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Transcripción del video

digamos que tengo una transformación t y que esta transformación te pues es lineal entonces eso quiere decir que al aplicarlo algún vector x esto lo puede describir como una matriz a que es bueno alguna matriz ha aplicado a este vector x muy bien entonces además de detener esta transformación vamos a suponer algo muy fuerte muy fuerte y eso es que la forma reducida y escalonada por renglones de nuestra matriz a es decir al hacer todas esas operaciones que que lo llevan a su forma escalonada por renglones está la matriz que queda es la matriz identidad de tamaño n entonces esto inmediatamente me está diciendo que esta matriz no tiene cualquier tamaño arbitrario sino que tiene que ser cuadrada verdad porque el tamaño de ésta debe ser exactamente igual al tamaño de ésta entonces si ésta es de l por n por definición de la matriz identidad entonces esta matriz de aquí también tiene que ser de tamaño tiene por n entonces esto me está diciendo que mi transformación va del espacio rn a rn muy bien entonces vamos muy bien hasta ahí nada más esta condición de aquí de que la forma reducida y escalonada sea la identidad estoy solito me está diciendo mucho como mencionamos aquí me está diciendo que la matriz es de tama escuadra desde n por n y que por lo tanto el espacio en digamos los espacios del cual estoy mapeando es decir el dominio es exactamente el mismo que el contra dominio verdad y la otra cosa que me dice y que lo vimos en el último vídeo es que la matriz y la tranca derecho pero que la transformación es invertible eso es algo muy fuerte que me está diciendo entonces de aquí podemos concluir que te es invertible es invertible muy bien entonces vamos a recordar que es lo que significa que un amateur que una transformación perdón a invertirle ok entonces que que te sea invertible significa que xxi t ok que existe que era lo que existía pues existía una transformación que existe una transformación y que de hecho la de notábamos como de ala menos 111 inversa y están esta transformación es tal que si la componemos digamos de tela - 1 y la componemos conte esto me da exactamente la identidad en el contra dominio verdad es el control perdonen el dominio bueno el punto es que como va de rn rené es la identidad en rn y ahora que si invertimos el orden dt seguida de tela - 1 esto es lo mismo que la identidad también en el rni nos estamos tomando r es la identidad en en el mismo porque va de rn aguirre entonces no hay no hay ningún problema como como se ve esto como como lo veríamos en un dibujo digamos que aquí tengo mi espacio r n y aquí vuelvo a tener ese mismo espacio rn lo que me está diciendo es fíjate si tú te tomas primero te ok si nos tomamos te va de rn a este ere en ok entonces al tomarnos cualquier elemento aquí y le aplicamos t llegamos a algún punto en el contra dominio verdad entonces si después le aplicamos la inversa esto me está diciendo que es exactamente la identidad es decir que tenemos que regresar al mismo punto que al menos son entonces esta composición al final resultó ser irá a este reené y regresar al mismo punto pues fue exactamente lo mismo que no haber hecho nada es decir tener la identidad verdad la identidad en r n muy bien y por supuesto entonces esta es la identidad en el dominio ahora qué hubiera pasado si por ejemplo me voy primero con de este punto conté a la -1 ok me voy primero por aquí y después aplicó t después aplicó t y regresó a este punto pues al haber ocurrido eso no cambiamos nada llegamos al mismo punto eso quiere decir que esta composición no es otra cosa más que la identidad también nrl pero esté pensado de la identidad en el codo minio muy bien muy bien entonces ya sabemos que te es una transformación lineal que satisface estas propiedades con con su con su transformación inversa pero además por ser lineal pues tiene tiene una matriz por la cual está definida y demás la siguiente pregunta qué es muy inmediata es que una vez que sabemos que te es lineal nos podemos preguntar si su inversa es una transformación lineal es decir será cierto color no no me agradó será cierto que te habla menos uno es una transformación es una transformación lo que sí es una transformación pero será cierto que es lineal será cierto que es una transformación lineal y lo que sabemos es que para hacer una transformación lineal se debe cumplir dos cosas verdad que si nosotros aplicamos una transformación a una suma verdad nosotros sabemos que te es lineal porque está definida por esta matriz entonces te satisface que aplicarlo a una suma de vectores esto será igual a la suma de las transformaciones verdad esto es tdx más de ley e y no sólo eso la otra condición para que sea lineal es que si nosotros aplicamos la transformación a un reescalonamiento digamos de de este vector que no es otra cosa más que multiplicarlo por un por un escalar por un número real esto va a ser igual a que si el real lo sacamos es decir reescalar la transformación del vector ok entonces estas dos condiciones son son las que que me permiten ver si una transformación es lineal y son las dos condiciones que tenemos que ver que se cumplan para la transformación inversa muy bien entonces vamos a vamos a ir explorando vamos a experimentar un poquito por ejemplo qué pasaría si yo aplico te seguida de tela - 1 ok si yo se lo aplicó a una suma que vamos a vamos a ver qué pasa en principio de compuesta con télam - no puede ser la transformación identidad entonces cómo esto es la transformación identidad la transformación identidad sabemos que no le hace nada verdad lo que le estemos aplicando esta identidad no le hacen nada a más ve entonces esto de aquí pues simplemente va a ser amas b y eso es porque es la transformación identidad en la que no le hacen nada a este a este sujeto que estamos aplicando la transformación pero también podemos pensar a qué es aplicarle la identidad a verdad pues si la identidad a veces a pero podemos reescribir la identidad de esta forma es decir podemos pensar que esto esté seguida de tela menos uno que esto es la identidad aplicado a muy bien esto es la identidad aplicada y también podemos pensarlo para b verdad te ve este seguida de tela - uno aplicado ave e insisto esto es cierto porque pues esto es la identidad y la identidad aplicada b es ve muy bien lo mismo pasa con este día carrillo entonces esta suma de hecho de hecho la la podemos escribir así es igual a esta suma muy bien entonces de gm déjenme y reescribiendo todo esto a lo que llegamos es que y de hecho y voy a cambiar un poquito la anotación porque quizás bueno yo no sé cuál es la la forma en que el proceso es mejor tu cerebro esto para mí me funciona más escribirlo de la siguiente forma esto esté aplicado a télam - uno de amas vez muy bien también esta es otra forma de escribir las composiciones entonces esto que va a ser igual ate aplicado a quien a télam - 1 de nuestro vector a más p aplicado a télam - uno de nuestro sector b eso es lo que obtuvimos justo en esta línea no estoy haciendo nada nuevo sin embargo ahora lo que yo puedo hacer es lo siguiente vamos a utilizar que te cumple esta propiedad por ser lineal del lineal eso quiere decir que te aplicado a una suma es igual a la suma de de si aplicamos te a cada uno de los elementos nosotros podemos ir ahora de esto a la izquierda porque tenemos te aplicado a dos vectores digamos éste sería él el que juegue el papel de x y éste sería el que juegue el papel debe entonces por esta propiedad de aquí lo que vamos a tener es que esto es igual ate aplicado a la suma de estos dos es decir a télam - uno aplicado a más de al menos uno aplicado a ve muy bien entonces dejé me dejen a reescribir todo esto sólo para que no cargamos con cosas innecesarias a lo que llegamos es que te aplicado desde la cte aplicado a télam - uno de amas b -1 damas b debe ser igual a lo que tenemos de este lado te aplicado a télam - 1 en a más de al menos 1 m y sí recuerdo que que esto salió por esta propiedad de la linealidad dt verdad aquí teníamos una suma de dos cosas a las cuales estamos aplicando p pues eso es aplicarte a la suma de esas dos cosas verdad de lo que está diciendo aquí muy bien entonces y ya tenemos esta expresión si ya tenemos esta expresión podemos sacar la inversa de estas dos podemos decir bueno qué pasa si le aplicamos la inversa si aplicamos la inversa este elemento como es el mismo es lo mismo que aplicarles la inversa a éste de la derecha lo que estoy diciendo es que si aplicamos la inversa a esto que está aquí del lado izquierdo es lo mismo que aplicar la inversa a esto que está del lado derecho muy bien simplemente lo que hice fue aplicar la inversa de ambos sin embargo qué es lo que pasa aquí ya lo que tenemos es que que tenemos de al menos 1 compuesta conté aplicado en este elemento verdad si yo me tomo esto de aquí estoy aquí lo podemos expresar cómo sea la menos uno compuesto conte ya quién se lo estamos aplicando a éste a este otro de este otro de aquí entonces esto lo estamos aplicando a télam - uno de amas ve bien y esto a quién va a ser igual nuevamente esto esto lo podemos a escribir como una composición esto esté al menos uno compuesto conté bien que al menos uno compuesto conté hecho déjenme seguir usando los mismos colores ponerlo de esta forma vamos a ponerlas esto esté al menos 1 seguida de té kay es esta composición y a quien se lo aplicamos pues lo aplicamos justamente a esto que está aquí adentro se lo aplicamos a télam - uno vea más que al menos uno debe muy bien y ya estamos muy muy cerca de demostrar lo que queremos llegar porque esta composición no es otra cosa más que la transformación identidad que ponerlo con otro color esto es la identidad en rn y esto también es la identidad en rn entonces si esas dos son la identidad es como hacerle nada verdad la identidad a esto pues es simplemente esto así que lo que tenemos del lado izquierdo es la transformación inversa aplicada a amas be ok es igual y esto es la identidad simplemente lo que me queda aquí del lado de este lado que es que al menos uno aplicado a más de al menos uno aplicado a b y ya tenemos la primera condición ya tenemos la primera condición para que sea lineal sería exactamente está pero para la función inversa y que ya tenemos la primera la condición para que sea línea vamos a experimentar ahora con la otra condición vamos a ver si podemos llegar a algo que vamos a a usar digamos la misma técnica vamos a ver qué pasa con té compuesta con télam - 1 al aplicarlo a un múltiplo del vector a que la idea es llegar a que a a ésta la condición digamos dt esta condición que tenemos aquí pero para télam - un no hay que perder de vista es entonces esto como es la identidad simplemente es lo que tenemos aquí es la identidad aplicado algo pues es algo entonces esto es seis veces a muy bien pero a nuevamente lo podemos reescribir como la identidad por a los esto es seis veces la identidad que por ejemplo podemos escribir como te compuesta con télam - 1 porque esto es la identidad y eso lo sabemos de acá arriba verdad esto sí lo sabemos aplicado a entonces esto fue como no haberle hecho nada sólo escribirlo como la identidad por ahora muy bien y en realidad eso eso está hecho porque porque sí es claro que te que que te habla menos uno o más bien ke ha es igual ate compuesta con télam - 1 de a verdad porque esto es la identidad y la identidad no le hace nada los vectores muy bien entonces qué es lo que tenemos vamos a resistir mejor los escribimos esta forma esto esté aplicado a télam - uno aplicado hace por a verdad y esto es igual a quién del lado derecho que me queda que me queda esto es c que multiplica te aplicado a que al menos uno vea muy bien entonces lo que podemos hacer aquí es usar que te el lineal y como el lineal las constantes que están afuera las meten bien entonces esta constante entra esta constante entra vamos a ponerlo con él color y esto sería t y la constante entra multiplicándose por télam - uno vea muy bien entonces déjeme de gmail reescribir esto simplemente quitando este paso intermedio entonces lo que tenemos es de aplicado a télam - uno desee por ahora es igual a 'the x o bueno aplicado hace porque al menos uno de a y supongo que ya estás viendo muy bien cuál es el siguiente paso porque esto es muy similar a lo que obtuvimos en el en el caso anterior lo que podemos hacer es de ambos lados aplicar la transformación inversa aplicamos la transformación inversa de ambos lados y que lo que me queda es lo que me queda de este lado me queda de al menos 1 compuesta conté verdad es justo estoy aquí aplicado a lo que tenga aquí que esté al menos uno aplicado hace por a muy bien y de lado y de perdón derecho que es lo que me queda me queda de al menos uno compuesto conté keith aplicado a lo que me queda que es se porte a la menos uno aplicado a ok ahí está entonces justo todo el detalle de por qué hice esto es porque esto es la identidad es la identidad en rn y esto también es la identidad de mrm entonces la identidad no le hacen nada a los vectores a los cuales les está aplicando entonces si no les hacen nada sólo me quedan estos los de aquí bien entonces lo que me queda es que te habla menos uno aplicado hace por ahora es igual hace veces sea la menos uno por a y justo esta era la segunda condición de las transformaciones para ser lineales ok entonces en am en en este caso usamos que que teherán lineal para demostrar que si las las constantes digamos la saca las transformaciones inversas y también usamos que te lineal para demostrar esta propiedad de que la trama formación inversa aplica una suma en la suma de las transformadas inversas muy bien entonces en efecto usamos la linealidad dt para demostrar ambos casos y concluimos entonces que la inversa en línea ahora sabemos que la transformación si es lineal si es lineal te invertible entonces la inversa también es línea vamos a escribir eso si te es una transformación lineal transformación lineal pero pues además queremos que sea invertibles verdad e invertirle que invertible entonces qué es lo que ocurre entonces la inversa sabemos que existe porque es invertirle también resultó ser línea también es una transformación lineal una transformación formación lineal muy bien entonces parece algo muy sencillo digo no a lo mejor podría intuir que si tienes una transformación lineal la inversa debería ser lineal parece algo muy sencillo pero en realidad es algo muy grande y use un resultado muy fuerte porque quiere decir que sea lineal esto implica que te habla menos uno aplicado un vector pues como todas las transformaciones lineales y que ya hemos visto es aplicarle o más bien multiplicar al vector por una matriz que dejen de poner aquí algo así como la inversa de a ok no hemos definido qué es la inversa de una matriz pero sabemos que existe una matriz que define a esta transformación que es la inversa damas por por cosas que ya veremos le pongo a la -1 la inversa de a ok entonces qué es lo que sabemos sabemos que te seguida de al menos 1 seguida de té es la identidad nrm muy bien la identidad en rcn pero además también sabemos que te dé x de aplicado a x pues es una matriz a por nuestro vector x entonces si nosotros lo aplican esto algún lector particular es decir si tenemos que al menos 1 compuesta con té y que multiplica ax keith esto primero te aplicado a x por lo que tenemos aquí es la matriz a que multiplica x y luego aplicamos que al menos uno de x que es aplicarle que es multiplicar por la matriz a la -1 y justamente por aquí es de donde sale la necesidad de multiplicar matriz entonces además sabemos si sabemos que esto es la identidad entonces esto es lo mismo esto es lo mismo que ponerlo así esto es la identidad nrm aplicado a nuestro vector x pero la identidad en rn por ser lineal también sabemos que la matriz que la definen la matriz identidad de tamaño en verdad aunque ya que no van no van los paréntesis aquí simplemente es la matriz que multiplica este vector entonces ya para concluir me dice que esta matriz esta multiplicación de las matrices debe ser esta matriz de acá es decir que al menos uno que multiplica a debe ser la matriz identidad de tamaño n muy bien y por otro lado que es lo que sabemos también que te compuesta contra la menos uno también es la identidad en el re n entonces de la misma forma como procedimientos podemos debemos y podemos ver que si aplicamos que si aplicamos la inversa de a ok y después le aplicamos a a nuestro vector x esto va a hacer lo mismo que la matriz identidad de tamaño n del vector x entonces nos dice algo muy fuerte que ha multiplicado por al menos uno también es la matriz identidad y eso es muy bonito porque sabemos que el producto de matrices no siempre con motta no siempre podemos intercambiar el orden y aquí me está diciendo que sí podemos intercambiar el orden con sus matrices inversas y más aún que la que el producto en ambos casos me debe dar la matriz identidad aunque ya entonces ahora que ya hemos llegado tan lejos el siguiente paso es ver cómo construyes la matriz inversa dijo sabemos que sabemos que estas cosas existen las transformaciones inversas sabemos que la inversa es una transformación lineal y que por lo tanto la define una matriz es decir esta matriz existe la matriz que le llamamos ingenuamente a la -1 y vimos esta propiedad de que al multiplicar estas matrices obtienes la matriz identidad así que el siguiente paso es descubrir la forma de obtener quienes este sujeto