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Funciones suprayectivas (sobre) e inyectivas (uno a uno)

Transcripción del video

en este vídeo quiero introducirte un poco de terminología que será muy útil en nuestra discusión de las funciones de su invertibilidad y esta terminología que seguro verás en cualquier carrera relacionada con matemática es quizás alguna ingeniería qué sé yo entonces vamos a tomarnos primero como como hemos estado haciéndolo una función que vaya de un conjunto x a un conjunto y y aunque ya hemos hecho bastantes de estos dibujitos bueno nunca está además me hace daño hacer otro de ellos entonces digamos que aquí tengo mis dos conjuntos este es el conjunto x este es el conjunto y ax como ya sabemos le llamamos el dominio y allí se le conoce como el dominio verdad entonces nuestra función f es una regleta que a cada elemento de x le asigna un elemento de verdad bajo la función f entonces vamos a dar primero vamos a exhibir el primer término qué es la súper sub project y be that ok es decir efe es una función su project iba supra directiva y que en algunas ocasiones viene algunos libros también le pueden llamar que es una función sobre depende depende mucho el libro a mí me gusta más usar su proyectiva y la idea de una función su proyectiva es que esencialmente todo este dominio y en principio no todos los puntos de que necesitan venir de alguien de x después de aplicarle efe verdad es decir nosotros podríamos tener aquí que a efe le asigna distintos puntos pero podría haber puntos en ye que no estén asignados por nadie de x después de aplicar la f sin embargo lo que dice una función su proyectiva es que si ocurre esto es decir que para cada y déjenme hacerlo con otro color y vamos a hacerlo con este decimos que para cada para cada elemento que se encuentre en nuestro dominio existe y este es el simbolito de existe verdad como una d mayúscula arriba al revés existe al menos al menos se puede haber varios pero al menos existe un x que se encuentre en nuestro dominio tal que tal que fx es igual a ye eso quiere decir que no importa cuál llenos tomemos por ejemplo este de aquí si una función es su proyectiva va a existir alguien en x de hecho podrían haber varios verdad podrían haber varios que al aplicarles la función f nos den el ok y quizás esto se vea más fácil si nos tomamos un conjunto más pequeño por ejemplo digamos que el conjunto y es el conjunto de letras a b y de ok y este es nuestro conjunto y y vamos a suponer que nuestro conjunto x ok este conjunto x es el conjunto de los elementos 1 2 3 4 ok entonces si estos por ejemplo asignamos una función efe que al 1 lo manda a la a el 2 lo manda al b el 3 lo manda al c y el 4 al de ok esto es por supuesto aplicando cierta función f si nos damos cuenta no importa cual letra nos tomemos en nuestro conjunto y siempre va a haber alguien en nuestro conjunto x que después de aplicarle la función nos da ese elemento verdad por ejemplo se podemos encontrar a este 3 que al aplicarle la función nos da c ok entonces cuál sería un ejemplo de alguna función que no fuera que no fuera su proyectiva por ejemplo si agregamos una letra verdad si agregamos una letra una letra entonces todos todos estos elementos si quieren a alguien en x que después de aplicarle efe se llegan a ese elemento sin embargo la eno entonces basta con que algunos de los elementos de nuestro dominio no estén no no se encuentren cómo se llama que no sea la imagen de algún punto de nuestro dominio basta con eso para que la función no sea su proyectiva entonces en nuestro primer caso si era su project iba nuestro primer caso si era su project iba ojo también le llamamos sobre ok sin embargo ya en este segundo caso en donde agregamos la e pues ya no es su proyectiva verdad ya no es su project iba y otra vez porque que quiere decir que una función sea su project iba que cualquier elemento en nuestro dominio es la imagen de alguien en el dominio aquí la e pues no hay ningún elemento en nuestro dominio que vaya a dar después de aplicarla efe entonces realmente esta última al considerar también el elemento e no es su proyectiva sin embargo también podríamos dar otra definición o una definición más este sobre la su project i be that por ejemplo si nos consideramos voy a elegir otro color más agradable si nos tomamos una función efe su project iba consideremos una función la que ustedes quieran su proyectiva o también sabemos que es sobre esto va a ser cierto si solo si ya hemos discutido qué es esto decidí solo si la imagen la imagen de nuestro de nuestra función efe es todo el condominio está exactamente diciendo lo mismo verdad que si nosotros nos en general la imagen es todo el conjunto de puntos en el condominio que son este que justamente son la imagen de los puntos de x verdad este esta imagen es todo el conjunto de los fx donde x se encuentra en nuestro dominio así que puede haber aquí puntos fuera que no sean la imagen de nuestra función es decir que no haya alguien en x que vaya a dar bajo la función f a este punto sin embargo si la función es su proyectiva me está diciendo que la imagen es todo el codo min yo es decir que no hay puntos que no vengan de algún elemento x después de aplicarle f verdad y de hecho de hecho también en vez de imagen le podemos llamar rango de verdad es exactamente lo mismo de hecho vamos a utilizar este término un poquito más a veces en álgebra lineal a veces la imagen pero bueno ok entonces la diferencia esencial del co dominio y del rango en en sí el rango está contenido en el condominio pero no todo punto del condominio tiene que ser la imagen de algún punto de x entonces por eso es que es distinto verdad ahora el siguiente concepto que quiero discutir es el de las funciones inyecte y bass ok entonces tenemos una función función inyectaba donde ojo a veces también le llaman una función que es que es de 11 a 1 y este nombre ya es bastante sugerente dejen de hacer un dibujito por ejemplo nuevamente tenemos aquí nuestro conjunto x tenemos por acá nuestro conjunto y ok y una función f en general pues puede haber puntos puede haber bueno tiene puntos ya que después de aplicarles efe alguien alguien en x llega a estos puntos pero bien podría hacer que éstos no tengan una alguien en x que al aplicarles efe y lleguen a este conjunto que al aplicarles efe lleguen a este elemento perdón es decir puede haber para el caso de funciones inyecte y bass no nos consideramos es el hecho de que todos necesariamente tengan que venir de alguien el el concepto de inyecta vidad y aquí vamos a definir una f inyectaba no tiene tanto que ver con eso si no voy a escribirlo para que quede más claro lo que dice una función inyectaba es que no puede haber dos elementos en x que vayan a dar después de f al mismo punto en jeff es decir que para cualquier para cualquier que en nuestro conjunto en nuestro condominio que se tiene que algo más y voy a ponerlo con mayúsculas a lo más existe existe bueno voy a ponerlo así existe 1x en nuestro dominio tal que tal que fx es igual ayer es decir el que sea lo más le permite que a lo mejor haya puntos que no tengan alguien que porque creo que este punto no proviene de x después de aplicar la f sin embargo hasta este momento esta función que hemos pintado si es inyectaba como no sería inyectaba si a lo mejor aquí tenemos este punto va a dar a este pero además este de aquí que es distinto también va a dar a este mismo punto entonces en este caso no sería no sería una función inyectaba porque estamos diciendo que algo más sea un punto el que da aquí tenemos dos que es mucho más de uno verdad no sería una función inyectaba inyectó muy bien por ejemplo si aquí agregamos un número más y tuviéramos esta flecha de aquí entonces esta función de aquí no es inyectaba esta no es inyectaba porque tenemos que el 4 y el 5 van a dar al mismo un punto de tampoco eso proyectiva entonces no tienen a veces relación a alguna la inyecta vida deal a su project i be that veremos en algunos casos en donde sí pero bueno si a lo mejor cambiáramos esta flecha está digamos la quitamos y la ponemos de esta forma esta final si es una función inyectaba y también es su project y va