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Determinante después de las operaciones de filas

Lo que le pasa al determinante cuando realizamos operaciones de filas. Creado por Sal Khan.

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Transcripción del video

tengo aquí una matriz a que es una matriz de n por n y esta matriz pues en este en este vídeo lo vamos a escribir de esta forma vamos a escribir nada más sus filas tiene una primera fila luego tiene la segunda fila y la 3 ferrer a fila y así hasta que llegamos a la décima fila después tiene más filas hasta que llegamos a la fila j esto es una r y finalmente llegamos a la última fila que es la enésima fila ok a qué me refiero con estos con estos vectores pues cada uno de estos vectores es un vector fila y vamos a escribir uno con detalle para que sepa exactamente qué me refiero digamos que tenemos la que es y más fila y es acá décima fila aquí le estamos representando con un ere k gay r que no es nada más que un vector de esta forma donde la primera entrada es a estamos en la calle décima fila entonces es aa1 la segunda entrada de la carísima fila es a ca 2 y así nos seguimos con todas las columnas hasta que llegamos a la enésima columna donde el vector rk que es la que es y más fila tiene una entrada a k n que esté simplemente otra forma de escribir a una matriz y bueno también vamos a tener una matriz b que va a ser una matriz de n por n también y esta vez va a ser muy parecida a esta matriz a pero va a tener un cambio muy importante porque ahí tenemos la primera fila debe que es igualita a la primera fila de a lo mismo que la segunda fila y así nos seguimos vamos a concentrarnos en estas dos filas y es más fila y la jota es una fila de la matriz y el resto de las filas de la matriz b van a ser exactamente iguales a las filas correspondientes de la matriz a de hecho leyes y más fila también va a ser igual que entonces llegamos hasta la décima fila y después la jota es más fila de la matriz b en lugar de ser igualita a la j décima fila de la matriz a va a ser igual a ponemos aquí rj que es la jota décima fila de la matriz a menos un escalar vamos a ponerle se la décima fila de la matriz r esta está dejando lo escribo por aquí esta es la jota décima fila de la matriz b j encima j es una fila y esta fila es la única fila de la matriz b que es distinta de la matriz a aunque hay entonces por aquí seguimos hasta que llegamos a la fila n y para que quede muy claro qué significa este vector pues vamos a escribirlo con todo detalle vamos a escribir cada una de sus entradas entonces tenemos aquí rj menos y esto es igual al vector fila que obtenemos al hacer esta operación ok y esta operación tal cual que es es tomar este vector multiplicarlo por un escalar c o sea cada una de las entradas del vector r y la vamos a multiplicar por c y después al vector fila rj a cada una de las entradas del vector rj le vamos a restar la entrada correspondiente del vector cr y ok o sea la primera entrada del vector que nos queda al hacer esta operación es simplemente la primera entrada de rj que es simplemente a j 1 - 0 veces cbc es por la primera entrada del vector r ok o sea la entrada la segunda entrada lo que tenemos es la segunda entrada del vector rj sea aj 2 - c veces por la segunda entrada del vector r que es la entrada a y 2 y así nos seguimos hasta que llegamos a la enésima entrada y entonces lo que tenemos es la enésima entrada de este vector o sea a j n - c veces la enésima entrada del vector r o sea a y n y listo esta es la js fila de la matriz b ok entonces b es la matriz que obtenemos si tomamos a a y reemplazamos la js bach fila por la misma j décima fila menos c veces la décima fila de la matriz a ok y creo que ahorita es cuando seguramente estas recordando que ya hemos visto esto un montón de veces en un montón de vídeos por ejemplo este es el tipo de operaciones que se hacen cuando estamos tratando de reducir una matriz a su forma escalonada reducida por filas y bueno eso es simplemente una de las esperas ciones más importantes así es que naturalmente nosotros lo que queremos es ver cuál es el determinante de esta nueva matriz b que obtuvimos haciéndole una operación de fila en la matriz a y para hacer eso pues vamos a considerar dos matrices la primera matriz es r1 r2 y así todas las pilas de la matriz hasta llegar a la décima fila después la j es más fila y finalmente la enésima fila ok en realidad esta es simplemente la matriz a ok tiene todas sus filas idénticas a la matriz a pero la vamos a necesitar y vamos a considerar también a esta otra matriz la matriz y tiene casi todas sus pilas iguales en la matriz a excepto la cota décima fila aunque aquí tenemos r1 r2 no seguimos llegamos a la décima fila y ésta también es igual a la de la matriz pero después llegamos a la j es sin más fila y en lugar de tener a rj vamos a tener menos c veces r y ok de hecho creo que lo tengo que poner de otro color porque es muy importante o sea es la única fila que es distinta entonces vamos a ponerlo de otro color - a veces r y esta ésta es la jota es imagina ok j sin fila de esta matriz ahora seguimos hasta que llegamos a la enésima fila que también tiene que ser igual a la enésima fila de la matriz y ahora es tiempo de recordar lo que vimos hace unos cuantos vídeos y bueno seguro recordarás este vídeo que nos dice que si tenemos dos matrices que son exactamente iguales en todas sus filas excepto en una de ellas en este caso esa fila es la jota décima fila y luego tenemos otra matriz que es idéntica a esas dos matrices excepto también justo en la jota décima fila y además tenemos que la jota décima fila de esta matriz be o sea esta fila es igual a la suma de las jota es y más filas de estas otras dos matrices entonces el determinante de esta matriz es igual al determinante de esta matriz más el determinante de esta matriz aunque ya hay que hacer hincapié en que ve no es igual a esta matriz más esta matriz sólo la jota es y más fila debe es la que es igual a la suma de la jota es y más fila de esta matriz más la jota décima fila de esta otra matriz y el resto de sus filas son idénticas ok pero bueno esto yo creo que hay que escribirlo bueno al menos hay que escribir que el determinante bebé es igual a el determinante de esta matriz más el determinante de esta otra matriz aquí vamos a borrar esto porque nos estorba bien entonces lo que queremos hacer es calcular estos determinantes aunque hay pero esto de aquí es simplemente el determinante de a no o sea porque esta era simplemente la matriz a y ahora lo que vamos a hacer es sacar este determinante y para eso vamos a usar dos vídeos que están en esta misma sección que seguramente ya viste el chiste es que este determinante es igual al determinante de otra matriz ahorita vamos a escribir la otra matriz esta otra matriz va a ser r1 r2 así nos seguimos hasta ere y después nos quedamos por aquí y en la j es una fila vamos a quedarnos simplemente con un ere y ojo no es una re j ni tampoco es un menos cr y simplemente un ere y hasta el final seguimos con todas las filas igual y tasa de estas filas hasta que llegamos a la fila no tenemos rn ok entonces en uno de esos vídeos que seguramente ya viste lo que vimos es que este determinante es exactamente igual a menos c veces por el determinante de esta otra matriz ok aquí hay que hacer hincapié en que estamos considerando simplemente este determinante y que este determinante es igual a ver vamos a ponerlo así este determinante es igual a este determinante ok a ver y por qué son iguales estos dos determinantes pues porque tenemos que esta matriz es idéntica a esta otra matriz excepto en una sola de sus filas la famosísima j es más fila lo que hay que en esta matriz la j décima fila tiene como entrada menos c veces el vector r y en esta matriz la j décima fila es simplemente la fila rey y en el resto de las filas estas dos matrices son exactamente iguales entonces como vimos en ese vídeo se da esta igualdad entre estos dos determinantes ok notemos que esta matriz no es menos de veces esta matriz ok esta matriz es igual y está en todas sus filas excepto en la j décima fila donde la j es una fila de esta matriz es menos c veces la j es una fila de esta matriz pero cuál es el determinante de esta matriz bueno como seguramente ya te diste cuenta esta matriz tiene es filas duplicadas o sea la décima fila es la fila ere y de la matriz a pero la j es una fila de esta matriz también es igualita a la décima fila de la matriz a de estas dos filas son idénticas y por lo tanto como vimos en el vídeo pasado el determinante de esta matriz es igual a cero ok entonces este determinante es igual a cero y por lo tanto menos c veces este determinante también es igual a cero y como este determinante es igual a menos de veces este determinante entonces este determinante también es igual a cero así es que a final de cuentas nos quedamos con que el determinante bb es igual el determinante de la matriz a lo cual está súper padre o sea lo que nos está diciendo es que si tenemos una matriz por ejemplo la matriz a y le aplicamos esta operación de fila justo esta operación de fila que se trata de agarrar una fila y sustituirla por esa fila menos un escalar multiplicando a cualquiera otra de las filas entonces el determinante de esta nueva matriz va a ser igual al determinante de la matriz original y eso sigue estando padrísimo ahora muy importante estamos haciendo justo esta operación de fila ok por ejemplo si hacemos la operación de fila que se trata de multiplicar una fila por un escalar eso como ya vimos si cambia el determinante pero bueno sigue estando padrísimo porque eso puede hacer que calcularon determinante sea mucho más fácil