Fórmula para la inversa 2x2

tenemos aquí una matriz de 2 x 2 la matriz y digamos que sus entradas son a b c y b ok lo estoy dejando muy general osea estos pueden ser cualquier número porque lo que quiero hacer en este vídeo es encontrar una fórmula general para la inversa de una matriz cualquiera de 2 por 2 y lo que vamos a hacer es usar esta técnica para encontrar inversas de matrices que desarrollamos en los últimos vídeos entonces lo que queremos encontrar es la matriz inversa y para encontrarla lo que vamos a hacer es tomar la matriz y aumentarla con la matriz identidad de 2 por 2 y ya que tenemos esto lo que hacemos con esta técnica para encontrar la matriz inversa es realizar todas las operaciones de fila válidas que sean necesarias para que este lado izquierdo de la matriz aumentada o sea la matriz original a para transformar la matriz que originalmente era la matriz a a su forma escalonada reducida por filas y si esa forma escalonada reducida por filas es la matriz identidad entonces nosotros ya sabemos que lo que nos queda de este lado con todas esas operaciones de fila es la matriz inversa pero lo vamos a estar haciendo todo el tiempo de la forma más general posible con letras en lugar de números porque estas letras pueden representar cualquier número y entonces vamos a obtener la fórmula general con letras a b c y b de la matriz inversa de una matriz a y así cuando queramos encontrar la inversa de una matriz específica donde por ejemplo aquí este es un 1 pero vos o cualquier otro número lo único que vamos a tener que hacer es a esta fórmula que encontremos sustituir los valores de adv dci de de toms es pues vamos a hacerlo vamos a reducir esta a su forma escalonada ha reducido por filas y pues lo primero que tenemos que hacer es hacer que esta entrada de aquí se vuelva un 0 y bueno después vamos a querer hacer que ésta se vuelva un 0 y que ésta tenga la forma de un 1 y esta vez también sea un 1 y entonces ya tendremos a la matriz en su forma escalonada reducido por filas igual a la identidad ok pero empecemos por hacer que se devuelva a 0 y para hacer eso pues vamos a empezar a usar estas transformaciones lineales que vimos en uno de sus vídeos entonces vamos a definir la transformación de uno que nos mande a los vectores digamos al vector x 1 x 2 aunque vamos a definir esta transformación para que nos arregle eso de que la ce sea 0 y pues si se lo vamos a tener que aplicar a todas las columnas pero nuestro objetivo principal en este momento es hacer que se vuelva a cero ok entonces a cada vector columna éste es un vector columna y este es otro y éste también es el tercero y este es el cuarto a cada uno de sus vectores columna los vamos a mandar a otro vector columna con esta transformación de uno y esa transformación pues al a todavía no necesitamos hacerle nada entonces a la primera entrada de nuestro vector columna o sea a x1 lo vamos a dejar tal cual así como está ok y a x2 a la segunda entrada de nuestro vector columna que al fin y al cabo es algo que le vamos a aplicar a toda la segunda fila a esa la queremos mandar a algo de tal forma que justo cuando se lo apliquemos a este vector columna esta entrada se vuelva a cero no nos importa que le pase a están ya están ya está simplemente vamos a definir esta transformación para que se se vuelva cero y una forma de hacer que eso pase es mandar a x2 a veces x 2 - c veces x1 acai porque justo cuando lo volvemos en este vector columna eso lo que nos va a quedar es a x x2 que x 12 c o sea así a menos que por x 1 que en este caso x 1 va a ser a menos c y esto esto se va a ir a 0 ok entonces esta transformación si cumple lo que queremos que es que a éste nos lo deje igual y a éste se nos lo mande a 0 entonces ahora lo que vamos a hacer es aplicarle esta transformación a cada uno de los vectores columna de esta matriz aumentada aunque entonces apliquemos la entonces a este vector columna a donde lo manda pues esta transformación en la primera entrada nos deja tal cual a la primera entrada ok aquí tenemos un x1 que es la primera entrada de nuestro vector columna entonces aquí nos deja un a y en la segunda entrada de nuestro vector columna nos manda a veces la segunda entrada o sea como acabamos de ver - ce veces la primera entrada que es a y eso lo que nos deja es un 0 0 y ahora vamos con el segundo vector columna segundo vector columna a ver veamos a donde manda t 1 este segundo vector columna en la primera entrada tenemos la primera entrada o sea tenemos b y en la segunda entrada lo que tenemos es por la segunda entrada o sea de - sí por la primera entrada que es be ve y ahora vamos con el tercer vector columna en la primera entrada tenemos un 1 y en la segunda entrada tenemos a por la segunda entrada que es 0 - c por la primera entrada - por 1 y puesta por 0 es cero o sea que aquí realmente sólo tenemos a ser por uno y pues eso s al cuarto vector columna nos lo manda a la primera entrada es la primera entrada o sea aquí tenemos un cero y aquí abajo tenemos un a por x 2 x 2 es uno - x x 1 x 10 y entonces 0 por cualquier cosa es cero uno por cualquier cosa es esa cualquier cosa entonces aquí lo que tenemos es una y ahora hagamos otra transformación pero que haga que esta entrada de que se vuelva cero entonces vamos a definir de 2 aunque qué te parece si dejamos esta pila tal cual como está y eso lo que significa es poner un x 2 por acá para que esta segunda entrada sea exactamente igual a lo que teníamos antes y en esta entrada que es aquí donde denotamos que es lo que le hacemos a toda la primera fila pues lo que podemos hacer es algo similar a lo que hicimos en esta transformación que es agarrar esta entrada como un escalar y multiplicarse la a toda esta fila y después agarrar esta entrada como un escalar y multiplicarlo por toda esta fila y restar esas dos cantidades y así seguro nos va a quedar un cero en esta entrada porque lo que nos va a quedar es este escalar por esta entrada de esta fila - este escalar por esta entrada de esta fila y pues como son los mismos escalares que las entradas de la fila y se están restando pues nos va a quedar cero aunque entonces eso escrito en términos algebraicos tal cual hace menos veces por la primera entrada por x1 - ve por la segunda entrada y la segunda entrada es x2 qué y entonces le vamos a aplicar esta transformación a esta matriz y lo que nos queda es a ver si se lo aplicamos a este vector columna pues lo que tenemos es a d - bc por a1 - b x x2 pero pues aquí podemos ver que ve x x 2 como x 2 es un 0 eso nos va a quedar 0 entonces aquí nos queda nada más esta cosa y en esta entrada pues nos lo está mandando a esta segunda entrada y eso es 0 ok vamos con la siguiente columna y lo que tenemos es al menos bs x x 1 y x1 es b de bs por x 1 - b por x2 o sea menos b por x2 es de bs o se ve da lo mismo porque son conmutativo de menos de 6 y aquí podemos ver claramente que esto es un 0 no porque tenemos dos factores en cada uno de estos que son exactamente iguales tenemos aquí el b y tenemos aquí a de menos b c y d menos bs ok entonces estamos restando exactamente lo mismo y entonces todo esto es un gran cero y aquí abajo lo que tenemos es la tal cual la segunda entrada de este vector columna o sea tenemos por aquí a de menos de c pero para no tener que andar moviendo tanto el pizarrón pues vamos a borrar esto para hacer más espacio no entonces aquí tenemos un cero y tenemos nuestra matriz aumentada y de este lado tenemos a d - bc por x1 que es un 1 - ve por x 2 pero x2 es menos c entonces aquí lo que tenemos es menos por menos nos da más y tenemos que el b y el c pero estas dos cantidades se cancelan entonces nada más nos queda un ave y en la segunda entrada de este vector columna de este vector columna lo que tenemos que hacer es nada más dejar tal cual el menos c y finalmente llegamos al último vector columna y en la primera entrada lo que tenemos es de menos de c x x 10 x 10 entonces todo esto nos va a quedar igual a 0 y es 0 - b por x2 o sea menos b por a menos y en la segunda entrada nada más tenemos que dejar tal cual lo que estaba que era un a que y esta ya es nuestra matriz una vez que le aplicamos la segunda transformación y si logramos nuestro cometido que era hacer que esta entrada se volviera a cero y si se fijan cada una de estas transformaciones a lo que equivale es a una operación de fila distinta o sea por ejemplo aquí lo que hicimos fue tal cual dejar a la primera fila en su lugar y a la segunda fila reemplazarla por a veces la segunda fila menos c veces la primera fila y está así es una operación de fila válida na hicimos algo similar con esta segunda transformación aunque bueno a ver vamos a limpiar esto para que no se vea tan feo entonces tenemos aquí en nuestra matriz un poco más escalonada pero todavía nos falta que esta entrada hacia igual a 1 y que esta entrada sea igual a 1 para que esté en su forma escalonada reducida por filas y para hacer eso obviamente vamos a definir otra transformación va a ser la transformación de 3 y en esa transformación lo que voy a hacer es tal cual dividir entre un escalar cada una de las dos filas a esta fila la vamos a dividir entre este escalar para que nos quede un 1 en este lugar o sea vamos a aplicarle 1 / menos veces por a ok este es el escalar por el que vamos a multiplicar toda la primera fila o sea que aquí tenemos que poner un x x 1 y por acá nosotros queremos que esta entrada sea igual a 1 o sea que tenemos que dividir a esta fila entre a de menos bs / d - abc por x2 que vamos por la primera fila a la primera entrada de la primera fila le aplicamos esta transformación y lo que nos queda es a de menos veces por hora entre que es este x1 entre a de menos bs por a o sea que nos va a quedar exactamente en un 1 a la siguiente entrada de la primera fila le aplicamos esta misma transformación lo que nos va a quedar es 0 0 por esta cosa de aquí y esto pues sigue siendo un 0 y de este lado tenemos a the quest x 1 x 1 / avn - bc x y pues aquí podemos ver que esté ahí este se van a cancelar no y ahora vamos con esta entrada aquí nosotros vamos a tener menos ve por qué es el x1 / a d - bc por a y ahora vamos con la segunda fila a este nos lo mandan sustituyendo aquí el 0 en esta fórmula nos queda 1 entrega de menos bc por 0 esto definitivamente es un 0 y ahora la segunda entrada del segundo vector columna nos lo mandan a a de menos vez en que es x 2 por 1 / abc pero eso es simplemente un 1 que bueno eso pasa porque así definimos esta transformación ok y aquí nos queda menos se menos que es nuestro x2 entre a de menos veces de menos bc y finalmente a que es nuestro x2 / avn - veces a entre a de menos y otra cosa aquí en esta entrada también se va a cancelar está con ésta y aquí ya logramos reducir a la matriz a su forma escalonada reducida por filas y eso significa que esta matriz de por acá es la matriz a inversa que teníamos aquí en la matriz a que era a ver d y ahora lo que encontramos es que la matriz inversa es esta cosa aquí vamos a escribirla en limpio porque porque además esta matriz se puede simplificar después escribir una forma que se ve súper claro la matriz inversa es igual a b entre a de menos b c d / efe - bc y por aquí tenemos menos b / avn - bc - p / d - bc y menos se entre a d - bc - / de menos veces con que hay algo que suena muy parecido no y finalmente a / avn - bc / ab - bc de hecho cuando no estaba yo diciendo en voz alta como que saltaban todos los denominadores de cada una de estas entradas son exactamente el mismo entonces lo que tenemos que hacer es sacar este escalar de la matriz entonces a inversa es igual a 1 / avn - veces por la matriz b - ve - ve - c c y finalmente a esta es la matriz inversa y tal cual así nada más ya hicimos una fórmula para encontrar la inversa de la matriz para cualquier matriz de 2 x 2 ok pero tal vez justo en este momento tú estás pensando algo así como que hay pero no todas las matrices de dos por dos son invertibles como puede ser esta la fórmula de la inversa de cualquier matriz de 2 por 2 y pues tienes toda la razón del mundo no todas las matrices de dos por dos son invertibles pero para las matrices que si son invertibles esta es la fórmula de la matriz a inversa y que es lo que realmente está pasando pues que cuando una matriz no es invertible esta cosa de aquí no está bien definida y ahora yo te pregunto a ti cuando es que esta cosa no está bien definida pues resulta que aquí estamos dividiendo entre unos números y estos números podrían llegar a ser cero aquí podemos hacer todas las operaciones que hicimos cualesquiera números abc y b pero lo que no podemos hacer nunca es dividir entre cero entonces lo que necesitamos es que esta cosa de aquí sea distinta de cero necesitamos que a de menos veces sea distinto de cero y con esta técnica tal cual si logramos hacer que esta parte de la matriz aumentada sea la matriz identidad transformando a la matriz a con puras operaciones de pila a su forma escalonada reducida por filas nosotros ya sabemos cómo vimos en vídeos anteriores que si logramos esto entonces la matriz a es una matriz invertible y además que ésta es inversa y antes de eso pues teníamos un montón de términos muy elegantes antes lo que teníamos que hacer era ver si era inyectaba y sobre para ver si era invertible pero con esta fórmula al menos para matrices de 2 por 2 lo único que tenemos que hacer es ver que esta cosa de aquí sea distinta de cero ok porque si esta cosa de aquí es distinta de cero entonces si podemos hacer que estas cosas se vuelvan unos y con esto ya logramos reducir a esta parte a la matriz identidad y así ya encontramos la inversa de la matriz entonces ab - vez es distinto de 0 implica que la matriz a es invertible y es invertible y bueno de hecho también se cumple que si ya es invertible entonces a de menos b se tiene que ser distinto de cero entonces pues esta cantidad de aquí es súper importante no o sea determinado tal cual si la matriz es invertible o no entonces deberíamos llamarla de alguna forma no y sucede que esta cosa de aquí ya tiene un nombre resulta que esta cantidad todo el mundo le llama el determinante de a determinante y para abreviar lo nada más le ponemos y comúnmente al determinante de a también lo denotamos cómo ponemos a la matriz bueno la letra a y les ponemos unas barras grandotas por acá de hecho algunas veces también se pone así como el determinante y aquí adentro la matriz de la matriz pero pues también hay algunas personas que piensan que es demasiado poner los brackets bueno los paréntesis de la matriz y además estas cosas que de no tener el determinante entonces terminan poniendo simplemente estas rayas grandotas pero muy importante hay que recordar que cuando estén estas rayas grandotas y no tengan aquí el resto del paréntesis esto se refiere al determinante de a ok que es un número no es una matriz que es tal cual el número a de menos veces en el caso de las matrices de 2 por 2 y no una matriz ok este determinante es igual a d - abc y pues esta cosa de que este determinante sea igual a esto es así porque así estamos definiendo el determinante vea que esto ocurre por definición inicial de fini entonces si tenemos una matriz cualquiera digamos nuestra matriz general b de donde todos estos son algunos números que entonces nosotros ya sabemos que la matriz inversa es igual a 1 entre el determinante de a entre el determinante de nada por esta matriz pero resulta que hay una forma muy fácil de construir esta matriz a partir de la matriz y es que si te fijas está ahí y está de terminan cambiados de lugar no o sea a nos la mandaron para esta esquina y la de que estaba por acá la mandaron a esta esquina y pues b y c se quedaron en su lugar pero les pusieron un signo de menos ok entonces tenemos aquí nuestra y nos la mandan al lugar de la d tenemos aquí nuestra d y nos la mandan al lugar de la a y la b se queda en su lugar pero se le pone un símbolo de menos y la c también se queda en su lugar pero también se lo pone un símbolo de menos tal cual esta es nuestra matriz inversa así es que pues yo opino que hagamos algunos ejemplos ya con números reales para que las ideas se asienten y entonces qué te parece si tenemos una matriz de iguala 234 lo primero que tenemos que hacer es encontrar el determinante de b por qué porque el determinante de b nos va a decir si ves invertible o no para que sacar esta matriz que es muy fácil de sacar si de todas formas b no es invencible aunque hay entonces el determinante debe es a d este es a este sea uno por 4 1 por 4 - bc este es de esta s o sea que tenemos menos b x y eso que es igual eso es 4 - 2 por 3 6 o sea 4 6 es igual a menos 2 el determinante de b es igual a menos 2 y como menos 2 es distinto de 0 eso nos dice que ves si es invertible y además ya tenemos esta parte de la matriz inversa debe o sea que aquí tenemos que ver inversa es igual a 1 entre el determinante debe que en este caso es menos 21 entre menos 2 por la matriz que nos queda de invertir estos dos del lugar y ponerle un menos acá y un menos acá entonces cambiamos estos dos lugar o sea el 4 se va para acá y el 1 se adaptará acá y que nos queda menos dos menos dos y aquí nos queda menos tres menos tres y si queremos dejarlo todo perfecto pues nada más tenemos que meter este uno entre menos dos dentro de la matriz y de eso lo que nos queda cuatro entre menos dos eso es menos dos menos dos entre menos dos esto es un 1 menos 3 entre menos 2 eso es 3 medios y 1 entre menos 2 es menos 1 / 2 gate tal cual está es b inversa estuvo bien rápido no entonces yo digo que tenemos que hacer otro ejemplo ahora vamos a tomar la matriz se iguala 13 6 así es que empecemos con el determinante de c y el determinante de c es de bs que en este caso es a de menos bs si se fijan tal cual lo que estamos haciendo es tomar esta diagonal y multiplicar la y luego restarle esta diagonal entonces nos queda 1 por 6 1 por 6 menos 3 por 2 3 por 2 y eso fue de 6 menos 6 y eso es exactamente igual a 0 y eso lo que significa es que la matriz ce no es invertible ok porque si fuera invertible éste sería distinto de 0 y como te puedes imaginar pues puse este ejemplo a propósito para que tengamos una matriz que no sea invertible y se puede ver desde la matriz claramente o sea esta fila es dos veces esta fila y matrices que tienen una fila que son el múltiplo de otra de sus filas estas matrices no son invertibles y bueno si tratará de usar esta fórmula para encontrar la matriz inversa de ce pues aquí tendrías 1 entre 0 y eso no se puede pero pues todo esto del determinante viene desde por acá cuando nosotros teníamos aquí esta entrada que queríamos hacer que fuera un 1 si nuestro determinante 0 nuestro determinante acuérdense que es ade - bc o sea tal cual este término si nuestro determinante 0 entonces aquí tenemos un 0 y no hay forma en la que puedan multiplicar esta fila para que aquí nos quede un 1 aquí ya tenemos de por sí un 0 entonces a la hora de reducir hace a su forma escalonada reducida por filas aquí ya tenemos un 0 que no se puede convertir en 1 por lo cual aquí no podemos conseguir una matriz identidad ok estas son de las cosas más importantes del determinante que determinan perfectamente y súper rápido si una matriz es invertible o no