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Transcripción del video

y llevamos jugando con nuestros determinantes para ver si podemos encontrar otras propiedades muy útiles que aunque no lo vayamos a usar ahorita seguro las vamos a necesitar cuando estemos en algún otro tema de álgebra lineal entonces digamos que tengo aquí una matriz llamémosle x y esta matriz va a ser una matriz de 2 x box donde su primera y la base es la misma y la de siempre y la b pero la segunda fila lo vamos a llamar en una de llamarles eide como siempre vamos a llamar x1 y x2 más adelante tú sólo te vas a dar cuenta de por qué le estoy llamando así y también tenemos otra matriz en la cual vamos a llamar ye que va a ser exactamente idéntica la matriz x en la primera fila aquí va a tener ave pero en la segunda fila tiene cualquier otra cosa digamos que uno y de dos y además tenemos una tercera matriz la matriz eta que es igualita a estas dos matrices en su primera fila se tiene aquí ve pero en su segunda pila esta pila va a resultar ser la suma de estas dos filas aunque aquí va a tener x uno más uno y en esta entrada va a tener x 2 me llevé dos esta faceta no es para nada la suma de las matrices x y que por ejemplo aquí este término esta no es la suma de amasa porque tendríamos dos a éste simplemente a estamos dejando toda esta pila tal cual igualita a estas dos entonces se está definitivamente no es igual la x + d pero bueno algo que vas a notar los vimos en el video pasado y lo vamos a ver en este vídeo es que el determinante no es lineal con respecto a las operaciones entre matrices o sea el determinante de kapoor a como vimos no era igualito acá por el determinante vea y lo mismo pasa para la suma el determinante de x mas no es igual al determinante de x más el determinante belle pero resulta que el determinante aunque no es lineal para las operaciones entre matrices si es lineal en cierta medida o sea si es lineal para las operaciones que le hagamos a una sola fila de la matriz pero bueno empecemos por ver cómo se relacionan estos tres determinante tenemos aquí el determinante de eki determinante de x que es igual a esto si ya lo hemos hecho un millón de veces a por x2 x x 2 - b por x17 bien el determinante de ye terminante de che es igual la apoye 2 apoye 2 - b porque uno menos de por qué uno y finalmente el determinante de zeta si iguala a por x2 más de 2 x 2 masachs 2 - b x x uno más de uno de x x uno más uno entonces vamos a desarrollar esta multiplicación y nos queda aprox dos más apoyo de 2 x 2 a porsche 2 - b x x 1 - b por eeuu no siento bien y ahora pues vamos a reacomodar estos términos de manera conveniente aquí vamos a ponerle a por x 2 a x x 2 - b x x 1 - b x x 1 aquí tenemos a perkins 2 que es exterminar - b x x 1 - p x x 1 y después vamos a sumarle a por lledó este término - b por 1 y ahora si ya podemos ver la relación entre estos dos determinantes y este determinante resulta que a x 2 - b x 1 es igualito a esto o sea esto de aquí esté con éste es éste es igualito al determinante de x y estoy acá que es hayedos - belle uno es igualito al determinante de jay kay estos dos son igualitos al determinante belle y se están sumando entonces el determinante de z es igual al determinante de x más el determinante belle ojo zeta para nada es la suma de kiss my gay y esta propiedad sólo se da porque estas tres matrices son iguales en toda la matriz excepto en una fila en esta fila que bueno se ve como la mitad de la matriz pero eso es sólo porque estamos viendo matrices de dos por dos y bueno entonces iceta x illes son iguales en toda la matriz excepto en una fila y resultase que justo en esa fila en la que son distintas la pila de z es igual a la suma de las filas de xy llegue entonces y sólo en ese caso podemos concluir que el determinante de z es igual al determinante de x más el determinante de jay y kay es muy importante eso de que son igualitas en el resto de la matriz excepto en esa pila a ver vamos a empezar por ver otro ejemplo vamos a hacer lo mismo pero para matrices de 3 x 3 y después vamos al caso más general con matrices de 'por n que en realidad hacer esta demostración para matrices de 'ponen es lo más sencillo pero como es muy abstracto vamos a empezar por el de 3 x 3 entonces empecemos por redefinir todas nuestras matrices de arriba vamos a tener un x pero en su versión de 3 x 3 y ésta va a ser igual a a b y vamos a hacer que la última fila sea la que cambia de matriz en matriz entonces aquí tenemos de efe pero sabes que mejor lo mejor y vamos a hacer que la dne medio sea la que cambia de matrices matriz para que no creas que éstos sólo funciona con la pila de trabajo sea también se puede ser con la pila de en medio y de hecho se puede hacer con la pila de hasta arriba pero vamos a hacerlo en medio entonces tenemos aquí x1 y x2 x 3 y después de que entonces cuál es el determinante de x y vamos a sacar el determinante de x y para sacarlo esta vez vamos a hacer esta file porque es la que nos conviene así es que el determinante de x x 1 x 1 por su signo que en este caso como es una matriz de tres por tres lo más fácil es dibujar nuestro tablero de ajedrez destina que se acuerdan cómo iba arriba - - - - más aquí ya me equivoque estamos aquí entonces aquí hay menos aquí por lo tanto tiene que haber un más o menos nada menos más baja ese sí es nuestro tablero de ajedrez de signos entonces x uno está aquí o sea que le toca este signa sea menos x1 por el determinante de la su matriz de tachar la pila y la columna sea bs.f de c efe después nos toca una x 2 por el determinen tv aseguró esto ya lo puedes hacer con los ojos cerrados x2 quitamos quitamos a c d e f c d e f y ahora nos toca un - - x3 por el determinante de la su matriz que nos queda de quitar la fila la columna que contienen x3 o sea nos queda a de b d y listo ahí está el determinante de x a ver pero creo que este tablero de ajedrez no es probar al rato entonces vamos a borrar la línea gris y vamos a redefinir nuestra matriz che y esta matriz va a ser igual vamos a dejar exactamente estas dos filas tal cual como están en la matriz x océanos que de aquí a b c d e f pero la pila de enmedio vamos a ponerle otra cosa que en este caso va a ser de 12 y ye 3 y cuál es el determinante de ye pues va a ser muy parecido al determinante bx y vamos a sacarlo a lo largo de esta misma y león que la fila está distinta entre estos dos matrices y entonces lo que nos queda es cómo estas dos matrices son igualitas excepto por staff y le íbamos a sacar el determinante a lo largo de ésta y le entonces lo que nos queda es el mismo signo menos después de 11 en lugar de x 1 y a la hora de sacar el determinante de la su matriz pues la su matriz va a ser exactamente la misma sea porque tachamos la pila que continúe uno que es la única fila que está distinta entre estas dos matrices y nos queda el determinante de la su matriz bs.f de sé qué es exactamente el determinante de la misma su matriz que nos queda acá entonces ya podemos dejar de hacer tantas cuentas y para el siguiente términos en los que es de 22 sumado por el determinante de a c d e f este mismo determinante y después nos quedan menos de tres por el determinante b a b d bien ahora definir a la última matriz de 3 x 3 adivinen cuál va a ser la matriz ct que va a ser exactamente igual a estas dos matrices en la primera fila y en la última fila o sea vamos a tener aquí a b c d e f pero en esta pila lo que vamos a tener es la suma de estas dos pilas entonces aquí vamos a tener x1 más de uno x uno más uno en este lugar vamos a tener x2 más de 2 x 2 más 2 y en esta última entrada vamos a tener x3 más de 3 x 3 más de tres y ahora vamos a sacar el determinante de eta y lo que más nos conviene es usar esta chile entonces tenemos la primera entrada que es x uno más uno con su signo es nada menos que ya que tenemos un signo menos por el determinante de chamos está ahí está y nos queda bcf de pse y pp al igual que aquí y aquí y después nos vamos con la siguiente entrada que tiene un signo + - na nada la entada x2 más de 2 x 2 machetazos por el determinante tachamos tachamos a c d e f c d e f igual a igual y nos toca el signo menos y el x3 más de 3 x 3 más de tres por el determinante de tachamos y tacha más y nos queda a b d de que es igual a igual muy bien entonces creo que ya sabes a dónde va esto entonces podemos observar que si sumamos este término con este término lo que nos queda es este término na o sea los tres tienen este determinante de esta matriz y éste es menos x1 nada menos de uno y eso lo que nos da es menos x1 más de uno y todos están multiplicando a este determinante aunque esté más éste nos queda este terminal y lo mismo pasa con estos términos o sea este término más éste termina nos da este término y finalmente debería de subrayar lo distinto verdad este término más este término nos da este terminal y finalmente éste termina este terminal nos da este término si bien entonces eso lo que nos dice es que el determinante de x más el determinante de chile es igual al determinante de z que entonces ya demostramos esto dará las matrices de 3 x 3 recordando otra vez hay que hacer hincapié en esto porque es muy importante que estas tres matrices son exactamente igual en toda la matriz excepto en una fila kay y justo en esas pilas la pila de z es igual a la pila de x más la pila de ye entonces pues lo que tenemos que hacer ahora es demostrarlo para cualquier matriz gm por el cne para saber que realmente cierto de forma general y no nada más para los casos de matrices de dos por dos o de tres por tres pero hay que mantener este ejemplo en mente es mucho más fácil visualizarlo para matrices de tres por tres porque en matrices de enero por el cne a veces puede ser difícil de ver que estamos haciendo entonces vamos a empezar por hacer más espacio entonces vamos a volver a empezar por redefinir todas nuestras matrices vamos a empezar por x x va a ser una matriz tiene por n al igual que jay z pero esta matriz vamos tenemos esta matriz que es la típica matriz a con sus entradas a 11 a 12 nos seguimos hasta el cne a 1 ene en la segunda fila tiene a 21 a 22 días y hasta a2 en y pues no vamos a saltar muchas pilas el chiste es que cuando llegamos a la ie simap y la vamos a reemplazar esa chile por otros números que van a ser distintos o sea en lugar de hacer los típicos y j ahora van a hacer x1 y x2 y así hasta llegar a xn y más abajo pues tenemos otra vez el resto de las pilas con puras entradas y aquí llegamos a n1 n2 y así hasta en m y ahora vamos con nuestra matriz ye que también va a ser una matriz ni por n o sea si ésta es una matriz de 10 x 10 donde estaba hace una matriz de 10 x 10 también y tenemos aquí la matriz que va a ser idéntica a la matriz x excepto en la ie sima fila en la primera fila tiene al 11 este mismo a 11 después a 12 y así hasta llegar al a 1 n y después equivale a 21 a 22 llegará a 2 en y todas estas piezas van a ser iguales hasta que lleguemos a la íes y maquila que hay en esta y encima fila en lugar de tener el mismo x1 de esta matriz ahora vamos a poner un 1 y un 2 y todas estas entradas van a ser algo que pueden ser distintas a éstas x cotas hasta llegar al llegue en ley y después otra vez aquí en el resto de las filas vamos a tener exactamente las mismas entradas que en la matriz x que en todas estas entradas que son las cajas con algunos subíndices que aquí tenemos a n1 n2 y así hasta llegar al n m gay y está ahí pues sí es tener una matriz de 10 x 10 y estará la séptima fila y es igual a 7 entonces está también va a ser una matriz de 10 x 10 y está también va a hacer la fila 7 y ahora vamos a poner a la matriz z en hacer una matriz enel por el ine es igual a tener las mismas pilas excepto en la yesi maquila ya que aquí tenemos a 122 y así hasta llegar a ah1n1 después a 2 12 22 ene entonces todas estas filas van a ser exactamente iguales a las primeras y menos un filas de x y belle gay pero cuando llegamos a la iss es imbatible esta pila va a ser exactamente igual a la íes y maquila dx más la y estima fila de chile entonces aquí tenemos x 1 más 1 x 2 más 2 y así hasta x en más en que hay es nuestra y encima y la que es distinta en cada una de las matrices pero el resto de la matriz todas estas otras pilas también van a ser exactamente iguales a las pilas de xy a las filas de yeah entonces aquí tenemos a n1 n2 y así ésta llegara a n este es un caso muy particular y es en este caso tan particular que vamos a sacar el determinante de zeta entonces empecemos por sacar el determinante de x que le llamando mucho últimamente tal cual determinante de x para sacar este terminante voy a usar la anotación de su me espero que se acuerden del video pasado éstas sume y pues vamos a sacar el determinante de x a lo largo de shannon esta pila que es la pila que está distinta entonces lo primero que tenemos que hacer es encontrar el signo de esta entrada y para hacer eso lo que hacemos es tomar menos uno y elevarlo a la potencia de la fila y la columna en la que se encuentra aunque ya estamos en la fila y me y estamos en la primera columna o sea que aquí va un uno de ellos es el signo de esta entrada este es el signo que nos darían otro tablero de ajedrez en caso de que tuviéramos nuestro tablero de n por n si supiéramos en cuál entrada buscar entonces multiplicamos el signo por nuestra entrada que es x 1 x 1 y por el determinante de las su matriz que nos queda de eliminar esta pila y esta columna y pues para denotar a esa su matriz lo que vamos a hacer cómo estamos tachando la única fila que tiene x y todas las demás entradas son entonces pues podemos pensar que hay una matriz que tiene puras entradas y a final de cuentas y tachamos la única pila que no tiene a entonces la su matriz de esa casa matriz a que hila su matriz y j donde j es cualquiera de estas columnas está su matriz va a ser igual a cualquier su matriz de x que se tome en la entrada y que aquí nos tocaría la a su matriz x y uno pero está su matriz es exactamente igual a su matriz de aa a a y uno pero mucho cuidado aquí le estamos poniendo puros unos cuando aquí estamos usando la anotación de zuma y la suma va a correr a lo largo de todas las columnas desde la primera columna hace desde que jota es igual a una hasta la enésima columna sea cuando jota vale.n entonces aquí tenemos que poner en el lugar el número de la columna que en este caso fue la primera columna tenemos que poner j j&j y listo este es el determinante bx esta expresión de su mamá lo que hace es ir sustituyendo el uno el dos el tres y así hasta el número n en cada uno de los lugares donde aparece la jota y sumar todas esas cantidades que hay entonces nos queda tal cual es determinante de x así es que vamos a sacar el determinante de leche determinante de che y eso es exactamente igual al asume desde que bogotá es igual a 1 hasta n de el signo de nuestra entrada que ya el signo de nuestra entrada que es menos uno a la jota por nuestra entrada por ye por el determinante de la su matriz que nos queda de quitar la pila y la columna y otra vez cómo vamos a quitar la única fila que no tiene términos a entonces está su matriz es exactamente la misma su matriz que está su matriz aunque hay que es la su matriz y j y finalmente saquemos el determinante de z determinante de seta que éste también lo vamos a escribir en su forma de sume la asume hoy aquí me faltó estos palitos de la suma de estos peritos de la zona y es nuestro signa en la entrada y coma j por nuestra entrada en este caso es isco te nace viejo te por el determinante de la su matriz que nos queda de eliminar la fila y la columna correspondiente y como están tachando justo la única fila que es distinta a las demás matrices y a la matriz entonces aquí nos queda la su matriz y j y me imagino que tú ya sabes perfectamente que es lo que voy a decir ahorita pero aquí tenemos que estos términos son exactamente iguales a la suma de estos dos términos ahí tenemos que estas cosas son idénticas a estas dos cosas y los términos restante estos dos términos si lo sumamos nos queda este término entonces desde j igual a uno hasta n vamos sumando terminó con término y nos queda esta suma así es que el determinante de x nada el determinante day es igual al determinante dc está listo ya terminamos de probar para este caso remarcó muy particular en el que las tres matrices son exactamente iguales en toda la matriz excepto en una sola fila y además la fila que es distinta de una esos tres matrices es igual a la suma de las pilas que son distintas de las otras dos matrices éste es el único caso en el que podemos hacer la afirmación general de que el determinante de x más determinante de jesse valor determinante de zeta no es el caso para nada es el caso y déjame lo escribo porque no sucede no sucede que si se está es igual a x nace gay eso no implique para nada implica que el determinante de esteta sea igual al determinante x nada de él terminante de jim mckay bien entonces los determinantes no son lineales con respecto a la suma de matrices en general con respecto a las operaciones entre matrices sólo son lineales con respecto a que algunas pilas sean la suma de otras filas de otras matrices que sean idénticas entre ellas excepto en esa pila bueno espero que encuentre es muy útil este video y nos vemos próximamente