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Contenido principal
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Transcripción del video

a ver tenemos aquí una matriz de n por n y pues vamos a escribirla ambiente no es la primera fila que es a 11 a 12 y así hasta llegar al ah1n1 después se nos va a ser una pila a-21 a-22 para llegar a 2 n ii y más adelante pues vamos a tener alguna fila en que se llame a y 1 y vídeos hasta llegar a en que la yesi maquila y después otra fila que se llama a j 1 aj 22 hasta a j n y finalmente llegamos a la última fila que es la fila a n1 n2 hasta nm que observemos que aquí escribe y con todas sus letras a estas dos filas la fila y la fila j porque las vamos a usar y ahora pues vamos a definir bueno déjame de pink y aquí vamos a tener un vector y que sea el lector a y uno después por qué vetar a y 2 y así hasta llegar a la entrada y en esto no lo he decidido formalmente pero este es un vector file es un vector de hecho incluso lado lo podemos ver como una matriz de uno por en porque tiene una fila y eneko lunes pero déjame seguirle llamando un vector de hecho vamos a ponerle aquí su gorrito de víctor aunque pues no sé por qué los vectores que hemos visto hasta ahorita eran puros vectores columna que generalmente son verticales pero a éste también lo podemos ver como un vector y usándolos podemos ver a esta matriz de una forma mucho más simple mucho más reducida y vamos a hacerlo si en este vídeo y en los próximos entonces podemos ver a esta matriz a como rr 1 y después r2 y así nos seguimos por aquí nos vamos a encontrar al ere y y después al rj y finalmente vamos a llegar al ere en ok lo que hacemos es tomar cada una de estas filas y definir el vector fila cuyas entradas son justo las entradas de cada fila y entonces está afilada que la tomamos la convertimos en un vector y lo llamamos r1 y hacemos lo mismo para cada una de estas pilas y entonces la matriz a es simplemente la matriz que contiene a cada uno de los vectores pila la matriz que tiene en cada una de sus filas al vector fila correspondiente a cada uno de estos vectores tiene en entradas porque hay n columnas entonces ésta es simplemente otra forma de escribir esta matriz y ahora lo que vamos a hacer es formar a otra matriz en la cual vamos a llamar la matriz ese hijo está que lo que va a ser esta matriz es justo intercambiar la fila y con la pila j entonces tenemos aquí a la matriz ese hijo está que en la primera chile va a tener a la primera fila de a suponiendo que uno es distinto de i d j o sea que nos cogimos intercambiar la primera fila que fácilmente pudimos haber decidido intercambiable pero bueno todas las pilas que no sean ni y j van a ser justo las mismas filas de a qué hay entonces tenemos aquí a la primera pyle digamos que la segunda fila tampoco es mi hijo está y después nos seguimos poniendo todas las pilas hasta que llegamos al lugar donde iría la íes y maquila entonces en lugar de poner a la íes y maquila vamos a poner a la fota encima y la ley entonces aquí ponemos en la piel j después nos seguimos poniendo las mismas y las de la matriz a hasta que llegamos al lugar de la jota décima fila y en lugar de poner la jota décima fila ponemos la y estima fil a r y en una derrota y el resto de las pilas las dejamos tal cual como están en la matriz que entonces ésta es igualita a la matriz a excepto que cambiamos la pila y la fila j del lugar estas dos pilas intercambiamos ahora lo que vivimos hace algunos videos bueno de hecho no estoy tan segura de que lo hayamos visto pero sigue siendo cierto es que si intercambiamos 2 file entonces el determinante de a es exactamente igual a menos el determinante de la matriz en la cual intercambiamos dos filas y entonces surge una pregunta muy interesante qué pasa si dos pilas por ejemplo esta fila esta fila son exactamente iguales que hay qué pasa cuando rj es exactamente igual a rr y cómo se comportan sus determinantes ley que es lo que eso significa significa que hay uno es exactamente igual a aj que hay dos es exactamente igual a aj dos que hay en es exactamente igual a aj n y así con todos los términos del medio y entonces si estas dos pilas son iguales cuando vemos esta matriz que intercambia la fila y con la fila j lo único que vamos a ver es exactamente la misma matriz a porque estamos intercambiando estas dos filas del lugar pero son igualitas entonces no se va a notar el cambio entonces a ver déjame lo escribo bien si la fila y es exactamente igual a la de chile j entonces entonces lo que vamos a tener es que la matriz a es exactamente igual a la matriz que intercambia a la ie sima fila con la jota décima fila cierto y eso lo que implique que tal vez debería de ponerlo de otro color eso lo que implique es que el determinante de la matriz a sea exactamente igual al determinante de la matriz s i y j cae por qué pues porque si tienes dos matrices que son iguales y sus determinantes tienen que ser iguales también ahora la matriz ese hijo está como intercambiados columnas entonces nosotros sabemos aquí me faltó ponerle un y nosotros sabemos qué se da esta igualdad y esa igualdad la podemos multiplicar por un -1 entonces aquí nos quedan menos por lo menos más y aquí nos quedan menos el determinante vea entonces este determinante también es igual a menos el determinante de a así es que tenemos este resultado muy interesante en particular nos interesa este pedazo de la igualdad con este otro pedazo de la igualdad porque es lo que nos dice es que el determinante de a es igual a menos el determinante idea y esa es una propiedad no muy común de hecho ya nada más por saber que el determinante idea es igual a menos el determinante de a sabemos exactamente cuál es el determinante de a entonces tenemos que si las dos filas son iguales entonces estas dos matrices son iguales y por lo tanto sus determinantes son iguales pero al mismo tiempo como ese hijo está en la matriz a intercambiando la pila y la fila j entonces nosotros sabemos que el determinante de ese hijo está es igual a menos el determinante vea que está por aquí creo que lo vimos en otro vídeo sino puesto hacer las cuentas y como conclusión tenemos que el determinante vea es igual a menos el determinante vea y eso yo digo que ya nos dice exactamente cuánto vale el determinante vea que hay porque digamos cualquier número x si nosotros sabemos que x es igual a menos x entonces forzosamente eso implique que x tiene que ser igual a cero aquí puedes pasar este - x del otro lado su mano y te queda 12x igual a cero y después divididos entre dos y te queda x igual a cero entre dos que es igual a cero aquí y entonces finalmente cualquier número que cumpla con esta propiedad tiene que ser a fuerzas cero por lo tanto estos tres puntitos indican por lo tanto el determinante a es exactamente igual a cero pero bueno el chiste es que si tienes pilas duplicada que iba a escribirla y les lee cada mes y si tienes filas duplicadas eso implica que el determinante tiene que ser igual a cero lo cual tiene todo el sentido del mundo no o sea porque recuerda lo que vimos hace algunos videos de que una matriz es invertible sí solos y su forma escalonada reducida por filas es igual a la matriz identidad aunque hay a ver vamos a escribirlo una matriz una actriz es inelegible es imbatible invertible si y sólo si su forma escalonada reducida x files la matriz identidad de la dimensión de nuestra matriz original y si nosotros tenemos que dos pilas son igualitas si tenemos por aquí que estas dos filas son igualitas entonces a la hora de tratar de llegar a la x escalonada reducida por fila lo que vamos a hacer en algún punto es tomar esta fila y reemplazarla por esta pila - esta fila y nos va a quedar aquí toda una pila de ceros porque estas dos filas son iguales y como vimos en ese vídeo de forma escalonada reducido por filas o en el video de matrices inversa si llegas en algún punto a que la matriz tiene una pila de cero ya sabemos que nunca vamos a poder reducirla a la matriz identidad gay y por lo tanto esa matriz no es invertible entonces ya sabemos que matrices que tienen pilas duplicadas cuando las reduzcamos a su forma escalonada reducido por filas nunca nos van a dar una matriz identidad la reducción reducción a su forma escalonada reducida x files de matrices matrices con una s con pilas duplicadas duplica nunca que no aunque esta zona puede ser la matriz identidad gay puede ser la matriz matriz identidad y por lo tanto tenemos que las matrices con pilas duplicadas no son invencibles no son y pti keiko pintó este texto y péguelo aquí y nos dice que las matrices con pilas implicadas no son imbatibles pero además nosotros sabemos que eso pasa si y sólo si el determinante de la matriz es cero por lo tanto todos los matices que tienen pilas duplicadas su determinante a fuerzas tiene que ser cero entonces mostramos de dos formas distintas completamente independientes que si tienes una matriz que tiene dos pilas exactamente iguales entonces su determinante 0-2 y vez dos pilas o incluso pueden ser varias pilas que sean iguales entonces ya sabes que lo determinante es la matriz 0 y bueno aquí no lo estoy enseñando pero también si tienes cierto conjunto de pilas las cuales son linealmente dependientes entre ellas entonces también el determinante de la matriz va a ser igual a cero pero bueno eso no te lo estoy enseñando aquí y yo creo que lo vamos a ver en un vídeo más adelante