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Transcripción del video

con todas las premisas de la última serie de vídeos sólo queríamos tratar de obtener o de descubrir cuando alguna transformación te una transformación te que va de nuestro espacio rn a rm cuando esta transformación te es invertirle entonces realmente la pregunta que nos hemos estado planteando es cuando te o si estate en particular es invertible invertible y para eso hemos hecho demostramos ya hace muchos vídeos que una transformación que que esencialmente es una función verdad que que una función para hacer invertible necesita dos condiciones entonces si tenemos que es invertibles se necesitan dos condiciones la primera de ellas es que la transformación sea sobre y eso significa que para cualquier punto en mi condominio o en mi contra dominio verdad necesitamos encontrar siempre a alguien en el dominio que mapea al punto que me había elegido verdad eso para cualquier elemento de mico dominio y por otro lado también necesitamos que la función con la transformación fuera uno a uno y eso quiere decir que no pueda haber más de un punto que vaya a dar a otro en el condominio es decir si yo me tomo un punto en el condominio sólo puedo encontrar algo más uno en el dominio que es mapeado a ese punto que me había elegido ok mapeado por a lomas 1 del dominio entonces si nos tomamos ahora el caso particular de que esta transformación va de rehén y rm entonces esta transformación te que es aplicada un vector x de hecho sabemos que lo podemos ver cómo la multiplicación de una matriz de gm por n aplicado al vector x verdad entonces para que esta transformación sea sobre necesitamos que el rango el rango de nuestra matriz a sea igual a la dimensión de mi condominio es decir que se iguala m también aemme que esto es lo que necesitamos y para que esta transformación sea uno a uno ya también demostramos que el rango de nuestra matriz necesita ser igual a n esto es para que sea uno a uno entonces ahora pensemos que queremos que la transformación sea invertible y si queremos que la transformación sea invertir les deben cumplir estos dos es decir vamos a tener que combinar estas dos características para que sea para hacer invertible oh oh oh cuando es invertirle de cumplir estas dos condiciones ok entonces realmente si queremos que sea invertir le el rango el rango de nuestra matriz a debe ser igual a m que también debe ser igual a n esto me está diciendo que la dimensión del dominio y del condominio en principio debe ser el mismo ok entonces estamos pensando que nuestra matriz a es una matriz es una matriz cuadrada es una matriz cuadrada y tiene pues estamos pensando en la matriz a y es cuadrada y digamos que es de tamaño n por n muy bien entonces vamos a ir explorando un poquito más de esto si tenemos nuestra matriz a y tenemos digamos sus sus vectores columna aún no digamos el segundo vectores a 2 y así hasta el vector a n esta es nuestra matriz ha expresado de esta forma y como como la matriz o más bien la transformación es invertible todos estos vectores éstos en electores son linealmente independientes y de hecho como el dominio tiene dimensiones pues pues en realidad éstos forman una base de nuestro espacio ok que que de hecho es el mismo porque dijimos que las dimensiones deben ser iguales entonces qué es lo que pasa con esto cuando llevamos a la forma reducida y escalonada de esta matriz que es digamos la la forma reducida y escalonada esencialmente lo que necesitamos es ver qué pasa con los vectores pivote verdad y aquí tendremos que como todos estos son linealmente independientes de que de hecho forman una base cada uno de éstos corresponde a un vector pivote entonces aquí estará este lector pivote 10 y puro ceros el segundo vector pivote que es el 0-1 y puro ceros y así sucesivamente hasta matrices de n por el cne debería corregir esto y quería decir n entonces todos los elementos de una base que son éstos se asocian con columnas pivote entonces qué es lo que podemos decir de nuestra forma reducida y escalonada por renglones de esta matriz a que de hecho ésta es la matriz la matriz de en 'por n en este caso que dijimos que las dimensiones son las mismas donde donde todas columna todas columna es una columna pivote una columna una columna columna pivote pero además no cualquier columna pivote sino que entre ellos son linealmente independientes ok entonces son linealmente independientes y cuál es la forma de esto pues necesitamos digamos el el primer la primera columna pues es el que tiene 10 y puro ser verdad la siguiente columna es la que tiene 0-1 y puro ceros verdad de hecho vamos a tener puros unos en la diagonal y cero en todos lados muy bien entonces realmente estamos pensando que esta forma reducida y escalonada por renglones de la matriz a no tiene que ser otro más que la matriz identidad dn por n y ya tenemos una condición muy agradable para que la transformación sea invertible entonces de hecho podemos ir resumiendo todo esto que si tenemos una transformación que va rn en rn verdad entonces si la transformación aplicada al vector x se puede definir por una matriz ha hecho es desde n por ende verdad si es así está definida por la multiplicación de una matriz por el lector entonces sólo será invertirle sólo es invertirle sólo es invertible sí sí la forma reducida y escalonada por renglones de nuestra matriz a es la matriz identidad de tamaño n por el cne y de hecho el enunciado lo podríamos decir de rené a rm verdad entonces aquí ésta sería de gm por n y al decir que la matriz identidades dn por n es que es la matriz identidad pues eso obliga que tienen que ser iguales pero bueno la forma de que sea invertirle es si su forma reducida y escalonada por renglones de la matriz de la transformación es igual a la matriz identidad n por el no y eso es un gran gran resultado para llevarnos ahora usaremos eso en el futuro para resolver algunos detalles de las inversas de las transformaciones