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Demostración: la invertibilidad implica una única solución para f(x)=y

Transcripción del video

tengo una función efe que es un mapeo que va del conjunto x al conjunto y e y también para fines de del argumento de este vídeo voy a suponer algo muy fuerte y que es que gf es invertible con todo lo que ya ya hemos visto de la invertibilidad en en el vídeo en el video anterior ahora lo que quiero saber es qué implicaciones tiene esto de aquí de que la función de invertirle sobre la ecuación fx igual allí ok es decir quiero saber si para cada allí sí para cada cada ye que me tomé yo en el condominio que represente conlleva mayúscula será que existe primero la pregunta de si existe y también si existe una única y voy a ponerlo con con mayúsculas una única solución solución de hecho una solución x que se encuentra en nuestro dominio tal que tal que fx sea igual allí y el detalle importante es bueno sí sí es importante saber si existe pero además es importante también saber si es única esta solución ok entonces para dibujarlo más o menos con con muñequitos vamos a tener aquí nuestro conjunto x tendremos aquí nuestro conjunto llegué muy bien y digamos que tengo yo no se puede ser cualquier elemento vamos a decir que tengo un elemento llegué aquí como lo puse en el en el en esto entonces tengo llegue y estoy suponiendo como cumple la ecuación kay es igual a una a efe de alguien de algún x ok entonces este x nada por acá entonces quiere decir que al aplicarle efe a este x esto es digamos aplicarle efe si entonces al aplicarle está fx queremos preguntarnos si existe una única solución para esto necesitamos repasar un poquito que es que el efesé invertible que es invertirle significa que existe una función que definimos como la inversa df que vaya a deia x ok que vaya deie ax y sea tal que tal que cumple dos condiciones verdad que efe al menos uno o la inversa df seguida de efe no es otra cosa más que la identidad en x y aquí podemos podemos hacer un dibujito por ejemplo si yo tengo un punto a key digamos que tengo aquí un punto a y que primero aplicó efe verdad primero aplicamos efe entonces iremos a dar algún punto efe cda fedea ahora después de aplicar la f vamos a suponer entonces que hay que existe la inversa y por lo tanto puedo yo regresar al regresar me implica que esto no fue otra cosa más que la identidad en x es decir empecé en este punto y al aplicarle la identidad quedó en ese mismo punto lo mismo pasa si nos vamos primero a ye con efe y luego a x con efe al menos uno o keith ahora también tenemos esta condición que efe seguida de efe la menos uno es la identidad pero en jay kay y de eso podemos hacer un dibujito por ejemplo aquí ponerlo acá arriba ok entonces tengo yo algún punto que al aplicarle efe al menos uno vamos a algún punto en x y después al aplicarle fe pues regresamos al mismo punto dándonos aquí la identidad en ok entonces la pregunta que tenemos es tenemos estellés que es efe es aplicarle fue algún x de hecho éste sería nuestro x muy bien entonces la pregunta que tenemos es si es esto único y un ejemplo donde podría no ser único es que tal si tenemos aquí un bebé y que esto hay una la función nos va a dar ave de este punto muy bien que no fuera único sería por ejemplo pensar que aquí hay algún otro punto que después de aplicarle la función efe también nos vaya a dar a ese entonces perdón cabe entonces esto no es único estamos pensando que no es único si pensamos que hay dos puntos distintos que van a dar al mismo punto después de aplicarles la función verdad entonces la pregunta que tenemos es primero si esta ecuación fx es igual para este punto b sí sí la la pregunta es si existe la x o que entonces nos preguntamos si la si existe una solución y además si es única verdad entonces sí es importante preguntarnos la existencia porque bueno no tendría sentido hablar de fies únicas y sabemos que a lo mejor no existe pero una vez que sabemos que existe es importante saber también si es única la solución o si puede haber varios ok entonces vamos a ver esta relación que tenemos digamos que tenemos vamos a utilizar el dibujito rosa tenemos que fx es igual allí ok entonces tenemos que llegues fx para algún x que se encuentre en el dominio qué pasa si nosotros aplicamos la inversa la inversa déjeme entonces google está un poco qué pasa si nosotros aplicamos la inversa en esta ecuación es decir qué pasa si nosotros hacemos efe al menos uno de este punto por supuesto es aplicar efe al menos uno de ye verdad entonces por un lado vamos a tener efe al menos uno de yee y del otro lado podemos darnos cuenta que esto no es otra cosa más que efe al menos 1 seguido df aplicado a nuestro punto equis verdad esto es la definición pero que sabemos de esta de esta función inversa que es la menos uno seguida de efe no es otra cosa más que la identidad de nuestro conjunto x aplicado al elemento x y la identidad pues aquella función que cada punto le asigna el mismo punto entonces a dónde llevamos es que ésta sí tiene solución de hecho x el b el punto equis que es la solución debe ser la imagen inversa o efe al menos uno aplicado aie verdad y y esto es único queda claro que es único de hecho porque sólo sólo hay una inversa sólo hay una inversión no puede haber distintas verdad entonces como sólo hay una inversa sólo puede ser esta x sólo puede ser efe al menos uno de ye por la unicidad de esta función inversa si hubiera otra inversa pues a lo mejor sí podrían ser que haya dos soluciones distintas ok entonces si consideramos una función que es un mapeo de x allí y que además es invertible como existe es la inversa que cumple estas dos propiedades podemos garantizar una solución única para esta ecuación fx igual hay es verdad hay una solución única entonces vamos a escribir esto ya como una proposición no como un resultado y tenemos que sí efe ess invertible invertible entonces entonces a qué conclusión llegamos llegamos a la conclusión de que fx igual ayer que es una ecuación para cualquier ye y esto es son para todo para cualquier ye que se encuentra nuestro con nuestro codominio tiene tiene una solución única solución única entonces nos fijamos en algún punto llegue nuestro codominio sabemos que de existir un único x tal que al aplicarle la función vamos a ir a dar allí ok y de hecho es el elemento que es la solución es la imagen inversa de verdad es decir x es efe al menos uno de ye como lo calculamos aquí ok muy bien este es un resultado muy bonito pero ahora pensemos no al revés vamos a pensar este problema al revés qué pasaría si por ejemplo yo tuviera que para todas y para todos ye en nuestro codominio sdx igual aie tiene una solución única tiene la solución única y muy bien entonces vamos a suponer vamos a suponer perdón ahora lo que obtuvimos en el en el en las observaciones anteriores vamos a suponer que esto es la hipótesis que tenemos una solución única ok entonces la pregunta sería entonces sí al tener una solución única para esta ecuación la función va a ser invertirle vamos a ver vamos a experimentar un poco digamos que tengo aquí otra vez me conjunto x que tengo aquí a mi conjunto llegué muy bien y voy a definir una función que le voy a llamar digamos ese que ahora va a ir deie ax entonces esta función ese que estoy definiendo estoy construyendo estoy construyendo la función inversa de nuestra de nuestra efe ok entonces qué es lo que sabemos quedado cualquier punto digamos tómense este punto aquí sabemos o más bien todo menos un punto en llegue sabemos que existe un único x digamos éste sería nuestro x tal que al aplicarle la f nos va a dar a esto verdad no importa cuál sea el que nos tomemos por ejemplo no se esté si tomamos otro aquí y otro acá pues sólo va a haber un punto que vaya a dar a este otro después de aplicarle la función efe pero bueno si está definido o más bien si definimos s d ye nos tomamos un punto ye en nuestro en nuestro codominio o bueno en este caso sería el dominio verdad nos tomamos llevó un punto aquí en este conjunto ok y á s d ye le lo asociamos como la única solución la única solución solución por supuesto en nuestro conjunto x a la ecuación fx igual allí ok entonces esto a lo mejor tú dirás bueno a lo mejor este es una definición un poco rara y medio medio oscura no se puede resultar rara pero es una función válida verdad si yo tengo como les decía este punto de aquí verdad ahora yo voy a empezar a asignar de hecho voy a quitar esta flecha voy a quitarle esta dirección porque si yo tengo este punto puedo hacerle una asociación a un único punto de x que es lo que caracteriza los a las funciones verdad cuál es el punto que voy a asignar en x pues aquél que después de aplicarle efe me va a dar este punto que me elegí entonces como pueden ver es una definición válida de lo que es una función verdad a cada elemento le asocia un único el elemento en el otro conjunto en este caso sería ax entonces vamos a considerar un punto digamos aquí tenemos un punto b vamos a tomarnos un punto b y sabemos que después de apli que podemos aplicarle sdb entonces esté aquí es sdb bien entonces qué es lo que ocurre que estamos pensando estamos pensando que ese debe es la solución la solución única única a la ecuación a esta ecuación efe de kiss me tiene que dar bien pues ve muy bien entonces qué significa esto qué pasaría si nosotros aplicamos efe efe a eso se debe a efe picado a ese bebé muy bien esto como es la solución que se debe es la solución única a esto quiere decir que fue aplicado a sdb nos debe dar ve correcto pero esto nos está diciendo muchísimo muchísimo porque esto es una composición esto es efe seguida de ese aplicado ave ave no es otra cosa más que el mismo elemento b quiere decir que esta composición toma un punto b y le asocia el mismo entonces no le queda hacer más que la función identidad en el conjunto ye del elemento ve muy bien entonces esto es denunciado que tenemos aquí el definir a s porque de hecho estamos definiendo la inversa lo estamos construyendo entonces vamos a demostrar que efe ess invertible dando la función inversa entonces s d ye que es la solución única en x a nuestra ecuación fx igual aie nos implica que efe seguida df decir definiendo esto así esto no implica que fue seguida de ese es la identidad angy y esa es una de las condiciones para que fcc invertirle verdad es ésta de aquí abajo entonces ya tenemos una de esas condiciones necesitamos encontrar la otra así que vamos a seguir experimentando un poquito con con este tipo de diagramas vamos a hacer otro dibujito aquí digamos que tengo aquí me conjunto x que tengo acá me conjunto ye mui bien y queremos ver qué pasa cuando tenemos ese aplicado a efe de a ok tenemos ese aplicado a efe de a verdad queremos hacer la otra composición entonces si me tomo a efe de a efe de ha hecho aquí tengo mi punto a le aplicamos efe y aquí llegamos a efe de a verdad simplemente es cómo se vería entonces que pasaría ahora se aplicó ese quiere decir que como éste fedea está en yale le pueda aplicar ese y esto me regresa un elemento que bueno podríamos pensar que a lo mejor no estar aunque vamos a ver en realidad quién es y esto es después de aplicarles muy bien entonces la pregunta es si este es el aplicado a efe de a puede ser algún otro elemento distinto de a ok entonces vamos a ver si quienes esto porque ese aplicado a esta idea es la solución única la solución única única a la ecuación la ecuación está de aquí efe de fx quien me debe dar pues a quien le aplicamos las funciones se debe ser efe cda y realmente aquí no necesitamos ni conocimientos muy avanzados de de álgebra ni mucho menos simplemente pero en la ecuación fd x iguala de fedea entonces quién tiene que ser x quienes x aquí en esta ecuación pues me caí que tenemos que hacer estos dos iguales entonces una solución pues simplemente es x iguala correcto pero como la solución es única pues no le queda o no no tiene otras opciones x más que ser a muy bien entonces qué es lo que encontramos con esta relación de aquí tenemos que s s aplicado a efe de a es igual a a verdad es igual a perfecto si ese después de aplicarse la fd a pues no me va a dar a ningún otro punto más que en realidad va a dar aa y eso es lo que obtuvimos o bien que ese seguida df aplicado a nuestro punto a es igual a en otras palabras que s seguida de efe resultó ser nuestra identidad en el conjunto x muy bien entonces repasemos un poquito qué fue lo que hicimos queremos ver ahora la contraparte es decir si suponemos que esta ecuación tiene una solución única para cualquier punto que nos tomemos en nuestro en el condominio de la función efe entonces al definir nuestras funciones de esta forma rara que a lo mejor parece que le estamos dando vueltas al problema pero en realidad es la forma de definir una inversa o más bien la inversa de nuestra función resulta que en efecto tenemos esta primera propiedad que efe aplicado después de aplicar ese resulta ser la identidad en nuestro conjunto muy bien y eso lo podríamos ver con estas observaciones por otro lado podríamos ver que ese seguido df es igual a la identidad pero el conjunto x entonces si juntamos esta observación y también que efe seguido df es igual a la identidad de nye ok estas dos observaciones podemos concluir podemos concluir entonces que efe invertible efes invertible que significa que fuera invertible pues que si tenemos efe que va del conjunto x al conjunto ye es invertible si existe otra vez el simbolito existe una función que llamó efe al menos uno que yo que la la función inversa que va del condominio df sirva ahora deie al ax que cumple esto verdad efe al menos 1 seguido df es la identidad mx y que efe guido df al menos uno es la identidad enje esto por supuesto nos dice cómo como en realidad tenemos que la función es se cumple estas características quiere decir que efe no es otro más que la función inversa verdad entonces qué es lo que obtuvimos finalmente ya para ir redondeando todo esto todo en éste en este vídeo empezamos con una función efe que va de un conjunto x a un conjunto ye y que resultaba ser invertible muy bien queríamos relacionarlo con el hecho de esta ecuación de tener esta ecuación una función aplicado un x que nos da gge si nosotros conocemos llegue realmente esto es una ecuación y queríamos saber si tiene una solución única y esto era la parte primordial e importante de de este vídeo y resultaba que sí que sí teníamos una solución única y de hecho era muy fácil probarlo era consecuencia de que también tenemos sólo una inversa verdad no podemos tener varias entonces después de eso vimos que no sólo es que que la invertibilidad implica solución única sino que también tenemos que sí o sí para todo ye que se encuentra en nuestro condominio que si para todas llegue en el condominio hay solución única solos solución única a la ecuación efe dx igual aie entonces entonces escribir lo completó entonces efe ess invertible efes invertible entonces la combinación de estos dos resultados no lo voy a poner ya abajo y como nuestro resultado grande y final del video es partimos de una función efe que va de x aie y que además le pedimos que es invertirle verdad invertible y esto va a pasar si y sólo si que a veces en algunos libros lo denotan como si con doble y esto pasa si y sólo si para cualquier elemento y en el condominio df que para esto existe una solución solución única única a la ecuación a la ecuación fx fx igual allí y en realidad éste sí solos y me está diciendo que si efes invertible entonces voy a tener solución única y también me dice que si yo tengo solución única boya bueno resulta que efe es invertirle así que esto fue nuestro gran resultado que nos llevamos en este vídeo que la invertibilidad de una función implica que hay una solución única de esta ecuación para cualquier llegue que se encuentra en el condominio de nuestra función y al revés que sí tenemos esta solución única como lo dije tendremos que ese es invertirle