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Contenido principal
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Transcripción del video

tenemos aquí una matriz de 4x4 y nos encantaría sacar su determinante el determinante de la matriz a ahora hay dos caminos para sacar este determinante el primero es hacerlo de la forma clásica como vinos en uno de los vídeos que escogimos una de las pilas o una de las columnas como quisiéramos y vamos cogiendo cada uno de los elementos de esa columna o fila quitábamos la fila y la columna de la entrada y sacábamos el determinante la su matriz que nos quedaba ahora utilizando ese proceso primero tenemos cuatro determinantes de 3 x 3 y después cada uno sus determinantes de 3 x 3 se convierte en 3 determinantes de dos por dos y la verdad es que es un relajo ya para matrices de 4x4 son un montón de cuentas además de que aquí no hay ceros que hagan que nuestras operaciones sean más sencillas ahora el segundo camino mucho más recomendable y por eso vamos a verlo en este vídeo es utilizar lo que hemos visto en estos últimos vídeos seguro se acuerdan de lo que vimos hace creo que fue hace dos vídeos que vimos que sí teníamos una matriz y efectuamos la operación de pila que lo que hace es reemplazar una de las pilas por esa misma fila - un escalar veces otra de las fila déjamelo escriba pero el chiste es que si hacemos esa operación de pila el determinante se preserva exactamente igual que yo sea el determinante la matriz original de la matriz a es exactamente igual al determinante de la matriz a si le restamos una de las filas a otra de las pilas pero vamos a escribirlo muy importantes o escribir las cosas las y la y por y la y menos una escalada que en este caso es nace por la fota no cam determinante de mí entonces si tenemos cualquier pila y la reemplazamos paul esa misma fila - un escalar por cualquier otra fila eso no cambia nuestro determinante y la otra cosa que vimos es que si teníamos una matriz trees triangular superior tri burlar su odio como estado escribiendo verdad si tenemos una matriz triangular superior entonces el determinante de esa matriz es simplemente la multiplicación de todos los términos de su diagonal principal pero bueno qué es eso de las matrices triangulares superiores pues es simplemente una matriz que tiene puros 0 debajo de la diagonal principal que digamos que es una entrada es otra aquí tenemos la central de la diagonal principal y todas las entradas debajo de ésta diagonal son puros euros aquí va un cero y van dos ceros aquí pues no sé cuánto se los vayan pero llegamos hasta acá con ceros bueno ha hecho en este caso que dibuje una matriz de 5 x 5 y otros cuatro ceros pero en general quién sabe cuántas entradas tenemos por acá no entonces todo este triángulo debajo de la diagonal principal son puros euros pero encima de la diagonal pues no sabemos que tenemos no sé aquí tenemos puras entradas 15 de cuáles sean podrían ser cero podrían no el chiste es que para este tipo de matrices que tienen un triángulo deseos aquí hay una forma muy sencilla de encontrar su determinante que simplemente tomar todos los elementos la diagonal principal o sea estos elementos y multiplicarlos y es el determinante súper fácil en comparación con estos determinantes que sacamos antes na el chiste es que también hay una cosa similar no lo vi en el video pasado donde vimos esto las matrices triangulares superiores pero que está muy relacionado hoy es muy parecido y son las matrices la matriz triangular tri burlar inferior y superior que como te puedes imaginar es simplemente cambiar los ceros para arriba y el resto de las entradas para abajo no sé si una matriz con su día con el principal por aquí tenemos quién sabe qué otras entradas que también podrían ser cero y por acá y vale no todo lleno entradas pero no cero quién sabe pero todas las entradas encima de la diagonal o sea todas éstas son cero entonces en la matriz en la inferior las entradas morada son cero y las entradas lilao azuladas pueden ser cero puede no serlo y las matrices tengo la superior todas las entradas naranjas pueden ser o puede no ser cero pero todas las entradas verdes definitivamente son cero no lo demostramos en el video pasado porque ni siquiera hablamos de matrices triangulares inferiores pero de la misma forma como probamos este resultado para los matices triangulares superior es el determinante de cualquier matriz inferior es exactamente igual a lo que nos queda de simplemente multiplicar todos los elementos de la diagonal principal que tenemos una matriz tengo la inferior lo único que tenemos que hacer para sacar su determinante es multiplicar las entradas de su diagonal principal lo cual suena que es algo que tenemos que aprovecharnos bueno y para aprovecharlo lo que vamos a hacer es utilizar estas operaciones de ti le que no cambian al determinante para transformar a esta matriz en una matriz triangular superior y entonces lo único que vamos a tener que hacer es multiplicar las entradas de su diagonal para encontrar su determinante porque entonces ese es el plan entonces tenemos que empezar por escribirá a por acá es 112 - 11 12 los 1 227 4 227 4 245 menos 62 45 -6 1 223 1 223 nada más que aquí en lugar de poner la matriz lo que queremos ya de una vez acabe el determinante o sea que le vamos a poner sino determinante es que aquí estamos sacando el determinante vea ahora usando esa operación que cambia la pila y por la fila y menos una constante por la fila j vamos a hacer que esta entrada se vuelva a 0 entonces vamos a dejar esta fila tal cual como está y el determinante esta matriz va a ser igual al determinante de la matriz una vez efectuada esta operación de fila y entonces es determinante es igual el determinante de aquí dejamos la primera fila igual 12 21 y ahora vamos a reemplazar la segunda fila por la segunda y la menos una vez la primera fila ok entonces podríamos pensar y aquí que él hace es simplemente un 1 y entonces nos queda uno menos uno por uno o sea 1 - 1 0 después 2 - 2 0 también 4 - 2 2 y 2 - 1 eso es un 1 ahora vamos a hacer lo mismo con la tercera chile para que esta entrada se vuelvan 011 tenemos que restarle a esta fila dos veces esta fila gay 2 - 2 por 1 0 aquí nuestra constante vale 2 y la pila y es esta fila la pila js esta fila entonces 2 - 2 x 1 07 - dos por 27 - 4 a 35 -2 por 25 - 4 es un 12 menos dos por uno eso es cero otra vez y finalmente éste por cierto es un signo de iguales de que ésta esté terminantes iguala este determinante pero finalmente vamos a hacer que aquí haya un feroz lo único que tenemos que hacer es a esta fila sumarle esta fila o sea que esta constante pueden pensar que es menos 111 eso sí nos queda la cuarta fila - - o sea me la primera fila entonces menos uno más uno es un 0-4 más dos es un 6 menos seis más 2 - cuatro y tres más 14 vamos a hacer lo mismo este determinante es igual la siguiente matriz lo que queremos hacer aquí es transformar a esta matriz en una matriz triangular superior pero aquí lo que tenemos es que en la segunda fila hay 12 euros entonces tal vez lo que queremos hacer es intercambiar estas dos filas del lugar no sé por qué aquí queremos una entrada pivote bueno en realidad no tiene que ser pivote porque para que sea pivote tiene que ser uno y no nos importa que sea 13 50 ó 100 simplemente con que sea algo distinto 0 estaría bien para poder utilizar esta pila con esta entrada distinto de cero para hacer que todas las de abajo de esta entrada sean cero que en serio sea una matriz triangular superior entonces lo que vamos a hacer es intercambiar estas dos filas del lugar ahora la pregunta que nos tenemos que hacer es y hacer esa operación de pilas donde cambiamos a esta fila con esta fila hace que cambie el determinante y esta es una cosa que ya vimos y sí sí lo cambia pero no lo cambia de una forma tan grave o sea simplemente si intercambiamos dos filas entonces el determinante de la nueva matriz va a ser igual a menos el determinante original aunque hay entonces si queremos cambiar dos filas del lugar tenemos que multiplicar este determinante por un menos para que se siga dando esta igualdad entre estos dos determinantes entonces vamos a intercambiar estas dos filas del lugar y vamos a dejar exactamente igual a estas otras dos filas entonces tenemos por aquí un 122 106 - 44 y por acá esta fila va a dar aquí arriba entonces tenemos un 0 31 y 0 y esta fila de acabar aquí abajo entonces tenemos 0 0 2 y 1 qué y cómo estamos poniendo aquí el signo de menos el determinante estas dos matrices tomando en cuenta el signo menos son iguales que hay entonces vamos a seguir queremos que todas las entradas de esta columna debajo de ésta entradas en cero así es que queremos hacer que esta entrada se vuelva a cero por lo que vamos a hacer otra estas operaciones de chile y a la cuarta fila le vamos a restar dos veces la segunda fila entonces este determinante es exactamente igual que dejamos las primeras dos pilas y velitas 12 21 03 10 la tercera fila también dejamos igualité 00 21 y finalmente tomamos esta fila menos dos veces esta fila 0 - 2 x 0 06 - 2 por 3 6 6 1 6 0 - 4 - 2 - 1 - seis y finalmente 4 - 2 x 0 o sea 4 entonces necesitamos más espacio así es que espero que no se nos olvide que este determinante tiene que llevar su signo de menos tenemos aquí dos filas intercambiamos y entonces él terminante esta matriz es igual a él determinante de la matriz cambiando las dos filas del lugar pero multiplicándose por un signo menos entonces vamos a tener que arrastrar hasta el final ese signo menos para que se sigan dando estos igualdad es entonces que no se nos olvide el signo meno y vamos a seguir aquí todavía no tenemos una matriz triangular superior pero ya que así ya no tenemos que hacer que esta entrada se vuelva a cero y aquí para que nos está otra igualdad entre determinantes nuestro determinante que no se nos olvide el signo de menos y entonces pues dejan las primeras tres filas tal cual como está en 12 21 03 10 00 21 y a la última fila lo vamos a sustituir por la última y la más tres veces la tercera fila porque dos por tres son seis entonces se eliminan entonces aquí 0 + 3 por 0 0 y luego 0 + 3 por 0 0 - seis nada 3 por 2 o sea menos seis más 60 y finalmente 4 meses 3 x 1 437 y listo ya terminamos bueno para él pero ya me lo terminamos porque ahora sí esta matriz si es una matriz de anular superior aquí tenemos a todo nuestro triángulo de cero esta es nuestra de aragón el ok esta es la diagonal principal y abajo de la diagonal principal tenemos puros euros entonces es súper sencillo calcular su determinante y es el determinante es bueno primero que no se nos olvide el signo menos - súper importante y aquí lo que tenemos que poner es simplemente la multiplicación de cada una de las entradas de la diagonal principal o sea uno por tres x 2 por 7 y listo ese es nuestro determinante que entonces pero esto es simplemente uno por tres por 12 a 6 6 por 7 son 42 nuestro signo de menos y listo este es el determinante aunque entonces fue mucho más fácil para calcular determinante esta matriz utilizar estas dos propiedades de los determinantes y con ellos transformar al determinante la matriz a en el determinante de una matriz triangular superior y entonces simplemente multiplicar los elementos de la diagonal ok fue muchísimo más fácil y rápido sacarlo de esta forma que si hubiéramos sacado directamente entonces nada más hay que recordar que si intercambiamos dos filas del lugar tenemos que multiplicar determinante por un signo menos y no se nos debe olvidar en el camino es signo menos