Explorar la solución de Ax = b

tenemos una transformación que va de r2 en r2 y de hecho déjenme dibujar nuestras ya clásicas burbujas tenemos aquí una transformación que toma elementos en r2 y al aplicarles la transformación me arroja otros elementos de r2 y de hecho esta transformación por ser lineal que vamos a decir que es lineal digamos que está dada por esta multiplicación de esta matriz de esta matriz x por cualquier vector ok la matriz 1 - 3 - 13 entonces para tratar de entender mejor este lo que lo que está haciendo esta transformación pensemos en los valores que puede tomar en el condominio es decir estaremos pensando si todo r2 puede cubrirse por por la imagen de puntos de r2 o si sólo alguna parte de r2 o qué sé yo entonces pensemos que por ejemplo ese si esta es la matriz un poco más grande eso esta es nuestra matriz entonces si nos tomamos un x particular y lo multiplicamos tenemos uno menos tres menos 13 y digamos que si x pues es el vector que tiene como coordenadas x1 y x2 queremos ver si nos tomamos inicialmente un punto en r2 cuando existe otro vector x tal que al multiplicarlo por la matriz nos da b1 b2 donde por supuesto estamos pensando que este vector d es el que tiene coordenadas b1 b2 ok entonces en otras palabras estamos haciendo esta multiplicación de a equis y estamos viendo para cuales ve esta multiplicación es posible es decir cuáles son las veces posibles para las cuales lo podemos expresar expresar como la matriz a por un vector x en r2 y para hacer eso pues recordarás que necesitamos regresar a nuestra técnica de reducir la matriz aumentada a su forma reducida y escalonada por renglones verdad entonces lo que tenemos que hacer inicialmente es tomarnos la matriz ésta aquí es uno menos tres menos 13 y además la tenemos que aumentar con el vector b1 b2 si nosotros reducimos a su forma reducida y escalonada por renglones entonces podremos ver para cuales b1 y b2 nosotros tenemos una solución de esto y de hecho trabajamos un poco de eso en él en el vídeo anterior entonces si nosotros empezamos a trabajar sobre de esta matriz sobre esta matriz lo que vamos a tener es por ejemplo podemos dejar fijo el primer renglón 1 menos 3 y luego b 1 lo dejamos esto fijo y ahora al primer renglón se lo sumamos al segundo ok entonces tenemos 1 + menos 1 nos da 0 menos 33 es cero y b1 b2 pues me queda b1 b2 aquí es donde justo de este lado derecho nos queda en términos de son expresiones en términos de b1 y b2 verdad que era justo lo que discutíamos en el vídeo anterior entonces si nos damos cuenta que hay algo muy pero muy muy interesante porque justamente tenemos un renglón completito en donde hay puros ceros y para que esto sea cierto lo que debe pasar es que esto de acá a la derecha tiene que ser necesariamente cero aunque entonces si inicialmente nos tomamos ve digamos un vector que tiene coordenadas b1 y b2 si inicialmente empezamos así entonces solo elementos sólo elementos digamos este les llamamos ve que se encuentran en nuestro r2 como co dominio que tienen solución estamos buscando las veces que tienen solución sólo aquellos son aquellos son aquellos aquellos ves por supuesto que satisfacen esta relación que b1 b2 debe ser exactamente cero entonces tal que b1 b2 es igual a cero o bien esto es equivalente si pasamos el b1 del otro lado a quevedos es menos de uno verdad entonces vamos a dibujar esto vamos a dibujar esto en el plano digamos bajamos primero unos ejes y se me queda un poco chueco ya está me pase esto es b1 ok entonces dibujamos unos ejes que me queden más o menos derechitos ahí está nuestro primer eje ok y dibujemos otro eje el otro eje de r2 fue mucho más sencillo ok entonces aquí tenemos nuestros ejes y lo que vamos a hacer es tratar de dibujar qué puntos en r2 satisfacen que son solución de esta ecuación y veremos que no es todo r 2 verdad porque si tenemos una restricción sobre nuestros vectores entonces esencialmente si aquí tenemos b 1 y acabe 2 me está diciendo que b 2 es menos b 1 que eso se ve como esta función identidad pero al revés verdad menos la función identidad más este esta línea amarilla es justo nuestro conjunto solución de esta ecuación de aquí entonces esto de aquí lo que estamos diciendo es que son todas las b todos los vectores b digamos ajá que tienen solución que tienen solución tiene quien no tienes no que tienen solución ok y por supuesto estamos pensando que nuestro dominio aquí es r 2 muy bien entonces esto esta línea también la podemos pensar que son justo todos los vectores que pueden expresarse como a por equis pero esto es la transformación aplicado a x entonces toda esta línea no es otra cosa más que la imagen la imagen de nuestra transformación y aquí por supuesto estamos viviendo en el co dominio verdad estamos considerando todas las veces para las cuales esto es cierto entonces qué es lo que estamos diciendo también no es cierto que todo r2 lo podemos expresar como a por equis verdad no es cierto que todas las veces son solución a esta ecuación quiere decir que si por ejemplo aquí tenemos r 2 ok aquí tenemos r 2 quiere decir que debe haber varios vectores varios vectores que al aplicarle la transformación pues van a dar al mismo punto y eso es porque como vimos en el vídeo anterior pues no va a ser perdón su proyectiva o sobre la tras la transformación y por lo tanto no va a ser invertible verdad entonces recordemos que para que una transformación sea su proyectiva lo que necesitamos es que a la hora de hacer esta forma reducida necesitamos m entradas pivotes en este caso m tendría que ser 2 y no lo tenemos justamente verdad entonces si recordamos básicamente lo que queremos es ver quién es la imagen de nuestra transformación al ver quiénes son todos los ves posibles que satisfacen esta ecuación a x igual a b y al reducir la matriz aumentada llegamos a que tiene que ser este conjunto esta línea de puntos entonces vamos a ir ahora al revés qué pasaría si nosotros nos tomamos punto en esta línea entonces supongamos supongamos ahora que tenemos un punto que satisface que b1 b2 es igual a cero ok entonces la pregunta es que conjuntos es decir nos estamos considerando un punto particular aquí nos tomamos uno particular el que más te guste y una vez que nos tomamos eso nos preguntamos ahora cuáles son todos los puntos en r2 que van a dar a este punto rosa en particular y si tomamos nuestra amat esta multiplicación vamos a notar que como veo no es menos de 2 entonces sólo tenemos una restricción verdad esto es multiplicamos esta matriz y vemos que tenemos x 1 menos 3 x 2 es igual a b 1 y de hecho bueno voy a hacer la segunda multiplicación tenemos menos x 1 más 3 x 2 es igual a b 2 que es menos 1 entonces si nos damos cuenta son las mismas ecuaciones solo que la segunda es la primera multiplicada por un menos uno así que voy a quitar la realmente solo tenemos esta esta restricción y si despejamos x1 obtenemos b 1 b 1 + 3 veces x 2 ok entonces si tomamos un punto que está en la imagen de la transformación ahora quiero preguntarme qué vectores van a dar bajo la transformación a este punto y sabemos que deben ser varios porque la transformación es es sobre es su proyectiva verdad que entonces no es invertible en fin muy bien entonces vamos a ver si yo expreso entonces un vector x 1 x 2 tenemos un vector x 1 x 2 y este vector va a dar al al punto al vector b este vector de entonces x 1 me dice que lo podemos expresar como b 1 + 3 x 2 ok entonces digamos b 1 es aquí está b 1 más x 2 x 3 verdad por 3 y como expresamos a x2 pues 0 + una vez x2 muy bien entonces todos los vectores que van a dar a este particular a este a este particular son de esta forma son de esta forma entonces vamos a ir escribiendo este resultado para un para un elemento de vector b particular y que debe cumplir este particular pues que tiene solución verdad que tiene solución de esta ecuación de la ecuación a x igual a b si nos tomamos 1 que tiene solución entonces de hecho el conjunto solución el conjunto solución de esa ecuación para el b particular es de la siguiente forma desde la forma son todos los vectores x 1 x 2 de la forma del igual de la forma b 10 + un escalar aquí lo voy a denotar como x 2 pero puede ser cualquier escalar 3 1 ok entonces mi conjunto solución es justamente todos aquellos b 10 que le sumamos un múltiplo de 3 1 cómo se vería esto vamos a ver cómo se vería esto digamos que de este lado tengo la imagen ya no voy a hacer las burbujas ya voy a ser realmente a r2 este eje mucho cuidado para no irnos tan chicos muy bien entonces ahí está mi eje acá tenemos el otro de los ejes otra vez me fui chueco y es más o menos el otro eje y justamente la imagen dijimos que era esta línea que es menos la identidad verdad esta línea es la imagen de la transformación entonces qué pasa si por ejemplo yo me tomo un punto particular digamos me tomo este punto de aquí que fuera del vector b digamos el 5 menos 5 verdad este cumple que es parte de de la de la imagen verdad porque la suma de sus coordenadas debe dar pero entonces nos tomamos este particular de aquí y vamos a ver cuáles son todos los vectores que se encuentran en nr 2 que al aplicarles la transformación van al 5 menos 5 entonces volvemos a pintar los ejes dar los ejes cuidado para no irnos chuecos que ahí está uno más o menos tenemos ahí el otro muy bien entonces me dice que mi conjunto solución es el conjunto x1 es decir si x es igual más bien si x es igual a 5 menos 5 quiere decir entonces que el conjunto de soluciones de la forma x 1 x 2 son según esta fórmula que tenemos aquí b 1 que en este caso es 50 más x 2 o cualquier escalar por el 3 1 entonces si pintamos esto aquí digamos aquí tenemos el 50 yéndome mucho últimamente entonces si tenemos este vector 50 y ahora nos fijamos en el 31 y vamos a hacerlo con otro verde si ahora nos fijamos en el 31 digamos 1 2 3 y 1 entonces este vector al irle sumando lo que lo que tenemos es ir sumando múltiplos de todo este vector entonces si partimos de aquí y empezamos a sumar todos los múltiplos vamos a tener todos estos múltiplos todos estos y luego también todos los múltiplos negativos muy bien entonces lo que obtuvimos es que cualquier punto sobre esta línea al aplicarle la transformación va a pegar justo en este punto qué pasaría si por ejemplo nos tomamos otro es digamos el menos 5 el menos 55 que es justamente el inverso aditivo de este entonces haciendo exactamente el mismo razonamiento pues vamos a pasar por el menos 50 que está por aquí está por aquí y después vamos a sumarle todos los múltiplos de 31 entonces esencialmente es una recta paralela a la que ya teníamos pero que pasa por el menos 50 ok entonces todo esto es muy interesante hemos hecho muchas cosas muy abstractas digamos y creo que puede ser completamente satisfactorio ahora que ya hemos visto algo digamos más concreto en este ejemplo pero pero realmente estoy haciendo todo esto por una razón y quiero entender cuál es el conjunto solución a una ecuación no homogénea es decir una ecuación de esta forma las homogéneas es cuando aquí tenemos el vector cero entonces quiero entender el conjunto solución de una ecuación no homogénea general como esta que acabo de enmarcar ok entonces en principio vamos a pensar qué pasa si nos tomamos el 0 es decir qué pasa si nos tomamos la ecuación homogénea la ecuación x igual a cero bueno pues esto el conjunto solución según esta expresión que tenemos aquí es el conjunto 0 0 + x 2 por el vector 3 1 verdad entonces este realmente no pinta no pinta pero si lo dibujamos aquí pues me dice que pasa por el 0 con la dirección del 31 entonces esto se ve justamente así que también es una línea paralela a las que ya había obtenido pero recordemos muy bien quién es esto esto la solución de esta ecuación no es otra cosa más que el núcleo o el espacio nulo de nuestra transformación es el espacio nulo entonces esta línea de aquí es el espacio nulo de nuestra matriz entonces esto esto realmente no pinta lo que me está diciendo es que el espacio nulo de la matriz o de la transformación es justamente esta recta que si podemos ver el conjunto solución en general de esta ecuación homogénea aquí podemos ubicar que tenemos también al espacio nulo al espacio nulo entonces lo que estaríamos pensando es que si tenemos una ecuación muy general de este estilo quizás sería conveniente pensar lo que es el espacio nulo trasladado por un vector entonces lo que estamos pensando ya en general es suponiendo suponiendo que esta ecuación a x igual a b tiene solución tienes unas al menos solo al menos una solución ok entonces el conjunto solución el conjunto solución si nos damos cuenta para para ver cualquiera particular pues es el el espacio nulo trasladado por un vector entonces éste será un vector particular que de hecho ya después veremos quién es más si le sumamos el espacio no lo es decir si lo trasladamos al espacio nulo por un vector entonces esto lo podemos ver geométricamente aquí no lo he demostrado pero al menos estamos buscando la intuición de esto y nos va a servir muchísimo cuando queramos entender bien las funciones o las transformaciones que son uno a uno o inyectaba es decir que son aquellas que tienen a lo más a una solución verdad una solución ya hemos visto la definición de que sea inyectaba o que sea uno a uno y en ese sentido estaremos pensando que el conjunto si queremos que esto se tenga a lo más una solución entonces deberá hacer este verdad el espacio nulo podría tener varios entonces para que esto sea sólo una solución el espacio nulo solo puede tener sólo tiene al vector 0 ok entonces esto lo haré de forma más rigurosa en el próximo vídeo pero creo que a veces cuando uno lo hace muy riguroso no necesariamente catch a uno bien la intuición pero esto va a ser muy interesante creo que si ya has entendido verás que todo esto nos está llevando a condiciones para que una transformación sea invertible