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La condición de la matriz para una transformación uno a uno

Transcripción del video

digamos que tienes una matriz a y nos vamos a preguntar ahora quién es el espacio nulo de esta matriz a ok no sabemos quién es el espacio no lo sin embargo sabemos muy bien cómo caracterizar la verdad simplemente tomamos la ecuación ax y buscamos las soluciones de esta ecuación cuando igualamos a cero es decir tenemos la ecuación homogénea verdad y entonces el espacio nulo de nuestra matriz a son todos estos x son todos los vectores x verdad todos los x que satisfacen que es que satisfacen satisfacen esa ecuación de acá arriba que es la a x igual a cero bien entonces una forma de hacerlo y como ya lo hemos visto en en muchos videos anteriores es simplemente tomamos esta al poner la forma aumenta de la matriz verdad aumentamos la matriz poniendo de esta forma tenemos la matriz a y además vamos a poner como columna a este vector que es el vector 0 verdad entonces lo que hacemos ahora es un montón pero un montón de operaciones de tal suerte que del lado izquierdo llegamos a la forma reducida y escalonada por renglones la forma reducida y es forma reducida y escalonada por renglones de nuestra matriz a y del lado derecho las operaciones que hacemos a ésta a esta matriz aumenta en realidad no afectan al 0 verdad así que del lado derecho vamos a tener al cero y eso ya lo hemos visto en varios videos y que es lo que nos genera esto esto lo que lo que ocurre es que entonces el vector x piense que que aquí en realidad lo que vamos a tener es que los las soluciones x a la hora de regresar esta forma reducida y escalonada a mí a un sistema nuevo digamos a un sistema de ecuaciones me vi me dice que la solución x será igual va a ser igual a pues algunas constante digamos a por el vector en un más b por n 2 y así sumamos varias veces hasta pfe.n sería en verdad el vector m y el enésimo verdad y esto es digamos el generado en realidad esta ave y bueno todas las constantes que vayan aquí para cada uno de estos lectores que obtenemos de regresarlo al sistema estas constantes lo que ocurre es que son libres son libres entonces esto de aquí lo que me genera porque al ser libres estas constantes las a b y c y demás generan todo un espacio y es el espacio generado por n1 n2 n3 y así hasta nn verdad entonces el espacio o nulo en nuestra matriz es el espacio vectorial generado por n1 n2 y así hasta nn verdad todo ese espacio vectorial generado ahora vamos a tomar la pregunta siguiente que pasa en el caso en en el caso no homogéneo es decir qué pasa si nosotros tenemos la ecuación a x igual a be ok donde bella no es necesariamente el el vector 0 de hecho no va a ser el vector 0 ok entonces ya sabemos también cómo resolver esto es la misma idea tenemos nuestra matriz y le aumentamos una columna que sé que es el vector de volvemos a llevar a su forma reducida forma reducida y escalonada por renglones de nuestra matriz a y aquí del lado derecho pues ahora sí las operaciones van a afectar a estévez verdad vamos a obtener un bebé distinto digamos que vamos a obtener un bebé prima sale que es distinto esencialmente a ver entonces qué es lo que está pasando vimos también en el vídeo anterior vimos también en el vídeo anterior que entonces x el vector x lo vamos a poder expresar cómo nuestro vector b prima ok más más una y de hecho éste debe primar lo podemos interpretar como una solución particular verdad es una solución particular de esta ecuación y que además le teníamos que sumar esta solución no al alca somo genio entonces algo así de esta forma en uno más bn 2 y así sumamos hasta se nn verdad ok entonces como dijimos en el vídeo anterior estévez prima de aquí era una solución particular es una solución particular de esta misma ecuación ok mientras que del otro lado lo que tenemos lo que tenemos aquí lo que tenemos aquí es una solución a la ecuación homogénea con hd homogéneo pd particular entonces tenemos una solución a la homogénea y realmente vivimos esto en el video pasado aunque no lo demostramos rigurosamente no lo demostramos rigurosamente lo que lo que quiero hacer entonces es escribir esto sale vamos primero a escribir este enunciado lo que estamos afirmando aún sin demostrar es que cualquier solución cualquier solución al sistema al sistema no homogéneo y por supuesto estamos pensando en el sistema ax igualdade no homogéneo ok este el ax igual ave y de hecho creo que ya estoy saltando un acento verdad aquí está homogéneo ok cualquier solución al sistema no homogéneo ax igual ave tomará una forma particular de hecho esta forma verdad tomará la forma la forma siguiente que lo podemos expresar como una suma de una solución particular más una solución del caso homogéneo ok entonces lo que quiero hacer en este vídeo es dar una demostración más rigurosa de esta afirmación que acabamos de dar y aunque va a ser si rigurosa también es cierto que es muy directa y muy sencilla de entender ok entonces lo que vamos a hacer primero lo que vamos a hacer primero es preguntarnos lo siguiente será cierto que esta expresión una solución particular más una solución homogénea será cierto que esto es solución solución a la ecuación ax ax igual a be ok primero nos preguntamos si al escribir algo de esta forma será solución de este sistema entonces qué pasa si sus si sustituimos a en vez de poner x ponemos esto entonces vamos a tener a que multiplica a xp más ekis ekis ekis h ok utilizamos la linealidad y y separamos verdad esto es a xp más a por equis h verdad esto simplemente es distribuyendo y lo que hay que notar es que como xp es una solución particular de esta ecuación que entonces en particular a xp perdona xp debe ser igual a b esto es igual a b por otro lado xh solución de la homogénea y recordemos que el lazo que la homogénea es cuando se resuelve esta ecuación es decir axn este caso será cero en este caso es cero y si sumamos ve más h lo que tienen perdón además ve más cero pues lo que tenemos es simplemente ve entonces este lector citó de aquí en efecto fue una solución si fue una solución de esta ecuación ok entonces ya tenemos una parte ahora la siguiente pregunta es bueno ya sabemos que todas las islas las expresiones de esta forma son solución la siguiente pregunta es toda solución se puede expresar de esta forma vamos a escribir eso era cierto que cualquier solución cualquier solución cualquier solución de que ecuación pues de digamos cualquier solución xd la ecuación ax igual ave toma la forma toma la forma que antes mencionamos toma la forma xp más xh y esto es aún una pregunta vamos a ver si esto es cierto entonces tomémonos x cualquier solución ax igual a be ok cualquier solución de el sistema de ax igual a be ok nos tomamos cualquier solución vamos a tomarnos una arbitraria ok entonces qué pasa qué pasa si nosotros multiplicamos a digamos que tomamos a por x - una solución particular ok qué pasa si tomamos esto que nos va a dar bueno esto simplemente vamos a tomar bueno distribuimos este producto y nos queda a x menos a por xp dado una solución particular aquí lo único que hicimos fue restarle una solución particular ax y después multiplicarlo por ahora muy bien entonces qué es lo que nos da a x menos a xp y cómo esto era solución de ax igual la vez pues esto vale b y como xp es una solución particular de esta ecuación pues también vale b y entonces ve - b pues es simplemente cero muy bien entonces lo que podemos concluir es que x - xp pues al menos es una solución es solución de quién lo que hicimos fue sustituir en esta ecuación y lo que nos dio fue cero verdad entonces x - xp es solución a esta ecuación lo cual quiere decir muchísimo recordemos entonces que queremos buscar una solución al sistema homogéneo verdad de hecho lo que queremos ver es si da cualquier solución de esta ecuación se puede expresar como ésta suma lo que hicimos fue restarle una solución particular y al multiplicarlo por la matriz a resulta que nos dio cero eso inmediatamente nos está diciendo que este vector de aquí este vector de aquí x - xp pues tiene que ser un elemento del espacio nulo entonces x - xp es un elemento es un elemento del espacio nulo de nuestra matriz y eso es porque es la solución de ax igual a cero verdad o o bien en otras palabras ya habíamos dicho que los elementos de del espacio nulo pues son las soluciones homogéneas entonces esto es x - xp será igual a una solución homogénea verdad del de la ecuación homogéneo y déjeme escribirlo para no perderlo de vista este es una solución solución vamos a llamarla así como gene a keith muy bien entonces ya esto es muy sencillo porque si despejamos x tendremos que x es igual a xh una solución homogénea más una solución particular ok y hay que remarcar que fue para cualquier x solución no nos fijamos en un en particular nos tomamos cualquiera entonces aquí ya demostramos en dos sentidos que sí es cierto que si una solución se expresa de esta forma entonces o buenos y si tenemos una expresión en éste en de esta forma xp más xh entonces resulta ser solución y por el otro lado cualquier solución se expresa de esta forma entonces ésta bush diciendo en los dos sentidos ahora porque estoy tan interesado en esto digamos que es realmente llame de tejido un buen rato en esta ecuación la la land homogénea estaré aquí y pero bueno hemos estado hablando de la noción de transformaciones cuando son uno a uno recuerda entonces voy a recordar la noción de uno a uno y que de hecho era una condición para que una transformación fuera invertible y lo que recordamos es que buenos y tenemos una transformación que va de un espacio x a un espacio ye verdá tomamos una transformación y lo que nos dice es que si esta transformación va de un conjunto x a un conjunto ye lo que nos dice es bueno de una vez vamos a hacerlo de la siguiente forma porque estamos trabajando en el rni rm entonces esta transformación asocia vectores a la multiplicación de una matriz por ese vector verdad entonces para digamos escribir rápido si yo quiero una transformación 1 a 1 es bastante cómo describirlo así pues lo que me dice es que cualquier bebé si nos tomamos cualquier elemento ve en nuestro en nuestro espacio y el que puede ser más vulnerable m entonces me dice que hay y lo voy a poner esto sí con mayúsculas a lomas verdad a lo más una una solución solución a la ecuación ax igual a be ok y remarcó lo más porque podría no haber y está bien si no hay sólo debe haber no más de una ecuación de una solución perdón entonces si yo me tomo un elemento be me dice que voy a poder encontrar un punto por aquí x ok tal que al aplicarle la transformación que de hecho no es otra cosa más que multiplicar por una matriz voy a poder voy a poder llegar a b y que no debe haber otro verdad si hay algún x sólo puede ser el único puede no haber ya está bien pues pero algo más debe haber una ley entonces déjenme escribir un poquito aquí digamos lo siguiente bajar un poco entonces tenemos que cualquier solución cualquier solución cualquier solución y recordemos puede no haber pero sí sí la hay tenemos que cualquier solución se expresa de la forma xp xh verdad solución particular más zona de la homogénea entonces aquí por supuesto estamos pensando que nuestra solución homogénea pues es un elemento del espacio nulo de nuestra matriz verdad es lo que siempre hemos estado diciendo y si debe ser si esto tiene que ser a lo más una solución que y sólo puede ser una solución que de hecho no tiene sentido que ponga lo más verdad si estamos diciendo que ésta es una solución entonces de hecho de hecho sólo puede ser una solución sólo puede ser una solución key esta es una solución y sólo puede ser una que me está diciendo esto fíjense que si yo sumo otro elemento del espacio nulo al multiplicar por la matriz que me queda a por xp que 'se ve a por xh que cero y si sumamos otro digámosle h que esté en el espacio no sólo me queda a porsche h0 entonces 0 +0 más b sigue siendo ven en realidad si yo sumo cualquier elemento del espacio nulo sigue siendo otra solución otra solución distinta verdad entonces lo que necesitamos es que no podamos sumar muchas otras cosas así que para no poder le sumaron muchas otras cosas xh sólo puede ser un vector y de hecho tiene que ser el vector 0 verdad eso ya lo habíamos incluso discutido en algún vídeo anterior que el núcleo o el espacio nulo sólo puede constar del 0 si hubiera algún otro elemento pues podemos ir su sumando elementos del espacio nulo y siguen siendo solución es verdad entonces vamos a ir escribiendo todos estos detalles porque si tenemos una transformación que es uno a uno ok de hecho si el espacio nulo sólo consta de esto verdad vamos a poder tener que es uno a uno entonces qué es lo que ocurre con esto sino si consideramos la matriz de la siguiente forma que tiene sus vectores columna a 1 a 2 y así sucesivamente hasta a n kay es nuestra matriz y multiplicamos al vector x digamos x1x dos días y hasta el x n y esto pues queremos que sea cero verdad si es que x es un elemento del espacio nulo esto debe ser igual a igual a puro ceros ok entonces que lo que ocurre y es lo que vimos ya hace varios vídeos que esto es equivalente a multiplicar x 1 hora 1 más x2 x a 2 y así sucesivamente hasta x n por a n donde cada una de las x es una es una constante y esto tiene que ser igual al vector 0 pero eso qué significa si yo le si yo quiero que que el espacio no sólo consta del 0 quien es decir que todas estas x deben ser cero necesariamente y eso sí recordarás bueno tenemos que quiso no debe ser igual x2 deben ser todas iguales y deben ser iguales a cero y eso no es otra cosa más que la definición de que estos vectores los dos vectores así sean linealmente independientes entonces esto me va a implicar que a 1 a 2 y así sucesivamente hasta a n son linealmente mente independientes es justo la definición de que sean linealmente dependientes e independientes ok entonces entonces si son linealmente independientes quiere decir que he hecho mi espacio columna que es el espacio vectorial generado justamente por los sport los vectores columna que es a 1 a 2 y así hasta a n todos estos en realidad si estos vectores son linealmente independientes todos estos son linealmente independientes y recordemos que lo que estoy buscando es tener una única solución para lo cual esta solución particular perdón esta solución de la homogénea sólo puede ser el vector cero falta ponerle su gorrito entonces sólo puede ser el vector cero y si eso es cierto quiere decir que estos as tienen que ser linealmente independientes por lo cual como son linealmente independientes y generan al espacio columna quiere decir que todos estos a 1 a 2 y así sucesivamente hasta a n forman son o son una base verdad son una base de el espacio columna de nuestra matriz ok y si son una base y cuantos tenemos dijimos que tenemos n entonces la dimensión del espacio columna de nuestra matriz es justamente en el que es el que es la dimensión de nuestro dominio verdad es justo la dimensión de nuestro dominio y esto no es otra cosa más que el rango de nuestra matriz a pues tiene que ser n entonces fíjense que ya llegamos a la situación en que una transformación es uno a uno si la dimensión del espacio columna verdad la dimensión del espacio columna es n muy bien es en el que es justo la dimensión de nuestro dominio entonces pienso que eso sí sólo si uno es una transformación es uno a uno sí solos y el rango de la matriz es n por ejemplo tenemos que el rango de la matriz es n quiere decir que la dimensión de su espacio colomé cn quiere decir que sus vectores columna son una base del espacio columna verdad que es el espacio vectorial que generan y si son linealmente independientes quiere decir que esta ecuación se cumple verdad sólo para cuando x1 y x2 y xc en bueno todos son iguales a cero quiere decir que esa matriz multiplicada por el vector es cero y quiere decir entonces que el espacio con lo perdone el espacio nulo sólo puede ser el vector 0 y del y por lo tanto es inyectaba por otro lado si es inyectaba el espacio no lo es sólo el 0 esta multiplicación me da cero lo cual implica que estos lectores bueno esta es la expresión es cero lo cual implica que son linealmente independientes que son una base y por lo tanto yo sé que es un poquito cansado el rango de nuestra matriz es n así que vas a hacer 11 sí solos y el rango de toma triz de tu transformación es igual a n