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Contenido principal
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Transcripción del video

tenemos una transformación que va de r2 enredos y de hecho déjenme dibujar nuestras ya clásicas burbujas tenemos aquí una transformación que toma elementos enredos y al aplicarles la transformación me arroja otros elementos de red hoz y de hecho esta transformación por ser lineal que vamos a a decir que es lineal digamos que está dada por esta multiplicación de esta matriz de esta matriz por por cualquier lector ok la matriz 1 - 3 - 13 entonces para tratar de entender mejor este lo que lo que está haciendo esta transformación pensemos en los valores que puede tomar en el condominio es decir estaremos pensando si todo r2 puede cubrirse por por la imagen de de puntos de r2 o si sólo alguna parte de dos o qué sé yo entonces pensemos que por ejemplo es si esta es la matriz a hacer un poco más grande eso esta es nuestra matriz a entonces si nos tomamos un x particular y lo multiplicamos tenemos 1 - 3 - 13 y digamos que si x pues es el vector que tiene como coordenadas x1 y x2 queremos ver si nos tomamos inicialmente un punto en r2 cuando existe otro vector x tal que al multiplicarlo por la matriz nos da de un novedoso donde por supuesto estamos pensando que este vector de es el que tiene coordenadas b1 b2 y entonces en otras palabras estamos haciendo esta multiplicación de ax y estamos viendo para cuales ve esta multiplicación es posible es decir cuáles son las vez posibles para las cuales lo podemos expresa expresar como la matriz a por un vector x en r2 y para hacer eso por recordarás que necesitamos regresar a nuestra técnica de de de reducir la matriz aumentada a su forma reducida y escalonada por renglón es verdad entonces lo que tenemos que hacer inicialmente es tomarnos la mata chris está menos aquí es 1 - 3 - 13 y además la tenemos que aumentar con el vector b1 b2 si nosotros reducimos a su forma reducida y escalonada por renglones entonces podremos ver para cuales b1 y b2 nosotros tenemos una solución de esto y de hecho trabajamos un poco de eso en él en el vídeo anterior entonces si nosotros empezamos a trabajar sobre de esta matriz sobre esta matriz lo que vamos a tener es por ejemplo podemos dejar fijo el primer renglón 1 - 3 y luego veo no lo dejamos esto fijo y ahora al primer renglón se lo sumamos al segundo ok entonces tenemos uno más menos o no nos da 0 - 3 + 30 y b1 más de dos pues me queda b1 más de dos aquí es donde justo de este lado derecho nos queda en términos de el de son expresiones en términos de b1 y b2 verdad que era justo lo que discutimos en el vídeo anterior entonces si nos damos cuenta que hay algo muy pero muy muy interesante porque justamente tenemos un renglón completito en donde hay puros ceros y para que esto sea cierto lo que debe pasar es que esto de acá la derecha tiene que ser necesariamente 0 aunque ya entonces si inicialmente nos tomamos b digamos un vector que tiene coordenadas b1 y b2 inicialmente empezamos así entonces sólo elementos sólo elementos digamos éste les llamamos b que se encuentran en nuestro r2 como co dominio que tienen solución estamos buscando las vez que tienen solución sólo aquellos son aquéllos son aquellos aquellos vez por supuesto que satisfacen esta relación que ve uno más b2 debe ser exactamente cero entonces tal que b1 b2 es igual a cero o bien esto es equivalente si pasamos el b1 del otro lado a quevedos es menos b1 verdad entonces vamos a a dibujar esto vamos a dibujar esto en el en el plano digamos dibujamos primero unos ejes se me quedó un poco checo jan ya está me pase esto es de 16 entonces dibujamos son los ejes que más o menos derechitos ahí está nuestro primer eje key y dibujamos otro eje el otro eje de dos meses fue mucho más sencillo ok entonces aquí tenemos nuestros ejes y lo que vamos a hacer es tratar de dibujar que puntos en r2 satisfacen que son solución de esta ecuación y veremos qué no es todo rr2 verdad porque si tenemos una restricción sobre nuestros lectores entonces esencialmente si aquí tenemos b1 y acabé 2 está diciendo que ve 23 - b 1 que eso se ve cómo esta función identidad pero al revés verdad - la función identidad hasta este esta línea amarilla es justo nuestro conjunto solución de esta ecuación de aquí entonces esto de aquí lo que estamos diciendo es que son todas las ve todas las los vectores b digamos aja que tienen solución que tienen solución que tiene tu no tienes no que tienen solución y por supuesto estamos pensando que nuestro codominio aquí es r2 muy bien entonces esto esta línea también la podemos pensar que son justo todos los vectores que puedan expresarse como a por equis pero esto es la transformación es aplicado a xe entonces toda esta línea no es otra cosa más que la imagen la imagen de nuestra transformación y aquí por supuesto estamos viviendo en el codo minio verdad estamos considerando todas las vez para las cuales esto es cierto entonces que lo que estamos diciendo también no es cierto que todo r2 lo podemos expresar como a por equis verdad no es cierto que todas las vez son solución a esta ecuación quiere decir que si por ejemplo aquí tenemos r2 que aquí tenemos r2 quiere decir que debe haber varios vectores varios vectores que al aplicarle la transformación pues van a dar al mismo punto y eso es porque como vimos en el vídeo anterior pues no va a ser trae perdón su proyectiva o sobre la traslada la transformación y por lo tanto no va a ser invertirle verdad entonces recordemos que para que una transformación sea su proyectiva lo que necesitamos es que a la hora de hacer esta forma reducida necesitamos m entradas pivotes en este caso emme tendría que ser dos y ahí y no lo tenemos justamente verdad entonces si recordamos básicamente lo que queremos es ver quién es la imagen de nuestra transformación al ver quiénes son todos los vez posibles que satisfacen esta ecuación ax igual ave y al reducir la matriz aumentada llegamos a que tiene que ser este conjunto esta línea de puntos entonces vamos a ir ahora al revés qué pasaría si nosotros nos tomamos un punto en esta línea entonces supongamos supongamos ahora que tenemos un punto que satisface que ve uno más b2 es igual a cero ok entonces la pregunta es qué conjuntos es decir nos estamos considerando un punto particular aquí tomamos una particular el que más te guste y una vez que nos tomamos eso nos preguntamos ahora cuáles son todos los puntos en rd 2 que van a dar a este punto rosa en particular y si tomamos nuestra mano esta multiplicación vamos a notar que como veo no es menos b 2 entonces sólo tenemos una restricción verdad esto es multiplicamos esta matriz y vemos que tenemos x 1 - 3 x 2 es igual a b1 y de hecho bueno voy a hacerlo las la segunda multiplicación tenemos menos x 1 + 3 x 2 es igual a b2 que es menos b1 entonces si nos damos cuenta son las mismas ecuación es sólo que la segunda es la primera multiplicada por un mes no son así que voy a quitar la realmente sólo tenemos extra esta restricción y si despejamos x1 obtenemos b1 b1 más 3 veces x 2 ok entonces si tomamos un punto que está en la imagen de la transformación ahora quiero preguntarme qué vectores van a dar bajo la transformación a este punto y sabemos que deben ser varios porque la transformación es el sobre es su proyectiva verdad que entonces no es invertirle en fin muy bien entonces vamos a ver si yo expresó entonces un vector x 1 x 2 tenemos un vector x1 y x2 y este lector va a dar al al punto al vector ve a este vector de entonces x1 me dice que lo podemos expresar como b1 más 3 x 2 ok entonces digamos b1 aquí está b1 más x2 x 3 verdad por tres y como expresamos a x2 pues 0 más una vez x2 muy bien entonces todos los vectores que van a dar a estévez particular a éste a estévez particular son de esta forma son de esta forma entonces vamos a a ir escribiendo este resultado para un para un elemento b héctor b particular y que debe cumplir estévez particular que tiene solución verdad que tiene solución de esta ecuación de la ecuación ax igual ave si nos tomamos uno que tiene solución entonces de hecho el conjunto solución el conjunto solución de esa ecuación para el b particular es de la siguiente forma de la forma son todos los vectores x1 y x2 de la forma del país al igual que la forma b-10 más un escalar aquí lo va a notar como x 2 pero puede ser cualquier escalar 31 may entonces me conjunto solución es justamente todos aquellos de 10 que le sumamos un múltiplo de 3 1 cómo se vería esto vamos a ver cómo se vería esto digamos que de este lado tengo la imagen ya no voy a hacer las burbujas ya voy a hacer realmente a r2 este eje con mucho cuidado para no irnos tan chicos muy bien entonces ahí está mi eje acá tenemos el otro de los ejes otra vez me fui chueco entonces tenemos aquí es más o menos el otro eje y justamente la imagen dijimos que era esta línea que es menos la identidad verdad esta línea es la imagen de la transformación entonces qué pasa si por ejemplo yo me tomo un punto particular digamos me tomo este punto de aquí que fuera el vector b digamos el el 5 o menos cinco verdad éste cumple que es parte de the light de la imagen verdad porque la suma de sus coordenadas debe dar cero entonces nos tomamos este particular de aquí y vamos a ver cuáles son todos los vectores que se encuentran en en r2 que al aplicarles la transformación van al cinco menos 55 entonces volvemos a pintar los ejes los ejes con sumo cuidado para no irnos chuecos que ya está uno más o menos tenemos a y el otro muy bien entonces me dice que me conjunto solución es el conjunto x1 es decir si x es igual o más bien si a x es igual a 5 - 5 quiere decir entonces que el conjunto de soluciones de la forma x1x dos son según esta fórmula que tenemos aquí b1 que en este caso es 50 más x2 o cualquier escalar por el 3 1 entonces si pintamos esto aquí digamos aquí tenemos el 50 viéndome mucho últimamente entonces si tenemos este vector 50 y ahora nos fijamos en el 31 y vamos a hacerlo con otro verde se haga nos fijamos en el 3-1 digamos 1 2 3 y 1 entonces este vector al irle sumando lo que lo que tenemos es ir sumando múltiplos de todo este lector entonces si partimos de aquí y empezamos a sumar todos los múltiplos vamos a tener todos estos múltiplos todos estos y luego también todos los múltiplos negativos muy bien entonces lo que obtuvimos es que cualquier punto sobre esta línea al aplicarle la transformación va a pegar justo en este punto qué pasaría si por ejemplo nos tomamos otro es digamos el el -5 al menos 55 que es justamente el inverso aditivo de este entonces haciendo exactamente el mismo razonamiento pues vamos a pasar por el menos 50 que está por aquí está por aquí y después vamos a sumarle todos los múltiplos de 3 1 entonces esencialmente es una recta paralela a la que ya teníamos pero que pasa por el menos 50 ok entonces todo esto es muy interesante hemos hecho muchas cosas muy abstractas digamos sí creo que puede ser completamente satisfactorio ahora que ya hemos visto algo digamos más concreto en este ejemplo pero pero realmente estoy haciendo todo esto por una razón y quiero entender cuál es el conjunto solución a una ecuación no homogénea es decir una ecuación de esta forma las homogéneas es cuando aquí tenemos el vector 0 entonces quiero entender el conjunto solución de una ecuación no homogénea general como ésta que acabó de enmarcar ok entonces en principio vamos a pensar qué pasa si nos tomamos el cero es decir qué pasa si nos tomamos la ecuación homogénea la ecuación ax igual a cero bueno pues esto el conjunto solución según esta expresión que tenemos aquí es el conjunto 00 + x2 por el vector 31 verdad entonces realmente no pinta no pinta pero sí lo es y lo dibujamos aquí pues me dice que pasa por el cero con la dirección del 3 o no entonces esto se debe justamente así que también es una línea paralela a las que ya había obtenido pero recordemos muy bien quién es esto esto la solución de esta ecuación no es otra cosa más que el núcleo oler o el espacio o nulo de nuestra transformación es el espacio o nulo entonces esta línea de aquí es el espacio nulo de nuestra matriz entonces esto esto realmente no pinta lo que me está diciendo es que el espacio nulo de la matriz o de la transformación es justamente esta recta que sí podemos ver el conjunto solución en general de esta ecuación homogénea aquí podemos ubicar que tenemos también al espacio nulo al espacio nulo entonces lo que estaríamos pensando es que si tenemos una ecuación muy general de este estilo quizá sería conveniente pensar lo que es el espacio no lo ha trasladado por un vector entonces lo que estamos pensando ya en general es suponiendo suponiendo que esa ecuación ax igual ave tiene solución y en eso una al menos solos al menos una solución ok entonces el conjunto solución el conjunto solución si nos damos cuenta para para ver cualquiera particular pues el el espacio nulo trasladado por un vector entonces éste será un vector particular que de hecho ya después veremos quién es más si le sumamos el espacio no lo es decir si lo trasladamos al espacio nulo por un vector entonces esto lo podemos ver geométricamente aquí no lo ha demostrado pero al menos estamos buscando la intuición de esto y nos va a servir muchísimo cuando queramos entender bien las funciones son las transformaciones que son uno a uno o inyectaba no es decir que son aquellas que tienen a lo más una una solución verdad una solución ya hemos visto la definición de de de que se inyecte iva o que sea uno a uno y en ese sentido estaremos pensando que él el conjunto si queremos que esto se tenga a lo más una solución entonces deberá hacer es de verdad el espacio no lo podría tener varios entonces para que esto sea sólo una solución el espacio nulo sólo puede tener sólo tiene al vector 0 key entonces esto lo hará de forma más rigurosa en el próximo video pero creo que a veces cuando uno lo hace muy riguroso no necesariamente cacho uno bien la intuición pero esto va a ser muy interesante creo que si ya has entendido verás que todo esto nos está llevando a condiciones para que una transformación sea invertirle