If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Si estás detrás de un filtro de páginas web, por favor asegúrate de que los dominios *.kastatic.org y *.kasandbox.org estén desbloqueados.

Contenido principal
Tiempo actual: 0:00Duración total:21:37

Transcripción del video

empecemos con una matriz de dos por dos la famosa matriz con entradas de cine y bueno esta matriz está compuesta por dos vectores columna este vector columna llamémosle el vector b1 y este vector columna al cual le vamos a llamar b2 y podemos escribir los por acá de uno es igual al vector y b2 pues es igual al vector de y bueno son dos vectores que pertenecen a r2 y pues sería bueno graficar los para tener una imagen visual de estos vectores entonces vamos a poner aquí nuestros ejes el eje vertical y el eje horizontal y entonces nuestro primer vector b1 digamos que es este vector desde uno y su coordenada horizontal es ésta que tiene el valor de a mientras que su coordinadora vertical puedes estar por acá y tiene un valor de s ahora vamos con el vector b2 digamos que es un vector para que dé 2 y su ordenador y son tal pues está por acá y es b mientras que su coordinadora vertical está por acá y es de y en lo que nos vamos a enfocar en este vídeo es en el paralelo gramo definido por estos dos sectores aunque como son podemos pensar que son vectores de posición o sea que aquí nos definen dos puntitos justo el punto hace vd y vamos a considerar también el punto 0-0 para que ella tenemos tres puntos de paralelogramo y pues ya que tenemos los tres puntos del paralelogramo tenemos ya muy bien definido al paralelo gramona ya tenemos dos lados estos dos lados que no son paralelos entonces los otros dos lados del paralelo gramo tienen que hacer paralelos estos así es que otro lado de éste paralelogramo se tiene que ver más o menos así como paralelo a este lado y el otro lado más o menos así y algo que nos interesa mucho que vamos a ver en este vídeo es el área de este paralelogramo el área para logramos lo logramos ahora los paralelogramo ya sabemos muy bien cómo sacar su área cierto que digamos cualquier paralelogramo este es un paralelogramo un poco chueco pero su área saca de la misma forma el área de este paralelogramo nosotros sabemos que es igual a la base esta es la base base por la altura del paralelo gramo y para sacar la altura de un paralelogramo lo que hacemos es sacar aquí algo perpendicular a la base a éste esta cosa de aquí llamamos la altura y el área de este paralelogramo es simplemente base por altura entonces cuál va a ser el área de paralelogramo pues iba a ser simplemente el área a ser igual a la base por la altura pero aquí pues podemos sustituir este base y esta altura por los términos correspondientes porque aquí tenemos a b1 b2 no entonces este área va a ser igual a la base que en este caso es este vector de aquí entonces todo esto de aquí tenemos que sacar cuál es la longitud de este vector y esa es la base que entonces aquí nosotros vemos que la base es igual a la longitud del vector de uno y tenemos que multiplicarla por la altura pero la altura está un poco más complicada no porque aquí tenemos que sacar una recta perpendicular este efector que pase por el punto por este puntito que es representado por b2 esta recta tienen que ser ortogonal a b2 y después tenemos que hacer sacar la longitud de este segmento y cómo le vamos a hacer para hacer eso cómo vamos a encontrar a esta chica pues algo que podemos hacer es tratar de encontrar este vector instructor de aquí por qué pues porque si encontramos este vector y lo encontramos en términos que ya conozcamos sociedad en términos de b1 y b2 entonces podemos usar el teorema de pitágoras y encontrará h a través de estos dos vectores que hay porque como éste es un ángulo recto entonces la longitud de este vector al cuadrado más a h1 mad el vector 2 la longitud de este vector al cuadrado y entonces sí podemos encontrar h gay pero cómo le hacemos para encontrar este vector de aquí bueno pues resulta que este vector de aquí es la proyección del vector b2 sobre la línea generada por el vector b1 que yo creo que tenemos que empezar por generar la línea así es que digamos que l es la línea generada por el vector de héctor b 1 que es lo que hacemos para generar a l pues tomamos al vector b1 y tomamos todos los puntos que se pueden representar como un escalar veces ese vector que estamos tomando todos los múltiplos del vector de uno o sea que con eso vamos a generar este instructor este lector también por acá aquí todos estos puntos se pueden poner como un escalar veces b1 y lo mismo para acá entonces esta es la línea l ésta es él y entonces este vector de ataque a este vector de acá es la proyección pero gec acción sobre la línea de el vector b 2 key de hecho a lo largo de este vídeo en una escribir toda la palabra proyección simplemente vamos a poner proyección sobre la línea l1 la cual es generada por el vector de uno de el vector b2 ley bueno y como estamos tan seguros de que en realidad este vector es la proyección de b2 sobre la línea l pues tal vez digo no podemos demostrarlo ahorita eso lo vimos hace muchísimos vídeos pero ahí está en algún lugar de la página pero tal vez esto te recuerde un poco que tenemos aquí nuestra recta tenemos aquí nuestro objeto y podemos pensar en que el sol está en algún punto muy lejano perpendicular esta línea ley y entonces manda sus rayos de luz ahora qué y este lector de acá es la sombra que proyecta este lector bueno creo que se llama sólo borrar nuestros rayos de luz y entonces ya que tenemos aquí todos los elementos ya podemos calcular cuánto vale achi porque por el teorema de pitágoras como chilenos en un ángulo recto entonces esto es un cateto este es otro cateto y esta es la hipotenusa entonces podemos usar el teorema de pitágoras que nos dice que la longitud de este lado que es h simplemente al cuadrado nada la longitud de este otro vector que es la proyección sobre el elector b2 la longitud se mide con la norma de proyección sobre el del vector b2 la norma de este lector al cuadrado este cateto al cuadrado eso estas dos cantidades son iguales a la longitud de este otro vector que es la hipotenusa que es el vector b2 b2 sur longitud al cuadrado esto es simplemente el teorema de pitágoras no hay nada extraño por aquí si no te suena el teorema de pitágoras seguro puedes encontrarlo en algún vídeo en la página esto es simplemente el peor m de horas pitágoras que hay aquí esta fórmula nunca la terminamos aquí estévez es simplemente la norma del vector b1 como veíamos por acá y nos falta ponerle un h y entonces nosotros queremos encontrar h pero pues empecemos por encontrar h cuadrada entonces podemos despejar y lo que nos queda es que h al cuadrado es igual a la norma del vector b2 al cuadrado pero la norma de un vector al cuadrado es igual a tomar el vector y hacerle producto punto consigo mismo qué por qué por qué si éste es el vector por ejemplo ekije cuando haces el producto punto de xl producto punto x lo que te queda es x cuadrada más adecuada y eso es el cuadrado de la norma del vector de dos onces esta norma del vector de 2 al cuadrado no podemos escribir como b2 producto punto b 2 y luego tenemos que restarle la norma de la proyección sobre la recta l del vector b2 que hay pero también hace un montón de vídeos vimos una forma para encontrar esto la proyección sobre la recta el del vector b2 esto lo que vimos hace un montón de vídeos es que es igual a b2000 que es este producto punto b 1 que es el generador de la recta sobre la cual estamos proyectando que es la recta l entre una especie de la norma del vector generador que esté uno producto punto b 1 y algo que hay que notar aquí que una vez que hacemos el producto punto entre dos vectores eso es igual a de un número un número real de entonces todo esto de aquí es simplemente un número de hecho hasta lo podemos ver como un escalar entonces multiplicamos a este escalar por el vector que genera a la recta l en este caso es de 11 may entonces tenemos aquí a de uno y lo multiplicamos por un escalar el escalar apropiado que hace que nos quede un vector sobre esta misma recta l pero que se ajustó la proyección de nuestro sector b 2 sobre la recta el b y es justo este el escalar que hace que eso suceda entonces aquí lo que tenemos que poner como pasamos la norma de la proyección sobre el elector b2 al cuadrado del otro lado del igual y lo respetamos que entonces tenemos que poner aquí la norme de este vector de dos productos punto de uno entre b1 producto punto b 1 luego ésta es una escala que está multiplicando al vector b1 key y tenemos que elevar esa norma al cuadrado que esta norma como ésta que al igual que como lo vimos aquí la norma de un vector al cuadrado es simplemente el producto punto del vector consigo mismo entonces aquí h cuadrada es igual a como éste con el mismo color de 2 producto punto b 2 que es la norma del vector de 2 - aquí tenemos el escalar b2 producto punto de uno entre de un producto punto de uno por el vector b1 todo esto es un vector pero éste su parte escalar y éste el rector víctor producto punto otra vez el escalar b2 producto punto b 1 entre b1 producto punto b 1 por el vector b1 entonces vamos a tener que seguir reescribiendo esto h2 es igual a b2 producto punto b 2 ahora nosotros sabemos que el producto punto entre dos sectores es asociativo con respecto a las escalares si eso es equivalente a decir que el producto puntos saca escalares que entonces aquí tenemos menos escalar que es b2 producto punto de uno entre b1 producto punto b uno por el otro escala o sea b2 producto punto de uno entre b1 producto punto b 1 que ya sé que son el mismo y podría tal vez aquí nada más ponerle el cuadrado pero creo que los vamos a necesitar escritos con todas sus letras entonces éste es una escala que está multiplicando a este producto punto entre estos dos vectores o sea está multiplicando a b1 producto punto b 1 y entonces podemos decir que éste se cancela con éste y entonces ya nada más nos quedan estos números pueden volver a escribir para que cache al cuadrado es igual la b2 producto punto b 2 no se nos olviden de dos productos punto b 2 - aquí tenemos b2 producto punto b 12 veces sea de dos productos punto 1 al cuadrado entre uno solo de estos de b1 producto punto b 11 producto punto de uno aunque entonces esto es h al cuadrado pero nosotros queríamos nada más h cierto a ver aquí en nuestra fórmula para el área de este paralelogramo nosotros sabemos que tenemos aquí el área es igual a estévez que simplemente la norma del vector de uno que es el que genera la línea l aquí tenemos por aquí algunos b1 por h no h al cuadrado si quisiéramos h aquí podríamos simplemente sacar raíz cuadrada de los dos lados y tendríamos h igual a la raíz de esta resta pero todo se complicaría muchísimo más entonces lo que vamos a hacer es primero encontrar el área al cuadrado que simplemente esta norma de un vector al cuadrado por h al cuadrado la cual ya la tenemos por acá y después sacarle la raíz cuadrada al área al cuadrado que entonces por aquí tenemos que el área al cuadrado es igual tenemos por ahí que era la norma del vector de uno al cuadrado por h al cuadrado h al cuadrado y hay que hacer hincapié en que esta cantidad ya la tenemos es de acá que son estos productos puntos entre vectores que ya conocemos así es que el área al cuadrado igual a b1 producto punto b 11 producto punto b 1 porque eso es igual a la norma del vector al cuadrado por b2 producto punto de 2 - b2 producto punto b 1 al cuadrado entre b1 producto punto de uno pero aquí ya no nos queda espacio entonces vamos a pasarnos para que los que el área al cuadrado es igual a todo esto de aquí vamos a distribuir el paréntesis entonces de 1 producto punto b 1 que es un número real por b2 producto punto b 2 1 punto b 1 por b 2 producto punto b 2 y aquí pues tenemos que es de 1 producto punto b 1 por de dos productos punto b 1 al cuadrado entre ve uno producto punto b 1 entonces como son números tal cual éste se va a cancelar con éste y entonces nos queda nada más este de aquí que por cierto se está restando aquí nos queda menos dos productos punto de uno al cuadrado y yo creo que es tiempo de recordar quiénes son los vectores de 21 aquí tenemos que el vector de uno es el vector ac y el vector de dos es el vector b de entonces ya vamos a llegar a la parte en la que sustituyen a los valores de los sectores b1 y b2 que hay aquí tenemos que tener en mente todo el tiempo a partir de este momento que ve uno es igual el vector a b2 es igual el vector de que entonces nosotros tenemos que el área al cuadrado de nuestro paralelogramo es igual a la de uno producto punto b 1 entonces tenemos aquí b1 que hace producto punto hace saber transcribirlo para que ese producto punto c como ésta que el producto punto pues esto simplemente esté por éste que es acordar nada más este por éste que se cuadrada y así igual vamos a hacer para el resto de estos productos puntos entonces yo creo que mejor vamos a borrarlo y ponerlo directamente qué hay entonces de 1 producto punto b 1 es cuadrada cuadrada y esto lo hay que multiplicar por b 2 producto punto b2 b2 producto punto de doce simplemente ve cuadrada porque estuve por b de cuadrada me dé por de que es de cuadrada de cuadrada y después tenemos que restarle b2 producto punto b 1 al cuadrado que en los que resta b 2 producto punto b 16 a por be y uve más de porsche o sea se por de al cuadrado que entonces nosotros queremos desarrollar esto así es que tenemos que el área al cuadrado de nuestro paralelogramo a cuadrada por de cuadrada a cuadrada por be cuadrada mesa cuadrada por de cuadrada a cuadrada por de cuadrada más adecuada por b cuadrada se encuadrada por b cuadrada más se cuadrada por de cuadrada de cuadrada por de cuadrada y ahora menos lo que nos quede desarrollando este binomio al cuadrado y de eso lo que nos queda es a por ve al cuadrado sea aclarada de cuadrada y después tenemos que multiplicar este por éste por un 2 más 2 por b c d más el otro término al cuadrado o sea se ve al cuadrado se cuadrada de cuadrada y entonces lo que tenemos que hacer es distribuir este menos a lo largo del paréntesis entonces vamos a copiar esto tal cual aquí se ha acordado de cuadrada más cuadrada de cuadrada más adecuada de cuadrada nada se cuadraba de cuadrada gay y ahora vamos a distribuir este signo menos dentro del paréntesis y de eso lo que nos queda es menos a cuadrada de cuadrada menos a cuadrada de cuadrada -2 a b c d 2 b c d y menos se cuadrada de cuadra pero ya que tenemos aquí los términos con sus signos menos podemos ver que se van a cancelar un montón de ellos no por ejemplo aquí tenemos a cuadrada de cuadrada y aquí tenemos menos a cuadrada b cuadrado entonces estos dos se cancelen de aquí tenemos se cuadra de cuadrada y por aquí también lo tenemos entonces se cancelan y finalmente nos queda a cuadrada que es en nuestro área al cuadrado iguala a cuadrada de cuadrada más se cuadrada de cuadrada -2 a b c d entonces tú qué opinas te suena familiares de expresión o todavía na bueno te voy a dar una pista vamos a escoger otras variables nada más para hacer este cálculo e o sea de aquí ya podríamos simplificar esta expresión todavía otro paso pero vamos a usar estas variables x y gge x va a ser igual a a por de y lleva a ser igual a sé por qué entonces si escribimos esta expresión utilizando estas variables x y ye que les estoy dando como pista entonces esto es igual a por de que siga la x x al cuadrado más se por ven que es llegue al cuadrado al cuadrado y aquí tenemos menos dos por y aquí tenemos otra vez a de y tenemos b y c o sea que tenemos x porque entonces que tal ya sabes qué es lo que tengo en mente bueno seguramente te acuerdas de que esto es el desarrollo de un binomio al cuadrado como el que tenemos aquí no entonces estoy aquí es exactamente igual a x más al cuadrado pero no lo podemos dejar en términos de xy llegue tenemos que regresar esto a términos de ha de verse y ponemos aquí x iguala a de tenemos que esto es igual a a por de más ye que es igual a seve se ve y tenemos nuestro binomio al cuadrado entonces el área de nuestro paralelogramo iguala a de más se ve al cuadrado si no te suena conocido esto que hicimos para que busquen la página los videos del binomio al cuadrado espero haberte confundido esta cosa de aquí todo esto es exactamente igual a esta cosa que no hay necesidad de ponerlas x y las leyes sólo las puse porque creo que puedo ayudar a que uno visualice bien qué es lo que tenemos aquí pero tal cual esta cosa de aquí es exactamente igual a esta cosa de acá a cabo de notar que echó un error aquí aquí yo lo que puse fue x + d pero esto no es así cierto porque aquí lo que tenemos es menos dos por equis y así es que aquí en lugar de que sea x nadie lo que tenemos es un x - x - de ok aquí también tenemos a de - bc que aquí tuviéramos un 12 quise hoy tuviéramos unas dos a b c d entonces sí tendríamos además bc pero aquí lo que tenemos es un menos así es que si nos queda para que al menos bueno tendría que cometer un error de cuentas eventualmente no entonces a ver aquí el área de nuestro paralelogramo elevada al cuadrado igual a la de menos se dé elevado al cuadrado y esto no suena muy familiar no sobre todo en esta sección de vídeos esto tiene que saltar nos a la vista por qué pues porque esto de aquí vamos a regresar nos para allá para recordar cuál es nuestra matriz original aquí nosotros empezamos con una matriz que es la matriz a que tiene por entradas a b c d y que además es tal que sus vectores columna son vectores estos vectores columna son los vectores que forman un paralelogramo del cual nos estamos preguntando cuál es su área y cuál es el determinante esta matriz a pues el mismo valor de siempre que es a favor de - b porsche ahora sí ya les suena algo entonces esto de aquí es igual a él determinante de la matriz y lo estamos llevando al cuadrado o sea éste es el determinante de a de se ve y eso está súper bonito no súper elegante tenemos que el área el área de nuestro paralelogramo paralelogramo que sacábamos de una matriz teníamos ahí en nuestra matriz y sacábamos los vectores columna y estos vectores formaban los lados del paralelo gramo el chiste es que el área al cuadrado de ese paralelogramo es igual al determinante de la matriz de la cual sacamos los vectores que determinan los lados del paralelo gramo al cuadrado entonces puedan sacar raíz cuadrada de los dos lados y lo que queda es que simplemente el área del paralelo gramo es igual el valor absoluto del determinante de la matriz de la cual sacamos los lados que y es muy importante esto el valor absoluto pero el chiste es que este es un resultado súper elegante súper conciso está aquí escrito en esta ecuación y eso es algo increíble tomando en cuenta la cantidad de cálculos que tuvimos que hacer aquí a la matriz cuyos vectores columna determinen los lados lo que nos interesa es este área de aquí y lo que acabamos de ver es que esta área del paralelogramo es igual a suscribirlo por aquí el área del paralelogramo es igual a el valor absoluto del determinante de la matriz entonces vamos por partes es súper importante esto el valor absoluto el determinante idea porque como hemos visto los determinantes pueden ser negativos y el área de un paralelogramo siempre es positiva por un lado y por el otro si por ejemplo cambiamos estos dos vectores del lugar los dos vectores columna nosotros sabemos por unos vídeos que hemos visto últimamente que eso lo que hace es que cambia el signo del determinante sin embargo si por ejemplo este vector lo cambiamos de este lado y se convierte en este sector y lo mismo este vector lo ponemos de este lado entonces pues el paralelogramo que van a formar van a ser el mismo y por lo tanto el área va a ser la misma sin embargo ahora el determinante va a tener un signo menos por ahí y con el valor absoluto estamos haciendo que sean exactamente iguales estas dos cantidades además de tomar en cuenta eso de que el área siempre es un valor positivo en fin a mí me parece que este resultado es precioso y es muy importante que lo veamos porque originalmente el determinante considerábamos que era una cantidad muy importante porque salía a y de la nada de hecho lo definimos así como de la nada haciendo algunos cálculos tratando de invertir algunas matrices y el determinante como hemos visto es súper importante porque gracias a él podemos determinar si una matriz es invertible o no si el determinante es igual a cero entonces la matriz no es imbatible el determinante es distinto de cero con nosotros sabemos que podemos invertir esa matriz pero aquí encontramos que tiene otra aplicación súper bonita o sea tal cual si tenemos un paralelogramo y tomamos los vectores que representan los lados del paralelo gramo formando una matriz con ellos donde cada lado del paralelogramo sea un vector columna y le sacamos el determinante a esa matriz obtenemos súper fácilmente el área de paralelogramo sin tener que hacer rotaciones ni circo maroma y teatro simplemente hacemos el cálculo del determinante la matriz y listo