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Transcripción del video

vamos a tomarnos una transformación regresamos al punto de las transformaciones que van en general de rn aún rm-1 que invade el espacio de rené de dimensiones al espacio de reme muy bien y vamos a bueno sabemos que toda transformación que va de rené aguirre m se puede expresar digamos si aplicamos tea un vector x que se encuentra en el re m esto lo podemos expresar como la multiplicación de una matriz a por el vector x y esta matriz por supuesto tiene que tener dimensiones m por n y esto es porque se toma vectores en rsm así que el número de de de columnas que debe tener es n y cada una de esas columnas debe debe de ser vectores nrm verdad entonces debe tener m/m filas eso es lo que estamos diciendo así que podemos volver a lo que hemos estado hablando en los últimos vídeos hemos estado hablando de invertir bilidad de funciones y podemos fácilmente aplicarlo a esta transformación t y realmente podemos hacerlo pues porque cuando hablamos de de transformaciones o defunciones y decidieran invertibles o no en los últimos en el último par de vídeos en realidad hablamos de que iván funciones de cualquier conjunto x a cualquier conjunto oye en particular podríamos pensar que esos conjuntos x y llegué son este rn y este ere m así que vamos a pensar un poquito en ello digamos que ahora aquí nuestros dibujitos pues en realidad este conjunto va a ser r n ok y también tengo mi conjunto crm este va a ser el rm esta transformación es es una función es específicamente qué mapea cada punto equis de rené lo mapea o lo manda algún punto acá nrm que de hecho ese punto está dado perdón a por la matriz la matriz a perdón por el vector x y esto es nuestra transformación de muy bien entonces la pregunta inmediata que que se nos puede ocurrir después de haber visto los videos anteriores es ver si esta transformación te es invertible será cierto que o o más que será cierto bajo qué condiciones nuestra transformación te es invertirle ok y vimos de hecho en en el en los vi en el vídeo anterior que para que una función se invertirle debe cumplir dos cosas la primera de ellas es que ésta te debe ser debe ser sobre sobre ley o que también el nombre rimbombante y y extravagante para decir que te sea una función a una transformación sobre es decirle su proyectiva verdad debe ser su proyectiva y otra condición para que te sea o la transformación sea invertirle es que te debe ser debe ser uno a uno verdad uno a uno y dih y también tenemos un nombre estilizado y elegante para decir que una transformación sea uno a uno y esto es que sea inyectaba verdad entonces en este vídeo sólo me voy a centrar en esta primera parte sólo me voy a centrar en las condiciones para que esta función sea su proyectiva ya después veremos qué pasa o qué debe pasar para que sea inyectaba o 1 a 1 ok entonces repasemos que significa que sea su proyectiva y y que una función sea su proyectiva quiere decir que si yo me tomo cualquier punto en en la imagen o más que en la imagen el contra dominio ok rm digamos yo tengo aquí este vector ve entonces para decir que esta función es su proyectiva o que sobre ello debo poder encontrar un elemento un puntito aquí en rcn que al aplicarle la transformación vaya a caer en estévez ahora éste no tiene que ser único podría haber otro punto que también vaya a dar ave pero al menos debemos garantizar que exista uno puede haber varios puede haber cinco diez veinte los que sean pero para cada punto en r me debe existir otro que vaya a dar a este punto b bajo la transformación de por supuesto entonces vamos a ver bajo qué condiciones nuestra transformación aplicada x que la pensamos como una matriz ademe por n que multiplica el vector x bajo qué condiciones esta transformación es sobre aquellos su proyectiva entonces la definición de que sea sobre sobre implica que para cualquier punto b como como lo pusimos acá arriba para cualquier ve cualquier b que se encuentre en nuestro codominio r m debe existir al menos al menos una solución una solución solución a esta ecuación que a x es igual a b verdad eso significa la transformación que exista al menos un punto equis tal que la transformación aplicado asx sea b verdad y las transformaciones a por equis ok donde donde x por supuesto tiene que estar en nuestro dominio eso es r m ok entonces pensemos realmente qué implica esta expresión ok porque la matriz a la matriz a la podemos escribir como si viéramos a sus columnas verdad sus columnas puede ser el vector a 1 electorado y así sucesivamente hasta el vector a n dijimos que tiene en columnas verdad entonces esta matriz a la podemos ver cómo la matriz cuyas columnas son a 1 a 2 y así sucesivamente hasta n entonces quién es quién es o cómo podemos expresar a por equis buenos y además x lo lo ponemos en sus coordenadas es decir el vector xx 1 x 2 y así sucesivamente hasta x n verdad xm entonces esta multiplicación de la matriz a qué en estas columnas por el vector ya lo hemos visto simplemente es la combinación lineal x o no a uno más x 2 a 2 y así sumamos hasta x n por a m ok entonces esta multiplicación de matriz por este vector x simplemente me da una combinación lineal donde los coeficientes que le anteceden a los alas digamos a los vectores columna de nuestra matriz a son justamente las coordenadas de nuestro vector x ok entonces qué condiciones necesitamos para que esto sea igual a nuestro lector ve cuándo dónde ve puede ser cualquier victoria en el re m ok entonces para que esto sea cierto para que esto sea cierto necesitamos que te que que el espacio vectorial generado por los por las los vectores columna sea todo el espacio rm es decir yo quiero expresar cualquier elemento de reme como combinación lineal de los de los vectores columna de mi matriz entonces necesito que el espacio generado por estos vectores sea cual sea perdón todo rm ok entonces vamos a escribir eso para que nuestra transformación te sea sobre sea sobre o que sea su proyectiva ok shop sobre el espacio vectorial generado por los vectores a 1 a 2 y así sucesivamente hasta n debe ser todo el espacio rm es decir que no importa cualquier victoria kent que me tomé nrm yo lo puede expresar como combinación lineal de estos vectores verdad donde además rm es justo micó dominio de la transformación verdad entonces estamos pensando que podríamos asignarles ciertos pesos que serían como estos coeficientes a los vectores de a1 a2 y hasta n para que podamos expresar cualquier vector nrm como como esta combinación línea correcto entonces en realidad estamos pensando que el espacio vectorial generado por todos estos vectores tiene un nombre verdad y de hecho ese espacio vectorial es el que se le conoce como el espacio columna de nuestra matriz ok entonces necesitamos que el espacio columna de nuestra matriz sea justamente todo el espacio r m y nuevamente nuestra pregunta se sigue convirtiendo en otras preguntas cuando esto es cierto que el espacio columna de nuestra matriz ósea rm eso sería una solución para decir cuándo la transformación es sobre ok entonces regresemos a la ecuación ax igual ave digamos que tengo la ecuación ax igual a be ok y cómo es que resolvemos siempre este problema este problema lo lo resolvemos poniendo la matriz aumentada verdad ponemos un amateur una matriz que que tenga aquí justo a la matriz a y aquí como columna al vector ve correcto entonces como como resolvíamos este este problema de determinar si tenía soluciones o no esta ecuación entonces regresábamos o más bien reescribía moss esto en su forma reducida y escalonada verdad digamos que si eres la forma forma reducida y escalonada por renglones eso es lo que quiere decir estoy aquí de nuestra matriz a entonces de esta forma pasa vamos a esta otra pasamos a la matriz oa la forma reducida y escalonada por renglones de nuestra matriz a y del otro lado pues tendremos algún otro vector verdad algún otro vector que se obtiene de seguir este procedimiento de hacer operaciones sobre ésta esta matriz aumentada para llegar hasta esta otra forma entonces la pregunta es cuándo esto tiene o no solución o digamos en realidad podemos tener muchísimas o casi ninguna solución recordemos un poquito verdad lo que quise decir fue que podemos tener muchísimas soluciones una o no tener soluciones recordemos que este proceso de hacer el la forma reducida y escalonada simplemente es llevar a llegar a ésta a esta forma es mediante las operaciones que ya sabemos pues expresarla lo mejor de alguna forma donde tenemos renglones perdón columnas pivote verdad donde pivote quiere decir que tenemos un 1 y puro 0 después verdad a lo mejor está este no es pivote este puede ser un 2 con otros ceros qué sé yo a lo mejor aquí sí tenemos un pivote en fin no podemos tener otro otro por aquí es el que es pero recuerdan muy bien la idea de sacar las formas reducidas y escalonadas de la forma reducidas y escalonadas por renglones por ahí por renglones de una matriz es exactamente esta idea verdad entonces además hay que recordar que los pivotes son esas que son esas columnas esos vectores columna donde tenemos una única entrada que sea distinta de cero verdad y que y que éste que puede ser en particular no vamos a decir que que sea una verdad entonces esos son nuestros pívot esquí nos preguntamos entonces cuando estoy aquí no tiene solución que entonces si queremos ver cuando tiene solución bueno es también equivalente a ver cuando no tiene solución verdad cuando cuando esto cuando esto no tiene solución y por qué digo que nos preguntamos cuándo no tiene solución porque recordemos cómo les había comentado hace unos momentos que podemos tener tres casos que tenemos muchas soluciones muchas soluciones a nuestra ecuación todo esto que estoy haciendo es es un repaso verdad de día muchísimos vídeos que hemos hecho entonces podemos tener muchas soluciones podemos tener una única solución una solución y sólo una o bien podríamos pensar que no hay solución verdad son las tres únicas posibilidades que tenemos entonces si nos damos cuenta bajo qué condiciones no hay solución lo contrario nos da al menos una solución que es lo que estamos buscando entonces cuando será cierto que esto no tiene solución y eso es muy eso sólo es cosa de recordar la verdad tenemos nuestra matriz digamos que ya la llevamos a a su forma reducida y escalonada no sé a lo mejor aquí tengo un pivote que si yo esté aquí tengo un vivo te acabo tener muchas cosas a lo mejor hasta aquí tengo otro pivote en fin no tenemos esta esta forma ya reducida de la matriz aumentada y cuando no teníamos solución es cuando aquí teníamos un renglón con puro ceros verdad puro ceros y aquí en esta en ésta en esta entrada teníamos justo una entrada que no es cero verdad es la única posibilidad para no tener soluciones y todo esto ya es un repaso verdad y de hecho si recordamos sólo para ir aclarando todas nuestras ideas queremos ver bajo qué condiciones es nuestra transformación es su proyectiva y eso nos lleva a demostrar o ver condiciones bajo las cuales el espacio columna de la matriz coincide con todo el codo minio verdad que pues es esencialmente saber cuándo podemos resolver esta ecuación y eso lo podemos hacer si al llegar a nuestra forma reducida y escalonada no ocurre esto que que tengamos todo un renglón con puro ceros y ésta y esta entrada no es cero cuando esto ocurre no hay solución ok entonces cómo es que vamos a proceder en general los aquí ve lo tenemos que poner como una variable verdad entonces uno en la práctica lo que hace es tomar nuestra matriz de hacer un poquito más abajo tomamos esta matriz aumentada a con el vector ve que es esencialmente es b1 b2 así sucesivamente hasta b m key esta es nuestra matriz aumentada y lo llevamos a su forma reducida y escalonada por renglones rebajar un poco más lo llevamos a su forma reducida y escalonada y ésta será lo mejor algo así a lo mejor aquí tenemos un pivote que se yo vale x 0 aquí tenemos a lo mejor otro pivote key en fin ya si no seguimos aquí y bueno como nosotros tenemos variables no no tenemos un ave arbitraria entonces lo escribimos como b1 b2 bm y así entonces qué tal si tenemos puros ceros en un renglón tenemos aquí a lo mejor puro ceros entonces del otro lado pues vamos a tener algo que depende sólo de las vez sí o sea a la hora de hacer todas las operaciones correspondientes para para reducirla y escalonar esta matriz pues vamos a tener también operaciones con los ve las ve uno de dos hasta bm por ejemplo a lo mejor nos queda no sé estoy escribiendo un caso particular puede no quedar así pero puede quedar como 2b uno más tres b 2 - b3 y así no tenemos en general una expresión o una función déjenme decirlo así tenemos una expresión efe que depende pues de v1 v2 y de todos estos vez hasta b m entonces si esta expresión debe ser cero entonces va a haber algunos puntos por ejemplo que me dejen hacer un dibujo aquí sí tenemos rm sm a lo mejor habrá algunos puntos donde si se cumple esta relación que 2b uno más tres wwe no esta función en general sino de acero para estos puntos verdad entonces esos sí van hacer imagen al aplicar la transformación t y van a estar en la imagen de nuestro rml ok al aplicarle te a algunos vectores en rr n entonces pero pero sí si esto pasa para éstos para algunos no necesariamente pasa verdad entonces la única forma es que esto sea completamente 0 pero es una expresión muy arbitraria entonces si no tiene solución si vamos a escribirlo si no tienes solución solución a esta este reglón de aquí para algunos casos para algunos casos basta con que haya al menos uno de hecho vamos a tener varios pero bueno para algunos casos de nuestro vector de entonces que lo que concluimos entonces no generamos no generamos arm11 y por lo tanto nuestra transformación no sería su proyectiva verdad entonces sólo para para dejar un poquito más claro esto no es propio sólo de este de este renglón de este renglón verdad que vamos a tener una expresión acá vamos a tener otra expresión de uno más de 2 - 3 bvmf3 sa y en fin no es ocurre en todos los renglones pero en particular va a ocurrir para este renglón en donde tenemos puros sets muy bien entonces esto va a ocurrir sólo para ir redondeando te va a ser su proyectiva ot sobre t es sobre sí solos y lo escribimos como si el espacio columna es todo el condominio que es rm pero el espacio columna es todo rm sí solos y también lo podemos expresar de esta forma la forma reducida y escalonada por renglones de nuestra matriz a tiene una entrada tiene una entrada pivote tiene una entrada pivote da pivote en cada en cada renglón verdad eso es lo que estamos diciendo es esencialmente aquí necesitamos que en cada renglón haya una entrada pivote para que no sean todo ceros verdad entonces si eso ocurre para cada renglón y tenemos me renglones entonces debe haber m entradas pivote m entradas pívot es verdad eso es recordemos que aquí tenemos m m m renglones y tenemos en columnas verdad entonces vamos a ir redondeando un poquito todo esto vamos a ir redondeando todo esto recordando cuando pasa que tener o como cómo trabajamos con estas entradas pívot todo esto es un repaso de lo que ya hemos visto en otros videos y todo esto te resulta lo mejor un poco extraño te recomiendo que sigue revisando los videos anteriores entonces recordemos cómo encontrar una base una base para nuestro espacio columna de la matriz para el espacio columna de nuestra matriz que ya entonces tenemos nuestra matriz ahí voy a hacer justo lo que habíamos hecho hace ya muchísimos vídeos atrás y nos fijamos en que columnas tienen una entrada pivote verdad entonces lo llevamos a su forma reducida forma reducida y escalonada por renglones que digamos que es rr y realmente lo que tenemos que fijarnos es cuántas columnas tienen entradas pivote en esta forma reducida los vectores correspondientes en la matriz a esos van a ser una base para nuestro espacio columna ok entonces necesitamos dejen de hacerlo por ejemplo digamos como en un ejemplo muy sencillito digamos que tenemos la matriz a con sus vectores a 1 a 2 y así sucesivamente hasta a n ok y después de de llegar a su forma reducida y escalonada pues tendremos no sé a lo mejor que aquí hay un pivote que hay un pivote a lo mejor aquí no aquí tampoco qué se yo pero a lo mejor aquí sólo hasta el final tenemos un pivote verdad entonces qué es lo que ocurre me considero aquellos y aquellas columnas que tienen una entrada pívot y por ejemplo éste y éste entonces sus vectores correspondientes en la matriz original que en este caso sería a 1 y a n esos dos o bueno en este caso son dos pero todos los correspondientes van a hacer una base de nuestro espacio columna ok entonces él el que recordemos que el rango el rango de una matriz es justamente la dimensión del espacio columna key y la dimensión del espacio columna es el número de vectores el número de vectores de un de cualquier base de cualquier base o una base de nuestro espacio columna entonces si repasamos muy bien este enunciado y tenemos queremos tener m entradas pivote quiere decir que si tenemos m entradas pivote vamos a tener m columnas que que sea que forman una base es decir queremos una que la base de del espacio columna sea justamente r en verdad entonces necesitamos m entradas columna perdonen que me entradas pivote lo cual implica horas y que tengamos m columnas pivote m columnas pivote por supuesto en su forma reducida y escalonada o en otras palabras que el rango de nuestra matriz a sea justamente m entonces ya para ir redondeando todas estas observaciones que tenemos podemos garantizar que te es sobre o su proyectiva sobre sí solos y y y podemos ir repasando qué fue lo que hicimos queríamos ver bajo qué condición éste era sobre dijimos que esto es cierto si el espacio polum na de la matriz era todo el condominio rm para lo cual utilizamos estas formas reducidas y escalonadas veíamos que cuando no hay solución de la ecuación ax igual ave es justo cuando tenemos esto verdad que que que haya puro ceros y una expresión de b1 b2 bm entonces no puede pasar que hay apuro ceros necesitamos que en cada renglón que en cada renglón hay al menos una entrada pivote verdad que de hecho haya una entrada pivote entonces quiere decir que necesitamos m porque son en el renglón es verdad teniendo estos m concluimos que el rango de la matriz debe ser justamente por lo tanto test sobre sí solos y el rango de nuestra matriz a es justamente en ok entonces de esta forma decimos que que que sí tenemos nuestra transformación que va de rené a r m kay rene a r m al menos este va a ser su proyectiva es decir que no importa cualquier punto que me tomé yo nrm debe existir al menos uno que bajo la transformación llegue a dar a este punto pueden haber varios verdad pueden haber dos eso se vale pero al menos debe haber uno que ya entonces como siempre es más sencillo y más agradable hacerlo con un ejemplo vamos a a tomarnos una función particular por ejemplo una función que vaya de rd 2 en r3 y digamos que esta función aplica al vector xe a esta matriz la 123456 multiplicando a nuestro sector it is entonces nos preguntamos si esta fiesta matriz es sobre y pues hay que allí irnos con esto de las formas reducidas verdad entonces tenemos esta matriz 123456 ok y entonces empezamos a escalonar la por ejemplo vamos a tomar este 1 si multiplicamos este renglón por tres por menos 3 y se lo sumamos a esto se queda como 12 esto por menos 3 - 3 + 3 02 por menos 3 - seis key esto sería menos seis entonces aquí sería sería si multiplicamos éste por menos tres feriados por menos tres son menos seis +4 es menos dos y ahora sí el primero el primero lo multiplicamos por menos cinco y se lo sumamos al tercero tenemos uno por -5 es menos cinco más cinco son 02 por menos cinco son menos 10 massey son menos cuatro key y si no seguimos por ejemplo aquí en el segundo renglón podemos dividir entre -2 y tenemos 12 01 verdad aquí lo dejamos como 04 muy bien y entonces a que pasamos ahora que por ejemplo si el segundo renglón lo multiplicamos por -2 y se lo sumamos al primero tenemos cero por menos 20 más uno es 11 por menos 12 - 2 más 2 0 aquí tenemos cero y uno y ahora si lo multiplicamos por menos cuatro y se lo sumamos a este pues vamos a tener 00 entonces ahora si nos fijamos en las entradas pivote que son justo éste y éste y los vectores columna que tienen a éstos como pivote entonces justamente tenemos aquí dos entradas pivote dos entradas pivote y eso quiere decir por supuesto que el rango el rango de nuestra matriz está 123456 de esta matriz es justamente dos pero nosotros necesitamos que sea igual a 3 verdad a tres porque estamos ese es nuestro nuestro con nuestro dominio así que ese cómo nos fue igual a la dimensión del condominio entonces ése no es sobre ese no es sobre y por lo tanto ese no puede ser invertirle verdad es una de las condiciones para una transformación se ha invertido entonces espero que éste sea útil ahora en el próximo video lo que vamos a ir vamos a enfocarnos es en la segunda condición para que una transformación sea invertirle y eso es ser uno mismo