Simplificar las condiciones para invertibilidad

con todas las premisas de la última serie de vídeos sólo queríamos tratar de obtener o de descubrir cuando alguna transformación de una transformación t que va de nuestro espacio rn a rm cuando esta transformación t es invertible entonces realmente la pregunta que nos hemos estado planteando es cuando te o si estate en particular es invertible invertible y para eso hemos de hecho demostramos ya hace muchos vídeos que una transformación que esencialmente es una función verdad que que una función para ser invertirle necesita dos condiciones entonces si tenemos que es invertible se necesitan dos condiciones la primera de ellas es que la transformación sea sobre y eso significa que para cualquier punto en mi dominio o en mi contra dominio verdad necesitamos encontrar siempre a alguien en el dominio que mapea al punto que me había elegido verdad eso para cualquier elemento de mick o dominio y por otro lado también necesitamos que la función o la transformación fuera uno a uno y eso quiere decir que no puede haber más de un punto que vaya a dar a otro en el co dominio es decir si yo me tomo un punto en el condominio solo puedo encontrar a lo más uno en el dominio que es mapeado a ese punto que me había elegido es manteado por a lo más uno del dominio entonces si nos tomamos ahora el caso particular de que esta transformación va de rn a rm entonces esta transformación te que es aplicada un vector x de hecho sabemos que lo podemos ver como la multiplicación de una matriz de m por n aplicado al vector x verdad entonces para que esta transformación sea sobre necesitamos que el rango el rango de nuestra matriz a sea igual a la dimensión de mikko dominio es decir que sea igual a en esta misma m que esto es lo que necesitamos y para que esta transformación sea 1 a 1 ya también demostramos que el rango de nuestra matriz necesita ser igual a n esto es para que sea 1 a 1 entonces ahora pensemos que queremos que la transformación sea invertible y si queremos que la transformación sea invertible se deben cumplir estos dados es decir vamos a tener que combinar estas dos características para que sea para para ser invertible o cuando es invertible se debe cumplir estas dos condiciones entonces realmente si queremos que sea invertible el rango el rango de nuestra matriz a debe ser igual a m que también debe ser igual a n esto me está diciendo que la dimensión del dominio y del condominio en principio debe ser el mismo ok entonces estamos pensando que nuestra matriz a es una matriz es una matriz cuadrada es una matriz cuadrada y quienes estamos pensando en la matriz y es cuadrada y digamos que es de tamaño n por n muy bien entonces vamos a ir explorando un poquito más de esto si tenemos nuestra matriz a y tenemos digamos sus sus vectores columna a uno digamos el segundo vector es a 2 y así hasta el vector a n esta es nuestra matriz a y expresado de esta forma y como como la matriz o más bien la transformación es invertible todos estos vectores estos n vectores son linealmente independientes y de hecho como el dominio tiene dimensiones pues pues en realidad estos forman una base de nuestro espacio ok que de hecho es el mismo porque dijimos que las dimensiones deben ser iguales entonces qué es lo que pasa con esto cuando llevamos a la forma reducida y escalonada de esta matriz ok digamos la la forma reducida y escalonada pues esencialmente lo que necesitamos es ver qué pasa con los vectores pívot de verdad y aquí tendremos que como todos estos son linealmente independientes de que de hecho forman una base cada uno de éstos corresponde a un vector pivote entonces aquí estará este vector pivote 1 0 y puro ceros el segundo vector pivote que es el 0 1 y puro ceros y así sucesivamente esta matriz es de n por n debería corregir esto aquí quería decir n entonces todos los elementos de una base que son estos se asocian con columnas pivote entonces qué es lo que podemos decir de nuestra forma reducida y escalonada por renglones de esta matriz a que de hecho esta es la matriz la matriz de n por n en este caso que dijimos que las dimensiones son las mismas donde donde toda columna toda columna es una columna pivote es una columna una columna columna pivote pero además no cualquier columna pivote sino que entre ellos son linealmente independientes ok entonces son linealmente independientes y cuál es la forma de esto pues necesitamos digamos el primer la primera columna pues es el que tiene 10 y pudo ser es verdad la siguiente columna es la que tiene 0 1 y puro 0 es verdad de hecho vamos a tener puros unos en la diagonal y 0 en todos lados muy bien entonces realmente estamos pensando que esta forma reducida y escalonada por renglones de la matriz a no tiene que ser otro más que la matriz identidad de n por n y ya tenemos una condición muy agradable para que la transformación sea invertible entonces de hecho podemos ir resumiendo todo esto que si tenemos una transformación que va de rn en rn verdad entonces si la transformación aplicada al vector x se puede definir por una matriz a que de hecho es es de n por n verdad si es si está definida por la multiplicación de una matriz por el vector entonces sólo será invertible sólo es invertible sólo es invertible la forma reducida y escalonada por renglones de nuestra matriz a es la matriz identidad de tamaño n por n y de hecho en el enunciado lo podríamos decir de rn a rm verdad entonces aquí esta sería de m por m y al decir que la matriz identidad es de n por n el que es la matriz identidad pues eso obliga a que tienen que ser iguales pero bueno la forma de que sea invertible es si su forma reducida y escalonada por renglones de la matriz de la transformación es igual a la matriz identidad de n por ena y ese es un gran gran resultado para llevarnos ahora usaremos eso en el futuro para resolver algunos detalles de las inversas de las transformaciones