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Contenido principal
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Transcripción del video

en el video pasado definimos la noción de un determinante de una matriz de dos por dos aunque entonces digamos que tenemos una matriz ven que de la forma de v sé de dónde éstos en realidad son cualquier número y definimos en el video pasado el determinante de una matriz de este tipo a lo cual denota más con estos símbolos y que también se puede escribir como dos barritas por acá y la matriz aquí adentro puede ser la letra con la cual denota más a la matriz o puede ser tal cual los valores de la matriz ósea puesto aquí ave se dé y todas estas cosas denotan la misma cosa que es el determinante de esta matriz ok es muy importante no confundirse entre una matriz y un determinante de una matriz ok sí tiene estas rayas largas eso significa que estamos hablando de un determinante que en realidad termina siendo un solo número a diferencia de las matrices que son cuatro números distintos acomodados en esta forma que tienen estos paréntesis paréntesis significa matriz raya significa determinante el chiste es que definimos que el determinante de una matriz era tal cual éste por éste sea menos éste por éste ve porsche key tomamos esta diagonal y multiplicamos estos números y le resta vamos lo que nos quedaba de multiplicar esta diagonal y encontramos que esta cosa el determinante debe era muy importante para determinar algunas cosas sobre la matriz ve en el video pasado encontramos la fórmula para sacar la matriz inversa de una matriz ve una matriz de dos por dos y esta fórmula lo que decía es que la matriz inversa es igual a 1 entre ave - bc por una matriz por acá en realidad lo que hacía era nada más tomar estos dos entradas y cambiarla de lugar y a estas dos entradas multiplicarlas por -1 este lado temáticos que daría a ver el a nos mandan hasta acá se la queda por acá el de nos lo mandan por a que y nos queda menos b y menos sé bueno pero ahora sí vamos al meollo del asunto el chiste es que esta matriz inversa no está definida para todas las matrices b lo cual tiene todo el sentido del mundo porque no todas las matrices de dos por dos son invertibles y resulta que esta matriz está definida si y sólo si esta cosa de acá es distinta de cero y si ésta es distinta de cero esta matriz resultase invertible y su inverso es éste pero si esta cosa de acá resulta ser igual a cero la matriz inversa no está bien definida porque no se puede dividir entre cero y la matriz b resulta no ser invertible ok entonces a de - bc determine si la matriz bs invertible o no de si invertible sí y sólo sí a de - bc es distinto de cero ok pero a de menos veces es igual al determinante debe o sea justo en el video pasado nos dimos cuenta que esta cantidad era súper importante y decidimos nombrarla determinante debe porque determina si ves invertible o no pero lo importante con lo que nos quedamos en el video pasado es con esta definición de que a de menos bc es el determinante debe siempre en álgebra lineal estamos tratando de generalizar todas las cosas que suceden por ejemplo en matrices de dos por dos matrices de n por n donde en es cualquier número sea 50 x 50 matices de cien por cien pero pues vamos pasito a pasito entonces vamos a empezar por definir una matriz de 3 x 3 no esta materia es una matriz de 3 x 3 y a las entradas de las matrices como son matrices más grandes nos gusta llamarlos de cierta forma en que nada más con saber su nombre sepamos exactamente cuál es su posición dentro de la matriz porque si no pues tendríamos que usar muchísimas letras imagínense una matriz de cien por cien el abecedario entero no nos alcanza entonces lo que hacemos es usar subíndices por ejemplo a esta entrada de aquí le vamos a llamar a 11 a 1 de estar en la primera fila y uno que está en la primera columna que entonces aquí este va a ser el a 12 en la primera fila y en la segunda columna gay a 13 y aquí este va a ser el a 21 a 22 a 23 a 31 en la tercera fila y en la primera columna 32 33 es una buena forma de llamar a los elementos de una matriz entonces esta es una matriz de tres por tres porque tiene tres filas y tres columnas matriz de 3 x 3 y lo que vamos a hacer ahora es definir el determinante para matrices de 3 x 3 definir muy importante eso que lo estamos definiendo justo en este momento entonces el determinante de a de una matriz de tres por tres lo vamos a definir como a 11 11 por el determinante de la matriz de 2 x 2 que nos quede eliminar las pilas y las columnas que contengan a a 11 entonces tomamos este a 11 lo ponemos aquí y luego eliminamos la columna y la fila que contienen a a 11 y sacamos el determinante de las entradas que nos queden de estas su matriz que algunas personas le llaman el menor a 1 1 pero por el momento vamos a seguirle llamando suma tres aquí tenemos que sacar determinante de la amf su matriz que tiene a 22 a 23 a 32 y 33 gay que es el determinante de esta matriz que nos queda de eliminar la pila y la columna que contienen a 11 que es la entrada por la que está multiplicando y aquí tenemos un que súper súper importante porque porque a brit a lo que viene es un - siempre vamos a ir más menos más y si estuviéramos haciendo los determinantes de matriz de 4x4 aquí a otro menos pero pues se lo vamos a ver en otro video próximamente el chiste es que ahorita nos toca un menos y vamos a tomar esta entrada que es la 12 y la vamos a multiplicar por el determinante a ver dígame cuál determinante bien pues es determinante de la sub matriz que nos queda de eliminar la pila y la columna de a 12 gay tenemos que el terminante de a 21 a 23 a 31 y a 33 y finalmente vamos a sumarle porque ya sumamos y restamos entonces ahora toca sumar otra vez a 13 a 13 por el determinante de lo que nos quede quitar esta columna y está file o sea a 21 a 22 a 31 y 32 entonces todo esto es el determinante de para cualquier matiz a 3 x 3 gay es muy importante que nosotros lo estamos definiendo así y aunque no sea tan intuitivo así pues la verdad es que la idea de fondo es exactamente la misma que cuando definimos este determinante como ab - bc tal vez no lo voy a demostrar pero con este determinante que acabamos de fini podemos determinar si una matriz de tres por tres es imbatible o no o sea si tenemos una matriz y le sacamos su determinante y eso es determinante es distinto de cero eso ya nos asegura que esta matriz es invertirle y de la misma forma si sacamos el determinante de la matriz de esta forma este tipo determinante que acabamos de fini y resulta ser igual a cero eso nos asegura que esta matriz no es invertirle pero aquí se ven un montón de letras y tal vez más queda claro bien qué es lo que estoy haciendo por lo cual pues vamos a hacer un ejemplo tenemos una matriz c que sea igual en 12 42 menos 10 y 4 3 1 entonces si yo quiero sacar el determinante de esta matriz lo que tengo que hacer es tomar esta entrada el 1 y multiplicarla por el determinante de la su matriz que nos queda de eliminar la fila en la que éste se encuentra y luego quitar la columna en la que éste se encuentra y sacarle el determinante al a su matriz que nos queda repito algunas personas a este determinante de acá le llaman la menor de esta entrada o sea la menor de esta posición de esta entrada pero nosotros podemos seguirle llamando su matriz entonces lo que vamos a sacar es este determinante y multiplicarlo por uno que y entonces tenemos que sacar el determinante de menos 1 301 y después como aquí ya sumamos nos toca restar entonces nosotros vamos a restar 2 por el determinante de lo que nos quede quitar la columna en la que se encuentra el 2 y la fila en la que se encuentra el 2 tenemos aquí otra matriz esta matriz y vamos a sacarle su determinante y multiplicarlo por 2-1 por menos dos muy importantes o del -11 sekib a 2 341 y finalmente como aquí sumamos restamos sumamos 44 por el determinante 2 - 1 402 menos 140 que y entonces tenemos que hacer todas estas cuentas aquí lo que tenemos es uno por este determinante que si se acuerdan por aquí lo tenemos a de - bc así es que tenemos menos uno por uno menos uno por uno y después tenemos que resta este por este tres por cero de la expansión de las cuentas entonces menos uno por uno es menos uno aquí menos tres por cero es menos cero se quede todo esto nos queda menos no y después queremos resta 2 x 2 por 1 2 x 1 - 3 por 4 3 por 4 y finalmente queremos ume 4 x 2 por 0 2 por 0 - menos uno por 4 - 1 x 4 esto de aquí es determinante estoy acá es determinante y pues ya habíamos visto que estoy acá es determinante pero de aquí nos quedan dos por 1 2 - 3 por 4 3 por 4 2 12 ocean2012 eso es menos 10 y de aquí tenemos dos por cero esto es un cero y aquí tenemos menos -1 por cuatro y eso es simplemente un 4 ahora muy importante que no se nos olvide multiplicar por estos numeritos de aquí y bueno esto es igual a 1 - 1 - 1 - 2 por menos diez más 20 y finalmente 4x4 nada 16 entonces 20 más 16 - 1 eso es simplemente 35 todo es igual es el determinante de ese determinante desees 35 y como 35 es distinto de cero esto lo que nos dice es que se es una matriz invertible está padre no bueno en el próximo video vamos a hacer lo mismo pero para matrices de n por n n por en donde m puede ser cualquier número que puede ser 100 puede ser mil puede ser un millón el número que se te ocurra vamos a encontrar una fórmula para sacar su determinante