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Relacionar la invertivilidad con ser sobreyectiva y uno a uno

Transcripción del video

hace un par de vídeos aprendimos que una función que quema para el conjunto x al conjunto y es invertible que es invertible invertible sí solo así que lo escribimos como sí verdad sí solo si para cada elemento en nuestro dominio es decir para cada g minúscula que se encuentra en el conjunto mayúscula existe existe y esta es la parte central un único hilo por eso lo pongo con mayúsculas un único elemento en nuestro dominio tal que tal que satisface esta ecuación fx es igual a ye verdad entonces esto este este digamos enunciado si quieren lo podemos ver nuevamente con nuestros diagramas digamos que tengo aquí el conjunto x que tengo aquí el conjunto y entonces estamos pensando en una función f que me asigna puntos de x a puntos de mi conjunto y ok repasemos que realmente la invertibilidad me dice que que yo puedo encontrar una función que de hecho denota como escala menos uno y que le llamamos la inversa de f que existe una única función inversa que al que después de mapear digamos este elemento x a este elemento y con la función inversa me regresa a mi elemento original verdad entonces aquí realmente lo que tenemos es que esta función f me está mandando elementos de x a puntos en verdad por ejemplo podríamos pensar en este x 0 digamos este puntito x0 que me lo manda a de verdad que es efe x 0 entonces lo que me dice este enunciado es que si considero y sólo voy a poder encontrar un hecho primero me dice que voy a encontrar un x0 o un punto que al aplicarle la función medalla pero me dice todavía más que no puede pasar que yo tenga por ejemplo aquí otro punto que al aplicarle la función me vuelva a dar también este punto y esto esto de aquí no sería invertible verdad esto de aquí no sería invertible y también no puede pasar que tenga un punto aquí y que nadie sea mapeado a este punto de acá verdad entonces si si si esto si esto de aquí ocurriera entonces si estoy aquí ocurriera nadie es mapeado a este punto digamos mapeado a ese punto entonces nuestra función tampoco es invertible deben cumplirse ambas cosas que tanto la función sólo tenga una única solución pero además que todos para para todos los puntos que se encuentren en el condominio sí pueda yo encontrar un punto que sea mapeado a cada uno de ellos ok entonces eso es lo que nos dice la de la el resultado que obtuvimos hace dos vídeos de invertibilidad y en realidad hago este vídeo para reescribir este enunciado en el vocabulario que teníamos en el vídeo pasado verdad porque porque el hecho de que para cualquier punto yo tenga otro aquí que va a llegar a éste a través de nuestra función f eso quiere decir que todo y es la imagen de x y eso significa que es u proyectiva o que jeff es su proyectiva efe su project iba pero no basta verdad no va hasta que pese a su project iba porque podríamos tener este caso que dos elementos después de aplicarle efe vayan a dar al mismo punto ok entonces no basta con que sea su project iba sino también hay que pedirle que f sea inyectaba para que sólo tengamos una solución o también ya sabemos que su project iba a veces le podemos decir sobre y que alas inyectaba sabes les podemos decir uno a uno es lo mismo que uno a uno muy bien entonces realmente este enunciado que tenemos aquí arriba en términos de las palabras del vídeo anterior lo podemos expresar como si tenemos efe una función que va del conjunto x al conjunto y esta función es invertible es invertible si y sólo si si y sólo si y sólo si ese debe cumplir dos cosas efe es su proyectiva su proyectiva y también debe cumplir que es inyectaba efe su proyectiva e inyectaba nuevamente su proyectiva es que todos los puntos en que sean digamos la imagen o sean mateos de algún otro punto en x y que se inyectaba quiere decir que no hay dos que van a dar al mismo punto en que al aplicarles la función es verdad también podría haber escrito este enunciado como que es invertible sí sólo si efe sobre y también es 1 a 1 a uno son dos formas iguales de decirle a los mismos conceptos y estos son en realidad formas muy elegantes de decir que para cada elemento en el condominio y para cada elemento en mi co dominio y existe un único x un único x que se encuentra en mi dominio es decir para cada y solo voy a poder encontrar un único x en el dominio ok que es más que es mapeado allí por por mi función efe que no hay más de una o que no no hay más de un elemento en x que vaya a dar allí y que además todo proviene de un elemento en x