídeo que fue lo que vimos pues vimos que estas dos cosas que esta composición y esta eran la misma son iguales así que estas dos cosas como son iguales para todas x deben ser iguales la matriz ave por la matriz ce debe ser igual a la matriz a por la matriz de porsche y entonces cómo puedo omitir los paréntesis porque no importa cuáles dos multiplique primero esto debe ser igual a la matriz a por b por c y yo elijo si primero multiplicó a con b y eso lo multiplicó con este o así 1º multiplicó a beyoncé y eso lo multiplicó por a porque noten a pesar de que por ejemplo aquí parezca que estoy componiendo tres cosas en realidad solo estoy componiendo de dos en dos esto me diría o primero componer que con h ya eso lo compone con efe o 1º compones h con efe ya eso lo compone con g pero no puedo componer estas tres cosas simultáneamente y esta propiedad de que no importa el orden en el que haga las cosas se conoce como la propiedad propiedad asociativa asociativa del producto de matrices así que en general cuando multiplicamos más de dos matrices no tenemos que preocuparnos por cómo hacemos esta multiplicación cualquier elección que nosotros hagamos cualesquiera decidamos multiplicar primero nos va a dar el mismo resultado con lo que sí tenemos que tener cuidado porque ya vimos es con el orden del producto es decir en general la matriz a por una matriz b es distinto de la matriz b por la matriz a de hecho en algún vídeo hace poco vimos que a veces alguno de estos dos pueden no estar definido es decir que la matriz a por la matriz b nos dé algo y que la matriz b por la matriz a ni siquiera esté definido las matrices no tienen la propiedad conmutativa y bueno en el próximo vídeo ver en la propia distributiva del producto de matrices