Contenido principal
Tiempo actual: 0:00Duración total:18:40

Transcripción del video

hasta ahorita hemos definido dos determinantes el determinante para una matriz de 2 x 2 y lo definimos tal cual como tomar estas dos diagonales estas dos diagonales está y éste y multiplicamos a por de y le restamos b porsche y eso lo que nos queda es tal cual ha de - bc entonces es el determinante una matriz de 2 x 2 y en el video pasado lo que hicimos fue definir el determinante pero para matrices de 3 x 3 y bueno la definición fue tal cual tomar la primera pila ir agarrando cada una de las entradas y multiplicar estas entradas por el determinante de la su matriz que nos queda de eliminar la columna en la que se encuentra la entrada y la pila en la que se encuentra la entrada y entonces tomamos a 11 quitamos esta columna y esta fila y le sacamos el determinante a éstas su matriz que nos queda y bueno para sacar el determinante de esta su matriz ósea es determinante pues usábamos la definición que tenemos para el determinante matriz de dos por dos o sea a de - bc y después cambiábamos designó aquí tenemos un signo más y entonces cambiamos designó al signo menos y multiplicamos la segunda entrada a 1 voz por el determinante de la su matriz que nos queda de eliminar esta columna y esta fila aunque hay entonces tenemos una matriz con estas dos columnas y sacamos el determinante de esa matriz este determinante otra vez usando esta definición que hicimos en otro vídeo de los determinantes de matrices de 2 x 2 y finalmente volvíamos a cambiar de signo y entonces nos toca un signo más y multiplicamos la última entrada que es la entrada a 13 por el determinante de la suba trees que nos queda de eliminar esta columna y esta fila este determinante y bueno en algún punto del vídeo pasado yo dije que íbamos a definir el determinante para cualquier matriz de gm por n y justo eso es lo que vamos a hacer en este vídeo y pues vamos a necesitar mucho espacio en entonces déjame recorro esto para encontrar más espacio que y entonces déjame dibujar a mí matriz a que va a tener en columnas y n file en realidad debía haberlo dicho al revés para tener nephila si n columna esta nota las filas y éste denota las columnas entonces esta matriz pues se va a ver vamos a usar la misma anotación que usamos para las matrices de 3 x 3 entonces vamos a poner aquí puras a y vamos a usar un subíndice en cada a el primer subíndice va a denotar la fila en la que está y el segundo subíndice va a derrotar la columna en la que está en este caso es la 11 por estar en la primera fila y primera columna pero este de aquí está en la primera y la primera fila y en la segunda columna que jackie el siguiente está en la primera fila tercera columna y así pues tenemos muchas cosas por acá hasta que llegamos a la entrada a uno en la primera fila y en la última columna que es la enésima columna y luego entonces tenemos que dibujar la segunda pila y empieza con a 21 porque está en la segunda fila primera columna a 22 232 en y si no seguimos por a que llegamos hasta a n1 y si no vamos en diagonal por aquí está el a n en bueno pero antes de definir el determinante una matriz enel por n déjame hacer otra definición de y león que vamos a definir las matriz y j esta matriz hay j hacer la matriz la matriz que obtenemos al ignorar a ignorar tal vez debería de decir eliminar pero pues creo que vamos a dejar la esquina más ignora la ie sima fila y si me la y la vamos a sacar de este primer subíndice está ahí pero no sólo vamos a ignorar la íes y maquila también vamos a ignorar y la fota fina columna de día que veamos un ejemplo pero ya tenemos varios a la mano así es que pues va a saberlo si recuerdas en el video pasado hicimos esto varias veces o sea aquí tenemos a 11 y eliminamos la columna que tenía al a 11 y la fila que tenía la 11 entonces en realidad esta matriz es tal cual la matriz a 11 no se ha eliminado la primera fila en la primera columna y de esta otra matriz pues lo que hacíamos era eliminar la segunda columna y la primera fila entonces esta matriz de aquí de la cual le sacamos el determinante es la matriz a 121 de hecho supone que debería ponerle así porque estamos igualando este determinante pero bueno y finalmente esta otra matriz es tal cual la su matriz a 13 bueno entonces regresemos a donde estábamos y pues ahora sí ya vamos a definir lo que es el determinante una matriz de gm por m hay algo muy importante que se me olvidó es decir que esta matriz la matriz y j es una matriz de tamaña en menos 1 por ende menos uno que hay si esta matriz es una matriz de siete por siete o sea tiene siete pilas y siete columnas entonces está su matriz a y j va a tener siete menos uno o sea 66 filas y seis columnas que iba a ser una matriz de 6 x 6 y bueno está pensando que el ejemplo que vimos tenía puras letras entonces vamos a ver uno con números que también vimos en el video pasado que aquí teníamos a la matriz e iu para obtener esta matriz que está multiplicando al 2 pues lo que hicimos como está multiplicando al 2 fue tachar la segunda columna y la primera fila y entonces y tachado la segunda columna y la primera fila bueno debería decirlo en el otro orden si tachamos la primera fila y la segunda columna entonces lo que esta matriz es la matriz a uno de que te echamos a la primera fila y dos de que tachamos a la segunda columna y lo que nos queda es tal cual 2 341 guy 23 41 pero pero hay otro detalle muy importante generalmente contamos hablando de su matriz e no tiene por qué siempre esta cosa hacer una ley como aquí esta matriz es una fe entonces generalmente a las matrices lo que vamos a hacer es tomar el nombre bueno la letra original de la matriz de la cual está saliendo está su matriz iae saleta ya lo ponemos los subíndices correspondientes que hay uno que tachamos la primera y le ha ido de que tachamos la segunda columna y bueno ya que tenemos muy bien esta definición entonces ahora sí vamos a definir el determinante para matrices de ee por n y entonces para el caso de las matrices de n por n cuando sacamos las su matriz por ejemplo si queremos sacarla su matriz a 11 entonces tomamos entonces quitamos la primera le la primera columna y todo lo que nos quede o sea todos estos numeritos todos estos números conforman la su matriz a 11 y es así va a tener una dimensión en el -1 por lo menos uno no sea porque están quitando la primera fila la primera columna entonces aquí hay en al menos un filas y en menos son columnas ok súper parecido a lo que estábamos haciendo con las matrices de 3 x 3 a ver déjame regreso toda la normalidad por ejemplo si queremos a su matriz a 23 por lo que hacemos es vital esta columna y esta fila nos quedamos con matriz que tiene a estas entradas y hagan de cuenta que le ponemos aquí un pegamento y ya tenemos a nuestra nueva suv matriz a 23 que entonces ahora sí ahora sí ya vamos a definir el determinante de una matriz de gm por el que va a aparecer como una definición súper circula sea tal vez superficialmente va a parecer que estamos definiendo al determinante en términos del mismo determinante pero hay un detalle que hace que esto tenga todo el sentido del mundo nada más que deja me borró todo esto para dejar las cosas súper claras entonces vamos a definir el determinante de una matriz enel por n en este caso es la matriz como vamos a tomar la primera entrada a tomar la primera entrada a 11 con un signo y la vamos a multiplicar por el determinante de la su matriz que nos queda de eliminar a la fila y a la columna que contienen a esta entrada a uno ok pero eso por definición es la mata a 11 estamos eliminando la primera fila y la primera columna por lo cual estamos sacando el determinante de la matriz a 11 may aunque bueno sabes que déjame mejor lo escribo de otra forma me he dejado lo escribo como el determinante de la matriz a 11 y ahora nos vamos a cambiar a la siguiente entrada de la primera fila pero nos vamos a cambiar de signo todo el tiempo vamos a estar cambiando de signo aquí empezamos con un mes entonces ahorita nos toca un menos y entonces vamos a tomar la segunda entrada a 12 y la vamos a multiplicar por el determinante lo que nos queda de quitar esta columna y esta fila que son las columnas las filas que contienen a la entrada a 12 y de lo que nos queda o sea de ésta y la pegada a el resto de esta matriz que es una su matriz porque es exactamente la su matriz a 12 su matriz a uno de los gallitos a multiplicar por el determinante de esta su matriz su determinante y entonces como aquí estábamos restando ahora lo que nos va a tocar es sume porque vamos cambiando de signo y tenemos la entrada a 1 313 que vamos a multiplicar por el determinante de la sub matisse a 13 gay porque eliminamos la primera fila y la tercera columna que hay que son las pilas y las columnas que contienen a la entrada a 13 y después pues vamos con la siguiente entrada pero nos toca un menos y después de esa entrada pues nos va a tocar un mes y así lo vamos a seguir más - + - con las entradas correspondientes y los determinantes de las suv matrices correspondientes hasta que pues llegamos a la última entrada no entonces cuando llegamos a la última entrada dependiendo de cómo sea n nos puede tocar unas o nos puede tocar un menú no todos los subíndices de las columnas padres les está tocando al menos y a todos los subíndices de las columnas impares les está tocando el más acá y el chiste es que eventualmente vamos a sumar el último término ah1n y lo vamos a multiplicar por el determinante de la su matriz ah1n y habremos terminado ya tendremos el determinante de la matriz y justo en este segundo tú tienes que decir hoy es al cómo puede estar esta definición bien o sea está definiendo al determinante de una matriz en términos de otros determinantes y estos determinantes como demonios los vamos a sacar pero bueno resulta que hay un truco para que y el truco es que estos determinantes también son determinantes pero aquí estamos sacando el determinante de matices más pequeñas o sea ésta es una matriz de enel por n pero esta sus matrices son dimensión en el -1 por ende menos uno que y entonces no puedes preguntar bueno de todas formas no sabemos cómo sacar el determinante de matrices de en el -1 por ende menos uno no y el chiste aquí es volver a aplicar la fórmula y escribir este determinante en términos de matrices de en -2 por el -2 y así te vas en menos dos pasos hasta llegar a determinantes de dos por voz ok simplemente tienen que sustituir toda esta fórmula en cada uno de estos determinantes hasta que las dimensiones de las suv matrices de los cuales estamos sacando determinante sean matrices de dos por dos porque eso es determinante si los tenemos definidos esta es una definición recursiva así les llamamos a las definiciones que tienen esta forma entonces para sacar determinante de la matriz a que éste encontrara el determinante de las suv matrices a 11 a 12 y así hasta ah1n pero para encontrar determinante de cada una de esas sus matices pues tenemos que volver a aplicar la fórmula hasta hasta llegar a matrices thaci las que sean del tamaño 2 x box en cuyo caso ya tenemos su determinante definido está aquí es a de menos b c a d - bc y entonces ahí sí ya tenemos construirá toda la pirámide que podrías construirlo todo con el determinante 3 x 3 no tienes que llegar hasta el de 2 x 2 pero realmente es mucho más sencillo hacerlo con el de dos por dos además de que ésta esté terminante de 3 x 3 no es más que un caso particular del caso general donde nuestra matriz adn por el cne pues es una matriz de 3 x 3 y si te fijas está tal cual como la fórmula aquí tenemos la primera entrada la primera entrada multiplicada por su matriz a 11 después cambiamos designó la segunda entrada por el determinante de la menor a 12 y finalmente volvemos a cambio de signo y nos queda la tercera entrada por el determinante de la su matriz a 13 que este determinante de las matrices de 3 x 3 es simplemente un caso particular del caso general en la fórmula que vamos a escribir ahí abajo este tipo de definición como les estaba diciendo hace rato es una definición recursiva y león silva caí en este tipo de definiciones no define lo que quiere definir en términos de esto mismo pero con una versión un poco más simple para encontrar estas definiciones volvemos a tomar toda esta fórmula pero lo aplicamos a esta matriz y el chiste aquí es que estas matrices tienen una dimensión un poco más chica entonces con cada interacción sea aquí en lugar de tener este determinante de a 11 metemos toda la fórmula pero con 11 aquí y pues las matrices correspondientes y repetimos eso una y otra y otra y otra y otra vez cómo vamos a obtener matriz cada vez más pequeñas eventualmente vamos a llegar a una matriz de dos por dos y así es como funcionan las definiciones recursivas o sea tenemos lo que queremos definir en términos de lo mismo que queremos definir pero en términos más sencillos que al fin y al cabo al aplicarlo muchas veces eventualmente vamos a llegar a un paso base que en este caso es el determinante una matriz de dos por dos y bueno ese caso bases y no puede estar definida en términos de otros determinantes ese paso si tiene que estar bien definido y ese es el caso de nuestro determinante de dos por dos pero bueno no estamos satisfechos con tantas le tas para que quede todo claro y vamos a sacar el determinante de una matriz de 4x4 entonces necesitamos más espacio 12 34 1 0 2 0 0 1 2 3 y 2 300 entonces queremos sacar el determinante de esta matriz y para no volver a escribir las simplemente borrar estas patitas a los paréntesis para que esto de note que es un determinante entonces vamos a empezar siempre usamos la primera fila sin igual y tomamos la primera entrada que es un 1 por kilo vamos a multiplicar por la su matriz que nos queda de eliminar esta fila y esta columna casey es la matriz a este determinante de a qué vamos a ponerlos y determinante a que será el determinante de la matriz a 11 pero pues aquí lo vamos a escribir tal cual entonces nos queda 02 01 23 300 que y después como aquí estamos sumando ahora arrestar que no estamos restando la segunda entrada de la primera chile 2 por el determinante de la su matriz que nos queda de eliminar la pila en la que está y la columna en la que está hay entonces dentro de este determinante tenemos que poner 120 120 me estoy saltando este cero porque está en la misma columna que el 2 que entonces en la segunda fila va 0 2 3 023 y finalmente 200 y ahora tenemos un menos y vamos a cambiar de signo entonces nos toca un la tercera entrada por el determinante de 100 100 aquí ahora tenemos que ignorar al 2 porque se encuentra en la misma columna que el 3 y no queremos tomarlo en cuenta porque estamos siguiendo esta definición determinante y aquí nos dicen que estamos sacando el determinante a la suba trees a 13 y las su matriz a 13 no tome en cuenta esta columna entonces la siguiente fila tiene 01 30 13 y finalmente 23 02 30 y para terminar pues tenemos más - más o sea que toca menos la última entrada en la primera columna por el determinante de la su matriz que contiene a todas las columnas - a la última columna y no tiene contiene la primera fila sea ésta su matriz y nos queda el determinante de 1 02 01 22 30 que queremos sacar el determinante de una matriz de 4x4 y usando la fórmula en la definición de determinante redujimos esto a encontrar cuatro determinantes de 3 x 3 que hay porque es una definición recursiva y bueno ya que todos estos determinantes son de 3 x 3 pues arriba tenemos la fórmula para encontrar estos determinantes de 3 x 3 o podemos volver a usar la fórmula recursiva de nuestra definición determinen tvn por n nada más que ahorita la n va a ser tres en lugar de cuatro y así termina de encontrar este determinante que entonces todo esto va a hacer exactamente igual uno por y esto determinante este determinante vamos a empezar lo tenemos aquí 00 por el determinante de puesta chamos la primera fila y la primera columna quisimos que contienen este cero y nos queda nada más su matriz que ahora ya su matriz de dos por todo lo cual es muy conveniente para su matriz 23 00 entonces aquí empezamos humano y ahora nos toca resta la segunda entrada sea dos por el determinante de quitamos la columna que lo contiene y la pila que lo contiene entonces nada más nos queda 13 30 a 13 30 y como acabamos de restar ahora nos toca asume la última entrada que 0 por el determinante de esta su matriz 12 30 a 12 30 entonces ya terminamos con este determinante así es que vamos ahora con este para empezar tenemos un -2 por afuera que no tienen nada que ver con el determinante que está multiplicando empezamos con este 1 nos queda este terminen t 1 x 2 300 menos porque antes estábamos sumando dos por lo que nos queda de quitar esta columna está chile 2 por el determinante de 03 2003 20 y finalmente 0 por el determinante de lo que tenemos aquí el cero y crans este determinante keith 02 20 y ahora vamos con este otro determinante de 3 x 3 aquí estamos gastando entonces nada más tres por tomamos la primera entrada y eliminamos la columna que lo contiene y la fila que lo contiene y nos quedan 13 30 entonces uno por 13 30 entonces nos toca respetar la segunda entrada 0 por el determinante de lo que nos queda de quitar esta columna y bueno también está chile entonces 03 20 y como estamos restando nos toca asume la última entrada que es un cero por el determinante de la su matriz a 13 mil a su matriz a 13 lo que hace estar esta columna y esta fila o sea 0 1 2 3 muy bien muy bien y finalmente ya que fue un montón de cálculos pero finalmente ya estamos a tres cuartas partes del camino ya nada más tenemos que calcular este último determinante de tres por tres pero éste va a estar sencillo dijo igual que los anteriores entonces menos cuatro por usa no la fórmula claro 11 por el determinante de este terminen td y 12 30 entonces estábamos cuando nos toca resta no está este 0-0 por el determinante de quitamos esto chile y esta columna y nos queda 02 2002 20 y como estamos restando ahora nos toca summers la última entrada dos por el determinante el determinante la su matriz a 13 sea quitamos la tercera columna y la primera fila y nos queda 0 12 30 12 13 01 23 y listo listo yo nos tenemos que hacer las cuentas a ver para hacer las cuentas vamos a usar un color muy llamativo y lo primero que vamos a hacer para no estar sacando determinantes que no necesitamos hacer acá pues vamos a eliminar de una vez todos los que se van a multiplicar por 0 sea porque 0 por cualquier número es ser que entonces aquí tenemos un 0 y al multiplicarlo por nuestro determinante todo esto es un gran cerebro humano chiquito como quieras esté aquí también es un cero porque se están multiplicando por 10 0 y aquí tenemos otro 0 y otro 0 aquí también se está multiplicando por 10 y finalmente nuestro último 0 y ahora sí ya tenemos menos determinantes de 2 x 2 que necesitamos acá hemos llegado a la base de nuestra definición recursiva entonces vamos a sacar este determinante es uno por cero este ave - bc que es 3 x 3 may entonces uno por cero 0 - 3 x 3 que es 9 y entonces nos queda nada más - 9 que luego es súper e híper importante que no se nos olvide multiplicarlo por este -2 y luego por este 1 a mí ya se me estaba olvidando este 1 el chiste aquí ahora es que no no sé qué queremos a la hora de hacer las cuentas porque ahí es donde todo el mundo se equivoca yo me equivoco muchísimo en esto pero en este vídeo no me voy a equivocar bueno eso creo que entonces sigamos con este aquí tenemos dos por cero que 0 - 3 x 0 que es cero entonces aunque lo multiplicamos primero por uno y después por menos dos nos va a seguir quedando 0 si es que éste es otro 0 y ahora vamos con éste este es un cero por cero 0 - 2 por 3 2 por 3 6 sé que tenemos un -6 que vamos a tener que multiplicar por menos dos primero y después por el otro menos dos ahora acá es determinante es 1 por 0 0 - 3 x 39 nos quedan menos nueve por uno por tres y aquí tenemos 1 por 0 0 - 2 x 3 66 -6 por uno por menos cuatro y finalmente ahora si finalmente 0 por 3 0 - 1 x 2 2 nuestro menos 2 x 2 por 1 4 tenemos uno o aquí tenemos menos dos por menos nueve menos dos por menos nueve más puro 0 y después tenemos menos dos por lo menos dos por menos 6 -2 por menos seis después tenemos tres por uno por -9 3 por 1 por lo menos 9 y finalmente tenemos menos cuatro por uno por -6 1 por menos seis nada menos cuatro por dos por menos 2 me 4 x 2 por lo menos dos muy bien y todo esto ahora ya nada nos tenemos que hacerlas cuenta y hacerlas muy bien para no equivocarnos entonces esto es igual a 1 por menos dos por -9 esté menos se cancele con este menú y nos queda nada más dos por nueve que 18 por uno sigue siendo 18 y aquí menos dos por lo menos seis esté menos se cancela con éste y nos queda 2 por 6 12 por menos dos eso es menos 24 y de aquí uno por menos nueve y luego todo eso por 3 o sea menos 27 - 27 y finalmente aquí tenemos uno por menos seis que es menos seis más dos por lo menos dos que es menos cuatro o sea menos seis menos 43 menos 10 por -4 eso nos queda más 40 entonces restando vamos a empezar contestar éste con éste 18 - 24 es menos seis y luego restemos este de aquí y 40 de los veintisiete es 13 y finalmente 13 - 6 entonces todo esto nos queda igual a 7 y listo por fin ya terminamos ya calculamos el determinante de esa matriz de 4x4 el determinante de esta matriz después de tantos cálculos si no cometimos ningún error de cuentas pero espero que no entonces este determinante es exactamente igual 7 y bueno esto lo que nos dice es que esta matriz si es invertible porque su determinante es distinto de cero recuerda que una de las características súper padres de los determinantes es que si el determinante de una mano luis xiv el determinante de a es distinto de cero esto pasa si y sólo si es invertible y no ver aquí y esta es la gran propiedad de los determinantes tienen algunas otras cosas muy lindas pero ésta es la más importante un determinante es distinto de cero si y sólo si la matriz es invertible que entonces ya sabemos sacar determinantes de matrices de n por n nos vemos en el próximo video