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Contenido principal
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Transcripción del video

digamos que tenemos los ejes que ordenados aquí tenemos el eje de las sedes aquí tenemos el eje de las x que estamos en r2 y digamos que tenemos cuatro puntos que ya empezamos por el punto 0-0 este es el punto 0-0 lo podemos notar de esta forma y como siempre es mucho más fácil ponerle nombres a todas las cosas así es que a este punto le voy a empezar a llamar a muy bien ahora digamos que tenemos otro punto que está especificado por las coordenadas cada 10 que parece bien este punto entonces lo que tenemos que hacer es fijarnos en el eje de las x buscar a cada uno digamos que está por acá cada uno y entonces nuestro punto es justo este puntito que el vector que a cero es este vector y este es el punto que determine al cual vamos a empezar la llamada b digamos que también tenemos otro punto por ahora que se empieza a notar que quiero hacer un rectángulo verdad bueno y este vector que termina este punto el vector k1 k2 así es que por acá está el escalar k 2 y k 1 k 2 y finalmente vamos a escoger el último punto y ese va a ser este puntito para que keith y este vector no es otra cosa que el vector 0-2 a este punto le vamos a llamar el punto y a este punto le vamos a llamar el punto se habrá algo que nos interesa de estos cuatro puntos es el rectángulo que forman estos cuatro puntos a la hora de unir los forman este rectángulo de gemelo abrevió y en lugar de poner rectángulo le pongo simplemente rec qué es el rectángulo el break lo formado al conectar al conectar los puntos los puntos a b c y d keith b se ve que yo sea justo este rectángulo este es el rectángulo rec y bueno ya que tenemos un rectángulo nos podemos preguntar cuál es el área contenida dentro de este rectángulo ver cuál es el área del rectángulo lo puede si te fijas bien este es un rectángulo común y corriente y el área contenido dentro de cualquier rectángulo y simplemente base por altura la base es esta longitud de aquí y esta longitud es simplemente cada uno entonces el área del rectángulo es uno por la altura pero la altura es la longitud de este otro vector y esa es simplemente k2 entonces aquí tenemos que el área contenida en el rectángulo es que a uno por cada dos bueno hasta este punto no te enseñado nada del otro mundo pero sí vamos a ver cosas interesantes en este vídeo vamos a transformar a este rectángulo que íbamos a usar la transformación te vas a una transformación de rd 2 en red los que la podemos escribir como si aplicamos ate en un vector x eso es igual a tomar la matriz de c d y multiplicarla por el vector x entonces lo que nos interesa ver cómo esta transformación transforma a este rectángulo vivimos hace muchos vídeos que para encontrar la imagen de un rectángulo bajo una transformación de esta forma lo único que necesitábamos era saber a dónde van a dar cada una de las esquina que y entonces lo primero que tenemos que hacer es encontrar cuál es la imagen bajo te de estos cuatro puntos entonces empecemos por ver cuáles te de esto es simplemente de 0 0 entonces aquí en nuestro sector 00 y nos queda 0 por a +0 por ve eso está en la primera entrada y eso es simplemente un cero y para obtener la segunda entrada del vector tenemos que multiplicar 0 porsche 90 por de y eso es simplemente un 0 que ya ahora vamos con la transformación aplicada al punto b o sea la transformación en k 1 0 keith k-1 por a +0 por b o sea a por cada uno y en la segunda entrada nos queda cada uno porsche nada cero por the sea cada uno porsche por cada uno y listo ahora veamos aplicado al punto se esté transformando a 12 y eso es igual la tenemos aquí cada uno por cada uno por mas k 2 por bk2 por b y en la segunda entrada tenemos cada uno porsche uno por se una creados por de que dos por de y finalmente tenemos que evaluar a la transformación en el punto b o sea tenemos que sacar la transformación de 0 a 20 que 20 por a cero mascados por bk2 por b y en la segunda entrada nos queda 0 porsche 0 nazca dos por d o sea dos por de entonces vamos a volver a dibujar nuestros equipos coordinados este es el eje vertical y este es el eje horizontal y ahora dibujemos en estos nuevos ejes la imagen de nuestro rectángulo re bajo la transformación te que entonces como vimos hace muchos vídeos lo que tenemos que hacer es dibujar las imágenes de nuestros puntitos bajo la transformación t y después unir esos puntos porque ésta es una transformación lineal entonces te vea o sea te dé 00 se va al 0 0 así es que aquí tenemos un puntito que éste 00 luego vamos a dibujar te debe que es a cada uno y después de cada uno que entonces no sabemos quiénes son y hacen ivd pero digamos que al graficar este vector se ve de esta forma que entonces este puntito por acá tiene que ser a cada uno y este puntito por acá tiene que ser se va uno que es el otro punto de la imagen de nuestro rectángulo bien entonces tenemos que dibujar cuál es la imagen bajo la transformación te bese pero saben que va a ser muchísimo más fácil si dibujamos primero este punto que hay entonces estamos dibujando la imagen de este puntito que resulta cercados biko2 de entonces digamos que lo grafica moss y que queda más o menos por acá este punto de aquí es que a 2b y este punto de aquí es cada dos de este puntito de aquí es td y este puntito de aquí este de de entonces nada más nos falta ted s ahora te dé se pesca 1 a masca 2b tenemos cada uno a masca 2b entonces tenemos que tomar esta longitud y sumarse a esta longitud así es que nos va a quedar más o menos por qué entonces te deseo está en algún punto en esta recta y por otro lado tenemos que la segunda coordenada de tds es cada uno se masca dos de que hay aquí tenemos cada uno se y aquí tenemos k 2 de entonces otra vez tenemos que tomar esta longitud y sumarse la esta longitud entonces nos va a quedar más o menos por aquí este puntito este de ese entonces como decíamos la imagen de este rectángulo bajo la transformación te la podemos obtener simplemente uniendo estos puntos que son las imágenes de los vértices de este rectángulo entonces este lado del rectángulo cuando le aplicamos la transformación te se transforma en este lado del rectángulo imagen y lo mismo pasa con este lado del rectángulo que cuando le aplicaron la transformación te se transforma en este lado ya nada más nos falta este lado del rectángulo que se transforma en este lado del rectángulo imagen y finalmente el último lado del rectángulo este lado de aquí se transforma en este lado de aquí entonces este rumbo de aquí es la imagen bajo la transformación te de este rectángulo que este rumbo es la imagen del rectángulo rec bajo la transformación te imagen del rectángulo rec bajo la transformación t y algo que nos podemos preguntar ahora es cuál es el área de este rumbo entonces ahorita lo que queremos averiguar cuál es el área de derrek lee y para sacar el área de este rombo podemos acordarnos del video pasado para empezar este robo es un paralelogramo generado por estos dos vectores entonces pues podemos poner una matriz la matriz a k-1 se k 1 de cada 2 de 2 gay estuve aquí lo saqué de este vector ok tomamos los dos vectores que generan a este paralelogramo o sea este vector que es el vector a caa1 a ca 1 ce k-1 seca 1 entonces este vector columna de esta matriz es nada más y nada menos que te aplicado a b y este otro vector columna de aquí lo sacamos del otro vector que general paralelogramo o sea de aplicado ave gay te aplicado de ska 2b y su otra coordenada es k 2 por de jackie también pusimos de portavoz entonces esta es una matriz cuyos vectores columna estos dos vectores son sus vectores columna generan a un paralelogramo y lo que vimos en video pasado es que el valor absoluto del determinante de esta matriz es exactamente igual al área de este paralelogramo que a su vez es la imagen del rectángulo que teníamos en un inicio pero tenemos que escribirlo todo con calma vamos a empezar por llamarle a esta matriz la matriz y de imagen y entonces lo que sabemos a partir de lo que vimos en el video pasado es que el valor absoluto del determinante de la matriz y o sea el valor absoluto del determinante de esta matriz esto es igual al área del paralelogramo generado por los vectores columna de la matriz y estos vectores columnas son este vector y este vector que generan a este paralelogramo que es la imagen bajo te dé el rectángulo que teníamos originalmente ok entonces el determinante de la matriz y es igual al área al área de la imagen bajo la transformación te del rectángulo rec keith muy bien entonces vamos a empezar por calcular este determinante que como es una matriz de dos por dos es muy fácil de calcular simplemente a cada uno por década 2 a 1 x 2 - becados por seca uno de cada dos por c cada uno pero le tenemos que poner valor absoluto entonces el determinante de y en valor absoluto es igual a esto de aquí y aquí lo que podemos hacer es factorizar el k-1 y k-2 de estos dos términos entonces nos queda uno por cada dos por ade - b sé que ella empieza a sonar conocido esto por aquí bueno pues resulta que esto de aquí es el determinante de la matriz que define a la transformación te acaricia esta matriz de aquiles llamamos la matriz a entonces estoy aquí es el determinante de la matriz a y entonces el área de la imagen de nuestro rectángulo por la transformación te es igual en k-1 por cando os x el valor absoluto del determinante en la matriz a recordemos que la matriz es la que define a la transformación t y esto es algo súper interesante súper bonito si tenemos un conjunto que tiene cierta área en este caso el conjunto es un rectángulo y el área es cada uno por cada 2 área igual acá uno por cada dos y tenemos una transformación lineal que al ser lineal se puede escribir como la multiplicación de una matriz que en este caso va a ser la matriz ha multiplicando al vector en el cual estamos evaluando a la transformación entonces el área de la imagen de nuestro conjunto bajo la transformación té o sea el área dt del conjunto va a ser igual al área original por el determinante de la matriz que define a la transformación te tenemos aquí nuestro conjunto que tiene un área de tamaño cada uno por cada dos si nos fijamos en la imagen bajo la transformación te de ese conjunto el área de ese conjunto va a ser igual al área que teníamos antes por el determinante de la matriz a que define a la transformación té listo eso está precioso no es una idea muy bonita o sea el determinante de la matriz que define a la transformación te sea determinante vea es el factor de escala entre el área del rectángulo original y el área de la imagen y eso no lo voy a demostrar con todo cuidado pero podemos visualizar lo digamos por aquí tenemos nuestro dominio r2 y digamos que tenemos una región en conjunto vamos a poner un conjunto que sea familiar para todos pongamos por ejemplo una elipse y ahí está el ipse como siempre es bueno poner los nombres a las cosas van a decir que es del ipse eei y este el ipse pues tiene cierta área y digamos que el área del área de nuestra elipse simplemente digamos también que tenemos una transformación una transformación te lleva de los reales en la segunda dimensión o sea de reojo 22 otra vez y que además es una transformación lineal que se puede escribir como the x igual a una matriz de multiplicada por el vector en el que estamos evaluando a la transformación que entonces digamos que éste el ipse cuando le aplican la transformación te va a dar a otro conjunto digamos esta región que entonces esto de aquí este de y estamos diciendo que cada uno de los puntos del elipse ósea del contorno de esta región va a dar a algún puntito de este contorno de ahí que cualquier puntito de este contorno es la imagen de algún puntito por acá sino no formaría parte de la imagen tv bueno esto no lo vamos a demostrar pero resulta que cada puntito adentro de la elipse termine dentro de la elipse tv y que además cada puntito adentro dt de ose a todos estos puntos de aquí cada uno de los puntos de aquí adentro son la imagen de algún puntito adentro de la elipse ok todo este conjunto va a dar bajo la transformación t este conjunto de aquí no vamos a demostrar esto sólo lo vamos a visualizar el chiste es que si sacamos el área de esta región su área es igual a el área de la región original osea el área de este lips en que es a por el valor absoluto del determinante de la matriz b de esta matriz que define a la transformación t y bueno tal vez parezca un salto demasiado grande eso de pasar de rectángulos a formas curvas como ésta pero en realidad no lo es tanto o sea porque estas formas curvas las podemos ver como una unión de rectángulos o sea tenemos aquí en nuestra elipse y podemos llenar lucky de rectángulos o sea podemos hacer una cuadrícula y llena de esta figura de rectángulos por adentro y en las orillas donde se ve que como que no acabe en rectángulos de este tamaño aquí lo que podemos hacer es poner muchos rectángulos cada vez más chiquitos entonces van llenando el área que hay aquí tenemos otro rectángulo t y bueno el chiste es que todos estos rectángulos a la hora de que apliquemos la transformación t si nos fijamos en la imagen de cada uno de estos rectángulos lo que va a saber son paralelo gramos que hoy no sé exactamente cómo se mueve y bueno va a estar lleno de paralelogramo su un paralelogramo por cada rectángulo de aquí ok me está saliendo horrible pero me muevo gol el chiste es que está lleno de paralelo gramos y además cada uno o dos rectángulos va a dar a un paralelogramo por acá y por allá vimos que el área de la imagen de cada uno de estos rectángulos es igual al área original del rectángulo por el determinante de la matriz b entonces si nosotros podemos escribir el área de esta elipse como la suma de las áreas de estos rectángulos a la hora de pasar del otro lado cuando aplicamos la transformación a todos estos puntos de rd 2 entonces la imagen de la elipse está compuesta por todos estos paralelogramo y entonces su área la podemos ver cómo la suma de las áreas de estos paralelo gramos pero el área de cada uno de estos para lo logramos es igual al área del rectángulo del que proviene por el determinante debe entonces a la hora de sumar todas esas tareas nos va a quedar el área original de la elipse por el determinante bebé y está muy bonito no es otra forma de ver al determinante de una matriz es el factor de escala de la transformación línea que define a su matriz casey tenemos una región muy chiquita y le aplicamos una transformación definida por una matriz cuyo determinante es muy grande me entonces esta región pequeña bajo la transformación va a ir a dar a un conjunto mucho más grande