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Contenido principal
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Transcripción del video

vamos a tomar una función digamos una función efe que vaya de algún conjunto x a otro conjunto ye ok así de sencillo y y tan complicado puede ser porque x puede ser cualquier conjunto de gm dibujar cualquier conjunto ahí tenemos un conjunto x y por acá vamos a tener un conjunto ye digamos este es mi conjunto gemma llusco la pongo bien para que se vea que es mayúscula y nuestra función efe es digamos un arreglista de correspondencia es un mapeo y y cuando digo un mapeo me refiero a que si yo tomo un elemento aquí un elemento en x digamos que que éste se llame a entonces la función efe le va a asignar otro punto aquí en ye que este otro punto que digamos puede ser el punto b ok entonces estamos considerando un a en el conjunto x que después de aplicarle la función me arroja un punto de nuestro conjunto ye ok entonces de esta forma estaríamos diciendo que la función las funciones es tal que a efe aplicado a nuestro elemento a nos da justamente el elemento b del conjunto y ok y por supuesto esto a lo mejor es muy abstracto y muy general pero vamos a tratar de entender después que pasa con estas funciones que vayan de un espacio rn a rm verdad y eso lo vamos a pensar en términos de vectores hasta este momento esto es un pequeño y breve repaso de lo que son las funciones y a partir de este momento voy a definir un par de ellas voy a definir un par de funciones la primera de ellas va a ser la función identidad key déjenme notarlo aquí es la función identidad y de hecho bueno no es que sean tan distintas las dos funciones que voy a definir simplemente actúan en distintos conjuntos pero déjeme de voy a empezar a decir qué es lo que quiero decir con la función identidad y que voy a denotar con y digamos para para simplificar pero también voy a decir en qué con junto es en donde actúa aunque y entonces ésta es una función que va del conjunto x en sí mismo es decir si nos tomamos elementos de x me arroja nuevamente elementos de x y qué es lo que hace esta función por ejemplo si yo me tomo un elemento en x entonces la función identidad la función identidad aplicado a nuestro elemento a es no es otra cosa más que a mí mismo es decir no le estamos haciendo exactamente nada absolutamente nada a este elemento a es decir si lo llevamos aquí en términos de flecha y taxis de dibujitos a mi elemento a al aplicarle la función identidad no hace otra cosa más que escupirle el mismo y eso pasa con cualquier elemento si nosotros tuviéramos por aquí otro punto y le aplicamos la identidad sólo nos da ese mismo punto entonces eso es el la función identidad en el conjunto x por supuesto también podríamos pensar en este día grammy está en otra función que sea la la función identidad por ejemplo si nos tomamos un un elemento b tomemos un elemento ve pero que se encuentren llegue cualquiera puede ser cualquiera entonces la función identidad en nuestro conjunto oye pues simplemente al aplicarle b nos asigna el mismo elemento b entonces estamos pensando que estoy aquí me toma de y le arroja el mismo después de aplicarle la función identidad verdad aquí estamos aplicando la función identidad en x y acá de este lado estamos aplicando la función identidad pero llegué muy bien entonces tú a lo mejor podrás pensar oye pues éstas son como funciones tontas verdad no me están diciendo nada no están haciendo ni siquiera nada interesante pero vamos a utilizar las mucho y en realidad es una agradable anotación que vamos a tener para lo siguiente que quiero definir y de hecho voy a dar una siguiente definición que es realmente lo que quiero trabajar bien en este vídeo y es el concepto de que una función efe ess invertible keith el concepto de que una función sea invertirle y lo voy a dar en términos de una definición es decir fs invertible sí solos y de hecho a veces en algunos libros lo denotan así como ese y y muy bien entonces jefes invertible sí solos y y lo que él sí solo si quiere decir es que lo que sea que vaya a decir aquí pasa cuando efes invertible y efes invertible pasa cuando esto que vaya a decir ocurre entonces jefes invertible sí solos y vamos a poner que existe existe una función una función y que la boya de notar cómo efe ala menos uno que ahorita digo qué significa eso y que además esta función hay que definir su dominio y su contra dominio verdad es decir esta función toma elementos de yee y nos arroja elementos de x es decir mientras que eva dx aie la efe al menos uno va a ir deie ax ahora que ocurre con esta solución porque digo podemos pensar muchas funciones pero ésta en particular satisface o es tal que tal que ocurren dos cosas la primera de ellas es que efe al menos 1 compuesta con efe up es igual a la función identidad y aquí es donde cobra sentido tener la función identidad de nuestro lado verdad pero no sólo eso si nos damos cuenta efe la mente perdón aplicamos 1º f entonces vamos de x allí y luego aplicamos este ala menos uno que va de ye ax entonces al final fuimos the xx verdad entonces esto es la función identidad n y además debe cumplir la otra parte que sí efe está compuesta con efe al menos uno esto debe ser la función identidad pero en el conjunto gemma yus cula muy bien entonces esta es la definición de qué efe sea invertir le y de hecho a éste a a esta función efe al menos uno le vamos a dar un nombre en especial que es la inversa df y ahorita voy a detallar en porque le decimos a la inversa df y no una inversión de fe porque es muy distinto a decir la que es hasta cierto punto algo que la distingue de forma única y decir una pues es porque podrían haber varias verdad pero bueno entonces vamos a redondear un poquito más en esto vamos a ver en este dibujo que significa tener un inversa entonces y si tomamos efe esta esta función de aquí es la función efe ok ahora vamos a pensar en que tenemos también una efe al menos 1 una función efe al menos uno que va a ir del conjunto llegue al conjunto x entonces si tenemos una función de esta forma además me está diciendo que si primero aplicamos efe como tenemos aquí y después aplicamos efe al menos uno es decir tomemos a que nos va a dar a be ok eso es efe cda lo podemos notar así verdad efe cda y después a efe de a cualquiera que sea le aplicamos efe al menos uno es lo que estamos diciendo en este punto de aquí y después le aplicamos efe al menos uno es porque estamos regresando exactamente a verdad porque porque efe seguida de efe al menos uno es la identidad y la identidad es haber empezado en a y terminar en a ok esto es efe ala menos uno lo mismo pasa lo mismo pasa cuando primero tomamos efe al menos uno por ejemplo no sé que nos tomemos un elemento aquí un elemento y en minúscula y le aplicamos primero está efe al menos uno que digamos que esta también es efe al menos uno y esto pues me da algún punto que es efe ala menos uno del punto oye y después si le aplicamos efe lo que nos está diciendo aquí es que si le aplicamos efe no pueden pasar muchísimas cosas sino que este elemento se regrese exactamente allí para que así podamos decir que la composición no hizo otra cosa más que arrojar me el mismo punto verdad que es la identidad muy bien entonces sólo para redondear muy bien todos estos de granaditas si nos damos cuenta para este primer ejemplo efe va de x a nuestro conjunto oye esto es efe y después si aplicamos efe al menos uno recordemos que que cuando leemos las composiciones se ven más o menos como como al revés verdad esta es la primera que aplicamos y después está entonces primero a efe y después se fue al menos uno entonces al final de inicio a fin es una función que va de x men x todo esto va de x men x por eso es que decimos que es la identidad en x al revés si vamos primero de x aa perdón si primero aplicamos esta es la menos uno que va de ye ax y luego aplicamos efe akiba efe jac iba a efe al menos uno se va de llegué a ver dónde x hay entonces todo esto fue de ye allí por lo tanto si le corresponde la identidad en en el conjunto y ok otra forma de decir esto que es que el término o o la anotación de composición es decir efe al menos 1 seguida df aplicado a cualquier punto a que entonces estamos pensando a lo mejor en este punto a ese igual a la función identidad en el conjunto x del punto va pero eso no es otra cosa más que a verdad la función identidad es aquella que a cada punto le asocia el mismo está esta anotación con hijos con esta política no es otra cosa más que efe al menos uno aplicado a esta idea verdad que entonces esto me dice que debe ser igual a la otra parte la otra parte me está diciendo que efe o así efe si nos damos cuenta primero es efe aplicado a efe al menos uno de cualquier punto llegamos ok esto debe ser exactamente igual allí siempre que llegue sea un elemento de nuestro mayúscula verdad y ya hemos todo esto en otras dos ocasiones pero hay que ser mucho más preciso porque hay que tomar ahora él en la idea de invertir bilidad cuando estamos en conjuntos o transformaciones que requieren matrices ok vamos a estar trabajando en espacios de vectores espacios vectoriales y por ello vamos a trabajar con matrices entonces es bueno recordar este concepto de invertibilidad para cuando vayamos a utilizarlo en espacios vectoriales y ahora una pregunta que podrías ahorita estar planteando es bueno nosotros podríamos tener una función invertible lo primero es que no sabemos en qué si tú sabes en qué situaciones efe ess invertible pero bueno vamos a suponer que tenemos una función que es invertible que tenemos nuestra función invertible y la pregunta casi inmediata que siempre tenemos es bueno como esto es invertirle tenemos una función efe ala menos uno pero cuantas funciones de estas podemos tener es decir la pregunta es es la inversa df única o pueden haber varias inversas ok entonces vamos a tratar de responder esta pregunta qué pasaría si nosotros no nos tomamos dos inversas digamos supongamos que tenemos aquí una función g que vaya de gent x es decir voy a suponer que jesús la inversa verdad entonces primero valle ax y además sabemos que je je je je seguida de efe keith que esta parte es igual a la identidad en x y también sabríamos qué efe seguida de g efe seguida de g es igual a la identidad pero en ok esto es suponer que tenemos que una inversa aquí estamos diciendo que kg es una inversión hasta ahorita podemos decir una verdad una inversa a la inversa df sí y vamos a suponer que tenemos otra es decir vamos a suponer que existe una h ok digamos una hache que vaya de nuestro espacio nuestro conjunto y ye al espacio o al conjunto x que cumple esta misma propiedad que el h perdón seguida del df no es otra cosa más que la identidad en x y que también h seguida deje de perdón al revés verdad ahora tenemos efe efe seguida de h es igual a la identidad pero el dnie ok esto es pensar que h es otra inversa otra inversa si tenemos nosotros dos si tenemos nosotros dos inversas distintas digamos g y h lo que vamos a ver es que en realidad no pueden ser distintas que en realidad son las mismas y y como ya el dibujo de arriba quedó muy encimado vamos a hacer otro digamos que aquí tengo mi conjunto x y de este otro lado tengo mi conjunto de easy de grandes vamos a pintar los entonces tenemos nuestra función efe que a cada punto digamos este punto de aquí le asocia a algún otro punto de acá que ésta es nuestra función efe idesa partimos suponiendo que es invertible entonces sabemos que al menos existe una función de hecho están suponiendo que hay dos digamos que a cada punto al aplicarle efe y luego aplicarle una g ok esto es g esto es este punto de aquí arriba keith este punto de la carrera me dice primero aplica efe sal ya nos fuimos por efe luego aplica g entonces eso fue la identidad ok eso no es otra cosa más que pensar en la identidad la identidad en el conjunto x también tenemos una función h que si aplicamos efe y luego aplicamos h regresamos a este punto original entonces aquí tenemos nuestra función h y bueno tenemos la la otra propiedad que ya nada más voy a a poner muy breve que sí tenemos primero si aplicamos primero una g o que la función g y luego aplicamos la función efe entonces regresamos al mismo punto a través de las identidades verdad y clips y primero aplicamos g y luego aplicamos efe ag va en este en esta dirección si no va a cabalidad por kg le dijimos que va de yea x entonces si tenemos una g que va de ye ax y luego aplicamos efe que la efb a dx aie entonces sí vamos después por efe hasta este punto entonces regresamos esencialmente a la identidad pero llegué aquí lo mismo pasa con la h pero con esto con esto me voy a quedar entonces recordemos quiénes g o más bien una forma de expresar de expresar g es como la identidad en x seguida de ge verdad porque si tenemos una g por ejemplo aquí tenemos aplicando g y después le aplicamos la identidad pues en realidad no cambie el el resultado verdad simplemente llegue a este punto rojito y al aplicarle la identidad llegue al mismo punto rojito entonces no hay mayor complicación de hecho si quieren podemos hacerlo en un dibujo más grande aquí tenemos x aquí tenemos llegue y entonces se aplicó primero que como dice y luego la identidad llegue a este punto y luego la identidad sigue en ese mismo punto entonces no hay ninguna complicación con escribir ag de esa forma pero la la identidad podemos expresar lo que de otra manera verdad porque la identidad puede ser aplicar h no más bien sería aplicar efe primero aplicamos efe y luego aplicamos h verdad empezamos en este punto llegamos aquí y luego h qué fue exactamente lo mismo que aplicar la identidad entonces esto lo podemos ser re escribir como h seguida df verdades primero aplicar efe y luego h la identidad y luego aplicar g pero ya hemos demostrado hace o en algún otro vídeo no recuerdo exactamente cuál que la composición de función cesc asociativa entonces podemos cambiar estos paréntesis como h seguida de fcc guida deje verdad de esta forma podemos asociar y esto quienes esto es h seguida de quienes efe aplicado después dejé entonces aplicamos g es justo este dibujito 15 aquí pero lo podemos hacer nuevamente este x esto es ye y entonces primero aplicamos je je vadell eaex esto es g muy bien y luego aplicamos efe entonces si aplicamos efe después estamos regresando este punto verdad que no es otra cosa más que la identidad en ye que y entonces esto es la identidad en llegue y que si tenemos esto pues no es otra cosa más que h verdad esto es h porque ahora sí tenemos una una función la identidad por ejemplo aquí aquí tenemos la identidad y después aplicamos h pues no cambia el resultado verdad porque parte de este punto regreso este punto y después me voy por h entonces sí es cierto que esto es h aquí a qué conclusión llegué kg y suponíamos la existencia de dos pues en realidad son las mismas verdad así que toda función invertible tiene una única inversas y supone el 2 entonces no pueden ser dos en realidad son las mismas verdad aún no sabemos qué es lo que causa que una función que invertirle pero lo que sí sabemos ya es que su inversa debe ser única