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Determinante y área de un paralelogramo

Nos damos cuenta de que el determinante de una matriz 2x2 es igual al área del paralelogramo definido por los vectores columna de la matriz. Creado por Sal Khan.

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Transcripción del video

empecemos con una matriz de 2 x 2 la famosa matriz con entradas a d y d y bueno esta matriz está compuesta por dos vectores columna este vector columna que llamémosle el vector b 1 y este vector columna al cual le vamos a llamar b 2 y podemos describirlos por acá de 1 es igual al vector y b2 pues es igual al vector de d y bueno son dos vectores que pertenecen a r2 y pues sería bueno graficar los para tener una imagen visual de estos vectores entonces vamos a poner aquí nuestros ejes el eje vertical y el eje horizontal y entonces nuestro primer vector b1 digamos que es este vector este es uno y su coordenada horizontal es esta que tiene el valor de a mientras que su coordenada vertical pues está por acá y tiene un valor de c ahora vamos con el vector b 2 digamos que es un vector por acá de 2 y su coordenada horizontal pues está por acá y es b mientras que su coordenada vertical está por acá y es de y en lo que nos vamos a enfocar en este vídeo es en el paralelogramo definido por estos dos vectores aunque hay como son podemos pensar que son vectores de posición o sea que aquí nos definen dos puntitos justo el punto hace y bb y vamos a considerar también el punto cero cero para que ella tengamos tres puntos del paralelogramo y pues ya que tenemos los tres puntos del paralelogramo tenemos ya muy bien definido al paralelogramo no ya tenemos dos lados estos dos lados que no son paralelos entonces los otros dos lados del paralelo gramo tienen que ser paralelos a estos así es que otro lado de este paralelogramo se tiene que ver más o menos así como paralelo a este lado y el otro lado más o menos así y algo que nos interesa mucho que vamos a ver en este vídeo es el área de este paralelogramo ok para logramos gramos ahora los parales logramos ya sabemos muy bien cómo sacar su área digamos cualquier paralelogramo este es un paralelogramo un poco chueco pero su área se saca de la misma forma entonces el área de este paralelogramo nosotros sabemos que es igual a la base esta es la base base por la altura del paralelo gramo y para sacar la altura de un paralelogramo lo que hacemos es sacar aquí algo perpendicular a la base y a este esta cosa de aquí le llamamos la altura y el área de este paralelogramo es simplemente base por altura entonces cuál va a ser el área de este paralelogramo pues igual va a ser simplemente el área va a ser igual a la base por la altura aunque hay pero aquí pues podemos sustituir este base y esta altura por los términos correspondientes porque aquí tenemos saber 192 no entonces este área va a ser igual a la base en este caso es este vector de aquí entonces todo esto de aquí tenemos que sacar cuál es la longitud de este vector y esa es la base entonces aquí nosotros sabemos que la base es igual a la longitud del vector b 1 y tenemos que multiplicar la por la altura pero la altura está un poco más complicada porque aquí tenemos que sacar una recta perpendicular a este vector que pase por el punto por este puntito que es representado por b 2 que esta recta tiene que ser ortogonal a b 2 y después tenemos que sacar la longitud de este segmento y como le vamos a hacer para hacer eso como vamos a encontrar a esta h pues algo que podemos hacer es tratar de encontrar este vector destructor de aquí por qué pues porque si encontramos este vector y lo encontramos en términos que ya conozcamos sociedad en términos de b1 y b2 entonces podemos hacer el teorema de pitágoras y encontrar a h a través de estos dos vectores ok porque como este es un ángulo recto entonces la longitud de este vector al cuadrado más h al cuadrado es igual a la norma del vector 2 la longitud de este vector al cuadrado y entonces así podemos encontrar h ok pero cómo le hacemos para encontrar este vector de aquí bueno pues resulta que este vector de aquí es la proyección del vector de 2 sobre la línea generada por el vector b 1 aunque yo creo que tenemos que empezar por generar la línea así es que digamos que él y generaba n x el rector héctor de uno que es lo que hacemos para generar a él pues tomamos el vector de uno y tomamos todos los puntos que se pueden representar como una escalar veces ese vector ok estamos tomando todos los múltiplos del vector b 1 o sea que con eso vamos a generar este instructor este vector también por acá aquí todos estos puntos se pueden poner como una escala de 6 b 1 y lo mismo para acá ok entonces esta es la línea del esta es el y entonces este vector de acá este vector de acá es la proyección pero llegué sión sobre la línea l de el vector de 2 de hecho a lo largo de este vídeo en lugar escribir toda la palabra proyección simplemente vamos a poner proyección sobre la línea l1 la cual es generada por el vector de uno de el vector de dos ok bueno y como estamos tan seguros de que en realidad este vector es la proyección de ver dos sobre la línea l pues tal vez digo no podemos demostrarlo ahorita eso lo vimos hace muchísimos vídeos pero ahí está en algún lugar de la página pero tal vez esto te recuerde un poco que tenemos aquí nuestra recta tenemos aquí nuestro objeto y podemos pensar en que el sol está en algún punto muy lejano perpendicular a esta línea ok y entonces manda a sus rayos de luz por aquí y este vector de acá es la sombra que proyecta este vector bueno creo que sería mejor borrar nuestros rayos de luz ok entonces ya que tenemos aquí todos los elementos ya podemos calcular cuánto vale h porque por el teorema de pitágoras como aquí tenemos un ángulo recto entonces esto es un cateto este es otro cateto y esta es la hipotenusa entonces podemos usar el teorema de pitágoras que nos dice que la longitud de este lado que es h simplemente al cuadrado más la longitud de este otro vector que es la proyección sobre l del vector de 2 longitud se mide con la norma de proyección sobre el del vector de 2 la norma de este vector al cuadrado que es este cateto al cuadrado eso estas dos cantidades son iguales a la longitud de este otro vector que es la hipotenusa que es el vector b2 b2 su longitud al cuadrado ok esto es simplemente el teorema de pitágoras no hay nada extraño por aquí si no te suena el teorema de pitágoras seguro puedes encontrarlo en algún vídeo en la página esto es simplemente el teorema d pitágoras pitágoras aunque hay aquí está fórmula nunca la terminamos aquí estévez es simplemente la norma del vector b 1 como veíamos por acá y aquí nos falta ponerle una h y entonces nosotros queremos encontrar h pero pues empecemos por encontrar h cuadrada ok entonces podemos despejar y lo que nos queda es que h al cuadrado es igual a la norma del vector b 2 al cuadrado pero la norma de un vector al cuadrado es igual a tomar el vector y hacerle producto punto consigo mismo y por qué porque si este es el vector por ejemplo x cuando haces el producto punto de xy producto punto equis y lo que te queda es x cuadrada más re cuadrada y eso es el cuadrado de la norma del vector b 2 entonces esta norma del vector b 2 al cuadrado la podemos escribir como b 2 producto punto b 2 y luego tenemos que restarle la norma de la proyección sobre la recta l del vector b 2 pero también hace un montón de vídeos vimos una forma para encontrar esto la proyección sobre la recta l del vector de 2 esto lo que vimos hace un montón de vídeos es que es igual a b 2 que este producto punto b 1 que es el generador de la recta sobre la cual se estamos proyectando que es la recta l entre una especie de la norma del vector generador que es b 1 producto punto b 1 y algo que hay que notar aquí es que una vez que hacemos el producto punto entre dos vectores eso es igual a un número un número real aunque entonces todo esto de aquí es simplemente un número de hecho hasta lo podemos ver como un escalar entonces multiplicamos a este escalar por el vector que genera a la recta l que en este caso es b uno de uno ok entonces tenemos aquí a de uno y lo multiplicamos por un escalar el escalar apropiado que hace que nos quede un vector sobre esta misma recta l pero que sea justo la proyección de nuestro vector b 2 sobre la recta l y es justo este el escalar que hace que eso suceda entonces aquí lo que tenemos que poner como pasamos la norma de la proyección sobre l del vector b 2 al cuadrado del otro lado del igual los resta más que entonces tenemos que poner aquí la norma de este vector de dos productos punto de uno / v 1 producto punto b 1 y luego este es una escala que está multiplicando al vector b 1 aunque y tenemos que elevar esa norma al cuadrado ok y esta norma como se saca al igual que como lo vimos aquí la norma de un vector al cuadrado es simplemente el producto punto del vector consigo mismo aunque entonces aquí h cuadrada es igual déjame pongo este con el mismo color de dos productos punto de dos que es la norma del vector de 2 - y aquí tenemos el escalar de dos producto punto de uno / v 1 producto punto b 1 por el vector b1 que todo esto es un vector pero esta es su parte escalar y este es el vector vector producto punto otra vez el escalar de dos productos punto b 1 / b 1 producto punto b 1 por el vector b1 ok entonces vamos a tener que seguir reescribiendo esto h 2 es igual de 2 producto punto b 2 ahora nosotros sabemos que el producto punto entre dos vectores es asociativo con respecto a los escalares si eso es equivalente a decir que el producto punto saca escalares que entonces aquí tenemos menos este escalar que es de 2 producto punto de 1 / v 1 producto punto b 1 por el otro escalar o sea v2 producto punto de 1 / v 1 producto punto b 1 que ella sé que son el mismo y podría tal vez aquí nada más ponerle el cuadrado pero creo que los vamos a necesitar escritos con todas sus letras y entonces este es una escala que está multiplicando a este producto punto entre estos dos vectores o sea que está multiplicando a b1 producto punto b 1 y entonces podemos decir que éste se cancela con este y entonces ya nada más nos quedan estos números pueden volver a escribir por acá h al cuadrado es igual de dos productos punto b 2 no se nos olvide de 2 producto punto de 2 - aquí tenemos de 2 producto punto b 1 2 veces o sea de dos productos punto b 1 al cuadrado entre uno solo de estos de v1 producto punto b uno no de un producto punto de uno aunque entonces esto es h al cuadrado pero nosotros queríamos nada más h cierto a ver aquí en nuestra fórmula para el área de este paralelogramo nosotros sabemos que tenemos aquí que el área es igual a estévez que es simplemente la norma del vector de uno que es el que genera la línea l aquí tenemos por aquí algunos b 1 por h no h al cuadrado si quisiéramos h aquí podríamos simplemente sacar raíz cuadrada de los dos lados y tendríamos h igual a la raíz de esta resta pero todo se complicaría muchísimo más entonces lo que vamos a hacer es primero encontrar el área al cuadrado que es simplemente esta norma de un vector al cuadrado por h al cuadrado la cual ya la tenemos por acá y después sacarle la raíz cuadrada al área al cuadrado ok entonces por aquí tenemos que el área al cuadrado es igual teníamos por ahí que era la norma del vector b 1 al cuadrado por h al cuadrado de h al cuadrado y hay que hacer hincapié en que esta cantidad ya la tenemos es esta de acá que son estos productos puntos entre vectores que ya conocemos así es que el área al cuadrado es igual a b1 producto punto b 1 de un producto punto de uno porque eso es igual a la norma del vector al cuadrado por b 2 producto punto de 2 menos de 2 producto punto b 1 al cuadrado / v 1 producto punto b 1 pero aquí ya no nos queda espacio entonces vamos a pasarnos para que tenemos que el área al cuadrado es igual a todo esto de aquí vamos a distribuir el paréntesis entonces de 1 producto punto b 1 que es un número real por b 2 producto punto b2b 1 producto punto b 1 x de dos productos punto de dos y aquí pues tenemos que es de 1 producto punto b 1 por de 2 producto punto b 1 al cuadrado / b 1 producto punto b 1 entonces como son números tal cual éste se va a cancelar con este y entonces nos queda nada más este de aquí que por cierto se está restando entonces aquí nos quedan menos de dos productos punto de uno al cuadrado y yo creo que es tiempo de recordar quiénes son los vectores b2 b1 aquí tenemos que el vector de 1 es el vector hacer y el vector de 2 es el vector b de entonces ya vamos a llegar a la parte en la que sustituimos los valores de los vectores b1 y b2 que hay aquí tenemos que tener en mente todo el tiempo a partir de este momento que ve uno es igual al vector y b2 es igual al vector de d aunque entonces nosotros tenemos que el área al cuadrado de nuestro paralelogramo es igual a b1 producto punto b 1 ok entonces tenemos aquí b 1 que es hace producto punto hace saber con escribirlo porque producto punto y como se saque el producto punto pues esto es simplemente este por este que es cuadrada más este por este que es cuadrada ok y así igual vamos a hacer para el resto de estos productos puntos entonces yo creo que mejor vamos a borrarlo y ponerlo directamente aunque entonces de un producto punto b 1 es cuadrada + se cuadrada y esto lo tenemos que multiplicar por b 2 producto punto b2 b2 producto punto b 2 es simplemente de cuadrada porque es b por b de cuadrada más depor de que es de cuadrada de cuadrada y después tenemos que restarle de dos productos punto v 1 al cuadrado entonces tenemos que restar de dos productos punto b 1 a por b por ver más de porsche o sea se por d al cuadrado aunque entonces nosotros queremos desarrollar esto así es que tenemos que el área al cuadrado de nuestro paralelogramo a cuadrada por de cuadrada a cuadrada por be cuadrada más cuadrada por de cuadrada a cuadrada por be cuadrada más cuadrada por be cuadrada se cuadrada por be cuadrada más se cuadrada por de cuadrada se cuadrada por de cuadrada y ahora menos lo que nos quede desarrollando este binomio al cuadro y de eso lo que nos queda es a por b al cuadrado o sea a cuadrada de cuadrada y después tenemos que multiplicar éste por éste por un 2 o sea que nos queda más dos por a b c de más el otro término al cuadrado osea cede al cuadrado se cuadrada de cuadrada y entonces lo que tenemos que hacer es distribuir este menos a lo largo del paréntesis entonces vamos a copiar esto tal cual aquí a cuadrada de cuadrada más cuadrada de cuadrada más cuadrada de cuadrada más se cuadrada de cuadrada y ahora vamos a distribuir este signo menos dentro del paréntesis y de eso lo que nos queda es menos a cuadrada de cuadrada menos a cuadrada de cuadrada menos 2 abc de 2 a b c d y menos se cuadrada de cuadrada pero ya que tenemos aquí los términos con sus signos menos podemos ver que se van a cancelar un montón de ellos no yo por ejemplo aquí tenemos a cuadrada de cuadrada y aquí tenemos menos a cuadrada b cuadrado entonces estos dos se cancelan y aquí tenemos se cuadrada de cuadrada y por aquí también lo tenemos entonces se cancelen y finalmente nos queda a cuadrada que es en nuestro área al cuadrado igual a cuadrada de cuadrada más cuadrada de cuadrada menos 2 a b c d entonces tú qué opinas te suena familiar esta expresión o todavía no bueno te voy a dar una pista vamos a escoger otras variables nada más para hacer este cálculo o sea de aquí ya podríamos simplificar esta expresión todavía otro paso vamos a usar estas variables x y xi x va a ser igual a por de y va a ser igual a por qué entonces si escribimos esta expresión utilizando estas variables xy ya que las estoy dando como pista entonces esto es igual a por de que es igual a x x al cuadrado más se por b que es y al cuadrado al cuadrado y aquí tenemos menos 2 x y aquí tenemos otra vez y tenemos b&c o sea que tenemos equis porque entonces qué tal ya sabes qué es lo que traigo en mente bueno seguramente te acuerdas de que esto es el desarrollo de un binomio al cuadrado como el que teníamos aquí no entonces esto de aquí es exactamente igual x más al cuadrado pero no lo podemos dejar en términos de xy ya tenemos que regresar esto a términos de a de vc y ponemos aquí x iguala a d entonces tenemos que esto es igual a x de más ya que es igual a c b y tenemos nuestro binomio al cuadrado ok entonces el área de nuestro paralelogramo es igual a de más cb al cuadrado si no te suena conocido esto que hicimos para que busquen en la página los vídeos del binomio al cuadrado pero a ver espero no haberte confundido esta cosa de aquí todo esto es exactamente igual a esta cosa de acá que no hay necesidad de poner las xy leyes sólo las puse porque creo que puede ayudar a que uno visualice bien qué es lo que tenemos aquí pero tal cual esta cosa de aquí es exactamente igual a esta cosa de aquí acabo de notar que he hecho un error aquí aquí yo lo que puse fue x + d pero esto no es así cierto porque aquí lo que tenemos es menos dos por xy así es que aquí en lugar de que sea x nadie lo que tenemos es un x menos d x menos de ok aquí también tenemos a de menos veces que si aquí tuviéramos unas 2 x llevo aquí tuviéramos un +2 a dsb entonces sí tendríamos a de más veces pero aquí lo que tenemos es un menos así es que si nos queda por acá el menos bueno tenía que cometer un error de cuentas eventualmente no entonces saber aquí el área de nuestro paralelogramo elevada al cuadrado es igual a de menos se ve elevado al cuadrado y eso no suena muy familiar no sobre todo en esta sección de vídeos esto tiene que saltarnos a la vista por qué pues porque esto de aquí a ver vamos a regresar nos para allá para recordar cuál es nuestra matriz original aquí nosotros empezamos con una matriz que es la matriz que tiene x entradas a b c d y que además es tal que sus vectores columna son vectores estos vectores columna son los vectores que forman un paralelogramo del cual nos estamos preguntando cuál es su variedad y cuál es el determinante de esta matriz a pues es el mismo valor de siempre que es a por de menos b por c ahora si ya les suena algo entonces esto de aquí es igual a el determinante de la matriz a y lo estamos elevando al cuadrado o sea este es el determinante de a de c b y eso está súper bonito super elegante tenemos que el área el área de nuestro paralelogramo paralelogramo que acabamos de una matriz a teníamos allí en nuestra matriz y sacábamos los vectores columna y estos vectores formaban los lados del paralelo gramo bueno el chiste es que el área al cuadrado de ese paralelogramo es igual al determinante de la matriz de la cual sacamos los vectores que determinan los lados del paralelo gramo al cuadrado aunque entonces pueden sacar raíz cuadrada de los dos lados y lo que queda es que simplemente el área del paralelogramo es igual a el valor absoluto del determinante de la matriz de la cual sacamos los lados y ahí es muy importante es todo el valor absoluto pero bueno el chiste es que este es un resultado súper elegante super conciso está aquí escrito en esta ecuación y eso es algo increíble tomando en cuenta la cantidad de cálculos que tuvimos que hacer aunque tenemos aquí a la matriz cuyos vectores columna determinan los lados lo que nos interesa es este área de aquí y lo que acabamos de ver es que esta área del paralelogramo es igual vamos a escribirlo por aquí el área del paralelogramo es igual a el valor absoluto del determinante de la matriz a entonces vamos por partes porque es súper importante esto el valor absoluto del determinante de a porque como hemos visto los determinantes pueden ser negativos y el área de un paralelogramo siempre es positiva por un lado y por el otro si por ejemplo cambiamos estos dos vectores del lugar estos dos vectores columna nosotros sabemos por unos vídeos que hemos visto últimamente que eso lo que hace es que cambia el signo del determinante sin embargo si por ejemplo este vector lo cambiamos de este lado y se convierte en este vector y lo mismo este vector lo ponemos de este lado entonces pues el paralelogramo que van a formar van a ser el mismo y por lo tanto el área va a ser la misma sin embargo ahora el determinante va a tener un signo menos por ahí con el valor absoluto estamos haciendo que sean exactamente iguales estas dos cantidades además de tomar en cuenta eso de que el área siempre es un valor positivo en fin a mí me parece que este resultado es precioso y es muy importante que lo veamos porque originalmente el determinante considerábamos que era una cantidad muy importante porque salía allí de la nada de hecho lo definimos así como de la nada haciendo algunos cálculos tratando de invertir algunas matrices y el determinante como hemos visto es súper importante porque gracias a él podemos determinar si una matriz es invertible o no si el determinante es igual a cero entonces la matriz no es invertible y si el determinante es distinto de cero eso nosotros sabemos que podemos invertir esa matriz pero aquí encontramos que tiene otra aplicación súper bonita o sea tal cual si tenemos un paralelogramo y tomamos los vectores que representan los lados del paralelo gramo formando una matriz con él donde cada lado del paralelogramo sea un vector columna y le sacamos el determinante a esa matriz obtenemos súper fácilmente el área de ese paralelogramo sin tener que hacer rotaciones ni circo maroma y teatro simplemente hacemos el cálculo del determinante de la matriz y listo