Determinante como factor de escala

digamos que tenemos los ejes coordinados aquí tenemos el eje de las leyes aquí tenemos el eje de las equis aunque ya estamos en r2 y digamos que tenemos cuatro puntos ok empezamos por el punto cero cero el punto 00 lo podemos denotar de esta forma y como siempre es mucho más fácil ponerle nombres a todas las cosas así es que a este punto le voy a empezar a llamar a muy bien ahora digamos que tenemos otro punto que está especificado por las coordenadas que a 10 te parece bien este punto entonces lo que tenemos que hacer es fijarnos en el eje de las equis buscar a cada uno digamos que está por acá que 1 y entonces nuestro punto es justo este puntito ok el vector que a cero es este vector y este es el punto que determine al cual le vamos a empezar a llamar b digamos que también tenemos otro punto porque se empieza a notar que quiero hacer un rectángulo verdad bueno y este vector que termina este punto es el vector k1 k2 ok así es que por acá está el escalar cada dos que estés cada uno es cada dos y finalmente vamos a escoger el último punto y ese va a ser este puntito por aquí ok y este vector no es otra cosa que el vector 0 k 2 ok a este punto le vamos a llamar el punto y en este punto le vamos a llamar el punto se habrá algo que nos interesa de estos cuatro puntos es el rectángulo que forman estos cuatro puntos a la hora de unirlos forman este rectángulo déjamelo abrevió y en lugar de poner rectángulo le pongo simplemente rec es el rectángulo del rey formado al conectar al conectar los puntos los puntos abc y the monkey d aunque yo sea justo este rectángulo este es el rectángulo rec y bueno ya que tenemos un rectángulo nos podemos preguntar cuál es el área contenida dentro de este rectángulo cierto a ver cuál es el a área del rectángulo néctar pues si te fijas bien este es un rectángulo común y corriente y el área contenida dentro de cualquier rectángulo y simplemente va a ser por altura la base es esta longitud de aquí y esta longitud es simplemente que a 1 entonces el área del rectángulo es por la altura pero la altura es la longitud de este otro vector y esta es simplemente k 2 entonces aquí tenemos que el área contenida en el rectángulo es k 1 por k 2 bueno hasta este punto no te he enseñado nada del otro mundo pero si vamos a ver cosas interesantes en este vídeo vamos a transformar a este rectángulo aunque hoy vamos a usar la transformación t te va a ser una transformación de r2 en r2 que la podemos escribir como si aplicamos ate en un vector x eso es igual a tomar la matriz ha de ser de y multiplicarla por el vector x entonces lo que nos interesa es ver como esta transformación transforma a este rectángulo y vimos hace muchos vídeos que para encontrar la imagen de un rectángulo bajo una transformación de esta forma lo único que necesitábamos era saber a dónde van a dar cada una de las esquinas ok entonces lo primero que tenemos que hacer es encontrar cuál es la imagen bajo t de estos cuatro puntos entonces empecemos por ver cuál es t d esto es simplemente de de ser entonces ponemos aquí en nuestro vector 0 0 y nos queda 0 x + 0 por ver eso está en la primera entrada y eso es simplemente un 0 y para obtener la segunda entrada del vector tenemos que multiplicar 0 por c + 0 por d y eso es simplemente un 0 aunque ya ahora vamos con la transformación aplicada al punto b o sea la transformación en k 1 0 ok cada uno por a +0 por be o sea a por cada uno y en la segunda entrada nos queda cada uno por c + 0 por d o sea que a 1 x 6 sé por cada uno y listo ahora veamos que aplicado al punto c transformando a k1 k2 y eso es igual tenemos aquí cada uno por a cada uno por a más k 2 x b cada 2 por b y en la segunda entrada tenemos cada uno por ser uno por ser más k 2 por d 2 por d finalmente tenemos que evaluar la transformación en el punto b o sea tenemos que sacar la transformación de 0 a 2 0 2 0 x 0 +2 por b cada 2 por b y en la segunda entrada nos queda 0 x 0 mascados por de jose a cada dos por d entonces vamos a volver a dibujar nuestros x coordenadas este es el eje vertical y este es el eje horizontal y ahora dibujemos en estos nuevos ejes la imagen de nuestro rectángulo reik bajo la transformación de ok entonces como vimos hace muchos vídeos lo que tenemos que hacer es dibujar las imágenes de nuestros puntitos bajo la transformación t y después unir esos puntos gay porque esta es una transformación lineal entonces te vea o sea te dé 0 0 se va al 0 0 así es que aquí tenemos un puntito que éste d pero cero luego vamos a dibujar tv que es acá uno y después seca uno ok entonces pues no sabemos quiénes son hacen ivd pero digamos que al graficar este vector se ve de esta forma ok entonces este puntito por acá tiene que ser a cada uno este puntito por acá tiene que ser cada uno aunque este es el otro punto de la imagen de nuestro rectángulo bien entonces tenemos que dibujar cuál es la imagen bajo la transformación de dc pero saben que iba a ser muchísimo más fácil si dibujamos primero en este punto ok entonces estamos dibujando la imagen de este puntito que resulta ser k2b y k2 de entonces digamos que lo grafica mos y que queda más o menos por acá ok este punto de aquí k 2 b y este punto de aquí cada dos de ok este puntito de aquí es de de y este puntito de aquí este de de entonces nada más nos falta que desee ahora te desea es cada uno a más cada 2 b aquí tenemos cada uno a más k 2 b entonces tenemos que tomar esta longitud y sumarse la a esta longitud así es que nos va a quedar más o menos por qué entonces ustedes se va a estar en algún punto en esta recta y por otro lado tenemos que la segunda coordenada de ted s es cada uno se masca 2 d aunque hay aquí tenemos cada uno se y aquí tenemos acá 2 d entonces otra vez tenemos que tomar esta longitud y sumarse la a esta longitud entonces nos va a quedar más o menos por aquí este puntito es cdc entonces como decíamos la imagen de este rectángulo bajo la transformación te la podemos obtener simplemente uniendo estos puntos que son las imágenes de los vértices de este rectángulo entonces este lado del rectángulo cuando le aplicamos la transformación t se transforma en este lado del rectángulo imagen y lo mismo pasa con este lado del rectángulo aunque cuando le aplicamos la transformación t se transforma en este lado ya nada más nos falta este lado del rectángulo que se transforma en este lado del rectángulo imagen y finalmente el último lado del rectángulo este lado de aquí se transforma en este lado de aquí entonces este rumbo de aquí es la imagen bajo la transformación de este rectángulo que este rombo la imagen del rectángulo rec bajo la transformación qué imagen del rectángulo rec bajo la transformación de y algo que nos podemos preguntar ahora es cuál es el área de este rumbo entonces ahorita lo que queremos es averiguar cuál es el área de té de rey ok y para sacar el área de este rombo podemos acordarnos del vídeo pasado para empezar este rombo es un paralelogramo generado por estos dos vectores entonces pues podemos poner una matriz matriz a cada uno cada uno de cada dos y de cada dos estuve aquí los saque de este vector ok tomamos los dos vectores que generan a este paralelogramo o sea este vector que es el vector a caa1 a ca 1 c k 1 se k 1 entonces este vector columna de esta matriz es nada más y nada menos que te aplicado a b y este otro vector columna de aquí lo sacamos del otro vector que general paralelogramo o sea de t aplicado a de gei t aplicado de es k 2 b y su otra coordenada es k 2 por d y aquí también pusimos deportados entonces esta es una matriz cuyos vectores columna estos dos vectores son sus vectores columna generan a un paralelogramo y lo que vimos en el vídeo pasado es que el valor absoluto del determinante de esta matriz es exactamente igual al área de este paralelogramo que a su vez es la imagen del rectángulo que teníamos en un inicio aquí pero tenemos que escribirlo todo con calma vamos a empezar por llamarle a esta matriz la matriz y de imagen y entonces lo que sabemos a partir de lo que vimos en el vídeo pasado es que el valor absoluto del determinante de la matriz y osea el valor absoluto del determinante de esta matriz esto es igual al área del paralelogramo generado por los vectores columna de la matriz i y estos vectores columnas son este vector y este vector que generan a este paralelogramo que es la imagen bajo t de el rectángulo que teníamos originalmente ok entonces el determinante de la matriz y es igual al área al área de la imagen bajo la transformación del rectángulo rec ok muy bien entonces vamos a empezar por calcular este determinante que como es una matriz de 2 x 2 es muy fácil de calcular simplemente acá uno por de cada dos a cada uno x de que dos menos becados por seca uno de cada dos por cero cada uno pero le tenemos que poner valor absoluto entonces el determinante de un valor absoluto es igual a esto de aquí y aquí lo que podemos hacer es factorizar el k1 y k2 de estos dos términos y entonces nos queda que uno por cada dos por ab - b c que ella empieza a sonar conocido esto por aquí bueno pues resulta que esto de aquí es el determinante de la matriz que define a la transformación t aunque sea esta matriz de aquí le llamamos la matriz a entonces esto de aquí es el determinante de la matriz a y entonces el área de la imagen de nuestro rectángulo bajo la transformación t es igual en cada uno por cada 2 por el valor absoluto del determinante de la matriz a recordemos que la matriz a es la que define a la transformación t y esto es algo súper interesante súper bonito si tenemos un conjunto que tiene cierta área en este caso el conjunto es un rectángulo y el área es cada uno por cada 2 igual a cada uno porque a 2 y tenemos una transformación lineal que al ser lineal se puede escribir como la multiplicación de una matriz que en este caso va a ser la matriz multiplicando al vector en el cual estamos evaluando a la transformación entonces el área de la imagen de nuestro conjunto bajo la transformación t o sea el área dt del conjunto va a ser igual al área original por el determinante de la matriz que define a la transformación t ok tenemos aquí nuestro conjunto que tiene un área de tamaño que a 1 por cada 2 si nos fijamos en la imagen bajo la transformación t de ese conjunto el área de ese conjunto va a ser igual al área que teníamos antes por el determinante de la matriz a que define a la transformación t y listo eso está precioso no y es una idea muy bonita o sea el determinante de la matriz que define a la transformación hacia el determinante de a es el factor de escala entre el área del rectángulo original y el área de la imagen y eso no lo voy a demostrar con todo cuidado pero podemos visualizarlo no sea digamos por aquí tenemos nuestro dominio r2 y digamos que tenemos una región un conjunto vamos a poner un conjunto que sea familiar para todos pongamos por ejemplo una elipse y a este elipse como siempre es bueno poner los nombres a las costas vamos a decir que es de elipse y esta elipse pues tiene cierta área y digamos que el área el área de nuestra elipse es simplemente a digamos también que tenemos una transformación una transformación t que va de los reales en la segunda dimensión o sea de todos r2 otra vez y que además es una transformación lineal que se puede escribir como de x igual a una matriz de multiplicada por el vector en el que estamos evaluando a la transformación aunque entonces digamos que este elipse cuando le aplicamos la transformación te va a dar a otro conjunto digamos esta región ok entonces esto de aquí este d y estamos diciendo que cada uno de los puntitos de la elipse o sea del contorno de esta región va a dar a algún puntito de este contorno gay y que cualquier puntito de este contorno es la imagen de algún puntito por acá si no no formaría parte de la imagen tv bueno esto no lo vamos a demostrar pero resulta que cada puntito adentro de la elipse termina dentro de la elipse tve y que además cada puntito adentro de tve o sea todos estos puntos de aquí cada uno de los puntos de aquí adentro son la imagen de algún puntito adentro de la elipse ok todo este conjunto va a dar bajo la transformación t a este conjunto de aquí no vamos a demostrar esto solo lo vamos a visualizar el chiste es que si sacamos el área de esta región su área es igual a el área de la región original o sea el área de esta elipse que es a a por el valor absoluto del determinante de la matriz b de esta matriz que define a la transformación t y bueno tal vez parezca un salto demasiado grande eso de pasar de rectángulos a formas curvas como esta pero en realidad no lo es tanto o sea porque estas formas curvas las podemos ver como una unión de rectángulos o sea tenemos aquí en nuestra elipse y podemos llenarla aquí de rectángulos o sea podemos hacer una cuadrícula esta figura de rectángulos por adentro y en las orillas donde se ve que como que no caben rectángulos de este tamaño aquí lo que podemos hacer es poner muchos rectángulos cada vez más chiquitos y entonces van llenando el área que hay aquí tenemos otro rectángulo y bueno el chiste es que todos estos rectángulos a la hora de que apliquemos la transformación si nos fijamos en la imagen de cada uno de estos rectángulos lo que vamos a ver son paralelo gramos ok no sé exactamente cómo se van a ver y bueno va a estar lleno de paralelogramo un paralelogramo por cada rectángulo de aquí ok me está saliendo horrible pero me muevo el chiste es que está lleno de paralelogramo y además cada uno de estos rectángulos va a dar a un paralelogramo por acá y pues ya vimos que el área de la imagen de cada uno de estos rectángulos es igual al área original del rectángulo por el determinante de la matriz b entonces si nosotros podemos escribir el área de esta elipse como la suma de las áreas de estos rectángulos a la hora de pasar del otro lado cuando aplicamos la transformación a todos estos puntos de r2 entonces la imagen de la elipse está compuesta por todos estos paralelogramo y entonces su área la podemos ver como la suma de las áreas de estos paralelo gramos pero el área de cada uno de estos paralelo gramos es igual al área del rectángulo del que proviene por el determinante de b entonces a la hora de sumar todas estas áreas nos va a quedar el original de la elipse por el determinante bebé y está muy bonito no es otra forma de ver al determinante de una matriz es el factor de escala de la transformación lineal que define su matriz ok si tenemos una región muy chiquita y le aplicamos una transformación definida por una matriz cuyo determinante es muy grande entonces esta región pequeña bajo la transformación va a ir a dar a un conjunto mucho más grande