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Contenido principal
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Transcripción del video

tengo aquí una matriz a y lo que quiero hacer es escribirla en su forma escalonada reducida y hemos hecho eso un montón de veces ya y por lo que hacemos es hacer operaciones elementales operaciones de pila donde sumamos le restamos una fila otra piel hay todas esas cosas pero bueno lo que yo quiero hacer en este vídeo es que veamos que todas esas operaciones de fila se pueden ver cómo operaciones lineales sobre los vectores columna de esta matriz sobre estos vectores y déjame que te enseñó todo esto haciendo un ejemplo entonces queremos escribir esta matriz en su forma escalonada reducida entonces lo primero que vamos a hacer es dejar la primera y la tal cual como está o sea que vamos a tener 1 - 1 y -1 y sabes que de una vez vamos a hacer la transformación línea ok lo que estamos diciendo es que hay una transformación lineal llamémosle tf1 que va a mandar a vectores columna sea cada uno de estos vectores que es un vector columna y esta transformación va a mandar a estos vectores columna en otros vectores pero además va a ser una transformación línea ok y cómo queremos transformar a esta matriz a su forma escalonada reducida pues necesitamos que esta entrada sigue siendo uno entonces pues podemos empezar por dejar esta primera fila en su lugar a uno le vamos a dejar como a uno aquí ya tenemos escrita después queremos que esta entrada se transforme en un cero y que podamos hacer para hacer eso pues a esta segunda fila le sumaríamos la primera fila y con eso ya aquí nos queda un 0 entonces pues hagamos eso así es que la segunda y la vamos a dejar en su lugar pero le vamos a sumar la primera fila y entonces a cada uno de estos vectores columna dejamos la segunda entrada en su y le sumamos la primera entrada que jackie menos uno más uno es o son cero luego aquí a este vector también aplicamos la transformación entonces dos más menos 1 eso es uno y aquí 3 más menos 1 esos son dos muy bien ya terminamos con la segunda fila ahora queremos que esta entrada también sea cero que y para hacer eso generalmente tomaríamos la tercera y la ile restaríamos la primera fila entonces la tercera entrada vamos a dejar en su lugar a tres y el vamos a restar la primera entrada menos a uno aplicando la transformación a cada víctor columna lo que tenemos es a 3 - a uno sea un números uno eso es cero después de aquí tenemos la tercera entrada 1 - la primera entrada o sea 1 - - 1 eso es uno más uno o sea 2 y después 4 - menos uno o sea 4 +1 5 y esta es una transformación y lineal y todas las transformaciones lineales se puede describir como un producto de una matriz por el vector que el vector en el cual estamos evaluando la transformación de 1 x evaluado en equipo se puede describir como una matriz llamamos me llaman una matriz efe que está multiplicando al lector en el cual estamos evaluando la transformación y cómo encontramos esta matriz efe pues lo único que tenemos que hacer es tomar la matriz identidad déjame escribo por acá y aplicar la transformación de uno a cada uno de los vectores columna de la matriz identidad aquel entonces para encontrar efe aplicamos esta transformación a cada uno de los vectores columna de la matriz identidad entonces aplicando la transformación de uno a cada uno de los vectores columna de la matriz identidad tenemos que la primera entrada siempre se queda igual a uno lo está mandando a exactamente a uno que entonces esta entrada se queda igual 1 después de aquí el cero también se queda igual al igual que éste 0 estamos aplicando esta transformación de uno simultáneamente a estos tres vectores entonces nos fijamos en la segunda entrada del vector columna y ésta nos está mandando a la segunda entrada más la primera entrada entonces para este vector columna esta transformación que está mandando la segunda entrada a 0 +1 0 +1 es uno y aplicándole el vector de la derecha nos queda uno a cero también es uno y después x 0 +0 es cero y ahora de uno nos manda a la última entrada de cada uno de los vectores columna a la última entrada - la primera entrada entonces para este lector columna nos está mandando a 0 - 1 que yo sea menos y luego aquí a 0 - 0 0 y 1 - 0 1 que este vector columna nos están mandando a este vector columna o sea aquí lo que tenemos este uno de 100 y luego tenemos aquí otro aspecto a que es el vector de 1 010 y el último factor columna esté uno de 0 01 este vector columna es tal cual t1 de 100 y bueno a esta matriz que vamos que le íbamos a llamar esta matriz es la matriz de esta transformación de uno entonces si nosotros creamos otra matriz una matriz donde nuestros lectores columnas se han aplicado el vector 1 - 11 hacia los sectores columna de la matriz a y el segundo vector columna es la multiplicación de nuestra matriz ese por el segundo sector con una vez a sea ese por menos 121 y finalmente fbi menos 134 entonces por un lado estamos aplicando la cada uno de los vectores columna de a la transformación que es multiplicar el vector por la matriz efe y esa transformación es tal cual esta transformación de uno que es justo lo que le hicimos a la matriz a para que se convirtiera en esta otra matriz estaba un poquito más escalonada entonces tal cual esta matriz multiplica cada uno de estos vectores por efe lo que nos va a quedar es exactamente la misma matriz de acá y por otro lado nosotros sabemos que si multiplicamos cada uno de los vectores columna de una matriz por exactamente la misma matriz en este caso la matriz ese entonces lo que usted lo que tenemos realmente la multiplicación de la matriz s por la matriz a ok déjame lo escribo un poco más abajo esto de acá es igual a la matriz efe o sea 11 - 1 0 1 0 0 0 1 que es la matriz que representa la transformación tf1 estos son los vectores con una de la matriz a que la matriz a 1 - 11 - 12 1 - 1 34 que hay para dejarlo claro esta matriz ya que a la matriz efe y esta materia que es la matriz a y la multiplicación de los dos es exactamente igual a esta matriz que teníamos por acá déjame el acopio entonces esta matriz es el producto de la matriz efe por la matriz ósea esta matriz efe y estoy haciendo todo esto sólo para recordarte que cada vez que haces una de esas operaciones de chile cada una de estas operaciones de chile o sea de sumarle una fila la otra multiplicarla por escalar y todas esas cosas en realidad todo eso es equivalente a tomar la matriz a y multiplicarla por otra la crisis que denote la transformación que estamos aplicando a cada uno de los vectores columna hicimos todo esto sólo para recordarte que cada vez que hacemos una operación de fila lo que estamos haciendo es aplicarle una transformación línea a cada uno de los vectores columna de la matriz a y que además eso es equivalente a multiplicar toda la matriz a por la matriz de la transformación en este caso averiguamos cuál era exactamente esa matriz ese que representa esta transformación uno que hace estas operaciones de fila pero para cualquier operación de fila tenemos una matriz similar a ésta que es la multiplicamos por la matriz 'nos queda tal cual la matriz a con la operación de fila ya hecha y todo esto nos da una muy buena idea bueno pero primero hay que terminar de transformar esta matriz e a su forma escalonada reducible a y para eso necesitamos espacio entonces a esta matriz a esta transformación la primera que hicimos pues mejor llamémosle s1 para poder usar ese y ahora vamos con el siguiente conjunto de operaciones de fila en esta ocasión vamos a dejar la fila del medio tal cual como está y ahora lo que vamos a hacer es que estas dos entradas sean cero y para hacer eso pues a la primera y la vamos a sumarle la segunda fila entonces tenemos aquí 1,01 y después menos uno más 10 y menos uno más dos eso es uno y a esta tercera fila vamos a restarle dos veces la segunda fila para que nos quede aquí un celo entonces tenemos cero menos dos veces 002 menos dos veces 12 los dos por uno sea 05 - dos veces dos o sea 5 - 4 1 entonces qué es lo que acabo de hacer a cada uno de estos vectores columna les aplique una transformación que vamos a llamar la transformación 2 la transformación 2 y bueno esa transformación dos meses una actuación de un poquito distinta vamos a poner aquí está el banano en vector y este vector columna digamos que es x1 y x2 x 3 y bueno qué es lo que hicimos con estos vectores columna pues a la segunda entrada siempre la dejamos en su lugar no sea ésta y la está exactamente igual entonces al x 2 en la segunda entrada la vamos a dejar tal cual como está y después en la primera entrada lo que hicimos fue tomar la primera entrada y sumarle además la segunda entrada entonces aquí tomamos la primera entrada y lo dejamos así pero además le sumamos la segunda entrada y qué es lo que hicimos con la última entrada de cada vector columna pues lo que hicimos fue agarrar esa misma entrada la entrada x3 pero restarle dos veces la segunda entrada entonces aquí tenemos escribir menos 2 x 2 y bueno esta es una transformación línea por lo tanto puede ser representada por una matriz y esta transformación es igual a tomar esa matriz que lo vamos a llamar s2 que lo representa y multiplicarla por el vector x1 y x2 x 3 entonces toda esta matriz quienes pues es el resultado de multiplicar esta segunda matriz que está representando esta transformación por esta otra metí ahora ya vemos que dado que esta otra matriz de hecho lo pintamos como lado esta otra matriz es ese uno por a entonces esta matriz y acá tiene que ser ese dos por todas esta matriz que es ese uno y bueno si sacamos cuál es la multiplicación de ese dos por ese 1 y bueno si hacemos como antes si encontramos cuál es la matriz s2 y la multiplicamos por la matriz s1 que ya tenemos aquí abajo pues podríamos llegar desde la matriz a hasta esta otra matriz simplemente multiplicando por esa otra matriz que nos da la multiplicación de estas dos matrices pero todavía no terminamos de transformar están la actriz para que quede como una matriz escalonada reducida entonces vamos a seguir haciendo transformaciones queremos un cero aquí y 10 acá y esta fila ya está tal cual como queremos que se quede así es que vamos a dejarla igual y aquí a esta fila pues para que aquí nos queda un cero vamos a reemplazar esta fila por esta fila menos dos veces esta pila entonces 0 - 2 veces 0 sigue siendo 01 - dos veces cero es uno y ahora sí 2 - dos veces uno eso es cero ahora para que aquí haya un cero tenemos que reemplazar esta primera fila por la primera fila - la última fila entonces 1 - 0 es 10 000 y 1 - 1 0 y ya llegamos a la matriz identidad pero tenemos que escribir con la transformación que usamos para ir ve esta matriz a esta matriz y pues vamos a escribir la práctica de 3 x 1 x 2 x 3 pues aquí lo que hicimos fue dejar la última fila tal cual o sea que el x3 no vamos a mandar al x3 la segunda fila la reemplazamos por la segunda vía menos dos veces la tercera y la y la primera fila la reemplazamos por la primera fila - una sola vez la tercera fila y como está es una transformación y neal entonces tiene asociada una matriz que la representa vamos a llamar la matriz s3 y entonces esta matriz de acá no podemos obtener multiplicando esa matriz ese tres por esta matriz y esta matriz hará ese dos por ese 1 por a y bueno entonces lo que obtuvimos al transformar esta matriz a a su forma escalonada reducida fue exactamente igual a la identidad y eso es muy importante porque lo que nos dice tal cual como ya lo hemos visto antes es que si una matriz a la hora de transformar la a su forma escalonada reducida nos da la identidad entonces esa matriz es imbatible al igual que su transformación lineal asociada acuérdense que para cada matriz en este caso es la matriz a tenemos una transformación lineal asociada entonces no se lleva más de 300 de un factor x es igual a la transformación línea que nos da tomar la matriz a y multiplicarla por el vector x esta es la transformación línea la sociedad a la matriz a iu como la forma escalonada reducida de la matriz a es la identidad entonces esta transformación que 0 también es invertirle invertir bien ahora en este vídeo algo muy interesante pasó a keith tomamos la matriz a y la transformamos a su forma escalonada reducida haciendo algunas operaciones de fila pero a más notamos que hace estas operaciones de pila es exactamente equivalente a tomar la matriz a y multiplicarla por las matrices s1 s2 y s3 ok entonces esta multiplicación de la matriz a por estas otras matrices nos queda exactamente igual a la matriz identidad ahora por otro lado tenemos aquí también que todas las transformaciones que son invertibles tienen a su transformación inversa y esa transformación inversa justo lo que hace es acá víctor x droga manda a la matriz inversa de a x y la matriz inversa bea está igual una matriz que hace que la matriz inversa de ha multiplicado por la matriz nos queda exactamente igual a la identidad entonces tenemos aquí tres matrices que cuando las multiplicamos por esta cosa que es la misma que esta cosa nos da la identidad y éste también cuando lo multiplicamos por ahora nos da la identidad entonces esta cosa de aquí esta multiplicación de tres matrices tiene que se la matriz a inversa si se acuerdan aquí hicimos todos unos cálculos para calcular cuál era la matriz s1 y podríamos hacer exactamente lo mismo para calcular cuál es la matriz s2 y para calcular la matriz s3 y entonces lo único que tendremos que hacer para calcular la matriz a inversa sería multiplicar estas tres matrices y esto pero de hecho podemos hacer algo todavía más interesante a ver qué pasa si tomamos la matriz a y ponemos a la derecha de la mente dice la matriz identidad y después lo que hacemos es la matriz a aplicarle todo es el primer conjunto de operaciones de fila que era exactamente igual a multiplicar a por la matriz s1 y bueno lo aplicamos exactamente en las mismas operaciones de fila a la matriz identidad entonces lo que nos va a quedar este lado es simplemente la matriz s1 sí porque aplicar las operaciones de fila a la matriz identidad es exactamente igual a multiplicar ese 1 por la matriz y y cualquier matriz que están multiplicando la matriz y está el cual esa misma matriz bien entonces después de aplicarle el primer conjunto de operación de pila a la matriz a lo que hicimos fue aplicarle el segundo conjunto y eso es equivalente a multiplicar toda esta matriz por la matriz s2 tomamos aquí la matriz este 22 y la multiplicamos por la actriz que ya teníamos o sea por ese 1 por a ok entonces de este lado al aplicar esas mismas operaciones de fila tenemos que multiplicar también por la matriz s2c dos por ese 1 por la identidad y finalmente hacemos el tercer conjunto de operaciones de file y eso es equivalente a multiplicar toda esta matriz que ya tenemos por la matriz sce3 que representa justo a la transformación que mueve las filas de la forma en la que los movimientos entonces tenemos aquí ese tres por ese dos por ese 1 por idh este lado también va a quedar ese tres por ese dos por ese 1 por la identidad ahora como vimos aquí esta multiplicación de matriz es lo que nos da es exactamente la identidad y que es lo que nos va a dar esta multiplicación de matrices que vamos a obtener de este lado pues esto es exactamente igual a la matriz a y no versa y recuerda que cualquier cosa que multiplicamos por la identidad nos va a quedar exactamente ese cualquier cosa entonces ya tenemos una forma generalizada de encontrar la matriz inveraz a cada una matriz invertible a que y lo que hacemos es tomar una matriz y aumentada y para hacer esas matrices tal cual lo que tenemos que hacer es poner la matriz a y al lado de la matriz japonesa matriz identidad y ya que tenemos nuestra matriz aumentada nos fijamos en esta parte ósea en la matriz a y hacemos muchas operaciones de fila hasta que tanto amamos esta parte en la matriz identidad pero cada una de las operaciones de pila que llegamos a esta matriz también se lo tenemos que hacer a la matriz que nos queda aquí a la derecha que en un inicio es la matriz identidad entonces después de hacer muchas operaciones de tila lo que obtenemos es aquí la matriz identidad y de este lado lo que vamos a obtener es la matriz a la inversa así es que este es un método muy bueno y elegante para encontrar la inversa de una matriz invertible y pues vamos a verlo en el próximo video vamos a ver un ejemplo yo creo que vamos a usar esta misma matriz con la que empezamos y vamos a calcular explícitamente usando este método la matriz a inversa