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Transcripción del video

digamos que tenemos una matriz que tiene todas sus entradas debajo de la diagonal iguales a cero aunque hay por ejemplo bueno empecemos con la matriz de 2 x 2 para que quede todo clarísimo entonces digamos que tenemos en la matriz que va a ser una matriz de 2 x 2 donde todas sus entradas debajo de la diagonal son cero así es que en la primera entrada tenemos a la segunda tenemos ave después aquí en lugar de tener hace ya sabemos que las es igual a cero entonces ponemos un cero y después tenemos aquí un de entonces nos queremos preguntar cuál es el determinante de esta matriz que entonces tenemos que el determinante de a igual a pues ésta es una matriz de 2 x 2 cualquiera entonces su determinante es a por de menos a ver a por de - b por 0 pero eso tal cual es un cero de hecho ni siquiera lo tenemos que escribir es que vamos a borrar lo que entonces sí tenemos una matriz de 2 x 2 tal que debajo de la diagonal principal es la diagonal principal tenemos que todas las entradas son iguales a cero entonces al menos en el caso de dos por dos el determinante es igual a multiplicar las dos entradas de la diagonal ahora vamos con otra matriz ahora con una matriz de 3 x 3 sequía ve que va a ser una matriz de 3 x 3 que tenga todas sus entradas debajo de la diagonal iguales a cero que ya entonces tenemos aquí de c después tenemos un cero y aquí tenemos de y tensión 0 y otro 0 y aquí y finalmente una f aunque entonces esta es la diagonal principal y todas las entradas debajo de la diagonal principal son iguales a cero entonces cuál será el determinante de esta materia de transportes hace algunos videos vimos que podíamos tomar el determinante sacarlo a lo largo de cualquier fila o cualquier columna cierto lo que hacíamos era coger una columna y calcula el signo de cada una de las entradas y multiplicarlo por la su matriz no multiplicarlo por la entrada correspondiente y luego por el determinante de la su matriz que nos queda de quitar la columna que contiene esa entrada y la pila que contiene esa entrada cierto bueno entonces vamos a hacer lo mismo que hemos estado haciendo en todos estos vídeos que es tomar la fila que más nos convenga en este caso aquí en esta columna hay dos ceros y eso va a hacer que sea mucho más fácil sacar determinante debe utilizando esta columna que entonces sacamos el determinante debe y lo que hacemos es calcular el signo de la entrada 11 - 1 elevado a la uno más uno que en este caso los dos onces -1 al cuadrado nos queda aún un oasis que puedan borrar este signo y luego tomamos la entrada en este caso es a por el determinante de la su matriz que nos queda de quitar la columna y la fila o sea de cero efe 0 efe y entonces vamos con el siguiente determinante que nos toca entonces tenemos aquí una aquí nos toca un - 00 por el determinante de la su matriz que nos queda de quitar la fila y la columna que a veces 0 f b se 0 efe y finalmente aquí tenemos menos nos toca aún más la entrada que 00 por el determinante de la su matriz que nos queda de quitar la pila y la columna correspondientes entonces nos queda b c d b c d e ok entonces vamos a hacer todas las cuentas aquí nos queda a por y de este determinante es igualito es determinante pero el chiste es que nos queda de por efe de por efe y luego tenemos que multiplicar a la x menos por 0 pero el x 0 por a cero entonces ni siquiera lo tenemos que poner aquí entonces el determinante debe tal cual es a por de por efe por qué pues porque estos dos determinantes están multiplicando 10 entonces este es un cero y este también es un cero entonces aquí tendríamos que suman un 0 que ni siquiera lo vamos a poner así es que aquí tenemos una matriz de 3 x 3 tal que debajo de su diagonal principal que se está tenemos puras entradas que son iguales a cero y su determinante resultó ser a por de por efe o sea tal cual multiplicar cada una de las entradas de la diagonal principal que es la diagonal principal y está muy curioso no porque lo mismo pasó para el caso de matrices de dos por dos y aquí tenemos nuestra matriz de 2 x 2 general debajo de la diagonal principal que es la diagonal principal todas las entradas son iguales a cero si sacamos su determinante entonces su determinante resultó ser la multiplicación de las entradas que están en la diagonal principal entonces seguramente te estás preguntando sucede lo mismo pero para cualquier matriz de cualquier tamaño que tenga puro 0 debajo de la diagonal y si estás pensando eso estás en lo correcto sin embargo siempre queremos hacer una afirmación tan general tenemos que demostrar la así es que vamos a empezar por escribir nuestra matriz llamarle otra vez a nuestra matriz de en 'por n aquí tenemos un a1 que vamos a escribir una matriz de en por n n por n que tenga puras entradas iguales a cero debajo de la diagonal y aquí se ve muy claro cuál es la diagonal porque justo las entradas que están en la diagonal son las que tienen sus subíndices iguales o sea el a 11 está en la diagonal principal el a 22 también está en la diagonal principal al igual que él a 33 días y no seguí hasta llegar al a n n y entonces nosotros creemos que esta matriz debajo de ésta diagonal principal tenga puros euros así es que aquí tiene que haber un 000 equipos 000 hablar hasta la penúltima entrada que cero y por acá también tiene que ver puro 0 y por aquí pues por aquí puede estar cualquier entrada que se nos ocurra y para denotar aquellas entradas que son las que se nos ocurra siempre ponemos ahí nuestro ah1n1 2 y asigna entonces esta es nuestra matriz diagonal superior así les llamamos a las matrices que tienen pulo 0 debajo de la diagonal entonces este tipo de matrices que tienen todas sus entradas debajo de la diagonal principal igualitas acero le llamamos matrices matriz matriz triangula tri la superior su superior porque como que parece un triángulo no sé aquí todas estas entradas son iguales a cero y todas estas pues algunos pueden ser iguales a cero pero todavía no sabemos y pues el triángulo que tal vez es distinto de cero destacó que por encima de la diagonal entonces por eso son matrices triangular es superior pero bueno calculemos el determinante de esta matriz y el determinante de la matriz al igual que en esta matriz pues nos conviene tomar una columna que tenga muchos ceros no entonces lo que vamos a hacer es escoger esta columna y sacar el determinante de a a lo largo de esta columna así es que empezamos tenemos esta primera entrada que tiene el signo positivo a 11 por el determinante de la su matriz que nos queda cuando eliminamos la pila y la columna que contienen a 11 y entonces nos queda a 22 y nos queda toda esta su matriz dentro del determinante nos queda a 22 hasta 2 n equipo luceros a 33 hasta 3 ene por aquí a mí y me y por aquí nos quedan puro ceros creo que esta no es una buena forma de dibujar lo tenemos un triángulo de ceros al final 0 inicial y muchos puntitos en medio que y entonces vamos con la siguiente entrada pero resulta que la siguiente entrada es un 0-0 por su matriz correspondiente que no importa porque la vamos a multiplicar por 1 0 y ya lo mismo pasa para el resto de estas entradas de la columna así es que podemos simplemente borrar nuestro 0 y entonces lo único que tenemos que hacer es calcular este otro determinante y multiplicarlo por a 11 pero resulta que este otro determinante es muy parecido a éste terminante que estábamos sacando no sea sigue siendo una matriz triangular superior nada más que ahora en lugar de ser determinante una matriz de gm por n estã su matriz es una matriz de en el -1 por ende menos uno lo cual tiene todo el sentido del mundo por cómo definimos el determinante entonces este nuevo determinante también es una matriz time la superior y entonces pues vamos a aplicar exactamente lo mismo no aquí nosotros ahora vamos a calcular determinante de esta matriz y entonces lo que hacemos es coger staff y le tiene a la entrada a 22 y puro ceros en el resto de la columna y entonces este determinante es exactamente igual la a-11 que ya lo teníamos por ahora cogemos esta entrada que es a 22 por el determinante de otras su matriz pero que ahora empiezan a 33 porque eliminamos esta fila y esta columna se va así hasta a 3 ene y aquí tenemos a nuestro triángulo de ceros 0000 bla bla bla pero aquí tenemos m m y por acá el resto de las entradas y después tenemos que summers por cero por el determinante evitar estas cosas pero eso es igual a cero para todas estas entradas ya se ve muy bien el patrono entonces lo que estamos haciendo es quitar la fila hasta arriba y en la columna de la izquierda y en cada iteración el proceso lo único que nos aporta es la entrada de la esquina superior izquierda así es que después de mucho tiempo de hacer esto lo que vamos a tener es a 11 que ya lo teníamos por 22 por a 33 quitamos la pila quitamos la columna nos queda a 44 quitamos otra fila y otra columna entonces nos queda en la esquina superior izquierda a 55 y así un montón de veces hasta que llegamos a en el -2 en -2 por el determinante de una su matriz muy particular o sea ya lo único que nos va a quedar son estas últimas cuatro entradas y estas últimas cuatro entradas es pues aquí un cero porque quitan los 20 se están tomando este cuadradito aquí en n n - 1 - 1 y por aquí no va a quedar a enel -1 en tampoco fue a la letra verdad pero se entiende este es un -1 y este es otro bien menos uno en ella n en el -1 llene y cuál es el determinante de esta matriz pues esto es igual a 1 1 por a 22 por todas estas cosas que escribimos por acá y todos los que no escribimos por ende menos 2 ene - dos por y aquí volvemos a caer determinante de una matriz de dos por dos que es triangular superior entonces como vimos al inicio este video el determinante esta matriz es simplemente un -1 en el -1% en óleo podemos volver a sacar aquí es éste por éste que es justo lo que escribí aquí - éste por cero que 0 que entonces ya terminamos este es el determinante una matriz de gm por n triangular superior y justo lo que es es la multiplicación de todas las entradas de la diagonal principal que entonces sí tenemos una matriz del tamaño que sea o sea el tamaño en él pone donde en es cualquier número y esta matriz además es triangular superior o sea que todas las entradas a bajo de la diagonal principal son cero entonces el determinante esta matriz lo podemos sacar muy fácilmente simplemente multiplicando todas las entradas que están en la diagonal principal lo cual está súper padre no sea porque hemos simplificado muchísimo la forma de calcular determinantes para este tipo de matrices o sea si tenemos una matriz de cien por cien que es triangular superior entonces ya nada más tenemos que multiplicar 100 entradas en lugar de hacer un proceso larguísimo que seguramente implica hacer más de 10.000 multiplicaciones entonces sólo para verificar que me hayas entendido muy bien vamos a sacar un determinante de una matriz de 4x4 y mucho que no determinantes de 4x4 aquí tenemos por ejemplo 7 y como es una matriz de angula aquí vamos a tener tres ceros después por aquí podemos tener no sé un 5 menos dos y otra vez como una matriz de anular debajo de la diagonal hay puro 0 21 01 no creemos pero de este lado verdad entonces por nombre un 1 otro uno nos tocan 0 3 453 key y entonces si queremos calcular el determinante de esta matriz lo único que necesitamos hacer es tomar la diagonal principal o sea todas estas entradas y multiplicarla o sea que nos queda si ésta es la matriz es el determinante de la matriz igual a 7 por menos dos por uno por tres y ya sea todos los elementos de la diagonal principal que y esto es menos dos por tres - 6 por 7 - 42 gay desde hacía cuanto que no salía tan rápido un determinante es súper útil esta técnica no