Determinante de filas duplicadas

a ver tenemos aquí una matriz a de n por n y pues vamos a escribirla bien tenemos la primera fila que es a 11 a 12 y así hasta llegar al ah1n después tenemos la segunda fila a 21 a 22 hasta llegar al 2 ene y más adelante pues vamos a tener alguna fila en que se llame a a1 a2 hasta llegar al a y en la décima fila y después otra fila que se llama a j 1 j 2 hasta a jota n y finalmente llegamos a la última fila que es la fila a n1 y n2 hasta a nm observemos que aquí escribí con todas sus letras a estas dos filas la fila y la fila j porque las vamos a usar y ahora pues vamos a definir bueno déjame definir aquí vamos a tener un vector aunque sea el vector y uno después porque va a estar a 2 y así hasta llegar a la entrada a y n esto no lo he decidido formalmente pero este es un vector file ok es un vector de hecho incluso lo podemos ver como una matriz de 1 por n porque tiene una fila y n columnas pero déjenme seguirle llamando un vector de hecho vamos a ponerle aquí su gorrito de vector aunque pues no sé por qué los vectores que hemos visto hasta ahorita eran puros vectores columna que generalmente son verticales pero a éste también lo podemos ver como un vector y usando los podemos ver a esta matriz de una forma mucho más simple mucho más reducida y vamos a hacerlo así en este vídeo y en los próximos entonces podemos ver a esta matriz cómo r 1 y después r 2 y así nos seguimos por aquí nos vamos a encontrar al ere y y después al r j y finalmente vamos a llegar al rm ok lo que hacemos es tomar cada una de estas filas y definir el vector fila cuyas entradas son justo las entradas de cada fila ok entonces esta fila de aquí la tomamos la convertimos en un vector y le llamamos r 1 y hacemos lo mismo para cada una de estas filas y entonces la matriz a es simplemente la matriz que contiene a cada uno de los vectores fila la matriz que tiene en cada una de sus filas al vector fila correspondiente a cada uno de estos vectores tiene en entradas porque hay n columnas entonces esta es simplemente otra forma de escribir esta matriz y ahora lo que vamos a hacer es formar a otra matriz a la cual le vamos a llamar la matriz ese quijote que lo que va a hacer esta matriz es justo intercambiar la fila y con la fila j entonces tenemos aquí a la matriz s y j que en la primera fila va a tener a la primera fila de a suponiendo que uno es distinto de ahí y de jota o sea que no escogimos intercambiar la primera fila que fácilmente pudimos haber decidido intercambiar la pero bueno todas las pilas que no sean ni y ni jota van a ser justo las mismas filas de a ok entonces tenemos aquí a la primera fila digamos que la segunda fila tampoco es ni iu ni j y después nos seguimos poniendo todas las filas hasta que llegamos al lugar donde iría la décima fila entonces en lugar de poner a la décima fila vamos a poner a la j es imagina ok entonces aquí ponemos en la fila j después nos seguimos poniendo las mismas filas de la matriz a hasta que llegamos al lugar de la j décima fila y en lugar de poner la j décima fila ponemos la décima fila aquí ponemos el ie9 de ricota y el resto de las pilas las dejamos tal cual como están en la matriz a porque entonces esta es igualita a la matriz excepto que cambiamos la fila y la fila j del lugar que estas dos pilas las intercambiamos ahora lo que vimos hace algunos vídeos bueno de hecho no estoy tan segura de que lo hayamos visto pero sigue siendo cierto es que si intercambiamos dos files entonces el determinante de a es exactamente igual a menos el determinante de la matriz en la cual intercambiamos dos filas y entonces surge una pregunta muy interesante aunque hay que pasa si dos filas por ejemplo esta fila esta fila son exactamente iguales ok qué pasa cuándo rj es exactamente igual a como se comportan sus determinantes key que es lo que eso significa significa que hay uno es exactamente igual a aj que hay dos es exactamente igual a aj dos que hay en es exactamente igual a aj n y así con todos los términos del medio y entonces si estas dos filas son iguales cuando veamos esta matriz que intercambia la fila y con la fila j lo único que vamos a ver es exactamente la misma matriz a ok porque estamos intercambiando estas dos filas del lugar pero son igualitas entonces no se va a notar el cambio gay entonces a ver déjame lo escribo bien sí y es exactamente igual a la fila j entonces entonces lo que vamos a tener es que la matriz a es exactamente igual a la matriz que intercambia a la décima fila con la j décima fila cierto y eso lo que implica que tal vez debería de ponerlo de otro color eso lo que implica es que el determinante de la matriz a sea exactamente igual al determinante de la matriz s y j por qué pues porque si tienes dos matrices que son iguales sus determinantes tienen que ser iguales también ahora la matriz ese hijo está como intercambia dos columnas entonces nosotros sabemos aquí me faltó ponerle una j nosotros sabemos que se da esta igualdad y esta igualdad la podemos multiplicar por un -1 entonces aquí nos quedan menos x menos más y aquí nos queda menos el determinante de a entonces este determinante también es igual el determinante de a así es que tenemos este resultado muy interesante en particular nos interesa este pedazo de la igualdad con este otro pedazo de la igualdad porque eso lo que nos dice es que el determinante de a es igual a menos el determinante de a y esa es una propiedad no muy común de hecho ya nada más por saber que el determinante de a es igual a menos el determinante de a sabemos exactamente cuál es el determinante de a entonces tenemos que si las dos filas son iguales entonces estas dos matrices son iguales y por lo tanto sus determinantes son iguales pero al mismo tiempo como ese hijo está es la matriz a intercambiando la fila y la fila jota entonces nosotros sabemos que el determinante de ese hijo está es igual a menos el determinante de a aunque está por aquí creo que lo vimos en otro vídeo sino pues tú hacer las cuentas y como conclusión tenemos que el determinante vea es igual a menos el determinante de a y eso yo digo que ya nos dice exactamente cuánto vale el determinante de a ok porque digamos cualquier número x si nosotros sabemos que x es igual a menos x entonces forzosamente eso implica que x tiene que ser igual a 0 aunque puedes pasar este menos x del otro lado sumando y te queda 2x igual a 0 y después divididos entre 2 y te queda x igual a 0 entre 2 que es igual a 0 aquí entonces finalmente cualquier número que cumpla con esta propiedad tiene que ser a fuerzas cero por lo tanto estos tres puntitos indican por lo tanto el determinante de a es exactamente igual a cero pero bueno el chiste es que si tienes filas duplicadas ok voy a escribirlo y les duplex si tienes filas duplicadas eso implica que el determinante tiene que ser igual a 0 lo cual tiene todo el sentido del mundo o sea porque recuerda lo que vimos hace algunos vídeos de que una matriz es invertible si sólo si su forma escalonada reducida por filas es igual a la matriz identidad aunque hay a ver vamos a escribirlo una matriz una matriz es invertible es invertible invertible si y sólo si su forma escalonada reducida por filas es la matriz identidad de la dimensión de nuestra matriz original y si nosotros tenemos que dos filas son igualitas si tenemos por aquí que estas dos filas son igualitas entonces a la hora de tratar de llegar a la forma escalonada reducida por filas lo que vamos a hacer en algún punto es tomar esta fila y reemplazarla por esta fila menos esta fila y nos va a quedar aquí toda una fila de ceros porque estas dos filas son iguales y como vimos en ese vídeo de forma escalonada reducida por filas o en el vídeo de matrices inversas si llegas en algún punto a que la matriz tiene una pila de ceros ya sabemos que nunca vamos a poder reducirla a la matriz identidad ok y por lo tanto esta matriz no es invertible entonces ya sabemos que matrices que tienen filas duplicadas cuando las reduzcamos a su forma escalonada reducido por filas nunca nos van a dar una matriz identidad la reducción reducción a su forma escalonada reducida por filas de matrices matrices con una triste es una s con filas duplicadas duplicada nunca nunca puede ser la matriz identidad gay puede la matriz matriz identidad y por lo tanto tenemos que las matrices con pilas duplicadas no son invertibles no invertir keiko bien todo este texto y peguen lo aquí y nos dice que las matrices con filas duplicadas no son invertibles pero además nosotros sabemos que eso pasa si y sólo si el determinante de la matriz es 0 por lo tanto todas las matrices que tienen filas duplicadas su determinante a fuerzas tiene que ser cero entonces ya mostramos de dos formas distintas completamente independientes que si tienes una matriz que tiene dos pilas exactamente iguales entonces su determinante es cero entonces si ves dos filas o incluso pueden ser varias filas que sean iguales entonces ya sabes que el determinante de esa matriz es cero y bueno aquí no lo estoy enseñando pero también si tienes cierto conjunto de filas las cuales son linealmente dependientes entre ellas entonces también el determinante de la matriz va a ser igual a cero pero bueno eso no te lo estoy enseñando aquí y yo creo que lo vamos a ver en un vídeo más adelante