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Determinante de la multiplicación de una fila por un escalar

Transcripción del video

ahora veamos qué pasa con los determinantes cuando multiplicamos una de sus filas por una escala aunque hay entonces saber que tenemos una matriz la matriz a de se dé una y por definición nosotros sabemos que este determinante es igual a a d - bc ley así lo definimos pero ahora nos podemos preguntar qué pasa cuando tenemos una matriz que tiene esta forma aunque y la primera fila se queda exactamente igual a b pero la segunda pila es muy parecida a la segunda fila de esta matriz pero está multiplicada por una escala que cada una de las entradas los multiplicamos por una k entonces tenemos que se y por aquí tenemos acá por de y veamos cuál es su determinan por definición el determinante de esta matriz es tal cual por cada de que también podemos escribir como acá a menos de por acá sé que también lo podemos escribir como cada bebé se cierto bien entonces ya que tenemos esto así podemos para actualizarla acá y lo que nos queda es k por ade - bc y nada más viendo estas dos cantidades uno a uno le salta a la vista que esta cantidad es exactamente igual a esta cantidad cierto entonces a final de cuentas es determinante es igual a kaká está acá por el determinante de esta matriz por el determinante de a de sé de qué entonces y en una matriz tomamos una de las filas y la multiplicamos por una escala y después a causa determinante este determinante es exactamente igual a esta escala se destaca por el determinante de la matriz original ahora no tenemos que nada más multiplicamos una de las pilas por el escalar si multiplicamos toda la matriz por el escalar como ésta es una matriz de dos por dos entonces eso es equivalente a multiplicar las dos filas por el escalar y entonces estamos haciendo este procedimiento dos veces y aquí nos va a quedar acá por acá a ver digamos que tenemos una matriz la matriz que es igual o sorpresa a b c d y multiplicamos toda la matriz pero a una escala que eso es la matriz cada por a esta matriz es lo que obtenemos a multiplicar cada una de las sentadas porque a clientes de que tenemos que dar a cada bebé que se dé ahora si multiplicamos toda la matriz por escalar acá entonces vas a ver que a la hora de sacar el determinante beca o sea si sacamos el determinante de kaká b que se dedique a de usando nuestra definición va a saber que nos quedan puros términos de acá al cuadrado por otra cosa aquí y usando la definición este determinante es igual a caa por cabe y eso es k cuadrada por ade y luego tenemos que respetar este por éste que es clave porque hace o sea que a cuadrada por b c y ahora actualizamos la cara cuadrada y nos queda cara cuadrada por ade - bc y cómo éste es el determinante de nuestra matriz a entonces esto es igual la cara cuadrada por el determinante de la matriz ok pero esto estoy que se achaca al cuadrado es sólo para matices de dos por dos porque las matrices de dos por dos tienen dos filas gay hay que tener mucho cuidado con eso para matrices de n por n va a saber más delante que éste escalar entonces se eleva a la enésima potencia porque tiene n pilas entonces lo que uno realmente tiene que recordar es que si tienes una matriz y cambias una sola de las pilas esa pila multiplicas por qué pero dejas exactamente igual al resto de la matriz entonces el determinante de esta nueva matriz es cada vez es el determinante de la matriz anterior que estamos cambiando una sola de las pilas multiplicándola por acá entonces va a haber más ejemplos vamos a empezar por hacer lo mismo pero para matrices de 3 x 3 y ya después nos vamos al caso general y bueno no tienes porqué multiplicar la última fila de la matriz o sea nosotros hicimos este ejemplo multiplicando la última fila pero claramente funciona exactamente igual si multiplicamos la primera fila en lugar de la segunda si no me crees intentarlo pero bueno vamos con las matrices de 3 x 3 kate moss aquí nuestra matriz le a otra vez estoy redefiniendo a y esto es una matriz de 3 x 3 a de c d e f g h i y entonces empecemos sacando el determinante de escoger una fila le recuerden que podemos escoger cualquier pila o cualquier columna y saca el determinante usando esa fila pero pues escogí esta y bueno de hecho escogí esta pila porque es la fila a la que vamos a multiplicar por un escalar entonces el determinante de a usando esta pila es igual a lo primero que tenemos que hacer es recordar nuestro tablero de ajedrez de stieg nos recuerdan que tenemos un mes menos más o menos mes más - - más cierta entonces vamos a empezar por acá y esta entrada le toca este signo o sea que empezamos con menos de por el d eminente de la su matriz que no se va a quitar la pila que contiene b y la columna que contiene o sea el determinante de bc h y keith b se h y y ahora tenemos que sume más por el determinante tacha o la columna y la pila y nos queda hace he ha c g y y finalmente nos toca un - - app el determinante tachamos pillay columna y nos queda a b g h i b g h aunque nos hace un poco más de espacio porque ahora vamos a definir otras materias la matriz a prima y esta matriz a primera a ser muy parecido a nuestra matriz a pero vamos a escoger esta pila y la vamos a multiplicar porque hay de hecho escogimos esta pila pascal determinante a lo largo de esta pila porque eso va a simplificar muchísimo nuestra prueba que entonces multiplicamos esta fila porque y entonces nos queda a b c el resto de la matriz va a ser exactamente igual g h i pero esta fila es que a veces esta fila que entonces que de acá efe ok no tememos que esta nueva matriz para nada se puede escribir como acá esta matriz no es acá a si fuera acá a estas dos pilas también las tendríamos que haber multiplicado por acá y por eso la llamamos a prima porque se parece mucho a pero tampoco es a qué hay entonces pues vamos a sacar su determinante el determinante de a prime y pues vamos a usar esta pila porque es la pila que hace que él cuentas salgan muy rápida entonces es determinante es que nos vamos a buscar el signo nos toque aún menos cabe por el determinante que nos queda de quitarla y la y la columna que contienen acabe ok que es exactamente la misma su matriz que tenemos por acá cierto porque estamos en el mismo lugar y las otras dos pilas que no estamos tachando son exactamente iguales entonces estos dos determinantes son idénticos que es b se h y y lo mismo pasa para el resto de la pila que hay aquí nos toca más cae más acá y cómo éstas dos pilas son igualitas a estos dos pilas entonces nos va a quedar el mismo determinante hace eje y c g y y finalmente - - efe por el determinante a b g h i d g h así es que aquí tenemos algo muy bonito porque como los determinantes son iguales y aquí tenemos una f&f vive y los signos además también son igualitos local tiene todo el sentido del mundo porque esta matriz lo obtuvimos a partir de ésta simplemente multiplicando esta fila porque entonces podemos factorizar laca de toda esta cosa y os queda entonces que esto es igual a que por toda esta cosa que es igual a esta cosa que es exactamente igual al determinante de a determinen te dé a y listo el determinante de la matriz de la cual tomamos una pila de la multiplicamos por qué es exactamente igual a cada vez es el determinante de la matriz original entonces esta cosa funciona también para matrices de 3 x 3 y puedes elegir la fila de en medio pero sabemos todos que es su función para cualquier fila y si no me cree también puedes hacerlo tú por tu cuenta nada más te recomiendo que ésta que es el determinante a lo largo de la fila a la cual va a multiplicar por qué porque hace las cuentas mucho más sencillas como acabamos de ver entonces ahora sí ahora si vamos al caso general porque ahorita todo puros ejemplos que no son completamente particulares porque aquí no tenemos números tenemos led así entonces estamos representando a todas las matrices de tres por tres ya todas las matrices de dos por dos pero se puede demostrar para cualquier matriz de gm por n donde la dimensión n puede ser del tamaño que se nos ocurra en cualquier momento y como la prueba no están nada enredosa pues tenemos que hacerla entonces tenemos nuestra matriz que ahora va a ser una matriz de gm por eni y nippon gini y empezamos por la primera chile y en la primera fila tenemos la entrada a 11 le llamamos 11 porque está en la primera fila y primera columna después tenemos en la 12 a 13 días y nos seguimos hasta que llegamos al ah1n1 en la primera fila y enésima columna y luego tenemos la segunda pila y empieza con él a 21 y la siguiente entrada es el a 22 y así nos seguimos hasta llegar a 2 n y nos vamos a saltar todas las filas hasta llegar a la yesi maquila porque es la pila la que vamos a multiplicar por escalar acá entonces empezamos a contar primera y la segunda piel a y así hasta que llegamos a la íes y maquila y sus entradas de la ie sima filas son a y un hombre que está en la yesi maquila y primera columna y 2 y 3 días y nos seguimos hasta llegar al a y n y luego hay muchas otras pilas hasta que llegamos a la enésima fila a n1 n2 n3 hasta llegar al a n m esta es la matriz más general a la que puede llegar con dimensión arbitraria y cada una de sus entradas también las que se te ocurran en el segundo muy bien entonces ahora vamos a sacar el determinante esta matriz está en general el determinante vamos a usar esta pila que es la que vamos a multiplicar por una escala para sacar el determinante de la matriz a que entonces empezamos por este coeficiente y uno y tenemos que multiplicar esta entrada por su signo pero ahí es donde podríamos tener un problema porque ni siquiera tenemos bien definido de qué tamaño es la matriz ni sabemos cuál exactamente es la pila y por qué lo están tratando hacer de la forma más general posible entonces ni sabemos a qué tablero de ajedrez de signos tenemos que ir y menos sabemos cuál de las entradas del tablero de ajedrez tenemos que escoger porque lo estamos haciendo la forma más general posible así es que tenemos tenemos que recurrir a nuestra función de signo y la función designó para esta entrada es simplemente -1 a la y nada más 1 esta cosa de el signo de la entrada y cómo uno a la que también le llamamos tablero de ajedrez décimas tablero de tres signos muy bien ahora ya que tenemos el signo de la entrada ahora tenemos que multiplicar por el determinante de la su matriz que nos queda es quitar la fila en la que se encuentra nuestra entrada y la columna en la que se encuentra aunque yo sea tachamos esta columna y ésta y lo que nos queda es tal cual la su matriz a y 1 may esta es una su matriz de dimensión en el -1 por ende menos una que definimos hacia algunos videos exactamente como la su matriz que nos queda de eliminar la íes y maquila y la primera columna entonces sacamos determinante y lo multiplicamos por la entrada y porcina y listo ahora tenemos que hacer eso con cada una de las entradas de esta fila que entonces nos toca sumarle la entrada a idiots multiplicada por el signo de la entrada hay dos que está algo al menos uno elevado a la potencia y más 2 y después multiplicarla por el determinante de la su matriz ai2 que hay que es la su matriz quita la y estima fila y la segunda columna que ya si seguimos sumando muchísimo hasta que vamos todos los términos hasta que llegamos a la entrada a y n la multiplicamos por su signo aunque es menos uno elevado a la imm as n/d cima potencia y multiplicamos también por el determinante de la su matriz a y en qué hay entonces este es el determinante de la matriz pero resulta que se puede escribir de una forma muchísimo más sencilla lo que vamos a usted es usar esta anotación para las humedades y aquí le ponemos el término general que en este caso va a ser a hijo te doy la cota va a representar al 1 al 2 al 3 bla bla bla bla bla bla bla bla bla hasta llegar a la enésima columna que ello sea la jota va a variar desde que es igual a uno hasta que j llega a tomar el valor de n y luego éste se está multiplicando por menos uno a la potencia y más cn y éste a la potencia y más 2 y éste a la potencia y más una entonces aquí tenemos que elevarlo a la potencia y que se queda igualito más la jota que varía desde uno hasta n y luego multiplicar por el determinante de la su matriz a y por la jota que varía desde uno pasa por el 2 por todos los demás números hasta llegar al enésimo entonces vamos a ponerlo porque una jota y listo esta es la anotación general este símbolo lo que indica es que en esta fórmula vamos a ir sumando cada uno de estos valores sustituyendo primero la jota por un 1 y nos queda este término después le sumamos este término sustituyendo la jota por un 2 y nos queda este término y después sumándole este término sustituyendo la jota por un 3 y aquí hasta llegar a sustituir la jota por una n esta cosa de aquí es equivalente a esta suma de términos entonces ahora sí ya vayamos a lo que íbamos a tomar esta matriz y lo vamos a dejar exactamente igual en todas sus filas excepto en ésta que la vamos a multiplicar por una k entonces en lugar de volver a escribir deja nada más la copia yo qué entonces lo que hice fue copiar todas estas cosas y ponerlas por a que queda un poquito montón ha dado pero ni modo y lo que vamos a hacer con esta copia de la matriz a es convertir la otra matriz la matriz a prime que tiene una de sus filas multiplicada por un escalar que de hecho vamos a tomar esta fila para multiplicar la pones calarcá o sea que aquí en lugar de tener la entrada a y uno vamos a tener la entrada fea por a uno y aquí la entrada por y 2 y aquí queda por ahí tres iu ca por ahí n y ahora veamos cómo afecta eso a nuestro determinante que hay aquí estamos sacando el determinante de a prime y entonces vamos a utilizar la misma pila que usamos aquí arriba que esta pila así es que nuestro primer término es este término que ahora en lugar de ser a y uno va aser ca por ayuno el signo va a ser exactamente el mismo y la su matriz de la cual tenemos que sacar determinante también es exactamente igual porque está su matriz lo que hace es quitar esta pila que es la única fila que modificamos de la matriz a líbano también quita esta columna pero el chiste es que todos estos términos sigue siendo exactamente iguales a matriz a que no tiene esta modificación sobre esta pila que entonces la su matriz y 1 prime en realidad es exactamente igual a la suma triz hay un que entonces de hecho le vamos a quitar la prime que entonces vamos con la siguiente entrada que ahora en lugar de ceder a y dos a hacer acá por hay dos el signo va a ser exactamente el mismo las su matriz va a ser exactamente igual la vamos a dejar así y así nos seguimos con todos los términos por aquí en él y en lugar de tener a y n vamos a tener acá por allí viene acá por ahí en el signo es el mismo el determinante de la su matriz también es el mismo y listo ya terminamos de calcular el determinante de a primera y aquí lo que vamos a tener es la suma desde que jota es igual a uno hasta que jota es igual a n de -1 a la y mascota por acá por ahí j por el determinante de la su matriz a prima y j pero todos estos determinantes son iguales como vimos en estos tres casos entonces le podemos quitar la primera y aquí pasa algo curioso porque como está acá no tienen nada que ver con la cota entonces lo podemos sacar de la suma que es equivalente a factorizar la que entonces la ponemos por a que multiplicando a toda la zona y le quitamos y entonces lo que nos queda tanto en esta suma como en los términos aquí explícitos lo que tenemos es que el determinante de a prima es igual a cada vez es el determinante de a cierto aquí tenemos las casas y las factorías amos todas nos queda tal cual lo que teníamos aquí arriba que entonces el determinante de la primera en la que a veces el determinante de siempre que a primera se haya obtenido a partir de a modificando una sola pila multiplicando esa fila por un escalar acá y quiero remarcarlo así como lo vimos al principio del vídeo para las matrices de dos por dos esta matriz es muy distinta a la matriz acá por a que en el caso de cap ahora todas las pilas están multiplicando por el escalar acá y su determinante fue determinante por ejemplo si tenemos aquí la matriz aa1 hasta a1 n por aquí estaba estã n 1 hasta n n gay si multiplicamos todas las pilas todas estas pilas las multiplicamos por qué lo que hay que es a lo que nosotros llamamos acá por a eso es equivalente a multiplicar cada una de estas filas por el escalar acá hay pero cada que multiplicamos una de estas filas por escalar acá si le sacamos el determinante lo que nos queda es el determinante de a por una k que esto es sin nada más bien hemos multiplicado la primera fila por acá lo que hice ahora multiplicamos la segunda y la puerca entonces aquí tenemos que volver a multiplicar porque o sea que nos queda acá al cuadrado si después multiplicamos la tercera fila porque entonces nos va a quedar aquí acá al cubo y así como son en las pilas entonces aquí lo que nos va a quedar es acá a la enésima potencia por el determinante de a ok entonces hay que tener mucho ojo con eso