Determinante triangular superior

digamos que tenemos una matriz que tiene todas sus entradas debajo de la diagonal iguales a cero aunque hay por ejemplo bueno empecemos con una matriz de dos por dos para que quede todo clarísimo entonces digamos que tenemos la matriz a que va a ser una matriz de 2 por 2 donde todas sus entradas debajo de la diagonal son 0 así es que en la primera entrada tenemos a en la segunda tenemos a b después aquí en lugar de tener hace ya sabemos que las es igual a 0 entonces ponemos un 0 y después tenemos aquí un d entonces nos queremos preguntar cuál es el determinante de esta matriz ok entonces tenemos que el determinante de a es igual pues esta es una matriz de dos por dos cualquiera entonces su determinante es a por de menos a ver a por de menos b por 0 pero eso tal cual es un 0 de hecho ni siquiera lo tenemos que escribir así es que vamos a borrarlo y entonces si tenemos una matriz de 2 por 2 tal que debajo de la diagonal principal esta es la diagonal principal tenemos que todas las entradas son iguales a 0 entonces al menos en el caso de 2 por 2 el determinante es igual a multiplicar las dos entradas de la diagonal ok ahora vamos con otra matriz ahora con una matriz de 3 por 3 tenemos aquí a b que va a ser una matriz de 3 x 3 que tenga todas sus entradas debajo de la diagonal iguales a 0 ok entonces tenemos aquí a d después tenemos un cero y aquí tenemos de y tenemos aquí un 0 y otro 0 y aquí finalmente una f aunque entonces esta es la diagonal principal y todas las entradas debajo de la diagonal principal son iguales a cero entonces cuál será el determinante de esta matriz de tres por tres hace algunos vídeos vimos que podíamos tomar el determinante sacarlo a lo largo de cualquier fila o cualquier columna cierto ya lo que hacíamos era escoger una columna y calcular el signo de cada una de las entradas y multiplicarlo por la sub matriz 1 multiplicando por la entrada correspondiente y luego por el determinante de la sub matriz que nos queda de quitar la columna que contiene esa entrada y la fila que contiene de centrada cierto bueno entonces vamos a hacer lo mismo que hemos estado haciendo en todos estos vídeos que es tomar la fila que más nos convenga en este caso aquí en esta columna hay dos ceros y eso va a hacer que sea mucho más fácil sacar el determinante de b utilizando ésta ok entonces sacamos el determinante de b y lo que hacemos es calcular el signo de la entrada 11 menos 1 elevado a la 1 más 1 que en este caso es 2 entonces menos 1 al cuadrado nos queda un 1 así es que podemos borrar este signo y luego tomamos la entrada que en este caso es a por el determinante de la sub matriz que nos queda de quitar la columna y la fila o sea de cero efe efe y entonces vamos con el siguiente determinante que nos toca entonces tenemos aquí un mes aquí nos toca un menos 0 0 por el determinante de la sub matriz que nos queda de quitar la fila y la columna de abc 0 f pero efe y finalmente aquí tenemos un menos nos toque aún más la entrada que es 0 0 por el determinante de la sub matriz que nos queda de quitar la fila y la columna correspondientes entonces nos queda de ese de b c d ok entonces vamos a hacer todas las cuentas aquí nos queda a x y de este determinante es igualito este determinante nada pero bueno el chiste es que nos queda de por efe de por efe y luego tenemos que multiplicar a la x menos por 0 pero es por cero por cero entonces ni siquiera lo tenemos que poner aquí entonces el determinante debe tal cual es a por de por f por qué pues porque estos dos determinantes están multiplicando a un 0 entonces este es un 0 y este también es un 0 entonces aquí tendríamos que sumar un 0 que ni siquiera vamos a poner así es que aquí tenemos una matriz de 3 por 3 tal que debajo de su diagonal principal que es ésta tenemos puras entradas que son iguales a 0 y su determinante resultó ser a por d por efe o sea tal cual multiplicar cada una de las entradas de la diagonal principal esta es la diagonal principal y está muy curioso porque lo mismo pasó para el caso de matrices de 2 x 2 aunque ya aquí tenemos nuestra matriz de 2 por 2 general debajo de la diagonal principal que esta es la diagonal principal todas las entradas son iguales a 0 si sacamos su determinante entonces su determinante resultó ser la multiplicación de las entradas que están en la diagonal principal entonces seguramente te estás preguntando sucede lo mismo pero para cualquier matriz de cualquier tamaño que tenga puros ceros debajo de la diagonal y si estás pensando eso estás en lo correcto sin embargo siempre que queremos hacer una afirmación tan general tenemos que demostrarlo así es que vamos a empezar por escribir nuestra matriz vamos a llamarle otra vez nuestra matriz de n por n aquí tenemos un a1 aunque vamos a escribir una matriz de n por n n por n que tenga puras entradas iguales a 0 debajo de la diagonal ok y aquí se ve muy claro cuál es la diagonal porque justo las entradas que están en la diagonal son las que tienen sus subíndices iguales o sea el a1 1 está en la diagonal principal el 22 también está en la diagonal principal al igual que el 33 y así nos seguimos hasta llegar al a n n y entonces nosotros queremos que esta matriz debajo de esta diagonal principal tenga puros ceros así es que aquí tiene que haber un 0 0 0 y aquí pues 000 blah blah hasta la penúltima entrada que cero y por acá también tienen que haber puros ceros y por aquí pues por aquí puede estar cualquier entrada que se nos ocurra y para denotar a esas entradas que son las que se nos ocurra siempre ponemos ahí nuestro ah1n1 2 y asigna entonces esta es nuestra matriz diagonal superior así les llamamos a las matrices que tienen puros ceros debajo de la diagonal cree entonces a este tipo de matrices que tienen todas sus entradas debajo de la diagonal principal igual y tasa cero les llamamos matrices o matrix matriz triangular 3 superior pero lloré porque como que parece un triángulo no sé aquí todas estas entradas son iguales a cero y todas estas pues algunos pueden ser iguales a cero pero todavía no sabemos y pues el triángulo que tal vez es distinto de cero está como que por encima de la diagonal entonces por eso son matrices triangulares superior pero bueno calculemos el determinante de esta matriz y el determinante de la matriz a al igual que en esta matriz pues nos conviene tomar una columna que tenga muchos ceros no entonces lo que vamos a hacer es escoger esta columna y sacar el determinante de a a lo largo de esta columna así es que empezamos tenemos esta primera entrada que tiene el signo positivo a 11 por el determinante de la sub matriz que nos queda cuando eliminamos la fila y la columna que contiene a 1 y entonces nos queda a 22 y nos queda toda esta sub matriz dentro del determinante entonces aquí nos queda a 22 hasta a 2 n equipu los ceros aquí a 33 n por aquí m m y por aquí nos quedan puros ceros creo que esta no es una buena forma de dibujarlo que aquí tenemos un triángulo de 0 2 0 final 0 inicial y muchos puntitos en medio y entonces vamos con la siguiente entrada pero resulta que la siguiente entrada es un 0 10 por su sub matriz correspondiente que pues no importa porque la vamos a multiplicar por un 0 y ya y lo mismo pasa para el resto de estas entradas de la columna así es que podemos simplemente borrar nuestro cero y entonces lo único que tenemos que hacer es calcular este otro determinante y multiplicarlo por a 11 pero resulta que este otro determinante es muy parecido a este determinante que estábamos sacando no o sea sigue siendo una matriz triangular superior nada más que ahora en lugar de ser el determinante una matriz de n n estã sub matriz es una matriz de n menos 1 por n menos 1 lo cual tiene todo el sentido del mundo por cómo definimos el determinante entonces este nuevo determinante también es una matriz de angular superior y entonces pues le vamos a aplicar exactamente lo mismo no aquí nosotros ahora vamos a calcular el determinante de esta matriz y entonces lo que hacemos es escoger esta fila ya que tiene la entrada a 22 y puros ceros en el resto de la columna y entonces este determinante es exactamente igual a 11 que ya lo teníamos por ahora escogemos esta entrada que es a 22 por el determinante de otras sub matriz pero que ahora empieza en 33 porque eliminamos esta fila y esta columna entonces se va así hasta a3n y aquí tenemos a nuestro triángulo de ceros 0 y aquí tenemos a un emmy y por acá el resto de las entradas y después tenemos que sumar por 0 por el determinante quitar estas cosas pero eso es igual a cero para todas estas entradas ya se ve muy bien el patrón no entonces lo que estamos haciendo es quitar la fila de hasta arriba y la columna de la izquierda y en cada interacción del proceso lo único que nos aporta es la entrada de la esquina superior izquierda así es que después de mucho tiempo de hacer esto lo que vamos a obtener es a 11 que ya lo teníamos por a 22 por 33 quitamos la fila quitamos la columna nos queda a 44 quitamos otra fila y otra columna y entonces nos queda en la esquina superior izquierda a 55 y así un montón de veces hasta que llegamos en m2 en m2 por el determinante de una sub matriz muy particular o sea ya lo único que nos va a quedar son estas últimas cuatro entradas y estas últimas cuatro entradas es pues aquí un cero porque aquí tenemos nuestros 02 estamos tomando este cuadradito aquí en n ii y n 1 n menos uno y por aquí nos va a quedar a n menos 1 m creo que tampoco fue a la letra verdad pero se entiende este es un n menos 1 y este es otro bien a menos uno en el ine en el -1 viene y cuál es el determinante de esta matriz pues esto es igual a 11 x a 22 x todas estas cosas que escribimos por acá y todos los que no escribimos por la n 2 n menos 2 por y aquí volvemos a sacar el determinante de una matriz de 2 por 2 que es triangular superior entonces como vimos al inicio este vídeo el determinante esta matriz es simplemente an1n1 por a nn o lo podemos volver a sacar aquí es este por este que es justo es lo que escribió aquí menos este por 0 que 0 o que entonces ya terminamos este es el determinante de una matriz de en 'por n triangular superior y justo lo que es es la multiplicación de todas las entradas de la diagonal principal ok entonces si tenemos una matriz del tamaño que sea o sea del tamaño n por n donde en es cualquier número y esta matriz además es triangular superior o sea que todas las entradas abajo de la diagonal principal son 0 entonces el determinante de esta matriz lo podemos sacar muy fácilmente simplemente multiplicando todas las entradas que están en la diagonal principal lo cual está súper padre no o sea porque hemos simplificado muchísimo la forma de calcular determinantes para este tipo de matrices no o sea si tenemos una matriz de cien por cien que es triangular superior entonces ya nada más tenemos que multiplicar 100 entradas en lograr hacer un proceso larguísimo que seguramente implica hacer más de 10.000 multiplicaciones entonces sólo para verificar que me hayas entendido muy bien vamos a sacar un determinante de una matriz de 4x4 hace mucho que no hago determinantes de 4x4 entonces aquí tenemos por ejemplo 7 y como es una matriz triangular aquí vamos a tener 3 ceros después por aquí podemos tener no sé un 5 menos 2 y otra vez como es una matriz triangular debajo de la diagonal hay puros ceros 21 pero bueno no no queremos 0 de este lado verdad entonces pongámosle un 1 otro uno nos toca un 0 3 453 ok y entonces si queremos calcular el determinante de esta matriz lo único que necesitamos hacer es tomar la diagonal principal o sea todas estas entradas y multiplicar las o sea que nos queda si esta es la matriz entonces el determinante de la matriz a es igual a 7 x menos 2 por 1 por 3 y ya o sea todos los elementos de la diagonal principal ok y esto es menos dos por tres es menos 6 por 7 igual a menos 42 desde hacía cuánto que no me salía tan rápido un determinante es súper útil esta técnica no