Determinantes a lo largo de otras filas/columnas

en el vídeo pasado sacamos el determinante de esta matriz y obtuvimos que era exactamente igual a 7 y bueno para sacar este determinante usamos la fórmula que desarrollamos en el vídeo pasado en la que tomábamos esta fila y multiplicamos cada una de las entradas de la fila por el determinante de la sub matriz que nos quedaba de eliminar la fila y la columna de la entrada por la que estábamos multiplicando cambiando de signo o sea más menos más menos que de hecho sería muy buena escribirlo por aquí este determinante es exactamente igual a 11 por el determinante de la sub matriz de n menos 1 por n menos 1 que en este caso es 3 por 3 porque esto es una matriz de 4x4 bueno del determinante que nos queda de eliminar la fila que contiene el 1 y la columna que contiene el 1 o sea de la sub matriz 0 2 0 1 2 3 300 0 2 0 1 2 3 y 3 0 0 y bueno luego cambiábamos de signo como aquí tenemos un mes nos toque aún menos la siguiente entrada que son dos tachamos toda la columna tachamos esta columna y esta fila y nos queda el determinante de la sub matriz 1 2 0 0 2 3 200 si aquí nos tocan 120 023 200 y después pues vamos con la siguiente entrada que es un 3 pero ahora cambiamos de signo tenemos un + menos la siguiente entrada que es 33 por el determinante de lo que nos queda de quitar esta columna y esta fila que son un bonche de términos por aquí que seguramente tú ya sabes exactamente cuáles son y luego volvemos a cambiar de signo como tenemos más por acá nos toca un menos la última entrada que son 4 4 por el determinante de la sub matriz que nos queda de eliminar esta columna y está aquí la que es 1 0 2 0 1 2 2 3 0 sabes que de hecho lo voy a escribir entonces es 1 0 2 1 2 y 2 3 0 esta es una forma perfectamente válida de sacar el determinante de una matriz de 4x4 aquí realmente lo único que necesitamos es volver a aplicar esta fórmula en cada uno de estos determinantes de 3 por 3 y sacar las cuentas pero bueno el chiste de este vídeo es enseñarte que así como fuimos tomando estos números a lo largo de la primera fila podemos usar la última fila o de hecho cualquier fila o cualquier columna ok entonces en este vídeo vamos a hacer un ejemplo de cómo se puede sacar el determinante usando en lugar de la primera fila alguna otra fila o alguna otra columna y la razón por la que poder hacer esto es útil es porque entonces podemos ver cuál es la fila o la columna que tiene más ceros y entonces vamos a tener que sacar muchos menos determinantes de 3 por 3 o sea por ejemplo esta fila tiene dos ceros entonces en realidad solo vamos a tener que sacar dos determinantes de tres por tres aunque entonces saquemos el determinante con esa fila pero bueno algo que sí es muy importante cuando queremos usar otras filas que no sea la primera fila es que tenemos que acordarnos de este patrón de que vamos cambiando de signos aquí tenemos muy fácil que era más menos más menos aunque hay pero lo mismo se extiende para el resto de la matriz o que dice aquí está aún más aquí tiene que haber un menos y si aquí hay un menos ya que hay un menos pues aquí tiene que ver un mes y así y en realidad lo que nos va a quedar es un tablero de ajedrez que hay entonces saber la primera fila el el patrón de los signos para una matriz de 4x4 es nada y luego cambiamos a menos y luego más mínimo pero como también nos tenemos que alternar si vamos a sacar el determinante a lo largo de una columna entonces aquí tenemos menos - y entonces aquí nos toca nada menos más menos más menos más menos más great tal cual como un tablero de ajedrez entonces si queremos saber cuál es el signo de cualquiera de las entradas de la matriz ósea por ejemplo esta que está en la tercera fila y tercera columna o sea esa es la entrada a 33 entonces nada más nos tenemos que fijar en nuestro tablero de ajedrez ahora para no tener que estar yendo a ver un tablero de ajedrez de 50 x 50 o de 100 por cien pues lo que podemos hacer es definir una función a la que generalmente le llamamos signo entonces le ponemos así signo d y hot en donde y es el número de la fila en la que están y j es el número de la columna que nos interesa bueno el chiste es que esta función el signo de j nos lo va a mandar a menos 1 elevado a la potencia y más jota ok para el caso de a 33 pues lo que tenemos es menos 1 a la 33 eso es menos 1 a la 6 y como 6 es paz nos queda un 1 o sea nos queda positivo a ver otro ejemplo digamos que nos interesa el signo b a 43 ok entonces el signo del signo de 43 es menos 1 a la 4 3 pero 43 7 y 7 es impar entonces aquí nos queda menos 1 aunque ellos se nos queda signo negativo lo cual concuerda con a ver a 43 está en la cuarta fila uno dos tres cuatro y tercera columna 123 aunque nos queda este signo que es menos o sea que si corresponde tiene que hacerlo porque esta función fue diseñada para que coincidiera con todos los tableros de ajedrez de cualquier tamaño pero bueno ya que tenemos todo esto de los signos bien entonces vamos a sacar el determinante usando esta última fila que tiene dos ceros y vamos a mover este signo a un lugar donde nos estorbe menos entonces calculando el determinante a lo largo de estas la que tenemos es la primera entrada este es un dos por el signo de cómo estos dos está en la cuarta fila y primera columna entonces y es igual a cuatro y jota es igual a uno o sea que según nuestro signo nos toca un menos porque menos uno a las cinco es menos ok que además coincide con tenemos aquí más menos más menos aunque entonces tenemos menos dos por el determinante de la matriz que nos queda de quitar esta fila y esta columna aunque yo sea 23 40 20 12 32 34 020 1 2 3 y entonces como aquí tenemos menos aquí tenemos más baja aquí nuestro tablero también nos dice que tenemos más +3 por el determinante de lo que nos queda de quitar esta fila y esta columna sea 13 4 1 3 4 1 2 0 120 023 0 2 3 muy bien entonces más o menos nada menos más menos que menos cero por algún determinante pero como esto ya es cero entonces sea lo que sea que nos dé del determinante de tres por tres de quitar esta fila y esta columna de todas formas como lo vamos a multiplicar por cero nos va a dar cero y lo mismo nos toca aquí un +0 por otro determinante que también termina aportando cero a nuestro determinante entonces de hecho hasta los vamos a borrar ok aquí ya los estamos borrando y estas cuentas para sacar este determinante son mucho más sencillas que todo este chorizo de cuentas más entonces ya con esto de usar esta última fila para sacar este determinante en lugar de la primera fila ya simplificamos muchísimo al determinante pero bueno no vamos dar satisfechos hasta que demostremos que realmente nos queda el mismo determinante si usamos esta fila en lugar de esta fila o sea que hay que terminar de sacar las cuentas pero para sacar estos determinantes de 3 por 3 podemos volver a aplicar lo mismo por ejemplo esta fila de aquí se ve que tiene muchos cero así que por lo tanto muchos determinantes se van a eliminar entonces vamos a usar esta fila para sacar este determinante muy bien entonces este determinante es igual a menos 2 por el determinante este determinante que si lo sacamos a lo largo de esta fila nos queda más o menos algún determinante de una sub matriz pero como lo estamos multiplicando por cero nos queda simplemente cero y no nos importe y después vamos con la siguiente entrada que es este 2 es un 2 por su signo que es + - más o sea está muy bien y la multiplicamos por el determinante de la sub matriz que nos queda de eliminar esta columna y esta fila ósea de la sub matriz 2 413 4 13 más este es 0 con signo + - + menos o sea en realidad estamos restando le 0 por algún determinante pero como es un 0 no nos importa porque no va a aportar nada entonces ya terminado de calcular este determinante está súper sencillo no o sea en realidad este determinante de 3 por 3 si lo calculamos usando esta fila es equivalente a calcular un determinante de 2 por 2 muy bien vamos con el siguiente determinante tenemos aquí más es que este 3 por el determinante este determinante okey entonces aquí tenemos que escoger una columna o una fila donde se vea que va a ser más sencillo el cálculo de este determinante pero pues aquí teníamos una fila que tenía dos ceros aquí pues no hay ninguna fila ni columna con voceros pero hay una fila con un cero y una columna con un cero debería de calcular este determinante a lo largo de esta columna para ver que también se puede a lo largo de las columnas pero vamos pasito a pasito entonces vamos a calcular el determinante a lo largo de esta fila que ahí empezamos tenemos aquí uno nada menos más 0 0 por el determinante este determinante pero como estamos hablando de un 0 realmente no nos importa entonces nos vamos con el siguiente y entonces nos toca más menos más menos menos 2 el determinante que nos queda al quitar esta fila y esta columna o sea que nos queda 1 y bueno aquí hay un pequeño detalle ok y estaba poniendo aún más o menos pero en realidad no es que yo estuviera cambiando la matriz ok aquí nada más estaba indicando qué signos les tocaba a estas entradas si las usábamos para sacarle terminante que aquí en realidad éste no es un menos este es un mes este también es un mes y bueno entonces el determinante es esta columna y esta otra columna ok 11 4 0 y a eso le tenemos que sumar 3 por el determinante gay porque sumamos restamos y aquí nos toca a sumar otra vez ok entonces tachamos esta fila y esta columna y nos queda nada más 11 32 que hay entonces haciendo las cuentas vamos a calcular estos determinantes entonces dos por tres son seis menos cuatro por 16 menos 4 esto es un 2 o sea de aquí tenemos 12 pero luego lo tenemos que multiplicar por este 2 aunque entonces de 2 por 2 nos queda 4 o sea que de todo esto nos queda un 4 y finalmente hay que multiplicarlo por este menos 2 aquello entonces finalmente todo esto nos queda un 4 por menos 2 o sea menos 8 y de este lado aquí tenemos de este determinante 1 por 0 0 menos cuatro por uno o sea menos 4 x menos 2 nos queda menos 2 por menos cuatro menos por menos más y 2 por 4 8 8 y aquí tenemos 1 por 22 menos 3 por 1 o sea 2 - 3 - 1 x 3 o sea que de aquí tenemos menos uno por tres menos tres entonces de todo este paréntesis verde tenemos ocho menos tres o sea un cinco que hay aquí entre paréntesis tenemos al 5 y ese 5 está multiplicando a este 3 o sea que de todo esto lo que tenemos es un 3 por 5 15 todo esto todo esto es igual a un 15 y de todo esto aquí ya sacamos que es igual a un -8 así es que lo que tenemos es 15 menos 8 y 15 menos 8 es igual a 7 y 7 es exactamente lo que nos había quedado en el vídeo pasado pero las cuentas que hicimos en el vídeo pasado fueron muchísimo más complicadas aquí nada más tuvimos que calcular dos determinantes de tres por tres y uno de ellos realmente realmente era simplemente un determinante de dos por dos y además nos tardamos menos entonces la moraleja es escoja en la fila o la columna que tengan la mayor cantidad de ceros y no se olvide eso sí no se olvide de su tablero de ajedrez de signos