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Demostración: la invertibilidad implica una única solución para f(x)=y

Transcripción del video

tengo una función efe que es un mapeo que va del conjunto x al conjunto y y también para fines del argumento de este vídeo voy a suponer algo muy fuerte y que es que f es invertible con todo lo que ya ya hemos visto de la invertibilidad en el vídeo en el vídeo anterior ahora lo que quiero saber es qué implicaciones tiene esto de aquí de que la función sea invertirle sobre la ecuación fx igual a ye ok es decir quiero saber si para cada y si para cada cada vez que me tome yo en el condominio que represente con mayúscula será que existe primero la pregunta si existe y también si existe una única y voy a ponerlo con con mayúsculas una única solución solución de hecho una solución x que se encuentra en nuestro dominio tal que tal que fx sea igual allí y el detalle importante es bueno sí sí es importante saber si existe pero además es importante también saber si es única esta solución ok entonces para dibujarlo más o menos con con muñequitos vamos a tener aquí nuestro conjunto x tendremos aquí nuestro conjunto y digamos que tengo yo no sé puede ser cualquier elemento vamos a decir que tengo un elemento llegué aquí como lo puse en él en esto entonces tengo yo y estoy suponiendo como cumple la ecuación que es igual a una a efe de alguien de algún x ok entonces este x mandará por acá entonces quiere decir que al aplicarle efe a este x esto es digamos aplicarle f entonces al aplicarle esta fx queremos preguntarnos si existe una única solución para esto necesitamos repasar un poquito que es que fs invertible que fs invertible significa que existe una función que definimos como la inversa de f que vaya a de gea x ok que vaya de iu a x y sea tal que tal que cumple dos condiciones es verdad que f a la menos uno bueno la inversa de f seguida de f no es otra cosa más que la identidad en x y aquí podemos podemos hacer un dibujito por ejemplo si yo tengo un punto a ok tengo aquí un punto y que primero aplico efe verdad primero aplicamos efe entonces iremos a dar algún punto efe de a efe de ahora después de aplicarla efe vamos a suponer entonces que existe la inversa y por lo tanto puedo yo regresar el regresar me implica que esto no fue otra cosa más que la identidad en x es decir empecé en este punto y al aplicarle la identidad queda en ese mismo punto lo mismo pasa si nos vamos primero allí con efe y luego a x con efe al menos 1 ok ahora también tenemos esta condición que f seguida de f la menos 1 es la identidad pero en ye y de eso podemos hacer un dibujito por ejemplo aquí acá arriba ok entonces tengo yo algún punto que al aplicarle efe ala -1 vamos a algún punto en equis y después al aplicarle efe pues regresamos al mismo punto dándonos aquí la identidad en ok entonces la pregunta que tenemos es tenemos este y qué es efe es aplicarle efe algún x de hecho este sería nuestro x muy bien entonces la pregunta que tenemos es si es esto único y un ejemplo de donde podría no ser único es que tal si tenemos aquí un b y que esto hay una función nos va a dar a b de este punto muy bien que no fuera único sería por ejemplo pensar que aquí hay algún otro punto que después de aplicarle la función f también nos vaya a dar a ese entonces en perdonar entonces esto no es único estamos pensando que no es único si pensamos que hay dos puntos distintos que van a dar al mismo punto después de aplicarles la función verdad entonces la pregunta que tenemos es primero si esta ecuación fx es igual para este punto b sí sí la pregunta es si existe la equis ok entonces nos preguntamos si si existe una solución y además si es única verdad entonces sí es importante preguntarnos la existencia porque bueno no tendría sentido hablar de si es única si sabemos que a lo mejor no existe pero una vez que sabemos que existe es importante saber también si es única la solución o si puede haber varios ok entonces vamos a ver esta relación que tenemos digamos tenemos vamos a utilizar el dibujito rosa tenemos que fx es igual a ye entonces tenemos que es fx para algún x que se encuentre en el dominio qué pasa si nosotros aplicamos la inversa la inversa de gm entonces mover esto un poco qué pasa si nosotros aplicamos la inversa en esta ecuación es decir qué pasa si nosotros hacemos efe a la menos uno de este punto por supuesto es aplicar efe a la menos uno de verdad entonces por un lado vamos a tener efe a la menos uno de iu y del otro lado podemos darnos cuenta que esto no es otra cosa más que sea la menos uno seguido de efe aplicado a nuestro punto x verdad esto es la definición pero que sabemos de ésta de esta función inversa que fue la menos 1 seguida de f no es otra cosa más que la identidad en nuestro conjunto x aplicado al elemento x y la identidad pues es aquella función que a cada punto le asigna el mismo punto entonces a donde llevamos es que ésta si tiene solución de hecho x el punto x que es la solución debe ser la imagen inversa o efe a la menos 1 aplicado a y verdad y esto es es único queda claro que es único de hecho porque sólo sólo hay una inversa sólo hay una inversa no puede haber distintas verdad entonces como sólo hay una inversa sólo puede ser esta x solo puede ser efe a la menos uno de ella por la unicidad de esta función inversa si hubiera otra inversa pues a lo mejor si podría hacer que haya dos soluciones distintas ok entonces si consideramos una función que es un mapeo de x allí y que además es invertible como existe esta inversa que cumple estas dos propiedades podemos garantizar una solución única para esta ecuación fx igual hay verdad hay una solución única entonces vamos a escribir esto ya como una proposición o como un resultado y tenemos que sí efe es invertible entonces entonces a qué conclusión llegamos llegamos a la conclusión de que fx iguala y que es una ecuación para cualquier ye y esto es son para todo para cualquier ya que se encuentra en nuestro con en nuestro dominio tiene tiene una solución única solución entonces nos fijamos en algún punto de nuestro dominio sabemos que debe existir un único x tal que al aplicarle la función vamos a ir a dar allí ok y de hecho es el elemento que es la solución es la imagen inversa de verdad es decir x es efe a la menos uno de cómo lo calculamos aquí ok muy bien este es un resultado muy bonito pero ahora pensemos lo al revés vamos a pensar este problema al revés qué pasaría si por ejemplo yo tuviera que para todas y para todo y en nuestro dominio fx igual ayer tiene una solución única tiene una solución única muy bien entonces vamos a suponer vamos a suponer perdón ahora lo que obtuvimos en las observaciones anteriores vamos a suponer que esto es la hipótesis que tenemos una solución única ok entonces la pregunta sería entonces si al tener una solución única para esta ecuación la función va a ser invertible vamos a ver vamos a experimentar un poco digamos que tengo aquí otra vez mi conjunto x que tengo aquí a mi conjunto y muy bien y voy a definir una función que le voy a llamar digamos s que ahora va a ir de iu a x entonces esta función es que estoy definiendo estoy construyendo estoy construyendo la función inversa de nuestra de nuestra efe ok entonces qué es lo que sabemos que dado cualquier punto digamos tómense este punto aquí sabemos o más bien tomémonos un punto en que sabemos que existe un único x digamos este sería nuestro x tal que al aplicarle la f nos va a dar a esto verdad no importa cuál sea el que nos tomemos por ejemplo no sé éste si tomamos otro aquí y otro acá pues sólo va a haber un punto que vaya a dar a este otro después de aplicarle la función f pero bueno si está definido o más bien si definimos ese de y nos tomamos un punto y en nuestro en nuestro dominio bueno en este caso sería el dominio verdad nos tomamos llegó un punto aquí en este conjunto ok y a ese de y le lo asociamos como la única solución la única solución evolución por supuesto en nuestro conjunto x a la ecuación f x igual allí ok entonces esto a lo mejor tú dirás bueno a lo mejor éste es una definición un poco rara y medio medio oscura no sé pues resulta rara pero es una función válida verdad si yo tengo como les decía este punto de aquí verdad ahora yo voy a empezar a asignar de hecho voy a quitar esta flecha si voy a quitarle esta dirección porque si yo tengo este punto puedo hacerle una asociación a un único punto de x qué es lo que caracteriza los a las funciones verdad cuál es el punto que voy a asignar en x pues aquel que después de aplicarle f me va a dar este punto que me elegí entonces como pueden ver es una definición válida de lo que es una función verdad a cada elemento le asocia un único el elemento en el otro conjunto en este caso sería a x entonces vamos a considerar un punto digamos aquí tenemos un punto b un punto b y sabemos que después de que podemos aplicarle ese debe entonces este de aquí es ese debe muy bien entonces qué es lo que ocurre que estamos pensando estamos pensando que ese debe es la solución la solución única única a la ecuación de esta ecuación fx me tiene que dar quien pues ve muy bien entonces qué significa esto qué pasaría si nosotros aplicamos efe efe a ese debe efe aplicado a ese debe muy bien esto como es la solución ese debe la solución única a esto quiere decir que f aplicado a ese debe nos debe dar b correcto pero esto no se está diciendo muchísimo muchísimo porque esto es una composición esto es efe seguida de ese aplicado a de ave no es otra cosa más que el mismo elemento b quiere decir que esta composición un punto b y le asocia el mismo entonces no le queda ser más que la función identidad en el conjunto y del elemento ve muy bien entonces esto este enunciado que tenemos aquí el definir a ese porque de hecho estamos definiendo la inversa le estamos construyendo es entonces vamos a demostrar que f es invertible dando la función inversa entonces ese de y que es la solución única en x a nuestra ecuación fx igual allí nos implica que f seguida de s es decir definiendo esto así esto nos implica que f seguida de s es la identidad en ye y esa es una de las condiciones para que f sea invertible verdad es esta de aquí abajo entonces ya tenemos una de esas condiciones necesitamos encontrar la otra así que vamos a seguir experimentando un poquito con este tipo de diagramas vamos a hacer otro dibujito aquí digamos que tengo aquí mi conjunto x que tengo acá mi conjunto y muy bien y queremos ver qué pasa cuando tenemos ese aplicado a efe de a ok tenemos ese aplicado a efe de verdad queremos hacer la otra composición entonces si me tomo a efe a efe de hecho aquí tengo mi punto a le aplicamos efe y aquí llegamos a efe de verdad simplemente es cómo se vería entonces qué pasaría ahora se aplicó ese quiere decir que como este feria está en gel le puedo aplicar ese y esto me regresa a un elemento que bueno podríamos pensar que a lo mejor no estará aunque vamos a ver en realidad quién es y esto es después de aplicarles muy bien entonces la prueba si este s aplicado a efe puede ser algún otro elemento distinto de a ok entonces vamos a ver si quienes esto porque s aplicado a efe de a es la solución única la solución única única a la ecuación la ecuación esta de aquí efe de fx quien me debe dar pues a quien le aplicamos la función ese debe ser efe y realmente aquí no necesitamos ni conocimientos muy avanzados de álgebra ni mucho menos simplemente en la ecuación fx igual a de fedea entonces quien tiene que ser x quien es x aquí en esta ecuación pues me cae que tenemos que hacer estos dos iguales entonces una solución pues simplemente es x igualada correcto pero como la solución es única pues no le queda o no no tiene otras opciones x más que ser a muy bien entonces qué es lo que encontramos con esta relación de aquí tenemos que s s aplicado a efe es igual a a verdad es igual a a perfecto si ese después de aplicárselo a efe de a pues no me va a dar a ningún otro punto más que en realidad va a dar aa y eso es lo que obtuvimos o bien que ese seguida de f aplicado a nuestro punto a es igual a en otras palabras que s seguida de f resultó ser nuestra identidad en el conjunto x muy bien entonces repasemos un poquito qué fue lo que hicimos queremos ver ahora la contraparte es decir si suponemos que esta ecuación tiene una solución única para cualquier punto que nos tomemos en nuestro en el co dominio de la función f entonces al definir nuestra función es de esta forma rara que a lo mejor parece que le estamos dando vueltas al problema pero en realidad es la forma de definir una inversa o más bien la inversa de nuestra función resulta que en efecto tenemos esta primera propiedad que f aplicado después de aplicar ese resulta hacer la identidad en nuestro conjunto muy bien y eso lo podríamos ver con estas observaciones por otro lado podríamos ver que ese seguido de f es igual a la identidad pero en el conjunto x entonces si juntamos esta observación y también que f seguido de f es igual a la identidad en ye ok estas dos observaciones podemos concluir podemos concluir entonces que f es invertible efe si invertible que significará que se fuera invertible pues que si tenemos f que va del conjunto x al conjunto y es invertible si existe otra vez el simbolito que existe una función que llamo efe a la menos uno creo que la función inversa que va del co dominio de f es decir va ahora de g a x que cumple esto verdad efe a la menos 1 seguido de efe es la identidad en x y que f seguido de f a la menos 1 es la identidad en esto por supuesto nos dice como como en realidad tenemos que la función s cumple estas características quiere decir que f no es otro más que la función inversa verdad entonces qué es lo que obtuvimos finalmente ya para ir redondeando todo esto todo en este en este vídeo empezamos con una función f que va de un conjunto x a un conjunto y y que resultaba ser invertible muy bien queríamos relacionarlo con el hecho de esta ecuación de tener esta ecuación una función aplicado a un x que nos da que si nosotros conocemos realmente esto es una ecuación y queríamos saber si tiene una solución única y esto era la parte primordial e importante de este vídeo y resultaba que sí que si teníamos una solución única y de hecho era muy fácil probarlo era consecuencia de que también tenemos sólo una no podemos tener varias entonces después de eso vimos que no sólo es que la invertibilidad implica solución única sino que también tenemos que sí sí para todo y que se encuentra en nuestro dominio que sí para todas y en el condominio hay solución única solo solución única a la ecuación fx igual hay entonces entonces entonces efe es invertible efe es invertible entonces la combinación de estos dos resultados no lo voy a poner ya abajo y como nuestro resultado grande y final del vídeo es partimos de una función f que va de x allí y que además le pedimos que es invertible verdad invertible y esto va a pasar si y sólo si que a veces en algunos libros lo denotan como si con doble y ok esto pasa así solo sí para cualquier elemento en el condominio df que para esto existe una solución solución única única a la ecuación a la ecuación fx fx igual allí y en realidad este sí solo si me está diciendo que si f es invertible entonces voy a tener solución única y también me dice que si yo tengo solución única voy a bueno resulta que f es invertible así que esto fue nuestro gran resultado que nos llevamos en este vídeo que la invertibilidad de una función implica que hay una solución única de esta ecuación para cualquier ya que se encuentra en el condominio de nuestra función y al revés que si tenemos esta solución única como lo dije tendremos que f es invertible