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Funciones suprayectivas (sobre) e inyectivas (uno a uno)

Transcripción del video

en este vídeo quiero introducir de un poco de terminología que será muy útil en nuestra discusión de las funciones de su invertibilidad y estate es terminología que seguro verás en cualquier carrera relacionada con matemáticas quizás alguna ingeniería que selló entonces vamos a tomarnos primero como como hemos estado haciéndolo una función que vaya de un conjunto x a un conjunto oye y aunque ya hemos hecho bastantes de estos dibujitos bueno nunca está demás me hace daño a hacer otro de ellos entonces digamos que aquí tengo mis dos conjuntos este es el conjunto x este es el conjunto llegue a x como ya sabemos le llamamos el dominio y ayer se le conoce como el condominio verdad entonces nuestra función efes una regleta que a cada elemento de x le asigna un elemento de ye verdad bajo la función efe entonces vamos a adaptar primero o vamos a exhibir el primer término que es la su proyecto su project y vida o que ya es decir efe es una función su proyectiva supra directiva y que en algunas ocasiones bien algunos libros también le pueden llamar que es una función sobre depende depende mucho el libro a mí me gusta más usar su proyectiva y la idea de una función su proyectiva es que esencialmente todo este dominio ye en principio no todos los puntos de jr necesitan venir de alguien de x después de aplicarle fe verdad es decir nosotros podríamos tener aquí que a efe le asigna distintos puntos pero podría haber puntos en ye que no estén asignados por nadie de x después de aplicar la f sin embargo lo que dice una función su proyectiva es que si ocurre esto es decir que para cada aie dejen de hacerlo con otro color vamos a hacerlo con vamos a hacerlo con éste decimos que para cada para cada elemento que se encuentre en nuestro codominio existe y este es el simbolito existe verdad como una mayúscula prueba al revés existe al menos al menos se puede haber varios pero al menos se existe un x que se encuentre en nuestro dominio tal que tal que fx es igual allí eso quiere decir que no importa cual ya nos tomemos por ejemplo este de aquí y una función de su proyecto y va a existir alguien mx de hecho podrían haber varios verdad podrían haber varios que al aplicarles la función efe nos den jay kay y quizás esto sea más fácil si nos tomamos un conjunto más pequeño por ejemplo digamos que el conjunto llegue es el conjunto de letras a b c y d ok y este es nuestro conjunto oye y vamos a suponer que nuestro conjunto x key este conjunto x es el conjunto de los elementos 1234 ok entonces si éstos por ejemplo asignamos una función efe que al 1 lo manda la el 2 lo manda al bebé el 3 lo manda al cf y el 4 al de ok esto es por supuesto aplicando cierta función efe si nos damos cuenta no importa cuál atrás nos tomemos en nuestro conjunto y siempre va a haber alguien en nuestro conjunto x que después de aplicarle la función nos da ese elemento verdad por ejemplo sé que podemos encontrar a este 3 que al aplicarle la función nos da c ok entonces cuál sería un ejemplo de alguna función que no fuera que no fuera su proyectiva por ejemplo si agregamos una letra verdad si agregamos una letra a letra e entonces todos todos estos elementos y quieren a alguien en x que después de aplicarle fe se esté llegan a ese elemento sin embargo la eno entonces basta con que algo uno de los elementos de nuestro codominio no esté en no se encuentren en cómo se llama el que no sea la imagen de algún punto de de de nuestro codominio basta con eso para que la función no sea su proyectiva entonces en nuestro primer caso si era su proyectiva nuestro primer caso si era su proyectiva o o también le llamamos sobre que sin embargo ya en este segundo caso en donde agregamos la e pues ya no es su proyectiva verdad ya no es su proyectiva y otra vez porque que quiere decir que una función sea su proyectiva que cualquier elemento en nuestro condominio es la imagen de alguien en el dominio aquí la e pues no hay ningún elemento en nuestro dominio que vaya a dar a él después de aplicar la f entonces realmente esta última al al considerar también el elemento e no es su proyecto iba sin embargo también podríamos dar otra definición o una definición más éste sobre la su project i be that por ejemplo si nos consideramos efe óptimo a elegir otro color más agradable si nos tomamos una función efe su proyectiva consideremos una función la que ustedes crean su project y bao también sabemos que es sobre ja esto va a ser cierto sí solos y ya hemos discutido qué es esto de si y sólo si la imagen la imagen de nuestro com de nuestra función efe es todo el condominio está exactamente diciendo lo mismo verdad que si nosotros nos en general la imagen es todo el conjunto de puntos en el condominio que son éste que justamente son la imagen de algo de los puntos de x verdad esté esta imagen es todo el conjunto de los fx donde x se encuentra en nuestro dominio así que puede haber aquí puntos fuera que no sean la imagen de nuestra función es decir que no haya alguien en x que vaya a dar bajo la función efe a este punto sin embargo si las funciones u proyectiva me está diciendo la imagen es todo el codo mínimo es decir que no hay puntos que no vengan de algún elemento x después de aplicarle efe verdad y de hecho de hecho también en vez de imagen le podemos llamar rango de verdad es exactamente lo mismo de hecho vamos a utilizar este término un poquito más a veces en álgebra lineal a veces la imagen pero bueno ok entonces la diferencia esencial del condominio y del rango en en sí el rango está contenido en el condominio pero no todo punto del condominio tiene que ser la imagen de algún punto de x entonces por eso es que es distinto verdad ahora el siguiente concepto que quiero discutir es el de las funciones inyectó ibas ok entonces tenemos una función función inyectaba dónde oa veces también le llaman una función que es que es de 11 a 1 y este nombre ya es bastante sugerente dejen hacer un dibujito por ejemplo nuevamente tenemos aquí nuestro conjunto x tenemos por acá nuestro conjunto llegue ok y una función efe en general pues puede haber puntos puede haber un poema no tiene puntos ya que después de aplicarles efe alguien alguien mx llega a estos puntos pero bien podría hacer que éstos no tengan una alguien mx que al aplicarles efe lleguen a este conjunto que kg que al aplicarles efe lleguen a este elemento pero no es decir puede haber para el caso de funciones directivas no nos consideramos es el hecho de que todos necesariamente tengan que venir de alguien el el concepto de inyecte vidad y aquí vamos a definir una f injection va no tiene tanto que ver con eso sí no voy a escribir lo para que quede más claro lo que dice una función inyectó iva es que no puede haber dos elementos en x que vayan a dar después df al mismo punto en 10 es decir que para cualquier para cualquier llegue en nuestro conjunto en nuestro condominio que se tiene que algo más y voy a ponerlo con mayúsculas a lomas existe existe bueno voy a ponerlo así existe un x en nuestro dominio tal que tal que efe dx es igual aie es decir el que sea lo más le permite que a lo mejor haya puntos que no tengan alguien que pero que cree que este punto no proviene de x después de aplicar la f sin embargo hasta este momento esta función que hemos pintado si es inyectaba como no sería inyecte base a lo mejor aquí tenemos este punto va a dar a éste pero además este de aquí que es distinto también va a dar a este mismo punto entonces en este caso no sería no sería una función inyectaba porque estamos diciendo que a lo más que sea un punto el que da aquí tenemos dos que es mucho más de uno verdad no sería una función inyectaba inyectó muy bien por ejemplo si aquí agregáramos un número más kay y tuviéramos esta flecha de aquí entonces esta función de aquí no es inyectaba ésta no es inyectaba porque tenemos que el 4 y el 5 van a dar al mismo punto de tampoco eso proyectiva entonces no tienen a veces relación alguna la inyectó vida de hila su project i be that veremos en algunos casos en donde sí pero bueno si a lo mejor cambiáramos esta flecha está digamos la quitamos y la ponemos de esta forma esta final si es una función inyecta iva y también es su proyectiva