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Determinante nxn

Definir el determinante para matrices de nxn. Un ejemplo de un determinante 4x4. Creado por Sal Khan.

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Transcripción del video

hasta ahorita hemos definido dos determinantes el determinante para una matriz de 2 por 2 y lo definimos tal cual como tomar estas dos diagonales tomar estas dos diagonales está ahí este y multiplicamos a por d y le restamos b por c ok y eso lo que nos queda es tal cual a de menos bs entonces eso es el determinante de una matriz de 2 por 2 y en el vídeo pasado lo que hicimos fue definir el determinante pero para matrices de 3 por 3 y bueno la definición fue tal cual tomar la primera fila e ir agarrando cada una de las entradas y multiplicar esas entradas por el determinante de la sub matriz que nos queda de eliminar la columna en la que se encuentra la entrada y la fila en la que se encuentra la entrada ok entonces tomamos a 11 quitamos esta columna y esta fila y le sacamos el determinante a esta sub matriz que nos queda y bueno para sacar el determinante de esta sub matriz o sea éste pues usábamos la definición que tenemos para el determinante de matrices de 2 por 2 o sea de menos veces y después cambia vamos de signo aquí tenemos un signo más y entonces cambiábamos de signo al signo menos y multiplicamos la segunda entrada a 12 por el determinante de la sub matriz que nos queda de eliminar en esta columna y esta fila ok entonces tenemos una matriz con estas dos columnas y sacamos el determinante de esa matriz ok este determinante otra vez usando esta definición que hicimos en otro vídeo de los determinantes de matrices de 2 por 2 y finalmente volvíamos a cambiar de signo y entonces nos toca un signo más y multiplicamos la última entrada que es la entrada a 13 por el determinante de la sub matriz que nos queda de eliminar esta columna y esta fila que este determinante y bueno en algún punto del vídeo pasado yo dije que íbamos a definir el determinante para cualquier matriz de n por n y justo esto es lo que vamos a hacer en este vídeo y pues vamos a necesitar mucho espacio entonces déjame recorro esto para encontrar más espacio aunque entonces déjame dibujar a mi matriz a que va a tener n columnas y n files pero en realidad debía haberlo dicho al revés va a tener n filas y n columna este denota las filas y este denota las columnas entonces esta matriz pues se va a ver vamos a usar la misma anotación que usamos para las matrices de 3 por 3 entonces vamos a poner aquí puras as y vamos a usar un subíndice en cada a el primer subíndice va a denotar la fila en la que está y el segundo subíndice va a denotar la columna en la que está bueno en este caso es la 11 porque está en la primera fila y primera columna ok pero este de aquí está en la primera fila primera fila y en la segunda columna ok aquí el siguiente está en la primera fila tercera columna y así pues tenemos muchas as por acá hasta que llegamos a la entrada a 1 m aunque hay porque está en la primera fila y en la última columna que es la enésima columna y luego entonces tenemos que dibujar la segunda fila y empieza con a 21 porque está en la segunda fila primera columna a 22 a 23 a 2 ene y si nos seguimos por aquí llegamos hasta a n 1 y si nos vamos en diagonal pues por aquí está el a n bueno pero antes de definir el determinante una matriz de nn gg + 0 otra definición sí ok vamos a definir la sub matriz j esta matriz ay j va a ser la matriz la matriz que obtenemos al ignorar ignorar tal vez debería yo decir eliminar pero pues creo que vamos a dejarla aquí nada más ignorar la y así más fila y ok la y la vamos a sacar de este primer subíndice de esta ahí pero no sólo vamos a ignorar la décima fila también vamos a ignorar y la j columna te diría que veamos un ejemplo pero ya tenemos varios a la mano así es que pues vamos a verlos no si recuerdas en el vídeo pasado hicimos esto varias veces o sea aquí tenemos a 11 y eliminamos la columna que tenía al 11 y la fila que tenía la 11 ok entonces en realidad esta matriz es tal cual la matriz a 11 no sea eliminamos la primera fila en la primera columna y de esta otra matriz pues lo que hacíamos al eliminar la segunda columna y la primera fila entonces esta matriz de aquí de la cual le sacamos el determinante es la matriz a 12 bueno de hecho supongo que debería de ponerle así porque estamos igualando este determinante pero bueno y finalmente esta otra matriz es tal cual la su matriz a 13 bueno entonces regresemos a donde estábamos y pues ahora sí ya vamos a definir lo que es el determinante una matriz de n por m hay algo muy importante que se me olvidó es decir que esta matriz la matriz a y jota es una matriz de tamaño n menos uno por ende menos uno aunque si esta matriz es una matriz de siete por siete o sea tiene siete filas y siete columnas entonces está su matriz j va a tener siete menos uno o sea seis seis filas y seis columnas que iba a ser una matriz de seis por seis y bueno estaba pensando que el ejemplo que vimos tenía puras letras entonces vamos a ver uno con números que también vimos en el vídeo pasado aunque aquí teníamos la matriz ce y para obtener esta matriz que está multiplicando al 2 pues lo que hicimos como está multiplicando al 2 fue tachar la segunda columna y la primera fila aunque ahí entonces y tachar la segunda columna y la primera fila bueno debería decirlo en el otro orden si tachamos la primera fila y la segunda columna entonces lo que esta matriz es es la matriz a uno de que te echamos a la primera fila y dos de que tachamos a la segunda columna y lo que nos queda es tal cual 2 3 4 1 2 3 4 1 pero pero hay otro detalle muy importante generalmente contamos hablando de sus matrices no tiene por qué siempre esta cosa hacer una aunque hay como aquí esta matriz es una c entonces generalmente a las sub matrices lo que vamos a hacer es tomar el nombre bueno la letra original de la matriz de la cual está saliendo esta sub matriz esta letra ya lo ponemos los subíndices correspondientes ok uno de que tachamos la primera fila y dos de que tachamos la segunda columna y bueno ya que tenemos muy bien esta definición entonces ahora sí vamos a definir el determinante para matrices de n por n y entonces para el caso de las matrices de n por n cuando sacamos la sub matriz por ejemplo si queremos sacar la su matriz 11 entonces tomamos entonces quitamos la primera fila y la primera columna y todo lo que nos quede o sea todos estos numeritos todos estos números conforman la sub matriz a 11 y esa sí va a tener una dimensión en el -1 por n menos uno no sea porque estamos quitando la primera fila y la primera columna entonces aquí hay en sus filas y n menos en columnas ok súper parecido a lo que estábamos haciendo con las matrices de tres por tres a ver déjame regreso toda la normalidad por ejemplo si queremos la sub matriz a 23 pues lo que hacemos es quitar esta columna y esta fila nos quedamos con la matriz que tiene a estas entradas y hagan de cuenta que le ponemos aquí un pegamento y ya tenemos a nuestra nueva sub matriz a 23 que entonces ahora sí a ver si ya vamos a definir el determinante de una matriz de adn por n te va a aparecer como una definición súper circular o sea tal vez superficialmente va a parecer que estamos despidiendo al determinante en términos del mismo determinante pero hay un detalle que hace que esto tenga todo el sentido del mundo nada más que déjame borró todo esto para dejar las cosas súper claras entonces vamos a definir el determinante de una matriz de n n en este caso es la matriz a como vamos a tomar la primera entrada vamos a tomar la primera entrada a 11 con un signo más y la vamos a multiplicar por el determinante de la sub matriz que nos queda de eliminar a la fila y a la columna que contienen a esta entrada a 11 ok pero eso por definición es la matriz a 1-1 ok estamos eliminando la primera fila y la primera columna por la cual estamos sacando el determinante de la matriz a 1-1 aunque bueno sabes que déjame mejor lo escribo de otra forma y déjame lo escribo como el determinante de la matriz a 1 y ahora nos vamos a cambiar a la siguiente entrada de la primera fila pero nos vamos a cambiar de signo todo el tiempo vamos a estar cambiando de signo aquí empezamos con un mes entonces ahorita nos toca un menos y entonces vamos a tomar la segunda entrada a 12 y la vamos a multiplicar por el determinante de lo que nos queda de quitar esta columna y esta fila que son las columnas y las filas que contienen a la entrada a 12 y de lo que nos queda ósea de esta y la pegada a el resto de esta matriz que es una sub matriz porque es exactamente la sub matriz a 12 la sub matriz a 12 pues vamos a multiplicar por el determinante de esta sub matriz su determinante y entonces como aquí estábamos restando ahora lo que nos va a tocar es sumar que porque vamos cambiando de signo y tenemos a la entrada a 13 a 13 que vamos a multiplicar por el determinante de la sub matriz a 13 ok porque eliminamos la primera fila y la tercera columna que son las pilas y las columnas que contienen a la entrada a 13 y después pues vamos con la siguiente entrada pero nos toque aún menos y después de esa entrada pues nos va a tocar un mes y así nos vamos a seguir más menos más menos con las entradas correspondientes y los determinantes de las sub matrices correspondientes hasta que pues llegamos a la última entrada y entonces cuando llegamos a la última entrada dependiendo de cómo sea n pues nos puede tocar o nos puede tocar un menos todos los subíndices de las columnas pares les está tocando al menos y a todos los subíndices de las columnas impares les está tocando el más ok el chiste es que eventualmente vamos a sumar el último término a uno n y lo vamos a multiplicar por el determinante de la sub matriz ah1n y habremos terminado ya tendremos el determinante de la matriz a y justo en este segundo tú tienes que decir oye sal cómo puede estar esta definición bien o sea estas definiendo al determinante de una matriz en términos de otros determinantes y esos determinantes como demonios los vamos a sacar pero bueno resulta que hay un truco por aquí y el truco es que estos determinantes también son determinantes pero aquí estamos sacando el determinante de matrices más pequeñas o sea esta es una matriz de n por m pero estas matrices son de dimensión n 1 n 1 y entonces como puedes preguntar bueno de todas formas no sabemos cómo sacar el determinante de matrices de n menos uno por n menos 1 y el chiste aquí es volver a aplicar la fórmula ok y escribir este determinante en términos de matrices de n 2 por ende menos 2 y así te vas n menos dos pasos hasta llegar a determinantes de 2 x 2 ok simplemente tienes que sustituir toda esta fórmula en cada uno de estos determinantes hasta que las dimensiones de las sub matrices de las cuales estamos sacando determinante sean matrices de 2 por 2 porque esos determinantes si los tenemos definidos aunque esta es una definición recursiva así le llamamos a las definiciones que tienen esta forma entonces para sacar el determinante de la matriz tienes que encontrar el determinante de las sub matrices a 11 a 12 y así hasta a 1 n pero para encontrar determinante de cada una de esas sus matrices pues tenemos que volver a aplicar la fórmula hasta hasta llegar a matrices tan chicas que sean del tamaño 2 por 2 en cuyo caso ya tenemos su determinante definido está aquí es de bs ok ab - bc y entonces ahí sí ya tenemos construida toda la pirámide aunque podrías construirlo todo con el determinante de 3 por 3 no tienes que llegar hasta el de 2 por 2 pero pues realmente es mucho más sencillo hacerlo con el de 2 x 2 además de que está este determinante de 3 por 3 no es más que un caso particular del caso general aunque hay donde nuestra matriz adn por n pues es una matriz de 3 por 3 y si te picas ésta tal cual como la fórmula aquí tenemos la primera entrada la primera entrada multiplicada por su sub matriz a 11 y después cambiamos de signo y la segunda entrada por el determinante de la menor a 12 y finalmente volvemos a cambiar de signo y nos queda más la tercera entrada por el determinante de la sub matriz a 13 ok este determinante de las matrices de 3 por 3 es simplemente un caso particular del caso general en la fórmula que acabamos de escribir allá abajo este tipo de definición como les estaba diciendo hace rato es una definición recursiva d y yo y en este tipo de definiciones uno define lo que quiere definir en términos de esto mismo pero con una versión un poco más simple que hay para encontrar estas definiciones volvemos a tomar toda esta fórmula pero la aplicamos a esta matriz y el chiste aquí es que estas matrices tienen una dimensión un poco más chica entonces con cada iteración si aquí en lugar de tener este determinante de a 11 metemos toda la fórmula pero con a 11 aquí y pues las sub matrices correspondientes y repetimos eso una y otra y otra y otra y otra vez como vamos a obtener matrices cada vez más pequeñas eventualmente vamos a llegar a una matriz de 2 por 2 y así es como funcionan las definiciones recursivas o sea tenemos lo que queremos definir en términos de lo mismo que queremos definir pero en términos más sencillos que al fin y al cabo al aplicarlo muchas veces eventualmente vamos a llegar a un paso base que en este caso es el determinante de una matriz de dos por dos es el caso base si no puede estar definido en términos de otros determinantes ese paso si tienen que estar bien definidos y ese es el caso de nuestro determinante de 2 por 2 pero bueno no estamos satisfechos con tantas letras para que quede todo claro hoy vamos a sacar el determinante de una matriz de 4x4 entonces necesitamos más espacio 1 2 3 4 20 0 1 2 3 y 2 3 0 que hay entonces queremos sacar el determinante de esta matriz y para no volver a escribirla simplemente le voy a borrar estas patitas a los paréntesis para que esto denota que es un determinante entonces vamos a empezar siempre son la primera fila está disponible aquí un igual y tomamos la primera entrada que son 1 x y lo vamos a multiplicar por la sub matriz que nos queda de eliminar esta fila y esta columna ok si esto es la matriz a este determinante de aquí vamos a ponerlo así este determinante de aquí sería el determinante de la matriz a 1-1 pero pues aquí lo vamos a escribir tal cual entonces nos queda 0 20 123 300 y después como aquí estamos sumando ahora nos toca restar aunque no estamos restando la segunda entrada de la primera fila dos por el determinante de la matriz que nos queda de eliminar la fila en la que está y la columna en la que está ok entonces dentro de este determinante tenemos que poner 1 2 0 120 me estoy saltando este 0 porque está en la misma columna que el 2 aunque entonces en la segunda fila 0 2 3 0 2 3 y finalmente 2 0 y ahora tenemos un menos y vamos a cambiar de signo entonces nos toca aún más la tercera entrada por el determinante de 100 100 aquí y ahora tenemos que ignorar al 2 porque se encuentra en la misma columna que el 3 y no queremos tomarlo en cuenta porque estamos siguiendo esta definición de determinante y aquí nos dicen que estamos sacándole el determinante a la sub matriz a 13 y la sub matriz a 13 no toma en cuenta esta columna entonces la siguiente fila tiene 0 1 3 0 1 3 y finalmente 2 3 0 23 y para terminar pues tenemos más menos más o sea que toque a menos la última entrada en la primera columna por el determinante de la sub matriz que contiene a todas las columnas menos a la última columna y no tiene contiene la primera fila sea ésta su matriz y nos queda el determinante de 1 0 2 122 30 que queremos sacar el determinante de una matriz de 4x4 y usando la fórmula en la definición de determinante reducimos esto a encontrar cuatro determinantes de tres por tres okey porque es una definición recursiva y bueno ya que todos estos determinantes son de tres por tres pues arriba tenemos la fórmula para encontrar estos determinantes de tres por tres o podemos volver a usar la fórmula recursiva de nuestra definición de determinante bn por n nada más que ahorita la n va a ser 3 en lugar de 4 y así termina de encontrar este determinante aquí entonces todo esto va a ser exactamente igual a 1 x y este determinante este determinante vamos a empezar lo tenemos aquí 0 pero por el determinante pues tachamos la primera fila y la primera columna que hacemos que contienen a este cero y nos queda nada más esta sub matriz que ahora ya son a su matriz de 2 x 2 lo cual es muy conveniente la sub matriz 2 300 ok entonces aquí empezamos sumando y ahora nos toca restar la segunda entrada o sea 2 por el determinante de quitamos la columna que lo contiene y la fila que lo contiene entonces nada más nos queda 13 13 30 y como acabamos de restar ahora nos toca sumar la última entrada que es 0 por el determinante de esta su matriz ok 12 30 1230 entonces ya terminamos con este determinante así es que vamos ahora con este para empezar tenemos un -2 por afuera que no tiene nada que ver con el determinante que está multiplicando empezamos con este 1 nos queda este determinante 1 x 2300 menos porque antes estábamos un -2 por lo que nos queda de quitar esta columna y esta fila 2 por el determinante de 0 3 2 0 03 20 finalmente más 0 por el determinante de a que tenemos aquí el 0 y creemos este determinante ok 220 y ahora vamos con este otro determinante de 3 por 3 aquí estábamos gastando entonces más 3 por tomamos la primera entrada y eliminamos la columna que lo contiene y la fila que lo contiene y nos queda 13 30 entonces uno por 13 30 entonces nos toca restar la segunda entrada 0 por el determinante de lo que nos queda de quitar esta columna y bueno también en esta fila entonces es 03 20 y como estábamos restando nos toca asume la última entrada que es un cero por el determinante de la sub matriz a 13 y la sub matriz a 13 lo que hace estar esta columna y esta fila o sea 0 1 2 3 muy bien y finalmente ya fue un montón de cálculos pero finalmente ya estamos a tres cuartas partes del camino ya nada más tenemos que calcular este último determinante de tres por tres pero este va a estar sencillo digo igual que los anteriores entonces menos cuatro por usando la fórmula claro 1 uno por el determinante este determinante de aquí 1230 entonces estábamos sumando nos toca restar restar este 0-0 por el determinante de quitamos esta fila y esta columna y nos queda 0 2 2 0 pero todos 20 y como estábamos restando ahora nos toca sumar la última entrada 2 por el determinante el determinante de la sub matriz a 13 sea quitamos la tercera columna y la primera fila y nos queda 0 1 2 3 0 1 2 3 0 1 2 3 y listo listo ya nada más tenemos que hacer las cuentas a ver para hacer las cuentas vamos a usar un color muy llamativo y lo primero que vamos a hacer para no estar sacando determinantes que no necesitamos atacar pues vamos a eliminar de una vez todos los que se van a multiplicar por 0 o sea porque 0 por cualquier número es 0 aunque entonces aquí tenemos un 0 y al multiplicarlo por nuestro determinante todo esto es un gran 0 menos chiquito como quieras este de aquí también es un 0 porque se está multiplicando por un cero esto es un 0 y aquí tenemos otro cero y otro cero aquí también se está multiplicando por un 0 y finalmente nuestro último cero y ahora sí ya tenemos menos determinantes de 2 por 2 que necesitamos es que hemos llegado a la base de nuestra definición recursiva entonces pues vamos a sacar este determinante es 1 x 0 este es a de menos bc que es 3 x 3 ok entonces uno por cero es cero menos tres por tres que es 9 aunque entonces nos queda nada más menos 9 que luego es súper hiper importante que no se nos olvide multiplicarlo por este menos 2 y luego por este 1 a mí ya se me estaba olvidando este 1 el chiste aquí y ahora es que no nos equivoquemos a la hora de hacer las cuentas porque ahí es donde todo el mundo se equivoca yo me equivoco muchísimo en esto pero en este vídeo no me voy a equivocar bueno eso creo verdad porque entonces sigamos con este aquí tenemos dos por cero que es cero menos tres por cero que es cero entonces aunque lo multiplicamos primero por uno y después por menos dos nos va a seguir quedando cero si es que éste es otro cero y ahora vamos con este esto es un cero por cero 0 - 2 por 3 2 por 3 y 6 o sea que tenemos un -6 que vamos a tener que multiplicar por menos dos primero y después por el otro menos dos por acá este determinante es uno por cero 0 - 3 por 3 9 que nos queda menos 9 por 1 por 3 y aquí tenemos 1 por 0 0 menos dos por tres esto es 6 menos 6 por 1 por menos 4 y finalmente ahora si finalmente 0 por 30 menos uno por 2-2 nuestro menos 2 por 2 por menos 4 tenemos uno por aquí tenemos menos dos por menos nueve los dos por menos nueve más puros ceros y después tenemos menos dos por menos dos por menos 6 - 2 x menos 6 después tenemos 3 x 1 x menos 9 3 x 1 x menos 9 y finalmente tenemos menos 4 x 1 - 6 1 no por menos más menos 4 por 2 por menos 2 gay menos 4 por 2 por menos 2 muy bien y todo esto ahora ya nada más tenemos que hacer las cuentas y hacerlas muy bien para no equivocarnos entonces esto es igual a 1 x menos 2 x menos 9 este menos se cancela con este menos y nos queda nada más dos por 9 que es 18 por 1 sigue siendo 18 y aquí menos 2 por menos 6 este menos se cancela con este y nos queda 2 por 6 12 por menos 2 eso es menos 24 y de aquí uno por menos nueve y luego todo eso por tres o sea menos 27 menos 27 y finalmente aquí tenemos 1 por menos 6 que es menos 6 + 2 por menos 2 que es menos 4 o sea menos 6 menos 4 que es menos 10 por menos 4 eso nos queda más 40 entonces restando vamos a empezar a contestar este con este 18 menos 24 es menos 6 y luego restemos este de aquí 40 menos 27 es 13 y finalmente 13 - 6 entonces todo esto nos queda igual a 7 listo por fin ya terminamos ya calculamos el determinante de esa matriz de 4x4 el determinante de esta matriz después de tantos cálculos si no cometimos ningún error de cuentas pero espero que no entonces este determinante es exactamente igual a 7 y bueno esto lo que nos dice es que esta matriz si es invertible porque su determinante es distinto de 0 recuerda que una de las características super padres de los determinantes es que si el determinante de una matriz si el determinante de a es distinto de 0 bueno esto pasa si y sólo si a es invertible y ver ti esta es la gran propiedad de los determinantes tienen algunas otras cosas muy lindas pero esta es la más importante un determinante es distinto de cero si y sólo si la matriz es invertible ok entonces ya sabemos sacar determinantes de matrices de n por n nos vemos en el próximo vídeo