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Contenido principal
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Transcripción del video

tenemos aquí una matriz de dos por dos la matriz y digamos que sus entradas son a b c y b lo estoy dejando muy general o sea estos pueden ser cualquier número porque lo que quiero hacer en este vídeo es encontrar una fórmula general para la inversa de una matriz cualquiera de dos por dos y lo que vamos a hacer es usar esta técnica para encontrar inversas de matrices que desarrollamos en los últimos vídeos entonces lo que queremos encontrar es la matriz a la inversa y para encontrarla lo que vamos a hacer es tomar la matriz a aumentarla con la matriz identidad de dos por dos y ya que tenemos esto lo que hacemos con esta técnica para encontrar la matriz inversa es realizar todas las operaciones de pila válidas que sea necesaria para que esté al lado izquierdo de la matriz aumentada o sea la matriz original a para transformar la matriz que originalmente la matriz a su forma escalonada reducida por filas y si esa forma escalonada reducida por filas es la matriz identidad entonces nosotros ya sabemos que lo que nos queda de este lado con todas esas operaciones desfile es la matriz a la inversa pero lo vamos a estar haciendo todo el tiempo de la forma más general posible con letras en lugar de números porque estas letras pueden representar cualquier número y entonces vamos a obtener la fórmula general con letras a b c y d de la matriz inversa de una matriz a y así cuando queramos encontrar la inversa de una matriz específica donde por ejemplo aquí este es un 10 bosh o cualquier otro número lo único que vamos a tener que hacer es a esta fórmula que encontremos sustituir los valores de ade bds y desde entonces vamos a hacer lo vamos a reducir esta a su forma escalonada reducido por filas y pues lo primero que tenemos que hacer es hacer que esta entrada de aquí se vuelvan 0 y bueno después vamos a creer y hacer que ésta se vuelvan cero y que está a tenga la forma de un 1 y esta vez también sea un 1 y entonces ya tendremos a la matriz en su forma escalonada reducido por filas igual la identidad que hay pero empecemos por hacer que se vuelva a cero y para hacer eso pues vamos a empezar a usar esas transformaciones lineales que vivimos en uno de sus vídeos entonces vamos a definir la transformación de uno que nos mande a los vectores digamos al vector x1 y x2 que vamos a definir esta transformación para que no se arregle eso de que la ce sea cero y pues si se lo vamos a tener que aplicar a todas las columnas pero nuestro objetivo principal en este momento es hacer que se vuelva a hacer o qué entonces a cada víctor columna este es un vector columna y este es otro y éste también es el tercero y este es el cuarto a cada uno de esos vectores columna los vamos a mandar a otro vector columna con esta transformación de uno y esa transformación pues al a todavía no necesitamos hacerle nada entonces a la primera entrada de nuestro vector columna sea x 1 no vamos a dejar tal cual así como está y x2 a la segunda entrada de nuestro sector columna que al fin y al cabo es algo que le vamos a aplicar a toda la segunda fila a esa la queremos mandar a algo de tal forma que justo cuando se lo explicamos a este vector columna esta entrada se vuelva a ser o no nos importa que le pase a esta niña están ya está simplemente vamos a definir esta transformación para que se devuelva 0 y una forma de hacer que eso pase es mandar a x2 a veces x 2 - c veces x 1 hay por qué justo cuando lo vemos en héctor columna es sólo que no va a quedar es a por x2 que x 12 se hace hace menos se por x 1 aunque en este caso x1 va a ser a menos se ha y esto esto se va a ir a 0 entonces esta transformación si cumple lo que queremos que es que a éste no lo deja igual y á éste se nos lo mande a 0 entonces ahora lo que vamos a hacer es aplicarle esta transformación a cada uno de los vectores columna de esta matriz aumentada que entonces apliquemos la entonces a este lector con lunes a donde lo manda pues esta transformación en la primera entrada nos deja al cual a la primera entrada aquí tenemos un x 1 que es la primera entrada de nuestro rector columna entonces aquí nos deja un y en la segunda entrada de nuestro rector columna nos manda a veces la segunda entrada sea sé cómo acabamos de ver - c veces la primera entrada que es y eso es lo que nos deja es un 0 0 y ahora vamos con el segundo vector columna segundo vector columna haber veamos a donde manda t1 este segundo vector columna en la primera entrada tenemos la primera entrada ya tenemos b y en la segunda entrada lo que tenemos es a por la segunda entrada o sea de menos se por la primera entrada que es b b y ahora vamos con el tercer sector con lune en la primera entrada tenemos un 1 1 y en la segunda entrada tenemos a por la segunda entrada que 0 - se por la primera entrada - sé por uno y puesta por cero es cero o sea que aquí y realmente sólo tenemos a efe por una y pues eso s al cuarto vector columna nos lo manda a la primera entrada es la primera entrada hace aquí tenemos un cero y aquí abajo tenemos un por x2 x 21 - c x x 1 x 1 estero y entonces 0 por cualquier cosa es cero y uno por cualquier cosa es a cualquier cosa entonces aquí lo que tenemos es una y ahora hagamos otra transformación pero que haga que esta entrada de acá se vuelva a 0 entonces vamos a definir dedos que hay qué te parece si dejamos esta pila tal cual como está y eso lo que significa disponer un x 2 por acá para que éstas en una entrada sea exactamente igual a lo que teníamos antes y en esta entrada que es aquí donde notamos que es lo que le hacemos a toda la primera fila pues lo que podemos hacer es algo similar a lo que hicimos en el en esta transformación que es agarrar ésta entraba como un escala y multiplicarse la a toda esta fila y después agarrar esta entrada como una escalada multiplicarlo por todas esta fila y restar estas dos cantidades y así seguro nos va a quedar un cero en espantada porque lo que nos va a quedar es este escalar por esta entrada de esta fila - este escalar por esta entrada de esta fila y pues como son los mismos escalares que las entradas de la fila y se están gastando pues nos va a quedar 0 que entonces eso escrito en términos algebraicos está el cual ha de - bc por las primera entrada por x 1 - b b por la segunda entrada y la segunda entrada es x 2 que y entonces le vamos a aplicar esta transformación esta matriz y lo que nos queda a ver si lo aplicamos a este vector columna es lo que tenemos es a de - bc por a 1 - b x x 2 pero pues aquí podemos ver que ve por x2 como x2 es un cero eso nos va a quedar 0 entonces aquí nos queda nada más esta cosa y en esta entrada pues no están mandando esta segunda entrada y eso es cero ok vamos con la siguiente columna y lo que tenemos es a de - bc por x1 y x2 no es ve a de menos ps por x 1 - b x x 2 o sea menos de x x 12 a de - bc josé b da lo mismo porque son nativos de menos de 6 y aquí podemos ver claramente que esto es un cero no porque tenemos dos factores en cada uno de estos que son exactamente iguales tenemos aquí el b y tenemos aquí a de - bc a de menos veces entonces estamos restando exactamente lo mismo y entonces todo esto es un gran cero y aquí abajo lo que tenemos es la tal cual la segunda entrada de este vector columna o sea tenemos por aquí a de - b e s pero para no tener que andar moviendo tanto el pizarrón vamos a borrar esto para hacer más espacio no entonces aquí tenemos un cero y tenemos nuestra matriz aumentada y desde el lado tenemos a de - bc por x 1 que es un 1 - b x x 20 x 2 es menos ese entonces aquí lo que tenemos es menos pero menos da más y tenemos que el b y el c pero estas dos cantidades se cancelan entonces nada más nos queda un ave y en la segunda entrada de este vector columna de este vector column lo que tenemos que hacer es nada más dejar tal cual y menos sé menos y finalmente llegamos al último víctor columna y en la primera entrada lo que tenemos es a de - bc por x10 x10 entonces todo esto nos va a quedar igual a cero y es cero - b x x 2 o sea menos b por a - bp por y en la segunda entrada nada más tenemos que dejar tal cual lo que estaba que era un a que y estalla en nuestra matriz una vez que le aplicamos la segunda transformación y si logramos nuestro cometido que era hacer que esta entrada se volviera a cero y si se fijan cada una de estas transformaciones a lo que equivale a una operación de pila distinta por ejemplo aquí lo que hicimos fue tal cual deja la primera fila en su lugar y a la segunda pila reemplazarla por a veces la segunda fila - c veces la primera fila y ésta sí es una operación de fila le gana hicimos algo similar con esta segunda transformación que van a ver vamos a limpiar esto para que no se vea tan feo entonces tenemos aquí a nuestra matriz un poco más escalonada pero todavía nos falta que esta entrada sea igual a 1 y que esta entrada sea igual a una para que esté en su forma escalonada reducida por fila y para hacer eso obviamente vamos a definir otra transformación va a hacer la transformación t3 y en esa transformación lo que voy a hacer es tal cual dividir entre una escala cada una de las dos filas a esta fila la vamos a dividir entre este escalar para que nos quede un 1 en este lugar o sea vamos a aplicarle 1 entre - bc por qué éste es el escalar por el que vamos a multiplicar toda la primera fila si aquí tenemos que poner un x x 1 y por acá nosotros queremos que esta entrada sea igual a uno o sea que tenemos que dividir a esta fila entre a de - bc no entre al menos dos veces por x2 que íbamos por la primera fila a la primera entrada de la primera fila le aplicamos esta transformación y lo que nos queda es a de menos bc por hora entre que es este x y una entre a de - b c por a o sea que no va a quedar exactamente un 1 a la siguiente entrada de la primera fila le aplicamos esta misma transformación lo que nos va a quedar es 00 por esta cosa de aquí y eso pues sigue siendo un cero y de este lado tenemos a the quest x uno por uno / avn - b c por a y pues aquí podemos ver que esté ahí éste hace van a cancelar no y ahora vamos con esta entrada aquí nosotros vamos a tener menos ve por ahora que es el x1 entre a de menos veces por hora y ahora vamos que la segunda fila éste nos lo mandan sustituyendo aquí el cero en esta fórmula nos queda uno entre a de - bc por cero eso definitivamente es un cero y ahora la segunda entrada del segundo vector columna nos lo mandan a de menos vez en que se x 2 x 1 entre a de - bc pero eso es simplemente un 1 qué bueno eso pasa porque así definimos esta transformación que aquí nos queda menos sé menos que nuestro x2 entre a de - bc - vez se y finalmente a que es nuestro x2 entre a de - bc entre a de menos se y otra cosa aquí en esta entrada también se va a cancelar esta con ésta y aquí ya logramos reducir a la matriz a a su forma escalonada reducida por filas y eso significa que esta matriz de por acá es la matriz a inversa que tenemos aquí a la matriz que a b c d y ahora lo que encontramos es que la matriz a inversa es esta cosa que vamos a escribirla en limpio porque porque además esta matriz se puede simplificar se puede escribir una forma que se ve súper claro la matriz a inversa es igual de entre ade - b c d entre - bc y por aquí tenemos menos ve entre ab - bc - p / a de - bc y me no se entre a de - bc - se entre a de - bc hay algo que suena muy parecido a una y finalmente a entre ab - bc entre a de - bc que de hecho cuando lo estaba diciendo en voz alta como que saltaba no todos los denominadores de cada una de estas entradas son exactamente el mismo entonces lo que tenemos que hacer es sacar este escalar de la matriz entonces a inversa es igual a 1 entre a de - bc por la matriz de menos ve - p - se me no sé si finalmente ésta es la matriz a inversa y tal cual así nada más ya hicimos una fórmula para encontrar la inversa de la matriz a para cualquier matriz de dos por dos pero tal vez justo en este momento tú estás pensando algo así como que ee pero no todas las matrices de dos por dos son invertibles como puede ser esta la fórmula de la inversa de cualquier matriz de dos por dos y pues tienes toda la razón del mundo no todas las matrices de dos por dos son invertibles pero para las matrices que si son invertibles esta es la fórmula de la matriz a inversa y qué es lo que realmente está pasando pues que cuando una matriz no es invertible esta cosa de aquí no está bien definida y ahora yo te pregunto a ti cuando es que esta cosa no está bien definida pues resulta que aquí y estamos dividiendo entre unos números y esos números podrían llegar a ser cero podemos hacer todas las operaciones que hicimos con cualesquiera números a b c y b pero lo que no podemos hacer nunca es dividir entre 0 entonces lo que necesitamos es que esta cosa de aquí sea distinta de cero necesitamos que ha de - bc sea distinto de cero y con esta técnica tal cual si logramos hacer que esta parte de la matriz aumentada sea la matriz identidad transformando a la matriz a con puras operaciones de pila a su forma escalonada reducida por filas nosotros ya sabemos como vimos en videos anteriores que si logramos esto entonces la matriz a es una matriz invertible y además que ésta es inversa y antes de eso pues tenemos un montón de términos muy elegantes antes lo que teníamos que hacer era ver si era insectívora y sobre para ver si era invertible pero con esta fórmula al menos para matrices de dos por dos lo único que tenemos que hacer es ver que esta cosa de aquí sea distinta de cero ok porque si esta cosa de aquí es distinta de cero entonces si podemos hacer que estas cosas se vuelvan unos y con esto ya logramos reducir a esta parte a la matriz identidad y así ya encontramos la inversa de la matriz a que entonces a de - bc distinto de cero implica que la matriz es invertirle invertible y bueno de hecho también se cumple que si ya es invertible entonces a de - bc tiene que ser distinto de cero entonces pues esta cantidad de aquí es súper importante o sea determina tal cual si la matriz a es invertirle o no entonces deberíamos llamarla de alguna forma no y su cb que esta cosa de aquí ya tiene un nombre resulta que esta cantidad todo el mundo le llama el determinante bea min te dé a y para abreviar lo nada más le ponemos y comúnmente al determinante dea también lo que notamos como la matriz bueno la letra a y les ponemos unas barras grandotas por acá de hecho algunas veces también se pone así como el determinante y aquí adentro la matriz se dé pero pues también hay algunas personas que piensan que es demasiado poner los brackets bueno los paréntesis de la matriz y además estas cosas que de no tener determinante entonces terminan poniendo simplemente estás rayas grandotas pero muy importante hay que recordar que cuando estén estas rayas grandotas y no tengan aquí el resto del paréntesis esto se refiere al determinante vea que hay que es un número no es una matriz es tal cual el número a de - bc en el caso de las matrices de 2 x 2 y no una matriz este determinante es igual a la de - bc y pues esta cosa de que éste terminante sea igual a esto es así porque así estamos definiendo el determinante vea que esto ocurre por definición por definición y y mi tío entonces si tenemos una matriz cualquiera digamos nuestra matriz general a que es a b c d donde todos estos son algunos números que entonces nosotros ya sabemos que la matriz a la inversa es igual a 1 entre el determinante de a uno entre el determinante de a por esta matriz pero resulta que hay una forma muy fácil de construir esta matriz a partir de la matriz a y es que si te fijas está a y stade terminan cambiados de lugar no sea la mandaron para esta esquina y la de que estaba por acá la mandaron a esta esquina y pues b y c se quedan en su lugar pero les pusieron un signo de menos entonces tenemos aquí nuestra a la mandan al lugar de la de tenemos aquí nuestra de vinos la mandan al lugar de la ila vez se queda en su lugar pero se le pone un símbolo de menos y la ce también se queda en su lugar pero también se lo pone un símbolo de menos tal cual esta es nuestra matriz a inversa así es que pues opinó que hagamos algunos ejemplos ya con números reales para que las ideas se asienten entonces qué te parece si tenemos una matriz ve igual a 1 234 lo primero que tenemos que hacer es encontrar el determinante debe porque porque el determinante debe nos va a decir si ves invertible o no para que sacar esta matriz que es muy fácil de sacar si de todas formas ve no es invencible aunque entonces el determinante debe es a de éste está éste es de uno por 4-1 por 4 - bs este es de éste o sea que tenemos menos b por c y eso que si eso es 4 - 2 por 36 o sea 4 - seis es igual a menos dos el determinante debe es igual a menos 2 y como -12 es distinto de cero eso nos dice que ve si es invertirle y además ya tenemos esta parte de la matriz inversa de bi o sea aquí tenemos que de inmersión es igual a 1 entre el determinante debe que en este caso es menos 21 entre menos dos por la matriz que nos queda de invertir estos dos del lugar y por lo menos acá y un menos acá entonces cambiamos estos dos lugares sea el 4 se va para qué y el uno se va a optar a que quienes quedan menos 2 - 2 y aquí nos queda menos tres a menos tres y si queremos dejarlo todo perfecto pues nada más tenemos que meter este 1 entre -2 dentro de la matriz y de eso lo que nos quedan cuatro entre -2 y eso es menos 2 - 2 entre -2 y eso es un -3 entre -2 y eso es tres medios y uno entre -2 3 - 1 / 2 gay tal cual está sve inversa tuvo bien rápido na entonces yo digo que tenemos que hacer otro ejemplo ahora vamos a tomar la matriz se igualen 13 26 así es que empecemos con el determinante de s y el determinante desees a de menos bc que en este caso es a de - bc si se fijan tal cual lo que estamos haciendo es tomar esta vía con él y multiplicarla y luego restarle está diagonal entonces nos queda uno por 61 por 6 - 3 por 2 3 por 2 y eso pues de seis menos seis y eso es exactamente igual a cero y eso lo que significa es que la matriz e no es invertible porque si fuera invertible éste sería distinto de cero y como te puedes imaginar puse este ejemplo a propósito para que tengamos una matriz que nos e invertirle y se puede ver desde la matriz claramente o sea esta fila es dos veces esta fila y matrices que tiene una pila que son el múltiplo de otra de sus filas estas matrices no son invencibles y buenos y tratará de usar esta fórmula para encontrar la matriz inversa desee pues aquí tendría uno entre cero y eso no se puede pero pues todo esto el determinante viene desde por acá cuando nosotros teníamos aquí esta entrada que queríamos hacer que fuera un 1 y nuestro determinante 0 nuestro determinante acuérdense que es a de - bc sea tal cual este término si nuestro determinante 0 entonces aquí tenemos un cero y no hay forma en la que puedan multiplicar esta fila para que aquí no queda aquí ya tenemos de por sí un cero entonces a la hora de reducir hace a su forma escalonada reducida por filas aquí ya tenemos un cero que no se puede convertir en uno por lo cual aquí no podemos conseguir una matriz identidad que éstas son las cosas más importantes del determinante que determinan perfectamente y súper rápidos y una matriz es invertible o no