If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Si estás detrás de un filtro de páginas web, por favor asegúrate de que los dominios *.kastatic.org y *.kasandbox.org estén desbloqueados.

Contenido principal

Determinante 3x3

Determinantes: encontrar el determinante de una matriz de 3x3. Creado por Sal Khan.

¿Quieres unirte a la conversación?

¿Sabes inglés? Haz clic aquí para ver más discusiones en el sitio en inglés de Khan Academy.

Transcripción del video

en el vídeo pasado definimos la noción de un determinante de una matriz de 2 x 2 entonces digamos que tenemos una matriz b que es de la forma a b d ok donde estos en realidad son cualquier número y definimos en el vídeo pasado el determinante de una matriz de este tipo a lo cual denota mos con estos símbolos y que también se puede escribir como dos barritas por acá y la matriz aquí adentro ok puede ser la letra con la cual denotamos a la matriz o puede ser tal cual los valores de la matriz o sea puesto aquí a b c d y todas estas cosas denotan la misma cosa que es el determinante de esta matriz ok es muy importante no confundirse entre una matriz y un determinante de una matriz ok si tiene estas rayas largas esto significa que estamos hablando de un determinante que en realidad termina siendo un solo número a diferencia de las matrices que son cuatro números distintos acomodados en esta forma que tienen estos paréntesis ok paréntesis significa matriz raya significa determinante bueno el chiste es que definimos que el determinante de una matriz era tal cual este por éste o sea - este por este deporte ok tomamos esta diagonal y multiplicamos estos números y le resta vamos lo que nos quedaba de multiplicar esta diagonal y encontramos que esta cosa el determinante de b era muy importante para determinar algunas cosas sobre la matriz ve en el vídeo pasado encontramos la fórmula para sacar la matriz inversa de una matriz b de una matriz de 2 por 2 y esta fórmula lo que decía es que la matriz inversa es igual a 1 entre ab - bc por una matriz por acá que en realidad lo que hacía era nada más tomar estas dos entradas y cambiarlas del hogar y a estas dos entradas multiplicar las x menos 1 de este lado de esta matriz nos quedaría a ver el a nos lo mandan hasta acá o se la queda por acá el d nos lo mandan por acá y nos queda menos y menos si bueno pero ahora si vamos al meollo del asunto el chiste es que esta matriz inversa no está definida para todas las matrices b lo cual tiene todo el sentido del mundo porque no todas las matrices de dos por dos son invertibles y resulta que esta matriz está definida sí solo si esta cosa de acá es distinta de cero ok y si ésta es distinta de cero esta matriz resulta ser invertible y su inversa es ésta pero si esta cosa de acá resulta ser igual a cero la matriz inversa no está bien definida porque no se puede dividir entre cero y la matriz b resulta no ser invertible ok entonces a de menos b se determina si la matriz b es invertible o no b es invertible y sólo si hay menos veces es distinto de cero ok pero a veces es igual al determinante de b o sea justo en el vídeo pasado nos dimos cuenta que esta cantidad era súper importante y decidimos nombrar la determinante de b porque determina si ves invertible o no pero lo importante con lo que nos quedamos en el vídeo pasado es con esta definición de que a de menos veces es el determinante de b y siempre en nájera lineal estamos tratando de generalizar todas las cosas que suceden por ejemplo en matrices de 2 x 2 matrices de n por n donde n es cualquier número o sea 50 x 50 matrices de 100 por ciento pero pues vamos pasito a pasito entonces vamos a empezar por definir una matriz de tres por tres nuestra matriz a es una matriz de tres por tres a las entradas de las matrices cuando son matrices más grandes nos gusta llamarlos de cierta forma que nada más con saber su nombre sepamos exactamente cuál es su posición dentro de la matriz gay porque si no pues tendremos que usar muchísimas letras imagínense una matriz de cien por cien el abecedario entero no nos alcanza entonces lo que hacemos es usar subíndices por ejemplo a esta entrada de aquí le vamos a llamar a uno uno a uno de que está en la primera fila y uno de que está en la primera columna aunque entonces aquí este va a ser el a 12 porque está en la primera fila y en la segunda columna gay a 13 y aquí este va a ser el a 21 a 22 a 23 a 31 está en la tercera fila y en la primera columna a 32 33 es una buena forma de llamarle a los elementos de una matriz no entonces esta es una matriz de tres por tres porque tiene tres filas y tres columnas que hay matriz de tres por tres y lo que vamos a hacer ahora es definir el determinante para matrices de 3 por 3 que vamos a definir muy importante eso que lo estamos definiendo justo en este momento entonces el determinante de a de una matriz de 3 por 3 lo vamos a definir como a 11 a 11 por el determinante de la matriz de 2 por 2 que nos quede de eliminar las filas y las columnas que contengan 11 aunque entonces tomamos este a 11 lo ponemos aquí y luego eliminamos la columna y la fila que contienen a 11 y sacamos el determinante de las entradas que nos queden ok de esta sub matriz que algunas personas le llaman el menor de a 11 pero por el momento vamos a seguirle llamando sub matriz y tenemos que sacar el determinante de la sub matriz que tiene a 22 a 23 a 32 y 33 gay que es el determinante de esta matriz que nos queda de eliminar la fila y la columna que contienen a 11 que es la entrada por la que estamos multiplicando ok aquí tenemos un más que es súper súper importante porque porque ahorita lo que viene es un menos que siempre vamos a ir más menos más y si estuviéramos haciendo a los determinantes de matriz de cuatro por cuatro aquí iría otro menos pero pues ese lo vamos a ver en otro vídeo próximamente el chiste es que ahorita nos toca un menos y vamos a tomar esta entrada que es la a-12 y la vamos a multiplicar por el determinante de alberdi ghana y cual determinante bien pues el determinante de la sub matriz que nos queda de eliminar la fila la columna de 12 que tenemos que sacar el terminante de 21 a 23 a 31 y a 33 y finalmente vamos a sumarle porque ya sumamos y restamos y entonces ahora toca sumar otra vez a 13 a 13 por el determinante de lo que nos quede de quitar esta columna y esta fila o sea a 21 a 22 a 31 y a 32 ok entonces todo esto es el determinante de a para cualquier matriz de tres por tres que es muy importante que nosotros lo estamos definiendo así y aunque no sea tan intuitivo así pues la verdad es que la idea de fondo es exactamente la misma que cuando definimos este determinante como a de menos bs porque hay tal vez no lo voy a demostrar pero con este determinante que acabamos de definir podemos determinar si una matriz de tres por tres es invertible o no o sea si tenemos una matriz y le sacamos su determinante y ese determinante es distinto de cero eso ya nos asegura que éste matrix es invertible y de la misma forma si sacamos el determinante de la matriz de esta forma este tipo determinante que acabamos de definir y resulta ser igual a 0 eso nos asegura que esta matriz no es invertible pero bueno aquí se ven un montón de letras y tal vez no queda claro bien qué es lo que estoy haciendo por lo cual pues vamos a hacer un ejemplo tomemos una matriz que sea igual a 12 421 y 431 entonces si yo quiero sacar el determinante de esta matriz lo que tengo que hacer es tomar esta entrada el 1 y multiplicarlo por el determinante de la sub matriz que nos queda de eliminar la fila en la que éste se encuentra y luego quitar la columna en la que ésta se encuentra y sacarle el determinante a la sub matriz que nos queda aunque repito algunas personas este determinante de acá le llaman la menor de esta entrada o sea la menor de esta posición de esta entrada pero nosotros podemos seguirle llamando sub matriz que entonces lo que vamos a sacar es este determinante y multiplicarlo por uno ok entonces tenemos que sacar el determinante de menos 13 1 y después como aquí ya sumamos nos toca a restar entonces nosotros vamos a restar 2 por el determinante de lo que nos que debe quitar la columna en la que se encuentra el 2 y la fila en la que se encuentra el 2 entonces tenemos aquí otra matriz esta matriz y vamos a sacarle su determinante y multiplicarlo por 2 bueno x menos 2 muy importante sobre el menos entonces aquí va 2 3 4 y 1 y finalmente como aquí sumamos restamos sumemos más 44 por el determinante 2 - 14 02 menos 140 que y entonces pues tenemos que hacer todas estas cuentas aquí lo que tenemos es 1 por este determinante que es y se acuerdan por aquí lo tenemos a de menos bs así es que tenemos menos uno por uno menos uno por uno y después tenemos que restar este por este tres por cero de una vez podemos ir haciendo las cuentas entonces menos uno por uno es menos uno y aquí menos tres por cero es menos cero o sea que todo esto nos queda menos uno y después queremos restar dos x 2 x 1 2 x 1 - 3 x 4 3 x 4 y finalmente queremos sumar 4 por 2 por 0 2 por 0 - menos 1 por cuatro menos 1 x esto de aquí es este determinante esto de aquí es este determinante y pues ya habíamos visto que estoy acá es este determinante pero de aquí nos quedan dos por 12 menos 3 por 4 3 por 4 es 12 o sea 2 - 12 eso es menos y aquí tenemos dos por cero eso es un cero y aquí tenemos menos menos uno por cuatro y eso es simplemente un 4 ahora muy importante que no se nos olvide multiplicar por estos numeritos de aquí y bueno esto es igual a 1 pero menos 1 - 1 - 2 x menos 10 más 20 y finalmente 4x4 más 16 entonces 20 más 16 menos uno eso es simplemente 35 todo es igual el determinante de ese determinante de c es 35 y como 35 es distinto de 0 es todo lo que nos dice es que se es una matriz invertible está padre no bueno en el próximo vídeo vamos a hacer lo mismo pero para matrices de n por n n por m donde n puede ser cualquier número que puede ser 100 puede ser 1000 puede ser un millón el número que se te ocurra vamos a encontrar una fórmula para sacar su determinante