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La condición de la matriz para una transformación uno a uno

Transcripción del video

digamos que tienes una matriz a y nos vamos a preguntar ahora quién es el espacio nulo de esta matriz ah ok no sabemos quién es el espacio nulo sin embargo sabemos muy bien cómo caracterizar la verdad simplemente tomamos la ecuación a equis y buscamos las soluciones de esta ecuación cuando igualamos a 0 es decir tenemos la ecuación homogénea verdad y entonces el espacio nulo de nuestra matriz a son todos estos x son todos los vectores x verdad todos los x que satisfacen que es que satisfacen satisfacen esa ecuación de acá arriba que es la x igual a 0 muy bien entonces una forma de hacerlo y como ya lo hemos visto en en muchos vídeos anteriores es simplemente tomamos esta al poner la forma aumentada de la matriz verdad aumentamos la matriz poniendo de esta forma tenemos la matriz a y además vamos a poner como columna a este vector que es el vector pero verdad entonces lo que hacemos ahora es un montón pero un montón de operaciones de tal suerte que del lado izquierdo llegamos a la forma reducida y escalonada por renglones la forma reducida y es forma reducida y escalonada por renglones de nuestra matriz y del lado derecho las operaciones que hacemos a esta a esta matriz aumentada en realidad no afectan al cero verdad así que del lado derecho vamos a tener al cero y bueno eso ya lo hemos visto en varios vídeos y qué es lo que nos genera esto esto es lo que lo que ocurre es que entonces el vector x fíjense que aquí en realidad lo que vamos a tener es que los las soluciones x a la hora de regresar esta forma reducida y escalonada a mis a un sistema nuevo digamos a un sistema de ecuaciones mevyt me dice que la solución x será igual va a ser igual a pues alguna constante digamos a por un vector en uno más b por n 2 y así sumamos varias veces hasta c n sería en verdad el vector m y el enésimo verdad y esto es digamos el generado en realidad está a bs y bueno todas las constantes que vayan aquí para cada uno de estos vectores que obtenemos de regresarlo al sistema estas constantes lo que ocurre es que son libres son libres entonces esto de aquí lo que me genera porque al ser libres estas constantes las aves y demás generan todo un espacio y es el espacio generado por n1 n2 n3 y así hasta nn verdad entonces el espacio nulo de nuestra matriz es el espacio vectorial generado por n 1 n 2 y así hasta nn verdad todo es este espacio vectorial generado ahora vamos a tomar la pregunta siguiente qué pasa en el caso en el caso no homogéneo es decir qué pasa si nosotros tenemos la ecuación a equis igual a be ok donde ve ya no es necesariamente el vector pero de hecho no va a ser el vector cero ok entonces ya sabemos también cómo resolver esto es la misma idea tenemos nuestra matriz y le aumentamos una columna que es el vector b volvemos a llevar a su forma reducida forma reducida y escalonada por renglones de nuestra matriz a y aquí del lado derecho pues ahora sí las operaciones van a afectar a estévez verdad vamos a obtener un vez distinto digamos que vamos a obtener una prima sale que es distinto esencialmente a ver entonces qué es lo que está pasando vimos también en el vídeo anterior vimos también en el vídeo anterior que entonces x el vector x lo vamos a poder expresar cómo nuestro vector de prima ok y de hecho este prima lo podemos interpretar como una solución particular verdad es una solución particular de esta ecuación y que además le teníamos que sumar esta solución al caso homogéneo entonces es algo así de esta forma n 1 + b n 2 y así sumamos hasta c n n verdad ok entonces como dijimos en el vídeo anterior estévez prima de aquí era una solución particular es una solución particular de esta misma ecuación ok mientras que del otro lado lo que tenemos lo que tenemos aquí y lo que tenemos aquí es una solución a la ecuación homogénea ok con hd homogéneo pd particular entonces tenemos una solución a la homogénea y realmente vimos esto en el vídeo pasado aunque no lo demostramos rigurosamente no lo demostramos rigurosamente lo que lo que quiero hacer entonces es escribir esto sale vamos primero a escribir este enunciado lo que estamos afirmando aún sin demostrar es que cualquier solución cualquier solución al sistema al sistema no homogéneo y por supuesto estamos pensando en el sistema a x igual a b no homogéneo ok este el ax igual a b y de hecho creo que ya me estoy saltando un acento verdad aquí está homogéneo ok cualquier solución al sistema no homogéneo a x igual a b tomara una forma particular de hecho es esta forma verdad tomara la forma la forma siguiente que lo podemos expresar como una suma de una solución particular más una solución del caso homogéneo ok entonces lo que quiero hacer en este vídeo es dar una demostración más rigurosa de esta afirmación que acabamos de dar y aunque va a ser si rigurosa también es cierto que es muy directa y muy sencilla de entender ok entonces lo que vamos a hacer primero lo que vamos a hacer primero es preguntarnos lo siguiente será cierto que esta expresión una solución particular más una solución homogénea será cierto que esto es solución solución a la ecuación x a x igual a b porque el primero nos preguntamos si al escribir algo de esta forma será solución de este sistema entonces qué pasa si sustituimos y en vez de poner x ponemos esto entonces vamos a tener a que multiplica a x p más x h ok utilizamos la linealidad y separamos verdad esto es a xp más a por x h verdad esto simplemente es distribuyendo y lo que hay que notar es que como xp es una solución particular de esta ecuación ok entonces en particular a xp ya perdón a xp debe ser igual a b esto es igual a b por otro lado xh es solución de la homogénea y recordemos que el lazo que la homogénea es cuando se resuelve esta ecuación es decir a x en este caso será 0 en este caso es 0 y si sumamos ve más h lo que tenemos perdón además de más 0 pues lo que tenemos es simplemente b entonces este vector citó de aquí en efecto fue una solución si fue una solución de esta ecuación ok entonces ya tenemos una parte ahora la siguiente pregunta es bueno ya sabemos que todas las las expresiones de esta forma son solución la siguiente pregunta es toda solución se puede expresar de esta forma vamos a escribir eso será cierto que cualquier solución cualquier solución quiere solución de que ecuación pues de digamos cualquier solución x de la ecuación a x igual a de toma la forma toma la forma que antes mencionamos toma la forma xp más x h y esto es aún una pregunta vamos a ver si esto es cierto entonces tomémonos x cualquier solución a x igual a b ok cualquier solución de el sistema de x igual a b ok nos tomamos cualquier solución vamos a tomarnos una arbitraria ok entonces qué pasa qué pasa si nosotros multiplicamos digamos que tomamos a por x menos una solución particular ok qué pasa si tomamos esto que nos va a dar bueno esto simplemente vamos a tomar bueno distribuimos este producto y nos queda a x menos por xp verdad una solución particular aquí lo único que hicimos fue restarle una solución particular a x y después multiplicarlo por a muy bien entonces qué es lo que nos da a x menos a xp y como esto era solución de x igual a b pues esto vale b y como xp es una solución particular de esta ecuación pues también vale b entonces b - b pues es simplemente 0 muy bien entonces lo que podemos concluir es que x menos xp pues al menos es una solución de solución de quién lo que hicimos fue sustituir en esta ecuación y lo que nos dio fue 0 verdad entonces x xp es solución a esta ecuación lo cual quiere decir muchísimo recordemos entonces que queremos buscar una solución al sistema no homogéneo verdad de hecho lo que queremos es ver si dada cualquier solución de esta ecuación se puede expresar como esta suma lo que hicimos fue restarle una solución particular y al multiplicarlo por la matriz a resulta que nos dio 0 eso inmediatamente nos está diciendo que este vector de aquí este vector de aquí x xp pues tiene que ser un elemento del espacio nulo entonces x menos xp es un elemento es un elemento del espacio nulo de nuestra matriz y eso es porque es la solución de a x igual a 0 verdad o bien en otras palabras ya habíamos dicho que los elementos del espacio nulo pues son las soluciones homogéneas esto es x x p será igual a una solución homogénea de la ecuación homogénea y déjenme escribirlo para no perderlo de vista este es una solución solución como vamos a llamarle así como gene muy bien entonces ya esto es muy sencillo porque si despejamos x tendremos que x es igual a x h una solución homogénea más una solución particular ok y hay que remarcar que fue para cualquier x solución no nos fijamos en un en particular nos tomamos cualquiera entonces aquí ya demostramos en dos sentidos que sí es cierto que si una solución se expresa de esta forma entonces bueno si si tenemos una expresión en este en esta forma existe más x h entonces resulta ser solución y por el otro lado cualquier solución se expresa de esta forma entonces estamos diciendo en los dos sentidos ahora porque estoy tan interesado en esto digamos que realmente ya me he detenido un buen rato en esta ecuación la homogénea esta de aquí pero bueno hemos estado hablando de la noción de transformaciones cuando son 1 a 1 recuerdan entonces voy a recordar la noción de 1 a 1 y que de hecho era una condición para que una transformación fuera invertible y lo que recordamos es que bueno si tenemos una transformación que va de un espacio x a un espacio de verdad tomamos una transformación y lo que nos dice es que si esta transformación va de un conjunto x a un conjunto y lo que nos dice es bueno de una vez vamos a hacerlo de la siguiente forma porque estamos trabajando en rn y rm entonces esta transformación asocia vectores a la multiplicación de una matriz por ese vector verdad entonces para digamos escribir rápido si yo quiero una transformación 1 a 1 es bastante cómo describirlo así pues lo que me dice es que cualquier b si nos tomamos cualquier elemento en nuestro en nuestro espacio ya que puede ser un algún rm entonces me dice que hay y lo voy a poner a esto sí con mayúsculas a lo más verdad a lo más una una solución solución la ecuación a x igual a b ok y remarco a lo más porque podría no haber y está bien si no hay sólo debe haber no más de una ecuación de una solución perdón entonces si yo me tomo un elemento b me dice que voy a poder encontrar un punto por aquí x ok tal que al aplicarle la transformación que de hecho no es otra cosa más que multiplicar por una matriz voy a poder voy a poder llegar a ver y que no debe haber otro verdad si hay algún x solo puede ser el único puede no haber y está bien pues pero a lo más debe haber una ok entonces déjenme escribir un poquito aquí digamos lo siguiente déjenme bajar un poco entonces tenemos que cualquier solución cualquier solución cualquier solución y recordemos puede no haber pero sí si la hay tenemos que cualquier solución se expresa de la forma x p más x h verdad solución particular más una de la homogénea entonces aquí por supuesto estamos pensando que nuestra solución homogénea pues es un elemento del espacio nulo de nuestra matriz verdad eso es lo que siempre hemos estado diciendo y si debe ser si esto tiene que ser a lo más una solución que sólo puede ser una solución que de hecho no tiene sentido que póngalo más verdad sí sí estamos diciendo que este es una solución entonces de hecho de hecho sólo puede ser una solución solo puede ser una solución que está ya es una solución y sólo puede ser una que me está diciendo esto fíjense que si yo sumo otro elemento del espacio nulo al multiplicar por la matriz que me queda a x xp que es ve a por x h que 0 y si sumamos otro digamos h que esté en el espacio nulo me queda a por gh es cero entonces 0 + 0 + b sigue siendo ven en realidad si yo sumo cualquier elemento del espacio nulo sigue siendo otra solución otra solución distinta verdad entonces lo que necesitamos es que no podamos sumar muchas otras cosas así que para no poderle sumar muchas otras cosas x h sólo puede ser un vector y de hecho tiene que ser el vector 0 verdad eso ya lo habíamos incluso discutido en algún vídeo anterior que el núcleo o el espacio nulo sólo puede constar del 0 que si hubiera algún otro elemento pues podemos ir sumando elementos del espacio nulo y siguen siendo soluciones verdad entonces vamos a ir escribiendo todos estos detalles porque si tenemos una transformación que es 1 a 1 ok de hecho si el espacio nulo sólo consta de esto verdad vamos a poder tener que es 1 a 1 entonces qué es lo que ocurre con esto si sino si consideramos la matriz de la siguiente forma que tiene sus vectores columnas a1 a2 y así sucesivamente hasta a n que éste es nuestra matriz y multiplicamos al vector x digamos x 1 x 2 y así hasta el x n y esto pues queremos que sea 0 verdad si es que quise es un elemento del espacio nulo pues esto debe ser igual a igual a puros ceros ok entonces qué es lo que ocurre y es lo que vimos ya hace varios vídeos que esto es equivalente a multiplicar x 1 por a uno más x 2 por a 2 y así sucesivamente hasta x n por a n donde cada una de las x es una es una constante y esto tiene que ser igual al vector 0 pero eso qué significa si yo me si yo quiero que el espacio en uno solo consta del cero quiere decir que todas estas x deben ser cero necesariamente eso sí recordarás bueno tenemos que x 1 debe ser igual x 2 deben ser todas iguales y deben ser iguales a 0 y eso no es otra cosa más que la definición de que estos vectores los los vectores así sean linealmente independientes entonces esto me va a implicar que a 1 a 2 y así sucesivamente hasta a n son linealmente mente independientes es justo la definición de que sean linealmente independientes independientes ok entonces entonces si son linealmente independientes quiere decir que de hecho mi espacio columna que es el espacio vectorial generado justamente por los por los vectores columna que es a1 a2 y así hasta a n todos estos en realidad si estos vectores son linealmente independientes todos estos son linealmente independientes y recordemos que lo que estoy buscando es tener una única solución para lo cual esta solución particular perdón esta solución de la homogénea solo puede ser el vector cero y aquí me falta ponerle su gorrito entonces solo puede ser el vector cero y si eso es cierto quiere decir que éstos tienen que ser linealmente independientes por lo cual como son linealmente independientes y generan al espacio columna quiere decir que todos estos a 1 a 2 y así sucesivamente hasta a n forman son o son una base verdad son una base el espacio columna de nuestra matriz ok y si son una base y cuantos tenemos dijimos que tenemos n entonces la dimensión del espacio columna de nuestra matriz es justamente n que es el qué es la dimensión de nuestro dominio verdad es justo la dimensión de nuestro dominio y esto no es otra cosa más que el rango de nuestra matriz pues tiene que ser n entonces fíjense que ya llegamos a la situación en que una transformación es 1 a 1 si la dimensión del espacio columna verdad la dimensión del espacio columna es n muy bien es n que es justo la dimensión de nuestro dominio entonces fíjense que es si solo si uno es una transformación es uno a uno sí solo si el rango de la matriz es n por ejemplo si tenemos que el rango de la matriz es n quiere decir que la dimensión de su espacio columna es n quiere decir que sus vectores columna son una base del espacio columna verdad que es el espacio vectorial que generan y si son linealmente independientes quiere decir que esta ecuación se cumple verdad solo para cuando x 1 x 2 bueno todos son iguales a 0 quiere decir que la matriz multiplicada por el vector es 0 y quiere decir entonces que el espacio con perdón el espacio nulo sólo puede ser el vector 0 y por lo tanto es inyectaba por otro lado si es inyectaba el espacio no lo es sólo el 0 esta multiplicación me da 0 lo cual implica que estos vectores o bueno esta esta expresión es 0 lo cual implica que son linealmente independientes que son una base y por lo tanto yo sé que es un poquito cansado el rango de nuestra matriz es n así que vas a hacer 11 si sólo si el rango de tu matriz de tu transformación es igual a n